2022-2023學年浙江省寧波市高二（下）期末數學試卷（附答案詳解）

2022-2023學年浙江省寧波市高二（下）期末數學試卷

1.已知集合A={0,1,2},B={-1,0},則AUB=（）

A.{-l,l,2}B.[0,1,2)C.{-1,0}D.{-1,0,1,2)

2.復數-l-2i（i為虛數單位）的虛部是（)

A.-2B.-1C.1D.2

3.函數f（χ）=（X—的定義域是（）

1

A.(-∞,∣)B.[j,+∞)c.{-∞,-∣)D.[-2/+∞)

4.已知tanα=-1,a∈（0,π],那么α的值等于（）

5.某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有IOoO名志愿者服用此藥，結果如表:

體重變化體重減輕體重不變體重增加

人數241571188

如果另有--人服用此藥，根據上表數據估計此人體重減輕的概率是（）

A.0.57B,0.33C.0.24D.0.19

6.已知向量五=(X,2),b-(3,6)-a1a則實數X的值為（)

A.1B.-4C.4D.-1

7.球的半徑是R=3,則該球的體積是（)

A.36ττB.2OTTC.25πD.30ττ

8.對數Sa與匈b互為相反數，則有（）

A.a+b=0B.a—b=0C.αb=1Df=1

9.取一條長度為1的線段，將它三等分,去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段

分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…：將這樣的操作一直繼續(xù)下去，

直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極

限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在第n次操作中去掉的線段長度之

和不小于2，則n的最大值為(參考數據：1.57≈17.1,1.58≈25.6,1.59≈38.4,1.51°≈

57.7)()

A.7B.8C.9D.10

10.己知α,b為非零實數，則''α>b"是的()

aD

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.在△力BC中，IaBl=3,?AC?=2,?D=?+?,則直線AD通過△ABC的()

A.垂心B.外心C.重心D.內心

12.已知函數/'O)的定義域為R,/(%+；)為奇函數，且對于任意x∈R,都有/'(2-3X)=

/(3x),則下列結論中一定成立的是()

A./(1-X)=/(x)B./(3x+1)=/(3x)

C.f(x-1)為偶函數D./(3x)為奇函數

13.下列函數是增函數的是()

A.y=X3B.y=%2C?y=χlD.y=-x~1

14.已知平面αJL平面6，且an/?=(,則下列命題不正確的是()

A.平面a內的直線必垂直于平面￡內的任意一條直線

B.平面a內的已知直線必垂直于平面S內的無數條直線

C.平面a內的任意一條直線必垂直于平面0

D.過平面a內的任意一點作交線/的垂線，則此垂線必垂直于平面夕

15.在44BC中，內角4B,C所對的邊分別為a,b,c.以下列選項為條件，一定可以推出A=

的有()

A.a=7,b=8,c=5B.a=y∏,b=y∕~2,B

3

c?S山BSinC=4D.2sin2+cos2A=1

16.如圖，在棱長為2的正方體AC'中，點E為CC'的中點，點P在

線段4C'(不包含端點)上運動，記二面角P-AB-。的大小為a,

二面角P-BC-O的大小為例則()

A.異面直線BP與4C所成角的范圍是?,芻

B.tan(a+0)的最小值為一《

C.當△4PE的周長最小時，三棱錐B-AEP的體積為罟

D.用平面BEP截正方體4C',截面的形狀為梯形

(2xY<O

17.已知函數f(x)="(七;X>0,W(-D=，∕0og23)=

18.在生活中，我們經?？梢钥吹竭@樣的路障，它可以近似地看成由一個直八

棱柱、一個圓柱與一個圓臺組合而成，其中圓臺的上底面直徑為4cm,下底面

直徑為40cm,高為80cτn.為了起到夜間行車的警示作用，現(xiàn)要在圓臺側面涂上

熒光材料，則涂料部分的面積為cm2.

19.已知正實數x,y滿足Xy-X-2y=0,則x+y的最小值是.

