新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊空間直線、平面的平行的基本概念 同步講義

24、空間直線、平面的平行的基本概念

【題型目錄】

題型一：直線與平面平行的基本概念

題型二：直線與平面平行的軌跡問題

【典型例題】

題型一：直線與平面平行的基本概念

【例1】直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內(nèi)的（）

A.一條直線不相交B.兩條直線不相交

C.任意一條直線都不相交D.無數(shù)條直線不相交

【答案】C

【分析】根據(jù)直線與平面平行的定義可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都沒交點(diǎn)，即都不

相交.

【例2】如圖，在長方體ABC。-AAGA中，M是棱ClA的中點(diǎn)，則（）

A.B∣C∕/平面ABMB.AA//平面BQM

C.BM//平面ACRD.BQ〃平面AMC

【答案】D

【分析】作出過點(diǎn)A，B,M的正方體的截面判斷A;作出過點(diǎn)BQM的正方體的截面判斷B；

作出過點(diǎn)A,C,Dt的正方體的截面判斷C；作出過點(diǎn)A,M,C的正方體的截面判斷D作答.

【詳解】在長方體ABcO-AqGA中，M是棱Ca的中點(diǎn),

對于A,取CG中點(diǎn)N,連接MN,BN,CD∣,如圖，

正方體ABC。一ABe。的對角面ABC"是矩形，AiBIIDiCIIMN,即BNU平面月內(nèi)時，

而BC與BN相交，則gC與平面A8M有公共點(diǎn)，A不正確：

對于B,取8?中點(diǎn)P,連接MP,百，如圖，

正方體ABCZ)-A冉GA的對角面8。。向是矩形，DB//DiBJ/MP,而其與門口用=用，

乂A牛。綜MP都在平面ABCQ內(nèi)，則A罔與例P相交，因此AM與平面股加有公共點(diǎn)，B

不正確；

對于C,取AB中點(diǎn)。，連接。衛(wèi)，如圖，

ABHA^//D1C1,AB=AiBt=D1C1,則BQ//D1M,BQ=DiM,四邊形BQAM是平行四邊形,

因此8M//。。，又RQc平面ACR=R,則BM與平面ACR相交，C不正確；

對于D,取AB中點(diǎn)Q,A片中點(diǎn)。，連接4。(。,用。,弓0,。。，如圖，

正方形4884中，QOMBBJICC、,QO=BB?=CC?,則四邊形CC0。是平行四邊形，有

CQIICp,

正方形AAGA中，A。"MG,A0=MG,即四邊形AMCQ是平行四邊形，有

AiM//C1O//CQ,

又CR11AiB?I/BQ,C?M=；4B[=BQ,四邊形GMQB是平行四邊形，則BCJ/MQ,

因MQU平面AMC,BGa平面AMC,BG〃平面AMC,D正確.

【例3】下列四個正方體圖形中，AB,M,N,P分別為正方體的頂點(diǎn)或其所在棱的中點(diǎn)，能得

出A3〃平面MVP的圖形是（）

【答案】A

【分析】由直線與平面的位置關(guān)系對選項(xiàng)逐一判斷

【詳解】對于A,由題意得MN//AC,NPHBC,而MPCNP=P,ACnBC=C,

MPU平面MNP,NPU平面MNP,ACU平面ABC,BCU平面ABC,

故平面MM>〃平面ABC,而ABU平面ΛBC,故AB〃平面MNP,故A正確，

對于B,取MP的中點(diǎn)。，底面中心。，則N故AB與NQ相交，故B錯誤,

對于C,MBHNP,故Be平面MNP,則ABC平面肱VP=8,故C錯誤,

對于D,作平行四邊形MNP。，則A3?,MQ相交，故D錯誤，

【例4】已知平面α,直線機(jī)，〃滿足/nuc,"uα,則“加〃””是“加〃ɑ”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若Wa，〃ua,m//n,由線面平行的判定定理知加〃。.若加〃α,meta,

〃ua,不一定推出加〃〃，直線加與〃可能異面，故"”是“加〃α”的充分不必要

條件.

【例5】下列命題：①一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，必與另外一個平面相交；

②如果一個平面平行于兩個平行平面中的一個平面，必平行于另一個平面；③夾在兩個平行

平面間的平行線段相等，其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.O

【答案】C

【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得：

對于①中，一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，則必與另外一個平面相交，所以是

正確的；

對于②中，如果一個平面平行于兩個平行平面中的一個平面，必平行于另一個平面，所以是

正確的；

對于③，若兩平面平行，則夾在兩個平行平面間的平行線段是相等的，所以是正確的.

