2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.sin930°=()

A.-昱B.--C.?D.3

2222

【答案】B

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.

【詳解】sin930o=sin(210o+2×360o)=sin210o=sin(l80o+30o)=-sin30o=-∣.

故選：B.

2.已知向量二=(1,2),?=(2,1),則,+耳=().

A.√2B.3√2

C.5√2D.10a

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出α+b的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)求出模作答.

【詳解】向量二=(1,2),*=(2,1),則α+8=(3,3),

所以∣α+川=J32+32=3√∑.

故選：B

3.在AABC中，A=pBC=6,ΛB=2√6.則C=()

A.-B.-C.-

643

【答案】B

【分析】利用正弦定理求得SinC,進(jìn)而求得C.

【詳解】由正弦定理得，?=1J,

sinAsinC

所以*等,si。?邛,

√3sinC62

~2

JT

由于…，所以C為銳角，所以C=屋

故選：B

4.在JIBC中，若Ao為BC邊上的中線，點(diǎn)E在AO上，且AE=2Ef>,則研=<)

21

A.—AB—ACB.-AC——AB

3333

75

C.-AB--ACD.-AC--AB

6666

【答案】A

【分析】利用三角形法則和平行四邊形法則表示向量.

【詳解】如圖所示，在中,

因?yàn)锳。為BC邊上的中線，

所以。為BC的中點(diǎn)，

所以由平行四邊形法則有：

AO=L(AB+AC),

又點(diǎn)E在Ao上，S,AE=2ED

2

所以E4=—

所以E8=EA+A8

=--AD+AB

3

=--×-(AB+AC?+AB

32、>

=--AB--AC+AB

33

=-AB--AC,

33

故選：A.

TT

5.為了得到函數(shù)y=3cos2x的圖象，可以將函數(shù)y=3sin(2x+9的圖象()

O

TTTT

A.沿X軸向左平移!■個(gè)單位B.沿X軸向右平移∣?個(gè)單位

C.沿X軸向左平移￡個(gè)單位D.沿X軸向右平移J個(gè)單位

66

【答案】C

【解析】利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

【詳解】y=3sin(2x+—)=3cos(2x÷-)=3cos(2x)=3cos2(%),

66236

ππ

將函數(shù)y=3cos2（x-7）的圖象沿X軸向左平移二個(gè)單位，

即可得到函數(shù)y=3cos2x的圖象，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y=Asin（sx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

6.小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物

AB,高為15（4-l）m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M（8,M,。三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A,教堂頂C

的仰角分別是15。和60。,在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30。,則小明估算索菲亞教堂的高度為（）

A.20mB.30mC.20√3mD.30√3m

【答案】D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解.

正速一比XL√6-√2

【詳解】sin15o=sin(45o-30o)=sin45ocos30o-cos450sin30o=

2222

由題意知：NCAM=45。，ZAMC=105°,所以NACM=30。,

15(√3-1)

在RtZkABM中，AM=———=~Γ一萬(wàn)"=30√∑,

SinXAMB/-理

4

CM

在AACM中，由正弦定理得

SinZACMSinZCAM

AMsinZCAM30√2×^

所以CM-------------------=-----------=60,

sinZACM----------?

2

在Rt?DCM中，Co=CMSinNAMo=60xT=30G

故選：D.

7.已知向量〃，人滿足卜|=2,/?=（1,1）,∣^+?∣=7io,則向量〃在向量〃上的投影向量的坐標(biāo)為（）

A?母爭(zhēng)B?(1,1)c?(-?--?)d?f^τ^τ

【答案】B

【分析】根據(jù)k+q=M及相關(guān)公式求出“?6=2,再根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】由萬(wàn)=(1,1),得W=JI+1=忘,貝4H+?∣=Jq-+2”.∕>+ZΓ=Ji6,

即4+2+24∕=10,則“功=2，

,a?b.b,..

所以向量α在向量。上的投影向量的坐標(biāo)為(M)M=6=(覃).

故選：B.

8.一ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,J已知.ABC的面積S=*,設(shè)力

是BC邊的中點(diǎn)，若S=JL則A8?(04+QB)等于().