20.在銳角△4BC中,內角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,?sin2A=sin2B+SinBsinC,

則押取值范圍為.

21.隨著移動互聯(lián)網的發(fā)展，與餐飲美食相關的手機軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A款訂餐軟

件的商家中隨機抽取100個商家，對它們的“平均配送時間”進行統(tǒng)計?，所有數據均在［10,70］

范圍內，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求α的值；

(2)試估計該市使用4款訂餐軟件的商家的“平均配送時間”的第20百分位數.

22.已知函數/'(x)=sin(ωx+邛).其中3>0.若f(x)的最小正周期為兀，且/(］)=/(y);

(1)求3,租的值；

(2)若Iwl<*求/(x)在區(qū)間［一黑］上的值域.

23.已知函數f(x)=,ogɑX+αx++√x>0),其中a>l.

(1)若。=2,求/(手的值；

(2)判斷函數/(“)的零點個數，并說明理由；

(3)設/Qo)=0,求證：I<八/五)<?.

24.拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，設事件A="第一次正面朝上"，事件B="第二次正

面朝上”，則()

-1a

A.P(4)=：B.P(A+B)=7

N4

C.事件Z與事件B互斥D.事件4與事件B相互獨立

25.已知平面向量值,方滿足Ial=I,|方|=2，則()

A.∣E++的最大值為3B.∣Z-B∣的最大值為3

C.|k+B∣+∣五一3|的最大值為6D.|五+3|一|五-另|的最大值為2

26.己知函數/(%)=SinX,g(x)=cosx,若6滿足，對VXI∈[0,芻，者歸>?e[-a0]使得

2f(%ι)=2g(x2+8)+1成立，則。的值可能為()

A.πB,?C.?D.5

27.己知正實數Q、b、C滿足l0g3α=l0g5b,l0g3b=l0g5C,其中α>l,則()

2αcb+1

A.?ogɑh=log35B.a>b>cC.ac>bD.2+2>2

28.如圖，正四棱錐P-ABCD的高為2√^Σ,體積為學.

(1)求正四棱錐P-ABCD的表面積：

(2)若點E為線段PB的中點，求直線4E與平面ABCo所成角的正切值；

(3)求二面角A-PB-C的余弦值.

?∕D

A

B

29.己知定義在R上的函數/(x)=-χ2+χ∣χ-α∣,其中α為實數.

GL)當α=3時,解不等式/(x)≥-2;

(2)若函數/(X)在上有且僅有兩個零點，求ɑ的取值范圍；

(3)對于α∈[4,+8),若存在實數無1，χ2(χ1<X2),滿足f(%ι)=/(x2)=mf求紅網盤的取值

xlx2

范圍.(結果用α表示)

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因為4={0,l,2},B={-l,0},

所以4UB={-1,0,1,2).

故選：D.

根據并集的定義計算可得.

本題主要考查了集合并集運算，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：因為復數一1一2i,

所以復數-1-2i(i為虛數單位)的虛部是-2.

故選:A.

利用復數的相關概念求解.

本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

3.【答案】B

[解析]解：因為/(χ)=(X—?)z=JX-]

所以x-g≥O,Mx≥?,

所以/(x)的定義域為弓,+8).

故選：B.

利用具體函數定義域的求法求解即可.

主要考查了函數定義域的求解，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：已知tcma=-1,且a∈[0,π),故α的終邊在射線y=-x(x<0)上,

故選：D.

根據tcmα=—1,且α6[0,7τ),故α的終邊在射線y=—X(X≤0)上，從而得到ɑ的值.

本題考查根據三角函數的值求角的方法，判斷ɑ的終邊在射線y=-x(x≤0)上,是解題的關鍵.

5.【答案】C

【解析】解：由已知統(tǒng)計表可知在IoOO名志愿者中，

服藥后出現(xiàn)體重減輕的人數為241人，

因此服藥后出現(xiàn)體重減輕的頻率為焉=0.241≈0.24.

故選：C.

利用表中數據直接計算即可.

