新教材人教A版高中數(shù)學必修第二冊解三角形與平面向量結(jié)合問題 同步講義

12、解三角形與平畫典量結(jié)合問題

【例1】在ΛBC中，已知3=30。，b=?,則Q.蒜的最小值為（）

A.-1B.—C.—D.—

432

【答案】D

【分析】先求得三角形ABC外接圓的半徑，結(jié)合數(shù)量積的定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得

UlUUUU

4B?AC的最小值.

【詳解】設(shè)三角形ABC外接圓半徑為r,則&=—^=2=2r=r=l,

sinesin30

所以“3C的外接圓半徑為1,A為鈍角時，器.盜取到負值；

如圖，E為A3的中點，AC在AB上的投影向量為Ar）;

由AB?AC=∣AB∣?∣AC∣?CoSA可知當AC在A8I二的投影長最長時，

即8與圓。相切時，器品可取到最小值：

AB-AC=-∣Λβ∣∣ΛD∣=-2∣ΛE∣?（l-∣ΛE∣）=2∣AE∣2-2∣ΛE∣,

當網(wǎng)=g時,2?AE[-2?AE?=~,所以揩品的最小值為

【例2】在43C中，ZA8C=7,AC邊的中點為。，且比＞=1,則84BC的最大值為（）

A.2B.3C.26D.4

【答案】D

【分析】由已知可求I麗+覺卜128。=2,兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算，基本不

等式可求BABC的最大值.

【詳解】解：如圖，在ASC中，AC邊的中點為。

由80=1，可得：∣BA+8CH2B4=2

.?22-

BA+BC+2BABC=4^

:.\BA∣2+∣BC∣2+2∣BA∣I^C∣cosZABC=4,Uj■得：河|2+比/=4+網(wǎng).|叫，

IBA∣2+∣BC∣2≥2∣BA∣?∣BC∣,

.?.4+網(wǎng)?回怛2|砌出4，可得：網(wǎng)?∣3C∣≤4,（當且僅當網(wǎng)=伊牛2時等號成立）

則BABC的最大值為4.

【例3】在AABC中，乙ACB為鈍角，4C=BC=1,CO=xCA+yCB,且x+y=L若函數(shù)次m）

=IC4-機3（底口的最小值為亭，則ICoI的最小值為（）

A.1B.-C.?D.在

422

【答案】C

【分析】由題意可得ICol的最小值為AB邊上的高，由函數(shù)向n）=∣C4-〃?CBl的最小值為正，

2

即點A到8C邊的距離為立，可求出NACB=I20。，即可求出ICOl的最小值.

2

【詳解】法一：由C。=XeA+.VCB，且x+y=l,可知4，。8三點共線，

所以ICOl的最小值為A8邊上的高，又AC=8C=1,即。為A8的中點，

且函數(shù)XM=ICA—〃?CBl的最小值為走，即點A到BC邊的距離為正.

22

又AC=I,所以NAC8=120。，在，ABC中，∣COLTAC卜in30°=g,

從而可得ICOI的最小值為g.

故選：C.

法二：由CO=XCA+yCB，Rx+y=1,可知A,O,8三點共線，

所以ICOl的最小值為A8邊上的高.

設(shè)CAe8的夾角為6,所以

∣CΛ-∕∕zCβ∣=CA+m2CB-2mCA?CB=?+m2-2nιcosθ=（∕n-cos0）2+sin20

依題，可得SiYd=I,Sing=立,因為e是鈍角,所以。=?.

423

在.ABC中，ICOl=∣AC∣sin30o=∣,

從而可得ICoI的最小值為g?