A.2B.4C.-4D.-2

【答案】A

【分析】由面積公式及余弦定理求出A,即可得到CA與AS的夾角為W，再由面積公式求出

hβ∣?∣c4∣=4.最后由數(shù)量積的定義計(jì)算可得.

【詳解】由S=*?(∕-02)=g%csinA,又a?=〃2+C2-2ACCOSA,

所以#?x(-26CCOSA)=g∕>csinA,所以tanA=->∕J,又4w(0,π),所以A=與，

所以CA與AB的夾角為T(mén)，

由面積公式5=},8卜|4(7卜$萬(wàn)4=石，

解得IABHAq=4,BP∣Λ5∣?∣C4∣=4,

因?yàn)?。是BC邊的中點(diǎn)，所以08=8，

所以AB?(θ4+OB)=A8?(CZ)+DA)=A8?C4

=∣ΛB∣?∣CA∣cos^ΛB,C4^=4×cos?^=4×-^=2.

故選：A.

二、多選題

9.邊長(zhǎng)為2的等邊,ABC中，。為BC的中點(diǎn).下列正確的是()

A.AB+CA+BC-0

B.AB-AC=BC

C.ABHC=-I

D.AD=-AB+-AC

22

【答案】ACD

【分析】由向量加減法法則，可以判斷選項(xiàng)ABD,再由向量數(shù)量積公式可判斷C.

【詳解】根據(jù)向量加法法則可知，AB+CA+BC=CB+BC=O<故A正確；

根據(jù)向量減法法則可得A3-AC=AB+C4=CB，故B錯(cuò)誤：

由向量數(shù)量積公式得AB?8C=∣A8H8C∣COS120=-2,故C正確；

根據(jù)向量加法法則可知，AD=^-AB+^-AC,所以D正確.

22

故選：ACD.

10.一ΛBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,c,則下列說(shuō)法正確的是（）.

A.SinA>sinB是4>6的充要條件

B.若A=30°,b=4,α=3,則ABC有兩解

C.若一ABC為鈍角三角形（C為鈍角），則〃+片>02

D.若ABC為斜三角形（若一個(gè)三角形不包含直角，則稱此三角形是斜三角形），則

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

【答案】ABD

【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理、三角恒等變換的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若/>B,則由正弦定理可得SinA>sinB,

若SinA>sin8,則α>b,所以/>B,

所以SinA>sinB是/>6的充要條件，故A選項(xiàng)正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，5sinA=4sin30=2，則匕SinACa<力，如圖:

所以一ABC有兩解，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，若ABC為鈍角三角形且C為鈍角，貝IJCOSC=竺也二二<0,

2ab

可得儲(chǔ)+6VC2,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

tanB+tanC

對(duì)于D,因?yàn)閠an(8+C)=

1-tanBtanC

所以tan8+tanC=tan(β+C)(l-tanBtanC)

因?yàn)?211(6+。)=1011(兀-4)=_1^11/1,

所以tan3+tanC=tan(B+C)(l-tanBtanC)=tanAtan〃tanC-tanA,

所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,所以D正確.

故選：ABD.

11.設(shè)點(diǎn)〃是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若AM=2A8—AC，則點(diǎn)M在線段BC上

B.^AM=^AB+-AC,則點(diǎn)M是一ABC的重心

/、

?βAC

C.若。M=OA+∕lf≡τ+r-?(Λ∈R),則點(diǎn)M的軌跡必過(guò)JWC的內(nèi)心

〔網(wǎng)IAClr

D.^AM=xAB+yAC,且x+y=/,則一MBC的面積是XfiC面積的，

【答案】BCD

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的線性運(yùn)算以及三角形重心的定義

可判斷B選項(xiàng)；利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及平面向量的線性運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量的線

性運(yùn)算以及三角形面積的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)锳M=2AB-AC，則AM-AB=AB-AC，可得BM=CB，

所以，點(diǎn)M在射線C8上，且點(diǎn)B為線段CN的中點(diǎn)，A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)O為線段8C的中點(diǎn)，