本題主要考查古典概型的概率公式，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：Ta=(X,2),b-(3,6)>ɑ1b?

.??3x+2×6=0,即X=-4.

實數X的值為-4.

故選：B.

由兩向量垂直的坐標運算列式求解.

本題考查兩向量垂直的坐標運算，是基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：???/?=3,

二該球的體積V=^π∕?3=36ττ.

故選:A.

利用球的體積公式直接計算即可.

本題考查球的體積公式，屬基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：?“gα=-Igb

?Iga+Igb=0

?lg(ɑh)=O

???ab=1

故選：C.

由已知條件列出方程，利用對數的積的法則求出M=1.

本題考查對數的四則運算法則、考查當真數互為倒數時，對數互為相反數.

9【答案】B

【解析】解：第一次操作去掉的線段長度為：，

第二次操作去掉的線段長度之和為IXp

第三次操作去掉的線段長度之和為IXIX5

???,

第n次操作去掉的線段長度之和為(∣)nτ

由題意知,φn-1?∣≥?w>jφn≥?

則(∣)rι≤30,

因為|>1,

所以指數函數y=(|尸為增函數，

又1.58a25.6,1.59≈38.4,n€N*,

所以n=8,

故選：B.

根據題設可得第n次操作去掉的線段長度之和為(I)”一1q,則有(扔τq≥表，再根據指數函數性

質結合參考數據求律的最大值.

本題考查數列的應用、指數不等式的求解，考查學生的歸納推理能力和計算能力，屬中檔題.

10.【答案】D

【解析】解：當α>O>b時，—>0>?所以由α>b得不出工<:，

abab

若工<則工一:=與^V0,若QbV0,則b—Q>0,即QVb,

ababab

所以由已加不出α>b,

1I

所

以

Q>,b是-<-

Qb的既不充分也不必要條件.

故選D

根據充分條件和必要條件的定義即可判斷.

本題主要考查了不等式的性質，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.

11.【答案】D

【解析】解：???∣2B∣=3,MCl=2

??.∣;近I=Ilm=∣.

設荏=《市AF=AC,

24

則I畫=I殖，

?AD=?^AB+?=AE+AF.

24

由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形4EDF為菱形.

二月。為菱形的對角線，

.?.4。平分"ZF.

直線AD通過△力BC的內心.

故選：D.

3

首先根據已知條件可知∣g同I=E初=|,又因為而=g而+［律設荏4-

由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形AEDF為菱形，從而可確定直線4。通過△4BC的內心.

本題考查向量加法的平行四邊形法則及其幾何意義，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解:由f(x+：)是奇函數，得f(x+g)=—f(-X+g)，即/"(%)—/(1—%)，選項A錯誤；

由/(2-3x)=∕(3x),得f(2-x)=/(X),所以f(2-x)=-/(1-X),即f(x+1)=-『(x),則

∕?(3x+l)=-∕(3x),B錯;

由/(X+1)=-f(x)可得/(X+2)=-f(x+1)=/(x)可得函數f(X)的周期為7=2,

f(x)=-/(1-X)與f(x+1)=-f(x)可得C(X+1)=/(1-x),即函數/(%)的圖象關于X=1對稱,

根據周期為2可得函數/(x)的圖象關于％=-1對稱，即f(-l+x)=/(-1一久)，所以f(x-l)為

偶函數，C正確；

因為/(2-3%)=/(3乃且函數/(乃的周期為7=2,所以f(2-3x)=/(—3x)=f(3x),f(3x)為

偶函數，故選項D錯誤.

故選：C.

由/(X+勺是奇函數，得/(X)=-/(1-乃即可判斷4,先證明f(X+1)=-/(X),得到f(3x+1)=

-/(3x),從而判斷B,證明/(%)的周期為2,再證明函數/(x)的圖象關于X=-I對稱，可判斷C,

由/(2-3x)=/(3x)結合周期性判斷D.

本題主要考查了基本初等函數的奇偶性，對稱性及周期性的應用，屬于中檔題.

