2隨機變量與概率分布

數(shù)學與統(tǒng)計學院赫孝良理科樓-310Email:hexl@概率論與數(shù)理統(tǒng)計§1.一維隨機變量第二章隨機變量與概率分布前面引入了隨機試驗、樣本空間，隨機事件的概率等如：擲硬幣、袋中取球、等待報時的時間；如何很好地認識、識別各種隨機試驗？隨機試驗各種各樣：投骰子、

透過隨機試驗表面現(xiàn)象，抓住其數(shù)量本質(zhì)，給出一個恰當?shù)拿枋?。將微積分中的變量推廣來描述隨機試驗。1

隨機變量與分布函數(shù)“把試驗結(jié)果數(shù)量化”產(chǎn)品檢驗中的“正品”、“次品”，取球模型中的“紅球”、“白球”都可以用此變量描述。例1.擲一枚勻稱的硬幣，觀察正面、反面的出現(xiàn)情況。這一試驗的所有可能結(jié)果Ω={H，T}，其中H

表示“正面朝上”，T

表示“背面朝上”。

引入變量X，描述試驗的兩個結(jié)果:定義1隨機變量的分析隨機變量是樣本點的描述，它具有下述特點：設E

為一隨機試驗，Ω

為E

的樣本空間，若X=X(ω)，ω∈Ω為單值實函數(shù)，且對于任意實數(shù)x，集合{ω|X(ω)≤x}都是隨機事件，則稱X

為隨機變量（randomvariable)?？s寫為

r.v.。1）“變量”性質(zhì)：可以取不同的值。

（與確定性變量相同）2）“隨機”性質(zhì)：集合{ω|X(ω)≤x}都是隨機事件。

（與確定性變量不同）

在不必強調(diào)ω時，通常省去ω，簡記X(ω)

為X，

將集合{ω|X(ω)≤x}簡記為{X≤x}。

設AΩ為隨機事件，令可見對都是事件,故為隨機變量?！疉的示性函數(shù)例2隨機變量可以描述試驗

的各種隨機事件E1:西安市區(qū)冬天的氣溫,樣本空間為：則X為隨機變量令隨機事件:氣溫高于零度氣溫在3至8度之間氣溫不高于5度E2：某網(wǎng)站1分鐘的點擊量,樣本空間為:,則X為隨機變量令隨機事件:點擊量不低于50次點擊量在80至90次之間點擊量不高于15次隨機變量概念的產(chǎn)生在概率論發(fā)展史上有重要意義。有了隨機變量，可借助微積分等近現(xiàn)代數(shù)學工具來研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。稱F(x)為X的分布函數(shù)（distributionfunction）。定義2.2設X為隨機變量，記隨機事件可由隨機變量描述,求隨機事件的概率也可以通過隨機變量來得到.由F(x)可計算X落在任意區(qū)間(

a,b]的概率。分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間的概率.分布函數(shù)的性質(zhì)(1)F(x)是單調(diào)增(不減)函數(shù)，即(2)且(3)F(x)

右連續(xù)，即

(1)當x2>x1時，證:F(x2)-F(x1)=P{x1<X≤x2}≥0.

(2)因F(x)=P{X≤x}，由概率的性質(zhì)，

0≤P{X≤x}≤1

,故0≤F(x)≤1，x∈(-∞，+∞).利用概率的連續(xù)性設A1,A2,…,An,…是事件列，若則有記則故同樣得(3)概率的單調(diào)性概率的連續(xù)性反之,如果一個函數(shù)滿足上述三條性質(zhì)，那么它必定是某個隨機變量的分布函數(shù)。

證畢隨機變量的分類離散型隨機變量非離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量奇異型隨機變量隨機變量隨機變量可能的取值是有限多個或無限可列個隨機變量可能的取值是某個區(qū)間2離散型隨機變量

定義3設隨機變量X的所有可能值為{x1，x2，…}，（有限或無限）

則稱X為離散隨機變量，而

pi=P{X=xi}(i=1，2，…)

稱為X的分布律，或概率函數(shù)。Xx1

x2

…

xn

…

pip1

p2

…

pn

…

也記為:或分布律的性質(zhì)(1)pi≥0(i=1，2，…)；(2)證:(2){X=xi}(i=1，2，…)構(gòu)成互斥完備事件組故證畢隨機變量X的分布律 pi

=P{X=xi}(i=1，2，…)，指出了全部概率1

在其可能值集合{x1，x2，…}上的分布情況，故也稱其為X

的概率分布。x幾何表示x1x2…xn…由X

的分布律可容易地求得它的分布函數(shù)例3某射擊運動員射中十環(huán)的概率是0.8，求他兩次

獨立射擊射中十環(huán)次數(shù)X的分布率與分布函數(shù).解：X可取值為0,1,2;

