四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

三臺(tái)中學(xué)高2022級(jí)高二上期12月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】將直線方程化為斜截式方程得直線斜率為，進(jìn)而得傾斜角是120°.【詳解】解：將直線方程化為斜截式方程得：，所以直線的斜率為，所以根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系得直線的傾斜角是120°.故選：C.2.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：指數(shù)值0~5051~100101~150151~200201~300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染為監(jiān)測(cè)某化工廠排放廢氣對(duì)周邊空氣質(zhì)量指數(shù)的影響，某科學(xué)興趣小組在工廠附近某處測(cè)得10月1日—20日的數(shù)據(jù)并繪成折線圖如下：下列敘述正確的是（）A.這20天中的中位數(shù)略大于150B.10月4日到10月11日，空氣質(zhì)量越來(lái)越好C.這20天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占25%D.10月上旬的極差大于中旬的極差【答案】C【解析】【分析】利用折線圖中數(shù)據(jù)信息以及變換趨勢(shì)，對(duì)選項(xiàng)一一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由折線圖知100以上有10個(gè)，100以下有10個(gè)，中位數(shù)是100兩邊最近的兩個(gè)數(shù)的均值，觀察這兩個(gè)數(shù)，比100大的數(shù)離100遠(yuǎn)點(diǎn)，因此兩者均值大于100但小于150，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由折線圖知10月4日到10月11日，越來(lái)越大，則空氣質(zhì)量越來(lái)越差，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由折線圖知小于50有5天，則20天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占25%，故C正確；對(duì)于D，由折線圖知10月上旬的最小值與中旬的最小值差不多，但10月上旬的最大值比中旬的最大值小的多，則10月上旬的極差小于中旬的極差，故D錯(cuò)誤；故選：C.3.向量，，，若，，共面，則等于（）A.0 B.1 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量共面定理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由向量，，，，，共面，得，，，即，解得．故選：A．4.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用幾何特征及雙曲線的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】易知是直角三角形，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)，由可知，所以.故選：A5.從長(zhǎng)度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】列舉出5條線段中任取3條的所有基本事件，求出構(gòu)成三角形的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概型求概率的公式求解即可.【詳解】從5條線段中任取3條的所有基本事件有10個(gè)，即，其中能構(gòu)成三角形的基本事件有3個(gè)，即，故所求概率.故選：A.6.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺(tái)之后黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，找出最短路程.【詳解】先找出B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，在直線上取點(diǎn)P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．7.當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】確定曲線為圓的下半部分，確定直線的定點(diǎn)，根據(jù)直線與半圓相切時(shí)得到斜率，再計(jì)算，結(jié)合圖像得到答案.【詳解】，即，，是圓的下半部分，直線過(guò)定點(diǎn)，且，，畫出圖像，如圖所示：當(dāng)直線與半圓相切且斜率存在時(shí)，圓心到直線的距離，解得，，根據(jù)圖像知：.故選：C8.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的定義，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形，得最小值.【詳解】如圖，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，則，又因?yàn)镹為圓E：上任意一點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線且M、N在E、之間時(shí)等號(hào)成立．由題意知，，，則，所以的最小值為.故選：B．【點(diǎn)睛】求最值時(shí)，可以利用定點(diǎn)，和E，當(dāng)M、N、E、共線且M、N在E、之間時(shí)最短，等于.二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.一組數(shù)據(jù)從小到大為5，6，7，8，，11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8，則（）A. B.極差為6 C.40%分位數(shù)為7 D.方差為5【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差、百分位數(shù)、方差的概念逐項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】由題得，所以，所以A錯(cuò)誤；根據(jù)定義極差為，所以B正確；因?yàn)椋?0%分位數(shù)為7，所以C正確；根據(jù)方差公式，方差為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC．10.若方程所表示曲線為，則下面四個(gè)說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.若，則為橢圓B.若為橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，則C.曲線可能是圓D.若為雙曲線，則【答案】AD【解析】【分析】利用二元二次函數(shù)與圓錐曲線的關(guān)系數(shù)，逐一分析判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)榉匠趟硎镜那€為，AC.當(dāng)，取時(shí)，方程為，表示圓，故A錯(cuò)誤，C正確；B.若為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則，即，故B正確；D.若為雙曲線，可得，解得或，故D錯(cuò)誤.故選：AD.11.如圖，四邊形，都是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，，分別是線段，的中點(diǎn)，則（）A. B.異面直線，所成角為C.點(diǎn)到直線距離為 D.的面積是【答案】ACD【解析】【分析】先利用面面垂直的性質(zhì)推得，，兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用向量法逐一分析判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)樗倪呅危际钦叫?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，則，所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，又，分別是線段，的中點(diǎn)，所以，，所以，，又，不共線，所以，故A正確；，，設(shè)異面直線，所成角為，則，又，所以，即異面直線，所成角為，故B錯(cuò)誤；由，，得，所以點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；因?yàn)?，所以到的距離即為到的距離，所以的面積，故D正確．故選：ACD．12.我們把離心率為的雙曲線叫做理想雙曲線，若雙曲線：是理想雙曲線，左右頂點(diǎn)分別為，，虛軸的上端點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率為，則（）A. B.頂點(diǎn)到漸近線的距離為C. D.的外接圓的面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)離心率求出，利用雙曲線的性質(zhì)結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)判定即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得；?duì)于A，，A正確；對(duì)于B，漸近線的方程為，右頂點(diǎn)到漸近線的距離為，B不正確；對(duì)于C，設(shè)雙曲線的焦距為，由得，，因?yàn)?