13.【答案】AC

【解析】解：對于A,函數y=/的定義域為R,

函數y=爐在R上單調遞增，A正確；

對于8,函數y="的定義域為R,

函數y=/在(一8,0］上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，8錯誤；

對于C,函數y=4的定義域為［0,+8),

函數y=6在［0,+8)上單調遞增，C正確；

對于D,函數y=-XT的定義域為(—8,0)U(O,+8),

函數y=-XT在(-8,0)上單調遞增，在(0,+oo)上單調遞增，

但/(-1)=-l>l=/(1),。錯誤；

故選：AC.

根據幕函數的性質判斷各選項的單調性即可.

本題主要考查了基本初等函數單調性的判斷，屬于基礎題.

14.【答案】ACD

【解析】解：對于4,平面ɑ內取平行于交線的直線時，該直線與平面0平行，不垂直于平面。內的

任意一條直線，故A錯誤；

對于B,取平面，內無數條與交線垂直的直線，平面ɑ內的已知直線與這無數條直線垂直，故B正

確；

對于C,平面α內取與1平行的直線，不垂直于平面口，故C錯誤；

對于。，若ɑ內的任意一點取在交線，上，所作垂線可能不在平面α內，所以不一定垂直于平面氏

故。錯誤.

故選：ACD.

根據線面、面面關系逐一判斷即可.

本題考查根據線面、面面關系的判斷，屬中檔題.

15.【答案】AD

b2c2a2

【解析】解：對于4由余弦定理可得cos4=+-=64+25-49=L又i4e(0,兀)，

2bc2×8×52

所以4A正確；

對于B,由正弦定理可得號=又a=C,b=jl,B=R

SinASinB4

所以S譏A=E?!=g,又4€(0,兀)，

√~12

所以力=裁A=?，B錯誤;

?3

對于C,取B=JC為銳角，且SinC='，

可得4為銳角，且CoSa='，此時A建，C錯誤；

對于0,?2sin2笥C+cos2A=1可得2sin2(]-今+cos2A=1>

所以cos2A=1-2sin2(^-今=COS(Tr—A)=-cosA,

所以2COS2_4+cosA—1=0,解得COSyI=g或cos/1=—1(舍)，

又4∈(O,τr),所以A=。正確.

故選：AD.

由余弦定理判斷4由正弦定理判斷B,舉例判斷C,結合內角和關系和二倍角公式誘導公式判斷。.

本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于中檔題.

16.【答案】ABD

【解析】解:對于4因為4C〃A'C',

所以異面直線BP與AC所成角為NBPA或48PC'中的銳角或直角，

又B4=4'C'=BC',

所以AB4C'為等邊三角形，

因為點P在線段AC'（不包含端點）上運動，

所以當P為線段AC，的中點時，?BPA'=乙BPC'=I，

此時異面直線BP與AC所成角為宏

當點P趨近4'或C'時，異面直線BP與AC所成角趨近半

所以異面直線BP與AC所成角的范圍是?,自，選項A正確;

對于B,過點P作PF√∕4'4,PFQAC=F,

因為44，平面4BC。，

所以PF1平面力BCD,

過點尸作FGlaB,FH1BC,垂足為G,H,

所以NPGF為二面角P-AB-D的平面角，NPHF為二面角P-BC-。的平面角,

故NPGF=a,乙PHF=β,

設HP=。無，貝IJFG=AG=x,GB=FH=2-x,0<x<2,

所以tαnα=段=tan"黑=￡，

所以tag+。）=詈蜉=i?=H,

X2—X

因為O<X<2,

所以2%—x2—4∈(—4,—3],

所以tan(α+=I-%T)，

所以當X=I時，tan(α+/?)取最小值，最小值為選項B正確;

