高一數(shù)學(xué)北師大版必修1教學(xué)教案第四章2-3函數(shù)建模案例

§4.2.3《函數(shù)建模案例》教學(xué)設(shè)計一、教材分析課題：北京師范大學(xué)出版社數(shù)學(xué)必修1第四章《函數(shù)應(yīng)用》第二節(jié)《實際問題的函數(shù)建?！返谌n《函數(shù)建模案例》教學(xué)內(nèi)容：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)建模能促使學(xué)生用數(shù)學(xué)知識表達(dá)世界，改造世界。本節(jié)課是在學(xué)生掌握了實際問題的函數(shù)刻畫和用函數(shù)模型解決實際問題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)建模案例。本課通過創(chuàng)設(shè)問題情境，對問題進(jìn)行分析、數(shù)學(xué)實驗、函數(shù)模型建立與求解、模型的檢驗、練習(xí)鞏固、總結(jié)提升，使學(xué)生理解和把握函數(shù)建模的一般過程。在解決問題的過程中,使學(xué)生領(lǐng)會科學(xué)運用信息技術(shù)處理數(shù)據(jù)（例如畫散點圖、解方程組等），將數(shù)學(xué)與信息技術(shù)進(jìn)行整合。二、學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)的概念，掌握了二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐步建立應(yīng)用函數(shù)知識的能力。本課是解決與實際生活密切相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生表現(xiàn)出濃厚的學(xué)習(xí)興趣，同學(xué)們的積極性和主動性都很高。學(xué)生良好的學(xué)習(xí)興趣是培育數(shù)學(xué)建模能力的重要基礎(chǔ)。但限于學(xué)生們對數(shù)學(xué)知識掌握的局限性，且綜合應(yīng)用意識、應(yīng)用能力比較弱。函數(shù)建模案例體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用，是函數(shù)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，而這又是大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點。數(shù)學(xué)建模需要正確運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，通過數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)不斷提高學(xué)生的分析問題能力、抽象概括能力，較好的全局運籌能力和局部處理能力，這些要求對學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了一定的困難。因此在教學(xué)中要循序漸進(jìn)，同時學(xué)生還要掌握基本的信息技術(shù)知識，能利用信息技術(shù)處理一些簡單的數(shù)學(xué)問題。三、設(shè)計思想課程標(biāo)準(zhǔn)提出高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)其中數(shù)學(xué)建模是其重要內(nèi)容，因此課程設(shè)置要提供實際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，開展“數(shù)學(xué)建?！钡膶W(xué)習(xí)活動，設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專題課程，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實踐能力。教學(xué)過程中要堅持以學(xué)生為主體和教師為主導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。在教學(xué)過程中科學(xué)利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，同時鼓勵學(xué)生恰當(dāng)運用計算機、計算器等進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)，以達(dá)到信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的有機整合。本課是通過做實驗收集數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、處理，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行問題解決的，所以應(yīng)采用“實驗—建?！钡慕虒W(xué)方式。四、三維目標(biāo)根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)并結(jié)合學(xué)生實際，確定本節(jié)課的三維目標(biāo)如下：1.知識和技能（1）學(xué)會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型并利用已知函數(shù)性質(zhì)使問題得以求解，學(xué)會對函數(shù)模型的評價分析，掌握數(shù)學(xué)建模的一般過程。（2）通過把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，逐步把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到生產(chǎn)生活的實際中去，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。2.過程和方法（1）將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，學(xué)生自主經(jīng)歷和體驗函數(shù)建模的的過程。（2）通過運用信息技術(shù)畫散點圖、解方程組等，使學(xué)生認(rèn)識到信息技術(shù)在解決數(shù)學(xué)問題過程中所起到的作用。3.情感態(tài)度和價值觀（1）體驗函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，體驗函數(shù)與世界的密切聯(lián)系，體驗函數(shù)在刻畫現(xiàn)實問題中的作用。（2）通過實際問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的態(tài)度、合作的意識和實事求是的精神。五、教學(xué)的重點和難點重點：把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型并求解。