2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知復(fù)數(shù)Z滿足Zi=I+i,則W對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（5分）設(shè)集合M=[（x,y）?y=?2x-1∣},N={（x,y）∣y=cos^-x）-4≤x≤4）ι

則Mr）N中元素的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（5分）已知隨機變量χ~N（|1[,Oj）γ~N（μ2,σ2）.它們的分布密度曲線

如下圖所示，則下列說法中正確的是（

B.μι<μ2,σ?>CrW

C.μ∣>μ2,σj<σ2D?μι>μ2.σ?>σ2

4.（5分）已知平面向量a>b滿足Ia+bI=Ia-b|>則b-a在a上的投影向量為（）

—?

A--aB.aC?~bD.b

5.(5分)若sin(α+匹■.)=—,α∈(0,π),則cos2α=()

43

B.土生叵C.謔,4√2

A.-LD.

9999

6.（5分）在aABC中，點O滿足而=2而，過點。的直線分別交射線AB,AC于點M,N,

-SAM=mAB,AN=nAC.則，*+2〃的最小值為（）

A.8C.3D.4

3

7.（5分）已知/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且/（2）=2,若對任意的可，X2∈（0,+

f(X)-f(X)

8),均有——1-----------2_>1成立，則不等式/(χ-1)+l>x的解集為()

xl^x2

A.(-2,O)U(2,+8)B.(-8,-2)U(0,2)

C.(-8,-I)U(1,3)D.(-I,1)∪(3,+∞)

8.(5分)三面角是立體幾何的重要概念之一.三面角P-ABC是指由有公共端點P且不共

面的三條射線∕?,PB,PC以及相鄰兩射線之間的平面部分所組成的空間圖形.三面角

余弦定理告訴我們，若NAPC=α,ZBPC=β,ZAPB=γ,平面APC與平面BPC所成

夾角為。，貝IJCOS8=CoST-COSaCOSE>.現(xiàn)已知三棱錐P-ABC,PA=3√2>BC=3,

Ju。y■C?O

SInasinP

N4PC=45°,NBPC=60°,NAP8=90°,則當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時，它的

外接球的表面積為()

A.18πB.36πC..???D.IlZ2L

22

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

(多選)9.(5分)下列等式成立的是()

A.0!=0

B-；

C?(n+l)C?=(m+l)C*

Dj->JTl.y~?Jk1-J-IJlH"1

(多選)10.(5分)以下四個正方體中，滿足ABL平面CQE的有()

(多選)11.(5分)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,/(2A-+1)是偶函數(shù)，/(X-1)的圖象

關(guān)于點(3,3)中心對稱，則下列說法正確的是()

A.f(x)=∕(x+2)

B.f(20)=3

C.f(X+2)=/(4k-x),&6Z

4k-1

D?∑f(i)=12k-3-髭Z

i=l

(多選)12.(5分)一個不透明的袋子中裝有大小形狀完全相同的紅、黃、藍三種顏色的

小球各一個，每次從袋子中隨機摸出一個小球，記錄顏色后放回，當(dāng)三種顏色的小球均

被摸出過時就停止摸球.設(shè)Ai="第i次摸到紅球"，Bi="第,?次摸到黃球"，Ci="第

，?次摸到藍球"，Di="摸完第，次球后就停止摸球”，則()

A?P(D)=?

°3y

B

?P(D4IA1)??

n??-?

D.P(DIBrC)=W----,欄3

r3n∣D?'n"2'∏-2

neQ

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知實數(shù)〃，。滿足2"=5"=∕n且上+L」，則機=.

ab2

14.(5分)現(xiàn)有一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，若隨機拋擲它兩次均正面朝上的概率為』，則隨

2

機拋擲它兩次得到正面、反面朝上各一次的概率為;若隨機拋擲

它10次得到正面朝上的次數(shù)為"則E(W)=

"LndaYfl

15.(5分)已知函數(shù)f(χ)=/α,X,若/(白有4個零點，則實數(shù)。

-χ2+2ax+3a-4,x≥0

的取值范圍是.