【例6】平面α與平面夕平行的充分條件是（）

A.”內(nèi)有無窮多條直線都與夕平行

B.直線αuα,直線buβ,旦β,b"a

C.α內(nèi)的任何一條直線都與夕平行

D.直線a〃a,a〃夕，且直線。不在α內(nèi)，也不在夕內(nèi)

【答案】C

【分析】根據(jù)面面平行的判定來判斷即可.

【詳解】C選項(xiàng)是面面平行的定義，A,B,D中，平面α與平面夕相交時都有可能滿足.

【例7】下列命題中正確的是（）

A.如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行

B.平面ɑ內(nèi)有不共線的三個點(diǎn)A,B,C到平面夕的距離相等，則α〃夕

C.bPa,a//β,則b〃/?

D.aPa,ab,b<Za,則6Pc

【答案】D

【分析】根據(jù)線面平行的判斷和性質(zhì)理解辨析.

【詳解】對于A：若一條直線與一個平面平行，這條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但不

是任意一條，A錯誤；

對于B：由題意可得：α〃〃或α與夕相交，B錯誤；

對于C：根據(jù)題意可得：b〃B或buβ,C錯誤；

對于D：'JaPa,則使得αm,則α.m

?,.b//m

b<ta,mua

：.bPa,D正確；

【例8】下列能保證直線“與平面α平行的條件是（）

A.bua,ab

B.aaa,bua,ab

C.bua、4,Bea,C,D&b,且AC〃BZ）

D.bua,c∕/a,ab,aPc

【答案】B

【分析】由線面平行的判定定理可知ACD不滿足條件.

【詳解】A中，直線。可能在平面α內(nèi)，A錯誤；

B中，α<zα,bua,a”,根據(jù)線面平行的判定，可知αPα,B正確；

Cφ,AC//BD,若點(diǎn)AB在α內(nèi)，則直線α在平面α內(nèi)，C錯誤.

D中，直線?？赡茉谄矫姒羶?nèi)，D錯誤.

【題型專練】

1.如圖，在下列四個正方體中，A,3為正方體的兩個頂點(diǎn)，M,N,。為所在棱的中點(diǎn),

則在這四個正方體中，直線AS與平面MNQ不平行的是（）

A.B.

【答案】A

【解析】對于選項(xiàng)5,由于AB//MQ,結(jié)合線面平行判定定理可知5不滿足題意；對于選項(xiàng)

C,由于ABHMQ,結(jié)合線面平行判定定理可知C不滿足題意；對于選項(xiàng)D,由于AB//NQ,

結(jié)合線面平行判定定理可知O不滿足題意；所以選項(xiàng)A滿足題意.

2.下面四個選項(xiàng)中一定能得出平面ɑ//平面夕的是（）

A.存在一條直線α,alia,a!Iβ

B.存在一條直線”,αuα,a∕∕β

C.存在兩條平行直線mh,αuα,bu（3,allβ,blIa

D.存在兩條■異面直線α,b,αuα,bu/3,a/∕β,b/Ia

【答案】D

【詳解】如圖，ABS-Aq是長方體，平面A8C。為平面α,平面A88∣4為平面夕，

對于A,直線Cld為直線”,顯然“∕∕α,allβ,而α與夕相交，A不正確；

對于B,直線CO為直線”，顯然“uα,allβ,而α與夕相交，B不正確；

對于C,宜線CZ）為直線直線AiB為直線b,顯然αuα,buβ,allβ,b!Ia,而α

與尸相交，C不正確：

對于D,因“，〃是異面直線，且“uα,bug過直線”作平面7β=c,如圖，

貝∣Jc%,并且直線C與6必相交，而Ca于是得c∕∕ɑ,又6∕∕ɑ,即尸內(nèi)有兩條相交直線

都平行于平面α,因此，平面α〃平面夕.