P{X=0}=(0.2)(0.2)=0.04

P{X=1}=2(0.8)(0.2)=0.32

P{X=2}=(0.8)(0.8)=0.64X0

1

2pi0.04

0.320.64X的分布率為當x<0時,當0≤x<1時,當1≤x<2時,當

x≥2時,故X的分布函數(shù)為xy0120.3610.04問題:

已知離散型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)，如何確定X的分布律？典型離散型隨機變量及其概率分布1）單點分布若隨機變量X僅取一個值,

X=a，P{X=a}=1，則稱X服從單點分布，記為單點分布又稱為退化分布。2）兩點分布若隨機變量X的分布律為

P{X=a0}=1-p，P{X=a1}=p，其中

0<p<1為參數(shù)，則稱

X服從兩點分布，記為特別當a0=0，a1=1時，稱X服從0-1

分布，記為

X~B(1，p)，或

如：擲硬幣的正、反兩面；產(chǎn)品檢驗中的“正品”、“次品”；取球模型中的“紅球”、“白球”；新生嬰兒是男還是女；種籽是否發(fā)芽等。

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,都可用兩點分布表示.3）二項分布貝努利概型

在一次試驗E中只考慮兩個互逆的結(jié)果：A

或，稱為貝努利試驗

.

將伯努利試驗E獨立地重復地進行n次,則稱這一串重復的獨立試驗為n重貝努利試驗.

用X表示n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的所有可能取值為 0，1，2，…，n.設P(A)=p，求X的分布律。記Ai={第k次試驗A發(fā)生},（i=1，2，…，n）則由n重伯努利試驗的定義，可知A1，A2，…，An

相互獨立，并且P(Ai)=p，(i=1，2，…，n)，故顯然，pk

>0，k=0,1,…,n記又由二項式定理知所以{pk,k=0,1,2,…,n}是概率分布。若隨機變量X的分布律為其中0<p<1，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記作X~B(n，p)。例4

一汽車沿一街道行駛，需要通過五個設有紅綠信號燈的路口，各路口信號燈為紅或綠相互獨立，

且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.2)求汽車行駛途中至多遇到1次紅燈的概率.

把一個路口的信號燈看作一次試驗,

“遇到紅燈”

作為事件A解:1)由題意,X~B(5,0.5),于是,X的分布律為:設有100臺機床,各臺工作是相互獨立的,且

發(fā)生故障的概率都是0.01。設一臺設備的故障能由一個人處理.1）若配備2名維修工人，機床發(fā)生故障時不能及時維修的概率是多少？2）若配備4名維修工人，機床發(fā)生故障時不能及時維修的概率又是多少？以X表示任一時刻同時發(fā)生故障的機床臺數(shù)，則例5解:1）所求概率為2）所求概率為計算太繁！

設隨機變量Xn~B(n,pn),n=1,2,…,并且滿足則泊松定理:

令

npn

=λn，則

pn

=λn／n

證:對任意固定的k(0≤k≤n)，當n→∞時，有故得證畢因此，當n很大（n≥10）且p較?。╬≤0.1）時，有以下的泊松近似公式其中λ=np.n=100（較大），p=0.01（較小）可利用泊松近似公式。

λ=100×0.01=1，則配備2名維修工人，不能及時維修的概率是配備4名維修工人，不能及時維修的概率是例5（續(xù)）：若隨機變量X的分布律為其中λ

>0為常數(shù)，則稱X

服從參數(shù)為λ的泊松分布，簡記為X~P(λ)。4)泊松分布因為所以{}確實是概率分布。泊松分布與二項分布的比較泊松分布的應用

二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.

后來，人們發(fā)現(xiàn)很多現(xiàn)象都服從泊松分布，例如：

地震；火山爆發(fā)；特大洪水；商場的顧客數(shù)；醫(yī)院急診病人數(shù)；交換臺的電話呼喚次數(shù)；某地發(fā)生的交通事故的次數(shù)；

一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；等 某商店過去的銷售記錄表明，某一種商品每月的銷售件數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述。為了以99.9%以上的把握保證不脫銷，問該商店在每月初至少應進多少件這種商品（假定上個月無存貨）？例6解:由條件X~P(5)，而設該店每月銷售這種商品X件，月初應進貨N件，當{X≤N}時，才不會脫銷。欲使P{X≤N}>0.999，即查附表2，得N+1=14，故N=13。2連續(xù)型隨機變量

定義4

設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),若存在非負可積函數(shù)f(x),(-

<x<+

)，使對任意實數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機變量，并稱f(x)為X的概率密度.分布函數(shù)與概率密度的幾何表示f(t)OtF(x)x概率密度的性質(zhì)常用這兩條性質(zhì)研判一個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機變量的概率密度(4)若f(x)在x點處連續(xù)，則有(3)對于任意實數(shù)a、b，且a<b，有