則AO=A8+BD=AB+^BC=AB+g(AC-A8)=gA8+gAC,

因?yàn)锳M=-AB+-AC=-(-AB+-Ac]=-AD,

333122J3

此時(shí)點(diǎn)M為-ABC重心，B對(duì)；

AftAΓ

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?。M=O4+41~∣+∣~I(ZeR)1

ABAC

則OM—OA=AM—λ----r÷----r(Λ∈R),

〔網(wǎng)KU

Ql

H

UUlU

ABAC

因?yàn)楱O∑q`Kq分別是與A，、”,方向相同的單位向量’

.AByAC

λγΛF

記住AE=E，=Γ77∣*以A石、A尸為鄰邊作平行四邊形AEQ尸，

?AB?IΛCI

ABAC“八

則四邊形AEQF為菱形，則AQ平分/BAC,且網(wǎng)+同=AQ,

/、

ARAΓy

g[JOM-OA=AM=λ-+-^=λAQ（λeR}

〔I朋rr∣ACτ∣Jf

此時(shí)，點(diǎn)M的軌跡必過(guò),ΛBC的內(nèi)心，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)锳M=XAB+）∕C,且x+y=/，

所以24M=2x4B+2y4C,且2x+2y=l,

設(shè)AN=2AM，則/W=2xAB+2yAC=2xAB+(l-2x)AC,

即AN-AC=2x(AB-AC),即CN=2xCB,所以，N、B、C三點(diǎn)共線,

又因?yàn)锳N=2AM,所以〃為AN的中點(diǎn)，如圖所示：

所以S^MBC=2SAABC,故D正確.

故選：BCD.

12.在.ABC中，記角A8,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,AB-AC=2,a=2,則()

A.bccosA=1

B.?2+C2=8

C.內(nèi)角A的最大值為2

D.一ASC面積的最小值為√J

【答案】BC

【分析】先由向量的數(shù)量積公式計(jì)算判斷A選項(xiàng)，再結(jié)合余弦定理公式計(jì)算判斷B選項(xiàng)，再結(jié)合基

本不等式和余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C選項(xiàng)，最后利用面積公式結(jié)合he的范圍判斷D選項(xiàng).

【詳解】AB-AC=becosA=2＞故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)镃oSA=N="+＞一/，所以從+。2=/+4=8,故B選項(xiàng)正確；

be2bc

因?yàn)閎c?≤QjC=4,所以CoSA=/a；=:，所以A≤?J,故C選項(xiàng)正確；

2be423

因?yàn)闅v≤4,所以S.C=JbcsinA=g?√1-cos?A=gJ(bc)?一4≤如,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題

13.已知向量4=(1,-2),?=(-l,Λ).若〈”，〃》〈?)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

【答案】1-g,22(2,+∞)

【分析】已知伍力〉€(5，萬(wàn))，則它們數(shù)量積小于0且兩向量不為相反向量，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)

運(yùn)算，共線向量的坐標(biāo)表示，即可求出實(shí)數(shù)，的取值范圍.

【詳解】解：已知S，力《會(huì)》)，則它們數(shù)量積小于0且兩向量不為相反向量，

所以q?6=(l,-2)?(-l,∕l)=-2＞l_l＜0n∕l＞-L,

2

若為相反向量，則兩向量共線，有［=?=/1=2,

-1A

.?λ≠2,

所以實(shí)數(shù)2的取值范圍是彳＞-；且2x2.

故答案為：［-；,2卜(2收).

14.一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔3在A的北偏東75。，距離12#海里，燈塔C在A的北偏西30。,

距離為12道海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到Z)處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60°方向，則

cosZCDA=?

【答案】?/o.?

2

【分析】在△"￡＞中，利用正弦定理求出AD,在3AC/)中，先利用余弦定理求出CD,再利用余弦

定理即可得解.

【詳解】如圖，在aABD中，ZBAD=75o,ZADB=60o,AB=12√6,

則B=180。-75。-60。=45。，

.?..12?^6X—-

E、LABADrLL2S2”

因?yàn)?-------=-----,所以AQ=--------=-----=24,

SinZADBsinBBi

~2

在工48中，ZCAD=30o,AC=12√3,AD=24,

則CD2=2+AC.ADcosZCAD=144,所以8=12,

ACAD2_2

CD1^AD--AC2?

則COS/CZM=

2CDAD2

故答案為：?.