39、b、/是直線，ɑ是平面，則下列說法正確的是（）

A./平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線，則”∕α

B.α不在面α,則α∕∕α

C.若a“b,bua,則“//a

D.若a/fb,bua,則。平行于a內(nèi)的無數(shù)條直線

【答案】D

【詳解】

對于A,當(dāng)/平行于a內(nèi)的無數(shù)條宜線，若∕ue,則/與a不平行，所以A錯誤，

對于B,當(dāng)a不在面a時，。與a有可能相交，所以B錯誤，

對于C,當(dāng)a//8,6ua時，若"ua,則。與a不平行，所以C錯誤，

對于D,當(dāng)?！◤腷ua時，由線面平行的性質(zhì)可知a平行于a內(nèi)的無數(shù)條直線，所以D正

確，

4.下列命題正確的是（）

A.若直線上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面內(nèi)，則直線和平面平行

B.若直線與平面相交，則直線與平面內(nèi)的任意直線都是異面直線

C.若直線與平面有兩個公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)

D.若直線與平面平行，則這條直線與平面內(nèi)的直線平行

【答案】C

【分析】根據(jù)空間線線，線面的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析即得.

【詳解】對于A,若直線上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面內(nèi)，則直線可能與平面相交，故A錯誤；

對于B,若直線與平面相交，則直線與平面內(nèi)的任意直線可能相交，也可能是異面直線，故

B錯誤；

對于C,根據(jù)平面的基本性質(zhì)可知若直線與平面有兩個公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)，故C正確；

對于D,若直線與平面平行，則這條直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，故D錯誤.

5.正方體ABCD-AMCQ的棱長為1，E是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)F在8C上，則8尸等于多少時，

EF〃平面AG。（）

A.1B.^^C.-D.一

234

【答案】B

【詳解】解：如圖，連接AC,過點(diǎn)E作即〃AC交BC于F,因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以F

是BC的中點(diǎn)，

由正方體的性質(zhì)易得AC〃A￡,所以EF〃A￡,因?yàn)镋FU平面AG。，ACU平面AG。，

所以EF〃平面AG。，此時尸是BC的中點(diǎn)，故BF=g.故選：B

A

6.設(shè)“，”表示不同的直線，α,夕表示不同的平面，且m,"uα.則“a〃6”是“〃〃/月且“〃月”

的（）

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【詳解】依題意，因m,Rua,a∣lβ,由平面與平面平行的性質(zhì)可得m//日且〃〃￡,即命

題：“若a%,則m//夕且〃〃?”是真命題,

當(dāng)〃ua,小〃〃且"〃尸時，若直線機(jī)，"相交，必有e∕/,若/〃〃，平面a與夕可能

相交，即命題“若加/月且"〃尸，則口〃尸”是假命題，

綜上得是“加〃萬且〃〃夕”的充分但不必要條件.

7.“平面a內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線/平行，，是“直線”/平面a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】由平面a內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線/平行，貝”〃a或/ua,所以充分性不成立；

反之：若直線/〃平面a,設(shè)過直線/的平面?與平面a相交，且交線設(shè)為機(jī)，

由線面平行的性質(zhì)定理，可得/〃加，

則在平面a內(nèi)與直線S平行的無數(shù)條直線都平行與直線/,所以必要性成立，

所以“平面a內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線/平行”是“直線〃/平面a”的必要不充分條件.

8.如圖，己知四棱柱ABs-A耳GR的底面為平行四邊形，E,F,G分別為棱AA,CG,CQ

的中點(diǎn)，則下列各選項(xiàng)正確的是（）

A.直線BG與平面EFG平行，直線82與平面EFG相交

B.直線BG與平面EFG相交，直線B"與平面痔G平行

C.直線BG、BR都與平面EFG平行

D.直線BG、BA都與平面EFG相交

【答案】A

【詳解】解：取AB的中點(diǎn)“，則B"∕∕GG,8"=CQ,從而四邊形BCQ”為平行四邊形,

所以BC"/HG.MEHHGF,EHHGF,則四邊形EG"/為平行四邊形，

從而G"u平面EFG.乂BGa平面EFG,所以〃平面EFG.

易知BF∕∕ED?,BF=EDt,則四邊形即肛E為平行四邊形，從而BR與EF相交，

所以直線BD1與平面EFG相交.

9.已知a,b,c為三條不重合的直線，a,β,Y為三個不重合的平面其中正確的命題()

①α∕∕c,b∕∕c^>a∕∕bi②α∕∕y,bllγ=≠>a!Ib；③α∕∕c,CHanaHa；@allγ,allaally■

⑤α<χα,bua,a∕∕b=>alia.

A.??B.①②C.②④D.③⑤

【答案】A

【詳解】①a!k,b∕!c,由平行公理4得a//。，正確：

②叫,b∕∕χ,則a與匕有可能平行、相交、異面，故錯誤；

③a∕∕c,Clla,則alia或aua,故錯誤；

④a〃y,alia；則a〃y或acy,故錯誤；

⑤a<Za,6ua,a∣∣b,由線面平行的判定定理可得a〃a.

