新高考數(shù)學(xué)一輪練習(xí)專(zhuān)練13函數(shù)與方程

專(zhuān)練13函數(shù)與方程考查函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)的零點(diǎn)等.[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則g(x)＝bx2－ax－1的零點(diǎn)是()A．－1和eq\f(1,6)B．1和－eq\f(1,6)C.eq\f(1,2)和eq\f(1,3)D．－eq\f(1,2)和－eq\f(1,3)2．方程log4x＋x＝7的根所在區(qū)間是()A．(1,2)B．(3,4)C．(5,6)D．(6,7)3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,lgx－1，x>0))的所有零點(diǎn)之和為()A．7B．5C．4D．34．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx，則函數(shù)y＝f(x)()A．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)C．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)D．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)5．若冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(2，eq\r(2))，則函數(shù)g(x)＝f(x)－3的零點(diǎn)是()A.eq\r(3)B．9C．(eq\r(3)，0)D．(9,0)6．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2x，h(x)＝x3＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a(chǎn)＞b＞cD．c＞b＞a7．函數(shù)f(x)＝x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．38．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)的集合為()A．{1,3}B．{－3,－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3}D．{－2－eq\r(7)，1,3}9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＋2，x≤0，,lnx，x>0))(k∈R)，若函數(shù)y＝|f(x)|＋k有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k滿足()A．k≤2B．－1<k<0C．－2≤k<－1D．k≤－2二、填空題10．函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．11．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x－2，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(x0)＝1，則x0＝________.12．已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(x＋2)，且當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝x2，若在區(qū)間[－1,3]內(nèi)，函數(shù)g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[能力提升]13．對(duì)于函數(shù)f(x)和g(x)，設(shè)α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，則稱f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝ex－1＋x－2與g(x)＝x2－ax－a＋3互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[2,4]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(7,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，3))D．[2,3]14．(多選)[2021·廣東適應(yīng)性測(cè)試]設(shè)三個(gè)函數(shù)y＝2x＋x－2，y＝log2x＋x－2和y＝x3－3x2＋3x－1的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則有()A．x1x2＜x3B．x1x2＞x3C．x1＋x2＝2x3D．x1＋x2≥2x315．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．16．已知λ∈R，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ.))當(dāng)λ＝2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是________．若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是________．專(zhuān)練13函數(shù)與方程1．B由題意得x2－ax＋b＝0有兩根2,3.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝b，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝6.))由bx2－ax－1＝0，得6x2－5x－1＝0，得x＝－eq\f(1,6)或x＝1.2．C令f(x)＝log4x＋x－7，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且函數(shù)在(0，＋∞)上連續(xù)．因?yàn)閒(5)<0，f(6)>0，所以f(5)f(6)<0，所以函數(shù)f(x)＝log4x＋x－7的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(5,6)，即方程log4x＋x＝7的根所在區(qū)間是(5,6)．故選C.3．A由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3＝0，,x≤0，))得x1＝－3，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx－1＝0，,x>0，))得x2＝10，∴函數(shù)f(x)的所有零點(diǎn)之和為10－3＝7.4．D∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,3e)＋1>0，f(1)＝eq\f(1,3)>0，f(e)＝eq\f(e,3)－1<0，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)．5．B∵冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(2，eq\r(2))，∴f(2)＝2α＝eq\r(2)，解得α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝xeq\f(1,2)，∴函數(shù)g(x)＝f(x)－3＝xeq\f(1,2)－3.令g(x)＝xeq\f(1,2)－3＝0，得x＝9，∴g(x)＝f(x)－3的零點(diǎn)是9.故選B.6．A在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝2x和y＝－x的圖象，可得a＜0，用同樣的方法可得b＞0，c＝0，所以b＞c＞a，故選A.7．B∵函數(shù)f(x)＝xeq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x為單調(diào)增函數(shù)，且f(0)＝－1<0，f(1)＝eq\f(1,2)>0,∴f(x)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．8．D當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x，∴g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≥0，,－x2－4x＋3，x<0，))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＝0，,x≥0，))得x＝1或x＝3；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－4x＋3＝0，,x<0，))得x＝－2－eq\r(7)，故選D.9．D由于|f(x)|≥0，故必須－k≥0，即k≤0，顯然k＝0時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以k<0，f(x)＝kx＋2恒過(guò)點(diǎn)(0,2)，要使y＝|f(x)|與y＝－k的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)(如圖所示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．故選D.10.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))解析：當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝1在(－1,1)上沒(méi)有零點(diǎn)，所以a≠0.所以函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，要滿足題意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得eq\f(1,3)<a<1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).11．±1解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x0－2＝1，,x0≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x0)＝1，,x0>0，))得x0＝±1.12．(3,5)解析：∵偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(x＋2)且當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，f(x)＝x2，∴函數(shù)f(x)的周期為2.在區(qū)間[－1,3]內(nèi)函數(shù)g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(x)的圖象與y＝loga(x＋2)的圖象在區(qū)間[－1,3]內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)0<a<1時(shí)，不成立，所以a>1且loga(1＋2)<1，loga(3＋2)>1，解得a∈(3,5)．13．D易知函數(shù)f(x)＝ex－1＋x－2的零點(diǎn)為x＝1，則α＝1，設(shè)函數(shù)g(x)＝x2－ax－a＋3的一個(gè)零點(diǎn)為β，若函數(shù)f(x)和g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，根據(jù)定義，得|1－β|≤1，解得0≤β≤2.作出函數(shù)g(x)＝x2－ax－a＋3的圖象(圖略)，因?yàn)間(－1)＝4，要使函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,2]內(nèi)存在零點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g0≥0，,g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))≤0，,0<\f(a,2)<2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋3≥0，,\f(a2,4)－\f(a2,2)－a＋3≤0，,0<a<4，))解得2≤a≤3.故選D.14．AC因?yàn)閥＝x3－3x2＋3x－1，所以y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，所以y＝x3－3x2＋3x－1在R上是增函數(shù)，又當(dāng)x＝1時(shí)y＝13－3×12＋3×1－1＝0，所以x3＝1.作出y＝2x，y＝log2x，y＝2－x三個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)分別是函數(shù)y＝2x，y＝log2x的圖象與直線y＝2－x的交點(diǎn)．因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax與y＝logax的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且y＝2－x也關(guān)于y＝x對(duì)稱，所以交點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(y1＋y2,2)，即2－x1＋2－x2＝x1＋x2，所以x1＋x2＝2＝2x3，再由基本不等式及x1≠x2得x1x2＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))2＝1＝x3(0＜x1＜x2)．故選AC.15．(0,1)解析：函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于y＝f(x)與y＝m有三個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出y＝f(x)的圖象，其中拋物線的頂點(diǎn)為(－1,1)，由圖可知，當(dāng)0<m<1時(shí)，y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．16．(1,4)(1,3]∪(4，＋∞)解析：當(dāng)λ＝2時(shí)，不等式f(x)<0等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x－4<0))或eq\