性質(zhì)(3)的幾何意義f(t)OtP{a<X<b}ab性質(zhì)(4)的概率意義單位長度上分布著的概率概率密度還可得1).連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)F(x)必為連續(xù)函數(shù)幾點說明：事實上2).連續(xù)型隨機變量X取任一實數(shù)的概率為0，即

P{X=x}=0事實上故令Δx→0+

，由F(x)的連續(xù)性，得

P{X=x}=0

3)概率為0的事件未必是不可能事件。

概率為1的事件未必是必然事件。由此可以得到如下結(jié)論：4)對連續(xù)型隨機變量X,有例7

設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

1）確定常數(shù)a，b2)求X的概率密度解:1)因為X是連續(xù)型隨機變量,故F(x)連續(xù)故a=0，b=1/1002)故典型連續(xù)型隨機變量及其分布1）

均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X

～U(a,b)若r.v.X的概率密度為：記作其中a、b為常數(shù)并且-∞<a<b<+∞，xyab易見均勻分布的分布函數(shù)為:F(x)ab1xy即X落入(a,b)內(nèi)任何長為l的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān)，只與其長度成正比。分布的“均勻性”是指：若，則公共汽車站乘客的候車時間；均勻分布常見于下列情形：數(shù)值計算中，四舍五入產(chǎn)生的誤差；正弦波的隨機相位；

例8

某公共汽車站從早上6:30起，每15分鐘來一班

車。某乘客在7:00到7:30之間隨機地到達此車

站,試求他候車時間超過10分鐘的概率.解:依題意，

X

～U(0,30)

以7:00為起點0，以分為單位X—乘客到達此車站的時間A={候車時間超過10分鐘}記則有所以

2)正態(tài)分布若連續(xù)型r.v.

X的概率密度為其中

為實數(shù)，

>0，則稱X服從參數(shù)為

,

2的正態(tài)分布(高斯分布),記為X～N(

,2)。顯然令

x=ρcosφ，y=ρsinφ，得D:第一象限D(zhuǎn):0≤φ≤π/2,0≤ρ≤+∞(1)單峰對稱

密度曲線關(guān)于直線x=

對稱；

正態(tài)分布的兩個特點：f(x)ox參數(shù)

決定了圖形的中心位置(2)概率分布的集中度

越大，密度曲線越平坦，越小，密度曲線越陡峻。

=2ox

=1

=0.50.20.40.8參數(shù)σ

決定了圖形中峰的陡峭程度.

標準正態(tài)分布

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布,

記作X~N(0,1)。f(x)ox0.4標準正態(tài)分布的概率密度、分布函數(shù)分別用符號φ(x)、Φ(x)表示，即標準正態(tài)分布的性質(zhì)證：若X～N(,2)，則

且任意一個正態(tài)分布都可以通過線性變換化為標準正態(tài)分布。(2)命題證畢

書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，可以方便地查詢Φ(x)的數(shù)值。正態(tài)分布表當x<0

時,表中給的是x≥0時,Φ(x)的值.f(x)ox0.4x-x 公共汽車門的高度是按男子與車門頂碰

頭的機會在1%以下來設計的，設男子身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布N(170，62)，

試確定車門的高度。例9設車門的高度為h(cm)。解依題意有即因為X~N(170，62)，所以從而查標準正態(tài)分布表，得

Φ(2.33)=0.9901>0.99,

故車門的設計高度至少應為184cm，方可保證男子與車門碰頭的概率在0.01以下。由得10一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時）服從正態(tài)分布Ｎ(1000,802),某儀器上裝有3個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的.求使用950小時內(nèi)無一元件損壞的概率.例解:因為X～N(1000,802)故任一元件950小時內(nèi)不損壞的概率為設Y為使用950小時內(nèi)不損壞的元件數(shù),故則由獨立性條件，有Y～B(3,p)例10設

X~N(

,

2),求解

X的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi)3

原理（準則）

在一次試驗中，正態(tài)變量X取值于區(qū)間(

-3

,

+3

)內(nèi)的概率為0.9974，因而超出此區(qū)間概率很小。如在質(zhì)量監(jiān)控中，常用標準指標值±3

作兩條線，當生產(chǎn)過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。正態(tài)分布的應用

正態(tài)分布是應用最為廣泛的分布，它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。各種測量的誤差；人體的高度；學生的考試成績；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強度；電流強度；3)指數(shù)分布若r.vX具有概率密度其中

>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為

>0的指數(shù)分布。記作X~Exp(

)0yxy=f(x)顯然指數(shù)分布的分布函數(shù)為0yxy=F(x)設某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為

=1/15