15.己知名,G是兩個(gè)不共線的向量，，8=(tan6)e∣+2e2,若Q與b共線，則sin26=,

4

【答案】-二/4-8

【分析】利用向量共線求出tan。，再利用二倍角的正弦公式結(jié)合齊次式法求值作答.

【詳解】依題意，由〃與》共線，得b=44,2∈R,而α=e∣-/,6=(tan8)e∣+2/,

于是(ta∩6)q+2?≈λ(el-e2)fKP(tanθ-λ)eλ+(Λ+2)e2=0,又e∣,4不共線，

?tanθ-λ=0

因此、?八，解得tan6=-2,

[2÷2=0

LL1.re2sin0cos02tan02×(-2)4

所以sm26>=-----------=------=—V-1=一一.

sin"^+cos^θtan,^^+1(-2)~+15

4

故答案為：-W

16.在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊〃也C滿足/一方2=秘，若CoS(C-8)+；ICoSA存在

最大值，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

【答案】0<∕l<2

【分析】先利用余弦定理結(jié)合/一/=兒可得。一》COSA=R再利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合三

角形內(nèi)角和定理?，求出AB的關(guān)系，從而可將CA都用B表示，再根據(jù)三角形為銳角三角形求出5的

范圍，再根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】由余弦定理可得々2=。2+02一480朗=加+α，則C-2Z?COsA=

由正弦定理可得SinB=sinC-2sinβCosA=sin(A+B)-2cosAsinB

=SinAcosB+COSASin6-2cosAsinB=SinAcosB-CosAsinB=Sin(A-B),

因?yàn)棣獴C為銳角三角形，則O<A<='i∣,O<B<'Jkg,所以—TWV<A—8<g'Ji,

2222

又因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx在卜

內(nèi)單調(diào)遞增，所以A—3=8,可得A=28,

兀(兀

0<A<-0<2B<-

22

0<B<-,即∣0<8<四,解得?<B<巴，

由于-ABC為銳角三角形，則W

2264

ππ

0<C<-0<π-3B<-

22

貝IJcos(C-B)+AcosA=cos(π-4β)÷ΛCoS28=Λcos2B-CoS48

=-2COS22B+2cos2B+1，

17ΓTTTTTT

因?yàn)橐?lt;5<—，所以一<23<一,則0<cos23<—,

64322

因?yàn)?2CoS228+20<?23+1存在最大值，則0<與<1，解得0<∕l<2.

42

故答案為：0<Λ<2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用余弦定理和正弦定理結(jié)合已知條件求得A=28.

四、解答題

17.已知向量°,。滿足IaI=I,巾I=&,且α,b的夾角為45。.

⑴若(2a+3∕7),(a-助，求實(shí)數(shù)Z的值；

⑵求a+6與的夾角的余弦值.

【答案】(1火=￡;

O

Q)-冬

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示，列式計(jì)算作答.

(2)根據(jù)給定條件，利用向量夾角的計(jì)算公式計(jì)算作答.

【詳解】Q)因Ial=I,山=√∑,α與6的夾角為45。，則a?6=∣α∣M∣cos45=1,又(24+36),(α-她)，

則(2α+36)?(4—)lb)=2∕+(3-2Qα?6-3左/=2+(3—2幻一6后=0，解得斤=:，

O

所以實(shí)數(shù)%的值是1

O

(2)由(1)知，?a+b?=J(a+b)2=+2a?b+b=>∕5??cι-b?=J(a-b)?=Ja?-2a?b+b=1，

.2.2.,X(a+b)?(a—b)y/5

(a+h)?a-b)=a-h=-1,因此，cos(a+b,a-b)=------——=——,

?a+b??a-h?5

所以a+/,與”萬(wàn)的夾角的余弦值一好.

5

18.在條件：①“cosC+J5asinC-力-c=0,0(c-?)^=a2-be,③"i=(α,J5i?),〃=(COSASinB)且

mlIn，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中：

ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是“、b、c.若匕=2,c=J7,.

⑴求A；

(2)求_A3C的面積.

(注意：選擇多個(gè)條件時(shí)，按你第一個(gè)選擇結(jié)果給分.)

【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，A=T

【分析】（1）選擇條件①：由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得出2sin（A-eJ=l,求出A-器的取

值范圍，即可得出A的值；

選擇條件②：利用余弦定理求出CoSA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值；

選擇條件③：利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得tanA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值;

（2）利用三角形的面積公式可求得jBC的面積.