16.(5分)己知平面向量a，b，%(i=l,2)滿足值I=2∣EI?E=2,∣Cj-aI=1，

則6-2入E∣+2∣[-λE∣(λCR)的最小值為---------------------

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在aABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且，

請從下列兩個條件中任選一個填入上方的橫線中作為已知條件，并解答本題(如果選擇

多個條件分別解答，則按第一個解答計分)：

①CSin^^^=asin(??s??gɑ???(b2+c2-a2)τ

y<t-*ΛDLz4

(1)求4；

(2)若。為邊BC上一點，且28=AQ=B￡>,試判斷AABC是銳角三角形、直角三角

形還是鈍角三角形，并說明理由.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=sinωΛ+cosωx(ω>0)的圖象關(guān)于直線對稱，且/(x)

8

在(0,JL)上沒有最小值.

6

(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

x,

⑵已知函數(shù)g(x)=Ioga(2a-4a+2)(”>。且“≠1)，對任意x?∈卜鼠，~^~^?

總存在x2e[l,2],使得/(xι)Wg(JC2),求實數(shù)α的取值范圍.

19.(12分)航班正點率是指航空旅客運輸部門在執(zhí)行運輸計劃時，航班實際出發(fā)時間與計

劃出發(fā)時間較為一致的航班數(shù)量與全部航班數(shù)量的比率.人們常用航班正點率來衡量一

個航空公司的運行效率和服務(wù)質(zhì)量.現(xiàn)隨機抽取10家航空公司，對其近一年的航班正點

率和顧客投訴次數(shù)進行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如表：

航空公12345678910

司編號

航班正82777776747371709169

點率

Xil0Zo

顧客投2158796874937212218125

訴次數(shù)

W次

整理數(shù)據(jù)得：EXiy產(chǎn)53620，∑X衿58150，∑y^≈64810-∑xi=760'

i=li=li=li=l

￡y.=730-√13×√384≈70?

i=l1

n

∑xiyi-nxy

i=l

(1)(i)證明：樣本相關(guān)系數(shù)rh?j=

U=I

(")根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算樣本相關(guān)系數(shù)(結(jié)果保留2位小數(shù))，并由此推斷顧客投訴次數(shù)

與航班正點率之間的線性相關(guān)程度(若0.8≤∣r∣Wl,則認為線性相關(guān)程度很強；若0.3≤

H<O.8,則認為線性相關(guān)程度一般；若∣M<0?3,則認為線性相關(guān)程度很弱).

(2)用一元線性回歸模型對上表中的樣本數(shù)據(jù)進行擬合，得到顧客投訴次數(shù)關(guān)于航班正

點率的經(jīng)驗回歸方程為v=-5x+a?現(xiàn)有一家航空公司擬通過加強內(nèi)部管理來減少由于公

司自身原因引起的航班延誤次數(shù)，并希望一年內(nèi)收到的顧客投訴不超過73次，試估計該

公司的航班正點率應(yīng)達到多少？

n__

Σ(χi-χ)(yi-y)

參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)I-IIN---------F-----------------

22

J∑(χi-χ)J∑(yi-?)

Vi=lYi=l

20.(12分)2023年4月23日是第28個“世界讀書日”.為了倡導(dǎo)學(xué)生享受閱讀帶來的樂

趣、尊重和保護知識產(chǎn)權(quán)，立德中學(xué)舉辦了一次閱讀知識競賽.初賽中每支隊伍均要參

加兩輪比賽，只有兩輪比賽均通過的隊伍才能晉級.現(xiàn)有甲、乙兩隊參賽，初賽中甲隊

通過第一輪和第二輪的概率均為與，乙隊通過第一輪和第二輪的概率分別為旦，2,且

453

各隊各輪比賽互不影響.