，所以，C正確；對(duì)于D，由可知，的外接圓的半徑為，所以面積為，D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.把答案填在答卷中的橫線上.13.若：與：是兩條平行的直線，則實(shí)數(shù)______.【答案】1【解析】【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)，求出的值．【詳解】若：與：是兩條平行的直線，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，：，：，即，可得兩直線重合，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，：，：，滿足題意，所以實(shí)數(shù).故答案為：.14.如圖所示，電路原件，，正常工作的概率分別為，，，則電路能正常工作的概率為______．【答案】##0.4375【解析】【分析】電路能正常工作的條件是：必須正常工作，，至少有一個(gè)正常工作，由此求解即可【詳解】由題意，電路能正常工作的條件是：必須正常工作，，至少有一個(gè)正常工作，所以電路能正常工作的概率為，故答案為：15.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分，過(guò)對(duì)稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)上.由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn).已知，，，則截口所在橢圓的離心率為______.【答案】【解析】【分析】取焦點(diǎn)在軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題意及橢圓性質(zhì)有為橢圓通徑，得，結(jié)合及解出代入離心率公式計(jì)算即可.【詳解】解：取焦點(diǎn)在軸建立平面直角坐標(biāo)系，由及橢圓性質(zhì)可得，為橢圓通徑，所以，又，解得所以截口所在橢圓的離心率為故答案為：【點(diǎn)睛】求橢圓的離心率或其范圍的方法：（1）求的值，由直接求；（2）列出含有的齊次方程(或不等式)，借助于消去，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解．16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（在第二象限），過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，，則__________．【答案】3【解析】【分析】利用拋物線的定義可判定，則從而得出直線的斜率，設(shè)其方程與M、N坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可.【詳解】如圖，的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義，知，又，所以是等邊三角形，所以，，直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程得，所以，．由，得，解得．故答案為：3四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.某高校承辦了奧運(yùn)會(huì)的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a、b的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的第60百分位數(shù)（精確到0.1）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中頻率的計(jì)算方法及性質(zhì)，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中百分位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，因?yàn)榈谌?、四、五組的頻率之和為，可得，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以.【小問(wèn)2詳解】解：由前兩個(gè)分組頻率之和為，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以第60百分位數(shù)在第三組，設(shè)第60百分位數(shù)為x，則，解得，故第60百分位數(shù)為．18.某國(guó)家隊(duì)要從男子短道速滑1500米的兩名種子選手甲、乙中選派一人參加2022年的北京冬季奧運(yùn)會(huì)，他們近期六次訓(xùn)練成績(jī)?nèi)缦卤恚捍涡颍ǎ?23456甲（秒）142140139138141140乙（秒）138142137139143141（1）分別計(jì)算甲、乙兩人這六次訓(xùn)練平均成績(jī)，偏優(yōu)均差；（2）若，則稱甲、乙這次訓(xùn)練的水平相當(dāng)，現(xiàn)從這六次訓(xùn)練中隨機(jī)抽取3次，求有兩次甲、乙水平相當(dāng)?shù)母怕剩ⅲ喝魯?shù)據(jù)中的最優(yōu)數(shù)據(jù)為，定義為偏優(yōu)均差．本題中的最優(yōu)數(shù)據(jù)即最短時(shí)間．【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意及表中所給數(shù)據(jù)計(jì)算平均成績(jī)，偏優(yōu)均差即可；（2）列出滿足條件的基本事件總數(shù)，找出滿足條件的基本事件數(shù)，利用古典概型求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題可知，，，，．【小問(wèn)2詳解】六次訓(xùn)練中只有第4，6次甲、乙水平相當(dāng)，從六次中任選三次的結(jié)果有，，共20種，其中有兩次甲、乙水平相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果有4種，故所求概率．19.已知直三棱柱中，D為的中點(diǎn)．（1）從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；①；②；③．（2）若，，，求直線與平面ABD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)，根據(jù)不同的選擇，即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出長(zhǎng)度，利用，求得，再求得直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】連接，如下所示：選擇①，②，證明③如下：因?yàn)?，，面，故面，又面，故可?又為直三棱柱，故面，因?yàn)槊?，故；又面，故面，又面，故可得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故可得在平面中，垂直平分，則.選擇①，③，證明②如下：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，在△中，由三線合一可知；又為直三棱柱，故面，因?yàn)槊妫剩挥置?，故面，又面，故；又，面，故面面，?選擇②，③，證明①如下：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，在△中，由三線合一可知；又為直三棱柱，故面，因?yàn)槊妫?；又面，故面，又面，故；又面，故面，因?yàn)槊妫?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，則，故，則，又為直棱柱，故面面，故，故兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如下所示：設(shè)，則，故，因?yàn)?，故，解得，故，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，解得，則，又，設(shè)直線與平面所成角，則.即直線與平面所成角的正弦值為.20.已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，且．（1）求拋物線的方程：（2）過(guò)點(diǎn)作直線l交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出拋物線方程，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知可求出，得出方程；（2）設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，得出即可.【小問(wèn)1詳解】由題可設(shè)拋物線方程為，則，因?yàn)辄c(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，由于拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)在軸上方，則，所以，，所以，解得，所以拋物線的方程為【小問(wèn)2詳解】顯然直線l的斜率不為0，設(shè)方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，可得，則，，則，所以.即.21.已知圓，兩點(diǎn)、.（1）若，直線過(guò)點(diǎn)且被圓所截的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使得，求圓半徑的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）計(jì)算出圓心到直線的