【詳解】⑴解：選擇條件①：由正弦定理知，?b二C

sinBSinC

QtzcosC+y∣3as?nC-b-c=O,:.SinAcosC+>∕3sinAsinC-SinB-SinC=0,

si∏β=sin(A÷C)=SinAcosC+CosAsinC,

.?.SinAcosC+V?inΛsinC-sinC=SinAcosC+CosAsinC,

化簡(jiǎn)得GSinASinC-SinC=COSASinC,

C∈(0,π),則SinC>0,,√5sinΛ-l=cosA,

即VJsinA-cosA=2sin(A一煮)=1,

A∈(θ,π),則一g<A-Z<學(xué)，則A-g=g即A=?；

666663

選擇條件②：(C-Z?)2="一。C,.?.Z?2+c2-CT=hc^

由余弦定理知CoSA="+i一"=生=L,A∈(0,π),.?.A=5;

選擇條件③：Q機(jī)=(4,蠹)，〃=(CoSASinB),且；v/3，；.αsinB=舟OCS4,

由正弦定理知，=b,則SinASin8=V5sinBcosA,

SinASinB

A、B∈(O,π),貝IJSinB>0,SinA=GCOSA>0,則tanΛ=Sinr=6,故A=1.

CoSA3

(2)解：由三角形的面積公式可得SC=；bcsinA=；x2x=.

故.ABC的面積為巨.

2

19.一ABC中，a、b、。分別為角A、B、C的對(duì)邊，m=(GCoSACoSA-1),∏=(sinAcosA÷l),

Fl.mJ.n-

(1)求A；

(2)若α=√7,b+2c=l,求一ABC的面積.

【答案】(1)(2)氈或延.

324

【解析】(1)本題首先可根據(jù)機(jī)，〃得出道CoSASinA+cos?A-1=0,然后通過(guò)三角恒等變換得出

sin^2A+^=∣,最后根據(jù)4w(0,π)得出A=?

(2)本題首先可根據(jù)余弦定理得出從+c2-bc=7,然后與6+2c?=7聯(lián)立求出分、C的值，最后根據(jù)

解三角形面積公式即可得出結(jié)果.

【詳解】(?)因?yàn)闄C(jī)_1_〃，所以〃2?〃=O,

因?yàn)閙=［歷cosA9cosA-1),〃=(SinAcosΛ+l),

所以6cos4sinA+cos?A-I=O,

即-^sin2A+，CoS2A-，=Sinl2/4+火］-，=0,sin∣2A÷-^?j??,

222I6)2I6；2

因?yàn)锳e((),τr),所以2A+/π13π

66

故2A+￡=U，解得A=g.

OO?

(2)因?yàn)锳=?^?,Cl=幣,

2222

所以a?=?+c-2bccosA=b+c-be=7,

b2+c2-bc=l工或b=?

聯(lián)立H2c=7，解得

c=3'

當(dāng)『一：時(shí)，ΛBC的面積S=LhCSinA=1χ3x2x立=延；

[c=22222

當(dāng)Ir時(shí)，_ASC的面積S=IbCSin4=1χlx3x@=,

[c=32224

故JIBC的面積為也或也.

24

【點(diǎn)睛】本題考查解三角形相關(guān)問(wèn)題的求解，考查通過(guò)三角恒等變換求角的大小，考查二倍角公式

和兩角和的正弦公式，考查余弦公式以及解三角形面積公式的應(yīng)用，若兩個(gè)向量互相垂直，則這兩

個(gè)向量的數(shù)量積為0,考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是中檔題.

20.ABC的內(nèi)角48,。的對(duì)邊分別為〃,6,。，CBCA=隊(duì)之0-。）.

2

⑴求A；

（2）若cvh,b+c=?∣2a，求SinC?

【答案】（I）A=Il

（2）回電

【分析】（1）由題知2Λ=c+2πCoSC,再根據(jù)正弦定理邊角互化并整理得cosA=g,進(jìn)而得答案；

（2）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換得Sin[C+鄉(xiāng)]=變，進(jìn)而結(jié)合已知條件得C==,

L6）212

再求解正弦值即可.