【例4】在平面四邊形ABCf）中，NBAr>=30。,NABC=75。，NA。C=IO5。，AB=2,AD=G

【答案】B

【分析】取AB中點為F,結(jié)合極化恒等式以及余弦定理，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，連接E4,E8,取AB中點為尸，作圖如下：

在三角形ADF中，由余弦定理可得：DF2=4-2√3COS30O=1,即OF=1,

則ZFDA=ZFAD=30°,故ZFDE=75°,

顯然當且僅當FmC時，回取得最小值，

?∣EF∣=Sin75°XDF="+＞，所?-］的最小值為-1=.

min4IJ24,

即AEM的最小值為彳+今

【例5】在一ABC中，角A、B、C的對邊分別是。、方、c,且滿足(2α-C)B4?8C=cC3?C4.

(1)求角8的大??；

(2)若6=√J,求ABC的面積S的取值范圍.

【答案】(I)B=5

【分析】(1)利用平面向量數(shù)量積的定義以及正弦定理化簡得出CoSB的值，結(jié)合角B的取值

范圍可求得角B的值；

(2)利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡可得出S=更Sin(2A-四］+走，求出角A的取值

2I6；4

范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得S的取值范圍.

(1)

解：山(2a-c)BA?BC=cCB?CA可得(2α-C)CaCoSB=C?"cosC,

所以，(2α-C)COS8=?cosC,

由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBCOSC,

2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinJB=Sin(JB+C)=SinA,

A、B∈(0,π),則SinA>0,所以，cosB=-,故8=：.

23

(2)

解：由正弦定理可得,"=.’='一=2,則a=2sinA,c=2si∏C,

sinAsinCsinB

.*.S=gαcsin3=當4c=>∕JsinAsinC=GsinAsin(A+g)

=VJSin4?sinA+—cosΛ=—sinAcosA+—sin2A=—sin2A--cos2A+-

?22/22444

6.(CAπλ√3

=-s?n2A——+—，

2I6j4

?42π,π?.π7πLL….∣?πjf1

O<A<--,pr∣t∣Jl——<2A——<--,所以，sin2Ax-—∈~~A1

【例6】在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,h,c,滿足(c-2α)cosB+bcosC=0.

(1)求NB的值;

(2)已知。在邊AC上，且A3=3OC,BD=3,求AABC面積的最大值.

【答案】(1)?；

⑵4G

TT

【分析】(1)利用正弦定理可得SinA=2sinA8sB,從而可求8=§.

13

(2)利用向量可得即=；BA+^8C,平方后結(jié)合基本不等式可得0c≤16,從而可求面積的

44

最大值.

【詳解】(I)(C-2α)cosB+bCOSC=0,由三角形正弦定理可得

(sinC-2sinA)cosB+sinBCOSC=O

即(sinCcosB+sinBcosC)—2sinAcosB=O,sin(B÷C)-2sinAcosB=O,

.A+B+C=7Γ,

.,.sin(B+C)—2sinAcosB=Sin(Tr—A)-2sinAcos5=sinA—2sinAcosB=O,

故sinΛ=2sinΛcosB,

A是“。的內(nèi)角，

.?.sinA≠O,CoSB=而B為三角形內(nèi)角，

2

3

(2)因為AD=3OC，所以BA=3(8C-8Z)),

13

所以8D=-8A+-8C,

44

1?>O??1O?

所以9=一—BC^+-BA?3C,故9=一C2+二/+一QC,

16168161616

339

由基本不等式可得9≥fθc+-=-，故QC≤16,

81616

當且僅當〃=券,c=46時等號成立，

故面積的最大值為416x3=46

22

【例7】在ABC中，V2sinA-cosA=1.

⑴求CoSA；

(2)。在邊BC上，BD=2DC,∣A∕)∣=2,求，ABC面積的最大值.

【答案】⑴；；

⑵場.

4

【分析】(1)將己知條件兩邊平方得到si??A=2√∑sinAcosA,結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求得

tanA=2√2>O>進而可求COSA.

12

(2)由A￡>=；AB+：4C,根據(jù)已知模長及向量數(shù)量積的運算律可得

33

1244-227

?AB+lABAC+^-AC=4,結(jié)合基本不等式求得A≤f,進而求面積最大值，注意等號

9994

(最大值)成立條件.