對于C,延長EC'到點M,使得EC'=MC',則PE=PM,

M

AB

所以4P+PE+AE=AP+PM+AE≥AM+AE,

當且僅當4,P,M三點共線時等號成立，

所以當點P為線段AM與4'C'的交點時，△4PE的周長最小,

因為PC7/AC,

所以△PCM-LACM,

所噴=器E

又AC=2/1，

所以PC'=當?,

所以△4PE的面積S=SAeC，A，—ShACE-SAECP~^?AA∣P=4√^Σ-\/~2-?—生子=等工

XBOLAC,BOLAA',AC(ΛAA'=A,AC,44'U平面ACeW,

所以B。1平面ACC'4',

所以點B到平面ZPE的距離為B0,

所以當44PE的周長最小時，三棱錐B—4EP的體積為選項C錯誤;

對于“，延長BE,B'C',兩直線交于點Q,連接PQ,

連接B7,SE,

因為平面4BB'47∕平面。CC'。'，

平面BEPn平面48BW=BT,平面BEPn平面DCC'O'=ES,

所以B7√∕ES,

又BT≠ES,

所以四邊形BEST為梯形，

所以用平面BEP截正方體AC',截面的形狀為梯形，D正確.

故選：ABD.

由異面直線夾角定義確定異面直線BP與4C所成角，由此判斷4由二面角的定義確定α,0,求tαnα,

tanβ,利用兩角和的正切公式求tan(α+6),再求其最小值，判斷B；確定△4PE周長最小時點P的

位置，結合錐體體積公式求B-AEP的體積，判斷C；根據平面的性質，確定正方體AC'的過點B,

E,P的截面，判斷0.

本題主要考查異面直線的夾角，二面角的求法，錐體體積問題，正方體的截面，考查學生的邏輯

推理能力和直觀想象能力，屬于中檔題.

17.【答案Wi

【解析】解:因為/⑶=｛先至｝>0,則f(—l)=2-1=?;

因為1=log22<log23<log24=2,所以,-1<log23-2<0,

lo32

所以，f(log23)=f(?log23-2)=2^-=?-=

I3

i

24-

利用函數f(x)的解析式可求得/(-1)的值，計算出10g23的范圍，根據函數/?(x)的解析式可求得

/Qog23)的值.

本題主要考查了分段函數中，函數值的求解，屬于基礎題.

18.【答案】1804π

【解析】解：作圓臺的軸截面如下:

過點4作4Ed.BC,垂足為E,

由已知，AE=80,BE=TX(40—4)=18,

所以4B=√AE2+BE2=82，

所以圓臺的母線長為82cm,

由已知圓臺的上底半徑為2cm,下底半徑為20cτn,

所以圓臺的側面積S=7ΓX(2+20)X82=1804Tr(Cnl2).

故答案為：1804π.

作圓臺的軸截面，利用條件求其母線長，再由圓臺側面積公式求其側面積即可.

本題主要考查圓臺側面積的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題.

19.【答案】3+20

【解析】解：因為Xy-X-2y=0,

所以X+2y=xy,

所以?+；=1,

χy

所以X+y=(X+y)6÷i)=2+≡+^+l≥3+2J=3+2y∕~2,

當且僅當三=§,介；=1時等號成立，即x=2+，2y=，五+1時等號成立,

所以X+y的最小值是3+2√^7?

故答案為：3+2/二.

由條件可得:+；=1，結合基本不等式求X+y的最小值.

?y

本題主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題.

20.【答案】(1,2)

【解析】解:因為SiMa=siMB+sinBs?ιC,由正弦定理可得小=∕√+be,

222

由余弦定理/=b+C—2bccosAf所以be=C—2bccosA,即b=C-2bcosAf

由正弦定理可得SiZIB=SinC—IsinBcosA,

所以SiTIB=Sin(A+B)-2sinBcosA,

即SblB=SinAcosB+CosAsinB-IsinBcosA,

所以SiTIB=Sin(A—B),

因為0<AOVBV所以—'<A—B<?,

所以B=A-B,即A=28,所以C=Tr-3B,

由AABC為銳角三角形，所以0<4=2B<*0<C=π-3B<≡可得*<B<，

LZo4

2

所以?<COSB<孕，：<COSB<

Z2，4

L下己方由孑甲弭C_sinC_sin3B_sin(28+8)_sin2BcosB+cos2BsinB

’77e-SinB~SinB-SinB-SinB

=2COS2B+cos2B=4COS2B—1∈(1,2),

即"的取值范圍為(1,2).