10.如圖，在三棱柱ABC-ABC中，AM=2ΛM1,BN=2NB、,過MN作一平面分別交底面

三角形ABC的邊BC,4C于點(diǎn)E,F,貝U()

n

A.MFHEBB.AfBt∕∕NE

C.四邊形MNEF為平行四邊形D.四邊形MNf戶為梯形

【答案】D

【詳解】由于B,E,尸三點(diǎn)共面，尸∈平面3瓦\(yùn)歷任平面3環(huán)，故MEE8為異面直線，故

A錯

由于%N,E三點(diǎn)共面?，Ble平面B∣NE,A任平面qNE,故人內(nèi),NE為異面直線，故B錯

又；在平行四邊形AA//中，AM=2M4,BN=2NBl,：.AMHBN,AM=BN,故四邊

形AMNB為平行四邊形MM7A3.又MNU平面ABC,AB↑平面48C,MN〃平面ABC.

又MNU平面MNEF,平面MNEF平面A5C=EF,，M7V//EF,所〃4?,顯然在ABC

中EF≠A8,

E尸WMN四邊形例NE尸為梯形，故C錯，D對

11.如圖所示，三棱柱ABC-ABlCl的側(cè)面BCGBl是菱形，設(shè)。是AIG上的點(diǎn)且4B〃平面

BiCD,則AiD:DCl的值為.

【答案】1

【詳解】設(shè)8G∩8∣C=0,連接?！ㄆ矫鍮lCo且平面48Gn平面BCC*=0r>,

，AB〃OO,:四邊形BCClBl是菱形，二。為BG的中點(diǎn)，.?.。為Alcl的中點(diǎn)，即AL0：DCi

=1.

D

12.如圖，空間四邊形ABC。中，M,N分別是△ABtYlUAe。的重心，若BD=m,則MN=

【詳解】連接4W并延長交Be于E,連接AN并延長交CQ于尸，再連接MN,EF,

BE=EC,CF=FD,/.EF=—BD=-∕n,

22

222I

又???AM=-AEAN=-AP,：,MN=-EF=-m.

3333

13.在直三棱柱ABC-ABG中，。為A4中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面BCGB上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)尸滿足條

件時，4P//平面BeD（答案不唯一，填一個滿足題意的條件即可）

【答案】P是CG中點(diǎn)

【詳解】取CG中點(diǎn)P,連結(jié)4P,

：在直三棱柱ABC-481G中，。為AAl中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面BCe山ι上運(yùn)動，

當(dāng)點(diǎn)尸滿足條件P是CCl中點(diǎn)時，A↑P∕∕CD,

'：4PC平面BCD,CcU平面BCD,

；?當(dāng)點(diǎn)尸滿足條件「是CG中點(diǎn)時，AIP〃平面BCD

14.如圖，點(diǎn)A,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線

MV〃平面ABe的是（）

【答案】D

【詳解】對于A,由正方體的性質(zhì)可得MV//EF//AC,可得直線MN〃平面A8C,能滿足;

對于B,作出完整的截面ADBCEF,由正方體的性質(zhì)可得MN//AD,可得直線MNH平面ABC,

能滿足；

D

對于C,作出完整的截面43C。，由正方體的性質(zhì)可得MN〃BD可得直線MN//平面A8C,

能滿足；

對于D,作出完整的截面，如下圖4BMW"C,可得MN在平面48C內(nèi)，不能得出平行，不

能滿足.

題型一：直線與平面平行的軌跡問題

【例1】在棱長為2的正方體ABCo-ABCA中，點(diǎn)M,N分別是棱BC,CG的中點(diǎn)，動

點(diǎn)P在正方形BCGBl（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動.若PA//平面AMN,則PA的最小值是（）

A.2C.√5D.?/e

【答案】B

【詳解】

如上圖所示,取耳α的中點(diǎn)E,BQ的中點(diǎn)F,連接4瓦4尸,E尸,

因?yàn)镸,N分別是棱BC,CG的中點(diǎn)，所以AE〃/1",EFUMN,

又因?yàn)锳ECEF=E,Λ,E,EFUAEF,AM,MNUAMN,

所以平面AEF〃平面AΛW,PA〃平面AMN,且P點(diǎn)在右側(cè)面，

所以P點(diǎn)的軌跡是EF，且AE=A尸=&，EF=42'

所以當(dāng)P點(diǎn)位于EF中點(diǎn)。處時，PA最小，此時，PA=I=管.