(1)

由題設(shè)(V∑sinA-COSA)2=2sin2A-2V2sinAcosA+cos2A=1,

所以§m2?1=2應§Μ4(：0§4，又SinA>0,故tanA=20>O，

所以0<A<殳,故CoSA=L

23

(2)

A

-2212

AD=AB+BD=AB^--BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC

3333f

2191244-。

所以Ao=(-ΛB+-ΛO2=-AB+-ΛB?ΛC+-AC=4,

33999

則,c?2+汽匕。+3/=4≥2.-C2-b2+—be=—be,??c≤—,

9279丫9927274

所以ABC面枳S=JASinA≤'x2Xmg=還，當且僅當c=2A=偵時等號成立,

224342

故，ABC面積的最大值為電.

4

【題型專練】

1.ABC的內(nèi)角A3,C的對邊分別為“，b,c,CBCA=h^b~cV則A=()

2

πC兀一兀C2π

A.-B.-C.-D.—

4323

【答案】B

［分析］根據(jù)數(shù)量積的定義可得而CoSC=l73,根據(jù)正弦定理邊角互化即可求解.

2

【詳解】因為CZTCA="伽一°),所以BCOSC="(2叱。,即2?=c+24cosC,

22

由正弦定理可得2sin8=sinC+2sinAcosC，且

所以SinC=2cosAsinC,旦SinCW0,則CoSA=A∈(0,π),所以A=

JT-?-.--------1

2.如圖，在一ABC中，ABAC=-,AD=IDB>P為CD上一點、,AP=mAC+-AB,

若卜C∣=2,網(wǎng)=3,貝∣J∣4P∣的值為()

【答案】B

【分析】設(shè)CP=48,根據(jù)平面向量線性運算及平面向量基本定理求出4、加的值，依題意

可得ZXADC為等邊三角形，求出CP,再由余弦定理求出AP即可；

【詳解】解：設(shè)CP=ZICD，

221

則AP=AC+CP=AC+ΛCD=AC+Λ(-Aθ-AC)=-ΛAB+(l-Λ)AC=-AB+wAC,

22=1

32,解得,

m-?-λ

因為卜8卜3,所以4O=∣48=2,又k4=2,ZBAC=p所以AADC為等邊三角形，

兀33

所以ZACCP=-CD=-,

342

(3Y3113

由余弦定理人尸=AC2+CZ)2-2AC?C0COS∕ACZ)=22+二-2×2×-×-=-,

UJ224

所以AP=巫；

2

3.在jA8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,若a=2b=2,且C4?CB=-1,則C=

2

()

A.2B.20^C.√5D.√6

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積以及余弦定理即可求解.

【詳解】由CA,CB=—,得abcosC=—.乂a=r2b=2,故CoSC=—>

224

由余弦定理，=Λ2+?2-2a?cosC=4+1-2×2×l×f-^-j=6,故c=".

故選:D.

4.在.ASC中，角A8,C的對邊分別為4力,c,若AB?AC=8A?BC=1，則C的值為()

A.?B.√2C.2D.4

【答案】B

【分析】由向量數(shù)量積運算法則及正弦定理得Sin(A-5)=0,求出A=8,a=b,再利用余弦

定理求出c=0.

【詳解】由題意得:c?6cosA=c?acosB=l,

因為CHO,所以∕>cosA=αcos3,

由正弦定理得：SinBCoSA=SinACOS3,

即sinBcosA-sinAcos3=sin(A-3)=O,

因為A,8w(O,π),

所以A-3e(-7i,τt),

?A-B=O.即A=B.

則a=b,

由余弦定理及c??cosA=I得：cb-—C———=1,

2bc

即]?=1,解得：C=&-

5.己知48C滿足阿Si吟=8A?C4,貝IJA8C的形狀為()

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用向量數(shù)量積將原式化簡，再利用正弦定理和三角恒等變換判斷出,ΛBC的形狀

為等腰三角形.