難點：是如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，恰當(dāng)?shù)剡x擇數(shù)學(xué)模型，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。六、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖教師活動學(xué)生活動課題引入敘述：現(xiàn)在很多家庭都以燃?xì)庾鳛闊床说娜剂?節(jié)約用氣是非?，F(xiàn)實的問題。學(xué)生相互間討論家庭生活用氣情況。提出實際情境，引出問題提出問題提出問題：以燒開一壺水為例，怎樣燒最省燃?xì)猓看穑簾_一壺水所用燃?xì)庾钍?，就是使用燃?xì)庾钌佟６鵁_一壺水所用燃?xì)饬繎?yīng)該與燃?xì)庠钌峡刂迫細(xì)饬髁康男o的位置有關(guān)。提出問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。敘述：同學(xué)們分析的有道理。我們現(xiàn)在要研究的問題是旋鈕在什么位置時燒開一壺水所用的燃?xì)饬孔钌?？提問：那么燒開一壺水所用燃?xì)饬颗c旋鈕位置能建立起什么關(guān)系呢？答：燒開一壺水所用燃?xì)饬颗c旋鈕位置應(yīng)該能建立起函數(shù)關(guān)系。問：那么旋鈕位置這個量用什么數(shù)學(xué)知識來描述比較恰當(dāng)？答：可用旋鈕轉(zhuǎn)角的大小來表示。分析問題分析推理：設(shè)想，當(dāng)旋鈕轉(zhuǎn)角非常小時，燃?xì)饬髁恳卜浅Ｐ。踔咙c火后的熱量不足以將一壺水燒開，如果一直燒下去，燃?xì)饬繉o止境；隨著旋鈕轉(zhuǎn)角增大，即燃?xì)饬髁吭龃?，燒開一壺水所用燃?xì)饬繒兴跍p小；當(dāng)旋鈕轉(zhuǎn)角很大時，燃?xì)饬髁繒艽?，但燃?xì)獠灰欢ǔ浞秩紵^分的熱量不能充分作用于水壺，會產(chǎn)生浪費，燒開一壺水所用的燃?xì)饬恳矔容^大。思考中了解燃?xì)庠畹奶匦?，為后面的試驗作理論上的鋪墊。問：燃?xì)庠钌闲o位置與火力的關(guān)系嗎？答：燃?xì)庠钌闲o轉(zhuǎn)角越大火力越大，當(dāng)旋鈕轉(zhuǎn)角為90°時火力最大。敘述：在做試驗時旋鈕轉(zhuǎn)角不妨選擇為18°、36°、54°、72°、90°。觀察投影、思考中數(shù)學(xué)實驗數(shù)據(jù)敘述：我們做試驗時記錄相關(guān)數(shù)據(jù)如下位置燃?xì)饬浚╩3）18°0.13036°0.12254°0.13972°0.14990°0.172問：觀察以上數(shù)據(jù)，你能得出旋鈕轉(zhuǎn)角為多少時燒開一壺水所用燃?xì)庾钚幔看穑簝H以上述數(shù)據(jù)還不能，因為旋鈕在其它位置時燒開一壺水所用的燃?xì)饬坎恢溃醋钚≈挡灰欢ǔ霈F(xiàn)在已知數(shù)據(jù)中。培育學(xué)生實際操作能力和數(shù)據(jù)處理能力。問：那么你能不能根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出任意位置與燃?xì)饬康年P(guān)系嗎？答：可以假設(shè)以位置為橫坐標(biāo)，相應(yīng)燃?xì)饬繛榭v坐標(biāo)的點均在某個函數(shù)圖像上，進(jìn)而求這個函數(shù)的解析，即得到位置與燃?xì)饬康暮瘮?shù)關(guān)系。問：如何選擇這個函數(shù)呢？答：通過畫散點圖，觀察散點的分布特點恰當(dāng)選擇函數(shù)模型。模型建立與求解作出散點圖如下：問：觀察散點的分布特點，選擇那一種函數(shù)模型比較合理？答：從圖像可以看出二次函數(shù)的圖像與之最接近，可以用二次函數(shù)近似地表示這種變化。滲透數(shù)形結(jié)合的思想，曲線擬合的方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的能力，理解利用函數(shù)模型解決實際問題增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力。提問：設(shè)二次函數(shù)式為，如何求出表達(dá)式中的系數(shù)？答：隨機取三對數(shù)據(jù)代入表達(dá)式，利用待定系數(shù)法列出方程組即可求得系數(shù)。演示：不妨取(18,0.130)、(36,0.122)、(90,0.172)，得到方程組解得0.00002，0.00147，0.15033所以函數(shù)的解析式為y=0.00002x20.00147x+0.15033理解利用函數(shù)模型解決實際問題，學(xué)運用信息技術(shù)解方程組。敘述：由二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)時，函數(shù)有最小值（m3），即當(dāng)旋鈕轉(zhuǎn)角大約為39°時燒開一壺水所用的燃?xì)饬孔钚?。理解利用函?shù)模型的性質(zhì)解決實際問題模型評價檢驗問：這個函數(shù)模型能反映旋鈕在任何位置時燒開一壺水所用的燃?xì)饬繂?？答：不能。我們知道?dāng)旋鈕轉(zhuǎn)角非常小時，其火力不能將一壺水燒開，長時間燃燒的燃?xì)饬繀s非常大，這說明貼近縱軸的點的位置就會很高，不在這個二次函數(shù)的圖像上。培養(yǎng)學(xué)生通過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，學(xué)會檢驗評價的能力。問：那該如何優(yōu)化這個函數(shù)模型？答：我們的試驗是在旋鈕轉(zhuǎn)角18°至90°這個范圍內(nèi)進(jìn)行的，因此函數(shù)模型只適用旋鈕轉(zhuǎn)角在18°至90°這個范圍，盡可能的多試驗。敘述：同等條件下再做一次試驗，取旋鈕轉(zhuǎn)角為39°位置燒開一壺水，測量實際燃?xì)庥昧渴欠袷?.1218m3，如果基本吻合，就可以依此作結(jié)論了。如果相差較大，特別是燃?xì)庥昧看笥?.122m3時（實驗數(shù)據(jù)中的最小值），說明數(shù)據(jù)選取得不好，可以換另外的數(shù)據(jù)重新計算，然后再檢驗，直至結(jié)果與實際比較接近就可以了。理性思考中培養(yǎng)學(xué)生理性的科學(xué)的態(tài)度和求真務(wù)實的科學(xué)精神。練習(xí)鞏固練習(xí)：某地區(qū)未成年男性體重若超過相同身高未成年男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦。那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？(給出實驗數(shù)據(jù)：經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表)身高（cm）體重（kg）606.13707.90809.999012.110015.0211017.5012017.5013017.5014017.5015017.5016017.5017017.50學(xué)生借助信息技術(shù)動手計算進(jìn)行對比，實際操作懂得函數(shù)建模的過程和