(1)記甲、乙兩隊中晉級的隊伍數(shù)量為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)經(jīng)過激烈的比拼，甲、乙兩隊成功進入決賽爭奪冠軍.決賽共有兩道搶答題.第一

題中，某支隊伍若搶到并答對則加10分，若搶到但答錯則對方加10分.第二題中，某

支隊伍若搶到并答對則加20分,若搶到但答錯則對方加20分.最終得分高的隊伍獲勝.假

設(shè)兩支隊伍在每一題中搶到答題權(quán)的概率均為工，且每一題答對的概率分別與初賽中通

2

過對應(yīng)輪次的概率相等.各隊各題作答互不影響.已知甲隊獲得了冠軍，計算第二題是

由甲隊搶到答題權(quán)的概率.

21.(12分)如圖，四面體ABa)中，平面ABUL平面BCD,AB±AC,AB=AC=逐，CD

=1.

(1)ADLAB,證明：L平面ABG

(2)設(shè)過直線AQ且與直線8C平行的平面為α,當(dāng)AQ與平面ABC所成的角最大時,

求平面a與平面BCD的夾角.

aab

22.(12分)已知/(x)=x+l,g(x)=X2+2.定義Inin{a,b}二,',設(shè)(x)

b,b≤a

=min{f(∣Λ-r∣),g(∣Λ-2∕∣)},r∈R.

(1)若/=3,(Z)畫出函數(shù)加(x)的圖象；

(")直接寫出函數(shù)機(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵定義區(qū)間A=(p,q)的長度L(A)=q-p?若B=AIUA2U…UAn(nC/)’

n

ZH

Λ∕O47?=0(1≤<7≤),則L(B)=EL(A1).設(shè)關(guān)于X的不等式機(X)〈，的解集為

i=l

D.是否存在，，使得L(D)=6?若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

6

5

4

3

2

1

2TO

-l

2

-

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知復(fù)數(shù)Z滿足Zi=I+i,則W對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則，求出復(fù)數(shù)z,再判斷對應(yīng)的點所在的象限即可.

【解答】解：由z?i=ι+i,得ZJA,（a+i"H）_=]_「

i-i2

所以W=l+i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（1,1）位于第一象限.

故選：A.

【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及共規(guī)復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于

基礎(chǔ)題.

2.（5分）設(shè)集合M={（%,j）∣y=∣2x-1∣},N={（x,y）Iy=CoS~^~x,-4≤x≤4]>

則M∩N中元素的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】在同一坐標(biāo)系下畫出兩集合對應(yīng)函數(shù)圖象，交點個數(shù)即為交集元素個數(shù).

【解答】解：對于函數(shù)y=∣2jr-1|,當(dāng)x<0時，OVy<1,當(dāng)x20時，y20.

對于函數(shù)y=cosf-x,-4<X<4>-yχ∈[-2∏,2兀],貝IJ-IWy≤1且端點處取最

大值.

兩函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系下大致如下，則兩函數(shù)圖象有3個交點，即MnN中元素的個

數(shù)為3個.

故選：B.

【點評】本題以集合交集為載體，主要考查了函數(shù)圖象交點個數(shù)的判斷，屬于中檔題.

3.（5分）己知隨機變量χ~N（[,σ?）<Y~N（∣j?2）σ2）,它們的分布密度曲線

如下圖所示，則下列說法中正確的是（)

B?μ1<μ2,σj>σ2

C.μι>μ2,σj<σ2D?μ1>μ2,σJ>σ2

【分析】結(jié)合正態(tài)分布曲線特點可得答案.

【解答】解：由圖可得隨機變量X的均值比隨機變量丫的均值小,

則μi<μ2?又由圖得，隨機變量X的分布比隨機變量y的分布更加分散，則

故選：B.

【點評】本題主要考查正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）已知平面向量a，b滿足Ia+bI=Ia-b|,則b-a在a上的投影向量為（）

A--aB.aC.-bD?b

【分析】由已知可得根據(jù)投影向量的定義及數(shù)量積的運算律求投影向量即可.