故答案為：(1,2).

由正弦定理將邊角互化，結合余弦定理及兩角和差的正弦公式得到Sin(A-B)=S譏B,根據aABC

為銳角三角形可得4=2B,C=兀-38以及*<B<￡再由正弦定理可得5=騎=駕，利用

64bStnBSinB

兩角和的正弦展開式和CoSB的范圍可得答案.

本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)依題意可得(0.004+0.02+0.056+α+0.004+0.002)×10=1,

解得α=0.014.

(2)因為0.04<0.2<0.04+0.2,所以第20百分位數位于［20,30)之間，

設為支，則0.04+(x—20)X0.02=0.2,解得x=28,

故第20百分位數為28.

【解析】(1)根據頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，解得即可.

(2)首先判斷第20百分位數位于［20,30)之間，設為X,則0.04+Q-20)x0.02=0.2,解得即可.

本題主要考查頻率分布直方圖，百分位數的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題.

22.【答案】解：(1)因為/"(x)=Sin(3%+W)的最小正周期為兀，ω>0,

所以生=兀，所以3=2,

ω

所以/(%)=sin(2x+φ),

因為居)=噌),

所以Sin(Tr+9)=Sin(F+

所以一Sin(P=—?cosφ—?sinφ，

所以tem(p=√~3,

所以9=kτr+g,k∈Z,

(2)由(l)0=kττ+ak∈Z,X∣φ∣<p

所以9=全

所以/(%)=sin(2x+∣),

由己知Y≤x≤也所以T≤2x+g≤?,

??333

所以一號≤sin(2x+?)≤1，

所以f(X)在區(qū)間［一狀］上的值域為［-?,1］?

【解析】⑴由函數/(乃的周期，結合周期公式求3,由條件&)=/(爭化簡求處

(2)結合條件M<辨定仍利用不等式性質結合正弦函數性質求f(x)在區(qū)間［冶市上的值域.

本題主要考查了和差角公式的應用，還考查了正弦函數的性質的應用，屬于中檔題.

23.【答案】解：(1)當a=2時，/(x)=log2x÷2x÷——(x>0),

(2)∕,(x)=-......Fa---------2,

xlna(%+l)2

Vα>1,%+1>1,

1

?Ina>0,--?<1<a

。+1)9

???∕,(x)>0,

???f(%)在(0,+8)上單調遞增，

Va>1,

????<1-?τ<1'

則/?)=-2+；+島<0，

又/(1)=α+∣>0,

由函數零點存在性定理可知，/(x)在(0,+8)內有唯一零點；

(3)證明：由(2)可知，x0∈(?,l),

"/(?o)=IogaXO+α%o+??i=0,

.1

???logax0=-ax0-石五，

lαx

f(G=I09aχ0+aG+7?i=-∣θ-2?i)+內+7?p

令?/%o=t,

teυ

則/⑷=Gat2_i?+at+擊=—-1)2—1]+2(?)JIl)(?)

令g(t)=-劉-Ai],

..2t2-t+ι=2[(Ty+直>0,

'2(tz+l)(t+l)―2(t2+l)(t+l)

???/(t)>g(t)，

易知g(t)在C，l)上單調遞增，

乂a>1,?<?,

2a2

???f(t)>5(0>5?=-f[?-D2-l]=l-?>p

???g(t)=-#-1)2-1]<g(l)=于

要證饞)<等，只需證溪蒜i5∕

即證2尸-t÷1<(t2+l)(t+1),

令∕ι(t)=(t2+l)(t+1)—(2t2—t+1)=/—/+23

V∕ι,(t)=3t2-2t+2=3[(t-1)2+1]>0，

:?∕ι(t)在(0,1)單調遞增,

.?.∕ι(t)>∕ι(0)=O,g∣J(t2+l)(t+l)>2t2-t+l,即/(t)<竽.