【詳解】網(wǎng)飛吟=346=網(wǎng)1。卜8$4,則M=2∣CA∣?COSA,

由正弦定理可得SinC=2sinB?cosA,

則sin[π-(A+B)]=2si∏β?cosΛ,即sin(A+β)=2sinB?cosA,

即Sin(A-8)=0,所以NA=NB,ABC的形狀為等腰三角形，

6.在，ASC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是","c,?sinC=?V3(α-?cosC).

(1)求角B的大小：

(2)若點。滿足.AO=cOC,且∣8O∣=2√L求..ABC面積的最小值.

【答案】(I)B=W

(2)4√3

【分析】(I)由正弦定理把邊化為角，再結(jié)合三角恒等變換即可求解;

(2)由題意得陶’進而利用三角面積可轉(zhuǎn)化

I八二I—?BC-BD?sinZDBC

I。CI=ScW=2__________________BC

茄，從而有SinNDBC=SinZAB"再由面積公式與

1ad1SAABDL...SinZABD

2ABBD

基本不等式求解即可

(1)

因為bsinC=6(a一〃COSC),所以sin3sinC=G(sinA-sinBcosC).

因為SinA=Sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sinBsinC=?/?(sinBcosC+cosBsinC-sinBcosC)=布cosBsinC.

因為SinCWO,

所以tanB=G

又因為0<3<π,

所以83.

(2)

因為"AO=Cf)C，

所以點。在線段AC上，且g=吧.

c?AD?

Inec—tBC?BD?sinZDBC

因為空1=5=2__________________喀

IAClSAABD-ABBDsinZABDAB

2

所以sinNDBC=sinZABD,

即BD為NZABC的角平分線.

由(1)得8=1,

Tr

所以NABQ=/CBO=-.

6

IJr1Jr1TT

由sAABC=SAABD+SWCD，-acsi∩-=-a-BDsin-+-c-BDsιn-,

232o2o

即αc=2(α+c)≥4j^^,得“c≥16,當且僅當〃=C時，等號成立，

I.萬、1

Sc*SC=2αcsι∏]≥2x16sin?=4√3.

3

故乙ABe面積的最小值為

7.已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別為mh,c,.

l

①6CCOSB+ftsinC=O;②~~Γ+~~?~Sirl'~~=θ;③2cos?一^^'+cos2C-1=0.

a+bs?nA+sιnC2

請在以上三個條件中任選一個補充在橫線處，并解答：

(1)求角C的值；

⑵若C=2√3,CD=CA+^B且C4=√Σ,求CA?CB的值.

OT

【答案】(1)與7

⑵T

【分析】(1)若選①，由正弦定理及正弦的兩角和可得，若選②，由正弦定理及余弦定理可

得，若選③，由余弦的二倍角公式可得；

(2)由平面向量的數(shù)量積及余弦定理可求解.

(1)

若選①，由已知有GSinA-百SinCCoS3+sinHsinC=0,又因為,在AABC中,有

sinA=Sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以有6(SinBcosC÷cosBsinC)-?∣3sinCcosB÷sinBsinC=0,

化簡得JJSinBCoSC+sin8sinC=0,由于0<5<萬，所以Sini?W0,

所以力>∕JcosC+sinC=0,-F是有tar?e??-?/^,因OVC<乃，所以得C=-^-?

H-∕≈?ci-csin4C

若選②’由寸+sinA+sinC，

<曰〃一cb21^>?ja~—c~1

得-----1-------=Ona~+一c-=—ah=>cosC=----------------=—,

a+ba+c2ab2

因0<C<Λ?,所以C=與.

AA-R

若選③，由2cos?--—ι-cos2C-1=0,

有COS(A+8)+CoS2C=0=2cos?C-cosC-1=0.

從而有(COSC-I)(2COSC+1)=0,解得CoSC=-;或COSC=I(舍)(因為O<C<τr),

所以C=W2TT

(2)

由α>=CA+C8,可得點。為AB的中點，F(xiàn)L有2Cr>=C4+CB,

2

所以有c/+CRi+2CACB=4CD2=8，

若c=26，則AO=8O=√L

又NADC+/BDC=