【解答】解：由∣Z+E∣=∣ZG∣知：l2+2；-b+b2=a2-2；-b+b2*可得ZE=0,

—?2

所以E-Z在Z上的投影向量為M(b-a)aa?b-a—T

TzrT=------5-a=-a?

KThlIll2

故選：A.

【點評】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)若Sin(α+2L)=_L,a∈(O,π),貝IJCOS2a=()

43___

A.-LB?±遍C.4√∑D?-逃

9999

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得COS(a+2L)的值，再利用誘導(dǎo)公式、二倍

4

角公式求得CoS2a=sin(JL?+2a)的值.

2

【解答】解：Vsin(a+-H-)=JL<A=sin.2L,a∈(0,π),.*.a+-ZL∈(_1L,π),

432642

.^.cos(a+-^L)=-2/TT_-2√2

in(as-

43，

貝!]cos2α=sin(?ΣL+2a)=2Sin(a+-2I-)?cos(a+2L)≈2?A?(,2√2,)=.4√2,

244339

故選：D.

【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

6.（5分）在AABC中，點。滿足W=2而，過點。的直線分別交射線AB,AC于點M,N,

?AM=mAB-AN=nAC-則，〃+2〃的最小值為（）

A.?B.lθC.3D.4

33

【分析】利用共線定理的推論可得2」_=1，然后妙用“1”可得.

3m3n

【解答】解：由題可知，∕n>0,n>0,

因為^≡=而，AN=nAC.

所以行」高，AC^AN'

mn

XCO=2OB)

所以菽i-菽=2瓦-2菽,

所以3菽i=2瓦+菽,

所以AO?f*ABAAC__AMAN，

3331n3n

因為M,O,N三點共線，

所以m+2n的最小值為￡■.

3

故選：A.

N

【點評】本題考查平面向量以及基本不等式的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

7.(5分)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(2)=2,若對任意的Xi,X2∈(0,+

f(X)-f(X)

8),均有——I----------J〉］成立，則不等式/(X-I)+1>X的解集為()

xl-x2

A.(-2,0)U(2,+∞)B.(-∞,-2)U(0,2)

C.(-∞,-1)U(1,3)D.(-I,I)U(3,+∞)

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(X)-X,則g(%)=f(x)-X在(0,+8)上遞增，判

斷g(x)=f(x)-X也是是定義在R上的奇函數(shù)，可得g(x)=f(x)-尤在(-8,

0)上遞增，分類討論列不等式求解即可.

f(X)~f(X)

【解答】解：因為對任意的XI,Λ2∈(0,+8),均有——?-----------L>1成立，

xl-x2

不妨設(shè)X2>X?>0,則Xl-X2<0,

所以/*(冗1)-f(X2)<X1-X2=>f(XI)^Xl</(X2)^X2,

構(gòu)造函數(shù)g(X)=f(%)-X,則g(X)=f(X)-X在(O,+o°)上遞增，

因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以g(?)=∕(x)-X也是是定義在R上的奇函

數(shù)，

所以g(x)=f(x)-X在(-8,0)上遞增，

不等式/(X-I)+l>x化為/(X-I)-(x-1)>0=g(x-1)>0,

因為/(2)=2nf(2)-2=0=g(2)=Ong(-2)=-g(2)=0,

則(g(x-l)>g⑵=卜-1〉20x〉3,

X-I>0xT>0

“Jg(XT)>g(-2)χ-l>-2

=>-l<χ<1；

XT<0χ-l<0

X-I=OBvLg(0)=0,不合題意;

綜上不等式/ɑ-1)+ι>χ的解集為(-1,1)U(3,+8),

故選：D.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.（5分）三面角是立體幾何的重要概念之一.三面角P-ABC是指由有公共端點P且不共

面的三條射線∕?,PB,PC以及相鄰兩射線之間的平面部分所組成的空間圖形.三面角

余弦定理告訴我們，若∕APC=α,ZBPC=β,ZAPB=γ,平面APC與平面BPC所成

夾角為。，貝IJCOS8=c0sY-C°ΞQC°SE>.現(xiàn)已知三棱錐P-ABC,PA=3√2-BC=3,

SInasinP

N4PC=45°,NBPC=60°,NAP8=90°,則當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時，它的