綜上,；</(t)<竽，<f(7^^?)<?-

【解析】(1)根據解析式直接計算即可；

(2)利用導數討論其單調性，結合零點存在性定理判斷即可；

(3)利用單調性結合放縮法證明.

本題考查函數與導數的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

24.【答案】ABD

【解析】解：對于4試驗的樣本空間為：0={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)},共4個樣

本點，

所以P(A)=T,故PQ4)=g，故A正確；

對于B,試驗的樣本空間為：0={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)},共4個樣本點，事

-43

件4+B含有(正，正)，(正，反)，(反，正)，這三種結果，故PQ4+B),

對于C,A={(正，正)，(正，反)},B={(正，正)，(反，正)}，顯然事件4事件B都含有“(正,

正)這一結果，事件4,事件B能同時發(fā)生，因此事件4與事件B不互斥，故C不正確；

對于P(Z)=今P(B)=aP(AB)=?,所以PQ4B)=P(A)P(B),

所以事件4與事件B為相互獨立事件，故。正確.

故選：ABD.

根據對立事件，并事件，互斥與相互獨立事件的概念，結合選項依次判斷即可.

本題主要考查對立事件，并事件，互斥與相互獨立事件的概念，屬于基礎題.

25.【答案】ABD

【解析】解:設立,b的夾角為8,θ∈[0,π]f?a?=l,?b?=2fa?b=∣α11&∣cosθ=2cosθ?

22,

VIɑ+KI=J(a+e)=ΛJα÷2ɑ?K÷K=√5+4cosθ

Vθ∈[O,π],?cosθ∈[—1,1],

當CoSe=I時，|有+方|有最大值3,故A正確；

22

?.??a-b?=J(α-h)=y∣a-2a-b+f=√5-4cosL

Vθ∈[0,π],.,.cosθ∈[—1,1],

???當CoSe=-1時，I五一另I有最大值3,故B正確；

v∣α÷b∣-∣α-&|=√5+4cosθ—√5—4cosθ，

要使I五+石I-1五一方I取最大值，只需考慮I元+B∣-I五一≥0的情形，

此時(|α+h∣-∣α-K∣)2=10-2√25-16cos20-

θ∈[0,π],?COS2?！蔥0,1],

.?.?cos20=1時，(∣α+6∣-∣α-h∣)2W≡ΛΛ10-2X3=4,

所以|弓+石I-I五一的最大值為2,故。正確.

?.?∣α+b∣+∣α-h∣=√5+4cosθ+√5—4cosθ，

???(|α+Z?I+Iα—eI)2=10+2√25-16cos2θ，

Vθ∈[0,π]>?cos20∈[0,1],

???當COS2。=0時，(∣α+K∣+∣α-K有最大值10+2x5=20,

所以∣n+B∣+∣N-B∣的最大值為2門，故C錯誤.

故選：ABD.

設五范的夾角為。，通過平方轉化得I五+石I="5+4cos。，利用三角函數的性質求出其最大值,

即可判斷4選項BS采用同樣的方法求解判斷即可.

本題主要考查平面向量的數量積運算，考查轉化能力，是中檔題.

26.【答案】BC

【解析】解：因為對VXIe[0,≡],都m%2∈[一，0]使得2∕(%ι)=2g(,x2+9)+1成立，

所以/(x)=2SinX,X€[0,月的值域包含于函數y=2cos(t+0)+1,t€[-，0]的值域,

函數/(x)=2sinx,X∈[0,自的值域為[0,2],

所以S=4πR2=12π,t∈［一，0］的值域包含區(qū)間［0,2］,

由一5工七工0，可得一5+6工t+8工6，

當6=TT時，≤t+7Γ≤7T,-1≤cos(t+7T)≤0,

所以S=4τrR2=i2τr,t∈［—90］的值域為［-1,1］不滿足要求，4錯誤；

當"制，∣≤t+?≤?,-f≡≤c0s(t+?)≤i,

所以y=2cos(t+■)+l,te［-a0］的值域為［一q+l,2］滿足要求，B正確；

當。=爭時，∣≤t+y≤y,-l≤cos(t+y)≤^.