【例2】在棱長為2的正方體4BCE)-ABCa中，￡,RG分別為48,BC,GR的中點(diǎn)，點(diǎn)P在

底面ABC。內(nèi)，若直線RP與平面EFG沒有公共點(diǎn)，則線段AP長的最小值是.P

的軌跡長度為.

【答案】√62√2

【詳解】

連接RA,DlC,AC,則因?yàn)镋G分別為ARG。的中點(diǎn)，所以AE=RG,

因?yàn)锳E〃&G,所以四邊形AEGR是平行四邊形，所以Ao∣"EG,

因?yàn)镋GU平面EFG,AA<z平面EFG,所以AR〃平面E尸G,

又因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，所以E尸是三角形ABC的中位線，所以E尸〃AC,

因?yàn)镋FU平面EFG,ACa平面EFG,所以AC〃平面EFG,

因?yàn)锳AAC=A,AAU平面AC",4Cu平面ACA，所以平面ACA〃平面EFG,

點(diǎn)P在線段AC上時，能夠滿足直線DP與平面EFG沒有公共點(diǎn)，

點(diǎn)尸的軌跡是線段4C,長度為在謖=2近，且當(dāng)RP?LAC時，線段RP長度最小,

此時由三線合一得：P為AC中點(diǎn),因?yàn)?=AC=2夜，AP=-Jl,

所以DF=應(yīng)Α=娓,線段RP長的最小值為卡.

【例3】如圖，在棱長為1的正方體ABC。-A山IGn中，點(diǎn)E,尸分別是棱BC,Cc的中

點(diǎn)，P是側(cè)面BCGB內(nèi)一點(diǎn)，若AIP〃平面AEF,則線段AIP長度的取值范圍是（）

A.H，9]B?[乎，g]C.吟,√2JD.[√2.√3J

【答案】B

【詳解】如下圖所示，分別取棱BB∣,用G的中點(diǎn)M、N,連MN,BQ,

M,N,E,F分別為所在棱的中點(diǎn)，則MN"BC∣,EFHBCx,

.-.MNHEF,又MVU平面AEF,EFU平面AE尸，，MN〃平面AE尸.

AA1//NE,AA.=NE,四邊形AENAl為平行四邊形，；.AtN//AE,乂AN（Z平面AEF,AEU

平面AEF,

.■.AN〃平面又ANIMN=N,二平面AMN〃平面AEF.1?P是側(cè)面BCG瓦內(nèi)一點(diǎn),

且AP〃平面AEF.點(diǎn)P必在線段MN」二.在RtA1B1M中，

AM=JA吊+8*=J+出考

同理，在RrABlN中，可得AN=更，二AMN為等腰三角形.

2

當(dāng)點(diǎn)P為MN中點(diǎn)。時，4尸，MN,止匕時AP最短；點(diǎn)尸位于例、N處時，AP最長.

由于MN=J(gj+(g)=孝,則OM=3MN=乎，

Ao=JAM-OM2=J與一停=乎,AM=AN=冬

???線段AF長度的取值范圍是手,弓.

【題型專練】

1.正三棱柱ABC-AAG的底面邊長是4,側(cè)棱長是6,M,N分別為CG,AB的中點(diǎn)，若尸

是側(cè)面BCC6上一點(diǎn)，且PN平面48∣M,則線段PN的最小值為()

A畫BWC.返D.叵

2552

【答案】C

【分析】由平面CNA平面AgM,確定點(diǎn)尸在線段CQ上，進(jìn)而由PN_LC。得出答案.

【詳解】取的中點(diǎn)為。，連接CD,ND,因?yàn)镹E>ABi,CDMB1,

所以由面面平行的判定可知，平面CVD0平面做M,則點(diǎn)P在線段C。上，當(dāng)PN，CD時，

線段PN最短，INq=J2z+3?=√ii,∣CD∣=J42+32=5,1CM=J42-23=26,

即ICNr+1Nq°=,牙，CNlND,

故g|CMlNO|=；|C￡>HPM，故=

A

2.正三棱柱48C-ABG的底面邊長是4,側(cè)棱長是6,M,N分別為BB∣,CG的中點(diǎn)，若

點(diǎn)尸是三棱柱內(nèi)（含棱柱的表面）的動點(diǎn)，MP〃平面AB∣N,則動點(diǎn)尸的軌跡面積為（）

A.5√3