外接球的表面積為（）

A.18πB.36πC.&2D.117K-

22

【分析】作出圖形，作BD±PC,BM，平面APC,則NBQM=0,先表示出

,

VP-ABC=4SAAPC-∣BM∣接著用條件表示成VP-ABC羋IPCI?IPB|-要使三棱錐P

-ABC的體積最大，則∣P8∣∣PC∣最大，利用基本不等式得出PB=PC=3時，其體積最大，

然后補全三棱錐成棱柱，根據(jù)棱柱外接球半徑即可求解.

【解答】解：由題知，NAPC=45°,ZBPC=60°,NAP8=90°,

平面APC與平面BPC所成夾角為θ,

作BOLPC,BMi.平面APC,

則/BOM=B,

由題意得VPTBCvS△APCIBg,

0√2χ1

cos8=cosY-cosα.s8=2昱,θ∈(Q,K),

C0SsinCCsinβ√2√33,)

_T×^T

.avθ

siny=-^-1

IBMI=∣BD∣-≡inθ=2^-∣BDl?-IPB卜SinB=與?∣PB|，

OO4

1□

SΔAPC=??∣PA∣IPCl-sinɑ=-≤-?IPCP

VP-ABC=?SΔAPC?IBMI=y?∣PCI---∣PBI=2γ-∣PCI-∣PBk

要使三棱錐P-ABC的體積最大，則IPBIipCl最大，

在△尸8C中，由余弦定理得，

222

YRRRI-PB+PC-BC

COSZBPC22?PBPC

整理得，PB2+PC2PBPC,

PB2+PC2=PβPC+9^2PBPC,BPPB?PCW9,

當(dāng)且僅當(dāng)P3=PC=3時，等號成立，

則PA=3√^,PB=PC=BC=3,

AB=√PA2+PB2=√18T9=3√3'

因為c。SNAPC=4居鰲?或，

22-PA-PC

解得AC=3,

所以PC2+AC1=PA1,AC2+BC2=AB1,

BPACLPC,ACLBC,ZSCP=60°,

所以補全三棱錐成棱柱，如下圖，

則四邊形BCPD是菱形,

點。為其外接球的球心，即AQ中點,

所以BP=3,CD=2PC?cos30o=3∣3,

AD=VcD2+AC2=√27+9=6?

所以外接球半徑為3,

即三棱錐P-ABC外接球的表面積為4π×32=36π.

故選：B.

【點評】本題考查了三棱錐外接球的表面積計算，屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）下列等式成立的是（）

A.0!=0

C(n+l)C?=(m+I)C事

--

D.J-Int.∕ιnt1.「JTU1

【分析】利用排列數(shù)、組合數(shù)公式對各選項逐一計算判斷作答.

【解答】解：根據(jù)階乘的概念可知，0!=1，故A錯誤；

rtm

nAmT=(nT，！=----?l:-----=A,故B正確；

nT(n-m)!(∏-m)!n

因為泗+1=__(n+1)!_____Jltl_____n!____JtLCm,所以

n?+l(m+l)!(n-m)!m+1m!(n-m)!m+1n

(n+l)Cj=(m+l)c5ιt故C正確;

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知m+Cr=CJH，故。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題主要考查組合數(shù)、排列數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）10.（5分）以下四個正方體中，滿足43,平面CZ）E的有（）

【分析】根據(jù)直線與平面內(nèi)的直線不垂直可判斷AC,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理判

斷BD.