所以y=2cos(t+爭+1,t∈［∕θ］的值域為［O,q+1］滿足要求，C正確：

當0=狎，0≤t+j≤≡0≤cos(t+9≤l,

所以、=29(￡+方+1/6［冶,()］的值域為［1，3］不滿足要求，。錯誤.

故選：BC.

由條件可得=2sinx,X∈［0,/的值域包含于函數y=2cos(t+θ)+l,t∈［-權0］的值域,

求函數f(x)=2sinx,Xe［0,且的值域，并對各選項逐一檢驗，可得結論.

本題主要考查兩角和與差的三角函數，考查轉化能力，屬于中檔題.

27.【答案】ACD

【解析】解：對于A選項，因為α>l,所以k)g3α>O,

由log3<2=l0g5b,可得曾=霽，則”=y|,所以IOgab=IOg35,故A對;

Cil?"C。LiLLLiri?

mrn

對于B選項，設l0g3Q=log5Z?=m>0,則Q=3,b=5,

因為基函數y=Nn在(0,+8)上為增函數，所以37nV57n,即αvb,

nn

設l0g5C=log3h=n>0,則b=3,c=5,

因為幕函數y=%九在(0,+8)上為增函數，

n

所以3V5%即b<c,^ia<b<cf故8錯；

對于C選項，因為b=5rn=3n,且?n>0,n>0,

所以zn∕n5=九》3,所以巴=空>1,則TnVrι,故m—n<0,

mln3

所以寫=I^=(I)m-n>1,即αc>b2,故C對；

b???

對于。選項，由基本不等式，可得α+c>2√~五>2b,

所以，2a+2c>2√2a+c>2√22b=2fc+1,故。對.

故選：ACD.

利用換底公式可判斷4選項；設l0g3α=∣0g5b=m>0，log5c=log3fa=n>0,利用對數與指數

的互化，以及募函數的單調性可判斷B選項；比較m、n的大小，利用作商法結合事函數的單調性

可判斷C選項；利用基本不等式可判斷。選項.

本題主要考查了函數單調性在函數值大小比較中的應用，屬于中檔題.

28.【答案】解：CI)連接4CΠBD=。，連接P。，如圖,

因為在正四棱錐P-ABCD中，底面ZBCD是正方形，

則AC_LBD,且。是AC與BO的中點，P。_L底面4BC。，

因為正四棱錐P-ABCO的高為2/2，體積為浮，

則P。=2，7,

設底面ABCC邊長為3則&BCD=t2>

所以由VP-ABCD=：S*BCD,P。，得如P=Jt?x2√~Σ,

?

解得t=2,

因為P。_L底面ABCD,OCU底面4BCD,

故P。10C,

在RtAP。C中，OC=V2AC=y∏.,

則PC=√PO2+OC2=<10，

同理PB=√7萬，

所以在△PBC中，PB=PC=y∏L0,BC=2.

則SAPBC=∣×2×√10-1=3,

同理：S“AB=^?PAD=S“CD=SAPBC=3'

所以正四棱錐P-ABCD的表面積為S=SABCD+4SAPBC=4+4X3=16.

(2)由(1)可得，以。為原點，函,而,麗為X,y,Z軸，建立空間直角坐標系，如圖,

則4(√7,0,0),C(S,0,0),B(0,y∕~2,0),D(0,-√7,0),P(0,0,2√7),

因為點E為線段PB的中點,

所以E(OSq)，

則荏=(一/^,3,「)，

易知平面力BCD的一個法向量為而=(0,0,1),

設直線4E與平面ABCD所成角為。，則O<θ<p

所以sin。=|c。S質初=晶=苗短=I-

IJI21J0?

故COSJ=√1-sin2