【詳解】（1）解：因?yàn)镃B?C4=也;?,

2

所以ɑ/?COSC=幺?2——,B∣J2b=c+2acosC,

2

所以，正弦定理可得2sin3=sinC+2sinAcosC,

所以SinC=2cosAsinC，

因?yàn)镃∈(0,乃)，sinC≠0.

所以COSA=

2

因?yàn)锳∈(0,τ),

所以A=?.

(2)解：因?yàn)椤?c=>fia，

所以，由正弦定理得sin3+sinC=J∑sinA?

又因?yàn)閟in3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=y,

所以在COSC+'sinC+sinC=—,

222

整理可得3sinC+正COSC=^-,即3sinC+^^cosC=??∕5sin(c1+q=?^,

22222I6j2

所以Sin(C+總=#，

因?yàn)锳=?,Ce(O,會(huì)),C+^?e

所以C+工=工或C+工=四，即C=工或C=K,

64641212

因?yàn)閏<b,

所以C=?sinC=sin

21.在近年，中國(guó)采用“吹沙填?！钡姆绞?，成功將部分小島礁連成一片?，可以進(jìn)而形成一個(gè)大島礁.已

知南海上存在A、F、E、。四個(gè)小島礁，它們?cè)谝粭l直線上且滿足AE=FE=ED,若通過(guò)“吹沙

填海''的方式建成了如圖所示一個(gè)矩形區(qū)域A8CE＞的大島礁，其中AO=2A8=120米.

AB

(I)P為線段BC上一點(diǎn)，求尸必+尸產(chǎn)最小值；

(2)P為線段BC上一點(diǎn)，求COSDEPF的最小值;

(3)因特殊原因，劃定以A圓心，AB為半徑的!圓的區(qū)域?yàn)椤案綦x區(qū)”，擬建造一條道路MN,使MN

4

與該“隔離區(qū)”的邊界相切，求四邊形CDVM面積的最大值.

【答案】⑴8000

(2)?

(3)7200-1800√3

【分析】(1)取EF中點(diǎn)G,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量求模即可；

(2)根據(jù)余弦定理及第一問(wèn)的結(jié)果可以求解；

(3)由于都是圓4的切線，連接AM,利用NM4B=。以及切線之間的幾何關(guān)系，再利用面

積公式求解即可.

【詳解】(D)取EF中點(diǎn)G,

mm?UUurr∕ILIrIUl?2UUlΓIWI2iur?ILRI?I

22zxur2

PE+PF=PE+PF^=(PG+GE)+(PG-GE)=2PG+2GE=2PG^+8∞≥2×60+8∞=80∞

當(dāng)且僅當(dāng)尸點(diǎn)位于BC中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，JPE1+PF-最小值為8000：

(2)由余弦定理得,

,『CLPE2+PF2-EF2PE2+PF2-EF2,EF2,16004

cosNEPF=---------------≥------；-----；=1----、------≥1-----=—,

2-PE-PFPE2+PF2PE2+PF280005

4

當(dāng)且僅當(dāng)PE=PF,即P點(diǎn)立位于BC中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，CoSDEP尸的最小值為M；

(3)

設(shè)MN與L圓切于點(diǎn)Q,連接AQ,AM,設(shè)NQAM=NM4B=6,8e]θ,f

4I4

則M3=60tan/NQ=品'?==I8OOtan^SML磊

.,.CDNM的面積

Sciwv=7200-I3600tan6>+|

8NMItan20J

=7200-1800Utane+―'—∣≤7200-?800×2,/-≈7200-1800√3,

(22tan^J

當(dāng)且僅當(dāng)tan。=3，P=J時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立，

36

四邊形CCNM的最大值為：7200-1800√3；

綜上，PE2+PF2最小值為8000,CoSDEP尸的最小值為之,四邊形CDNM的最大值為：7200-1800√3.

22.已知向量加=(Sin2x,cos2x),”=(#，)，函數(shù)f(x)="?/

⑴求函數(shù)/(x)的解析式和對(duì)稱軸方程；

(2)若α,h,C分別為JLBC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，/(A)=1,b=2,a&?,j,試判斷這個(gè)

三角形解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

⑶若X∈-J,與時(shí),