【解答】解：對A,；CE〃A￡>,NDAB=二-，

4

."B與CE所成角為2L,

4

故AB與平面Cr)E不垂直，故A錯誤；

對8,在正方體中，平面A8D,ABU平面A8D,

所以ABJ_￡D,

y.ABYCE,DECCE=E,DE,CEU平面CQE,

所以ABi.平面CQE,故B正確；

在正方體中，由正方體面上的對角線相等可知，4A8尸為正三角形,

所以/BAE=；，

O

又CE〃AF,AB與CE所成的角為2L,

3

所以AB與平面SE不垂直，故C不正確；

因為AM，平面CMEB,ECU平面CMEB,

所以AMLEC,

又8M_LEC,BM^AM=M,BM,AMU平面AMB,

所以EUL平面AMB,

又ABU平面AMB,

所以ECLAB,

同理可得EDLAB,

再由EcnE￡)=￡■,EC,EDc5FffiECD,

所以ABJ_平面CDE,故D正確.

故選：BD.

【點評】本題考查線面垂直的判定，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)11.(5分)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,f(2Λ+1)是偶函數(shù)，/(χ-l)的圖象

關(guān)于點(3,3)中心對稱，則下列說法正確的是()

A.f(x)=f(X+2)

B.f(20)=3

C.f(X+2)=/(4k-χ),?∈Z

4k-1

D?∑f(i)=12k-3-kez

i=l

【分析】根據(jù)已知條件求出f(x)的周期，而后進行分析計算即可.

【解答】解：對于A,因為/(2x+l)是偶函數(shù)，所以有/(x)=∕(-χ+2),

因為/(x-1)的圖象關(guān)于點(3,3)中心對稱，所以有/(x-1)4/(-x+6-1)=6,

即/(x-1)+fC-x+5)=6,

所以有，?(-χ+3)+f(-x+5)=6,

即f(x)+/(x+2)=6,即f(x)=6-∕(x+2)=6-(6-/(x+4))=f(x+4),所以f

(x)周期為4,4錯誤；

對于B,由題意，知/(2)=3,又f(20)=f(4)=6-/(2)=3,B正確；

對于C,/(x+2)=/(-x)=/(-(χ-4?))=∕(4k-x),Λ∈Z,C正確；

4b1

對于D,當(dāng)k=l,￡f(i)=/(1)+f(2)+f(3)=/(2)+∣∕(1)+f(3)]=3+6

=9,

4k-l

所以1f(i)=9+f<4)V<5)+∕<6)+/(7)+???+∕?(4?-4)+/(4?-3)+/(4Λ-2)

i

+/(4?-1)=9+[∕(4)+/(6)]+[f(5)+/(7)]+-+[f(4?-4)+/-(4?-2)]+[∕,(4?-

3)?(4?-1)]=9+12(A-I)=12A-3,D正確.

故選：BCD.

【點評】本題主要考查抽象函數(shù)的周期性，求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵，屬中

檔題.

(多選)12.(5分)一個不透明的袋子中裝有大小形狀完全相同的紅、黃、藍三種顏色的

小球各一個，每次從袋子中隨機摸出一個小球，記錄顏色后放回，當(dāng)三種顏色的小球均

被摸出過時就停止摸球.設(shè)4="第i次摸到紅球"，Bi="第，次摸到黃球"，G="第

，?次摸到藍球"，Di="摸完第i次球后就停止摸球”，則()

?-P(D3)=?

b,

P(D4IAI)=告

D.p(D∣B.Cr,}=------，

r*n∣D~'n"2'Qn-2

nO

【分析】根據(jù)題意，由條件概率和古典概型的計算公式依次分析選項是否正確，綜合可

得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4,D3="摸完第3次球后就停止摸球”，即前三次摸球中摸到了全部顏色的球，

AqOH

則l尸(9)=Y=Z,A正確；

339

對于8,AI="第1次摸到紅球”，則P(Ai)=L

3

ci(22-1)

事件4D?="第一次摸到紅球而第4次摸球后停止摸球”，則P(AiD4)~~-——

34

_2

27

故P(D4∣4)=P(，叫)=2,B錯誤;

