第5講極值點偏移問題講義-高三數(shù)學一輪復習

高三數(shù)學第五講極值點偏移問題極值點偏移問題,是指對于單極值函數(shù),由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同,使得函數(shù)圖像沒有對稱性.已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù),在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點,且,若極值點左右的“增減速度”相同,常常有極值點,我們稱這種狀態(tài)為極值點不偏移（如二次函數(shù)）；若極值點左右的“增減速度”不同,函數(shù)的圖象不具有對稱性,常常有極值點的情況,我們稱這種狀態(tài)為“極值點偏移”.極值點偏左：，處切線與x軸不平行；若上凸(遞減)，則，若下凸(遞增)，則。極值點偏右：，處切線與x軸不平行；若上凸(遞減)，則，若下凸(遞增)，則.解題方法及步驟：對稱化構(gòu)造：若是函數(shù)的兩個零點,而是函數(shù)的極值點,證明（或）,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解的步驟是：設(shè)，構(gòu)建函數(shù);判斷函數(shù)的單調(diào)性;證明（或）即（或）;四、由函數(shù)的單調(diào)性證（或）.對數(shù)平均不等式求解的步驟是：一、通過等式兩邊同取自然對數(shù)或相減等配湊出,二、通過等式兩邊同除以構(gòu)建對數(shù)平均數(shù),三、利用對數(shù)平均不等式將轉(zhuǎn)化為后再證明（或）.例1.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)如果，且，證明．消參減元例2.已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2，求證：x1·x2>e2.例3.已知函數(shù)f(x)＝ln(ax)＋eq\f(1,2)ax2－2x，a>0.設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個極值點，且x1<x2，求證：x1＋x2>2.對稱變換例4.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)－lnx＋x－a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；(2)證明：若f(x)有兩個零點x1，x2，則x1x2<1.例5.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx.(1)求f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－a(a>2)的兩個零點為x1，x2，證明：x1＋x2>4.比(差)值換元例6.已知函數(shù)f(x)＝xlnx的圖象與直線y＝m交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2).求證：x1x2<eq\f(1,e2).例7.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)－meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))))的兩個零點為x1，x2，證明：lnx1＋lnx2>2.對數(shù)均值不等式例8.設(shè)函數(shù)其圖象與軸交于兩點,且.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：為函數(shù)的導函數(shù)）；例9.已知函數(shù)f(x)=lnx+2a(1)若a=2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有兩個不相等的零點x1，x2，證明：練習：1.關(guān)于函數(shù)，下列說法錯誤的是（

）A．是的極小值點B．函數(shù)有且只有個零點C．存在正實數(shù)，使得恒成立D．對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則2（多選）.已知函