P(Al)9

對于C,Dn="摸完第”次球后就停止摸球”，即直到第〃次才摸全三種顏色的小球（n

23),

C?(2n^1-2)n-l_

則P(Di)-----------------------=-=9-----9乙，C正確;

3n

對于D,BN="第W-I次摸到黃球"，GT="第〃-2次摸到藍球”，則P（BMCn一

2)=-L×l=l,

339

Bn.?Cn-lDn="第〃-1次摸到黃球且第n-2次摸到藍球，同時直到第n次才摸全三種

顏色的小球”，則前〃-3次的摸球中，摸到的都是黃球或藍球，第〃次摸到紅球,

rfn-3

則P(Bn?lCn.2Dn)=±—

3n

2n^3

P(DnBklCk2)2匹

故P(D,,∣B,-iC-2)。正確.

inPE)?尹

故選：ACD

【點評】本題考查概率的應(yīng)用，涉及古典概率、條件概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知實數(shù)”，人滿足2a=5、=加且工則∕n=100.

ab2

【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的互化公式，表示出a,b,再結(jié)合換底公式表示出工

ab2

最后結(jié)合對數(shù)運算即可求解.

【解答】解：由2"=5"=相可得a=1°gm,b=logR∏ι=L=Iog2,^L=IQg5，

?+b?lljl°?2+l°≡m5=1°≡m10?

所以巾2=?Q?即"2=100

故答案為：100.

【點評】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，還考查了對數(shù)運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）現(xiàn)有一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，若隨機拋擲它兩次均正面朝上的概率為』，則隨

2

機拋擲它兩次得到正面、反面朝上各一次的概率為若隨機拋擲它10次得

到正面朝上的次數(shù)為"則E(S)=—5近—.

【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式求出拋擲一枚硬幣正面朝上概率P，再由獨立重復(fù)試驗

求出正面、反面朝上各一次的概率為，由二項分布的期望公式求期望.

【解答】解：設(shè)這枚硬幣正面朝上的概率為p,反面朝上的概率為l-p,

則兩次正面朝上的概率為02八，解得，反，

所以隨機拋擲兩次得到正面，反面朝上各一次的概率為

P=C；P(l-p)=2X=V2-Γ

由題易知隨機變量；服從二項分布S~B(10,喙)，

則E(g)=10×2y-=5√2?

故答案為：Λ∕2-1；5Λ∕2?

【點評】本題主要考查離散型隨機變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運算求解能力，屬于中

檔題.

-I1Λ(^C)|_χ<o

15.(5分)已知函數(shù)f(χ)=廣'u,若/(p有4個零點，則實數(shù)α

-x^+2ax+3a-4,x>0

的取值范圍是(1,Ai.

3

【分析】利用函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求

解即可.

【解答】解：當(dāng)x<0時，由/(x)=0,得/"<W∣=α,

設(shè)g(X)=e""'5",

當(dāng)-x>1時，即x<-1,此時g(X)=eln''χ'--X,

當(dāng)0<-x<l時，即-l<x<0,此時g(x)—el"'x>-[el"x>]1—(-x)”=-

X

作出g(X)在x<0時的圖象，由圖象知，當(dāng)a>1時，a=g(x)有兩個解，a=1時，a

=g(X)有1個解，

當(dāng)a<?時，a—g(X)無解，

當(dāng)x20時，f(x)是拋物線，最多有2個解，

則若/(x)有4個零點，則必有當(dāng)XVO時，/(x)有兩個零點，即α>l.

當(dāng)x20時，?(?)對應(yīng)的拋物線開口向下，對稱軸為x=α,

要使當(dāng)XNo時，/(Λ)有兩個零點，

a/1

\>1

a<-∣-

則滿足，f(0)=3a-440,即<

2

.Δ=4a+4(3a-4)>0a^+3a-4>0

'a>l

BPJa<?,得IVaW生

33

a>1或a<-4

即實數(shù)”的取值范圍是(1,1].

3

【點評】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)

圖象交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

16.(5分)己知平面向量a，b>Ci(i=l,2)滿足IaI=2∣bI=&：b=2Tc「a∣=Γ

則￡-2高∣+2Q-λg∣(λCR)的最小值為-2√^-3.?

【分析】求出向量a，U的模及夾角，記

OA=I,≡=b,而K=2五，西石，爪=2石，得出對應(yīng)點的軌跡，利用數(shù)

形結(jié)合求最值.

【解答】解：由∣Z∣=2∣E∣=√^aE=2i1j2XlXcosC,5〉增，所以

G,b>44

記贏=Z,≡=b,OB7'=2λb,θq=c^J,0C^=2c^'因為|司-；|=1，

所以Cl在以A為圓心，1為半徑的圓上，C2在以A'為圓心，2為半徑的圓上，其中A

(2,0),A'(4,0),

所以

y,

∣^c?-2λbI+2Ic^-λbI=∣T[-2λbI+I2c?-2λbI=∣BC1∣+∣BC21)

作A關(guān)于直線/(正所在直線)的對稱圓，CI的對稱點記為C3,知4(0,2),

則由'CII+∣B'C2∣=∣B'C3∣+∣B,C2∣,如圖,

由圖可知，當(dāng)Al,C3,B',C2,A'共線時，∣C3B'∣+∣C2B'I存在最小值，

因為|AiA，I=√16+4=2√5,r?,=1,rr=2-

所以∣C3B'∣+∣C2B'I最小值為2√ξ-3?

故答案為：2√5-3.

【點評】本題考查向量的線性運算，向量數(shù)量積的運算，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想,

屬中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在aABC中，角4,B,C的對邊分別為“，b,c,且，

請從下列兩個條件中任選一個填入上方的橫線中作為已知條件，并解答本題(如果選擇

多個條件分別解答，則按第一個解答計分)：

222,

①CSin^y^^=asin(?②s?<t-??ΛgDɑLz=零4(b+c-a)

(1)求4；

(2)若。為邊BC上一點，且2CO=4O=BD,試判斷aABC是銳角三角形、直角三角

形還是鈍角三角形，并說明理由.

【分析】(1)選①：利用誘導(dǎo)公式化簡，再由正弦定理邊化角，然后由二倍角公式化簡

可得；選②：根據(jù)面積公式和余弦定理列方程可解;

(2)根據(jù)已知先得菽上同心記，然后平方，聯(lián)立余弦定理求解可得c=2b,a=√3b.

33

然后可判斷三角形形狀.

【解答】解:⑴若選①:因為CSin號■二CSin-π-A-ccos^~,所以CCOS?∣^=asinθ

2

所以sinCcos^∣^=sinAsinC,

因為C∈(0，π),sinC>O,所以COq=SinA=2SilT^

因為2'C(O'^?")?COS卷>0，所以Sin^^J'

乙乙乙乙乙

所以解得A』.

263__

222

若選②：因為SΔABC?-?-(b+c-a)X2bccosA=^^??bccosA,

所以"~"bccosA="^bcsinA,所以V^CoSA=SinA，

所以tanA=我,

因為A∈(0,π),故A吟?

(2)因為2CO=8O=A。，

所以AD[^a,CD=-∣-a,BD=-I■a且BD==2DG

所以通-標(biāo)=2正-2標(biāo)，即無；《標(biāo)÷∣記

所以說2q∕+∣正2普疝正,

22

所以#春2+2+∣bc,即4α=c+4h?cφ,

又由余弦定理得a2=b2+c2-慶②，

聯(lián)立①②可得c=2Zυa=√3b-

從而/+b2=c?2,故aABC是直角三角形.

【點評】本題主要考查正余弦定理的應(yīng)用，三角形形狀的判斷，考查運算求解能力，屬

于中檔題.

18.(12分)已知函數(shù)f(x)=Sin3χ+cos3χ(3>0)的圖象關(guān)于直線乂=~二對稱，且/(x)

8

在(0,JL)上沒有最小值.

6

(1)求/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵已知函數(shù)g