數(shù)學(xué)物理方法期末復(fù)習(xí)

復(fù)變函數(shù)論習(xí)題課主要內(nèi)容：一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1）復(fù)數(shù)的三種表示模輔角代數(shù)表示三角表示指數(shù)表示1定義2）幾何意義意義1意義2復(fù)平面上的點(diǎn)復(fù)平面上從原點(diǎn)引出的矢量3）兩個(gè)特殊的復(fù)數(shù)零點(diǎn)模為零、復(fù)角任意的點(diǎn)點(diǎn)模為無(wú)限大、復(fù)角為任意的點(diǎn)2、復(fù)數(shù)運(yùn)算（略）3、復(fù)數(shù)的區(qū)域在一個(gè)復(fù)數(shù)的點(diǎn)集中，以某一點(diǎn)為中心作圓周，只要半徑足夠小，使得圓內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于該點(diǎn)集，此點(diǎn)稱(chēng)為該集合的內(nèi)點(diǎn)。1）內(nèi)點(diǎn)：2）區(qū)域：是一個(gè)點(diǎn)集，全部由內(nèi)點(diǎn)組成，且具有連通性，既點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)，總可以用一條折線連接起來(lái)，折線上的點(diǎn)都屬于此點(diǎn)集。3）境界點(diǎn)與境界線：境界點(diǎn)不屬于區(qū)域，但以它為中心作圓，不論半徑多小，圓內(nèi)總含有區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。境界點(diǎn)的全體，構(gòu)成境界線。4）開(kāi)區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域又稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域，區(qū)域與境界線構(gòu)成閉區(qū)域。例1計(jì)算下列復(fù)數(shù)：例1計(jì)算下列復(fù)數(shù)：解1、法一法二2)、3)、4）、二、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)1、導(dǎo)數(shù)條件：1）、

f（

x

）單值、連續(xù)；2）、任何方式趨近z0；3）、所有趨近方式的極限值相同。2、解析函數(shù)函數(shù)f（x）在某一個(gè)區(qū)域上的各點(diǎn)處處解析，則稱(chēng)該函數(shù)是該區(qū)域上的解析函數(shù)。3、解析函數(shù)的特點(diǎn)1）、解析函數(shù)在區(qū)域上的各點(diǎn)一定可導(dǎo)；2）、解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足Cauchy-Riemann方程。極角系直角系4、求解析函數(shù)的一般方法全微分法；不定積分法；曲線積分法；5、復(fù)變函數(shù)的幾何意義實(shí)部和虛部在復(fù)平面上各代表一曲面。v1、定義復(fù)變函數(shù)的積分是復(fù)平面上的線積分復(fù)變函數(shù)的積分是兩個(gè)實(shí)變函數(shù)積分的有序組合

三、復(fù)變函數(shù)的積分2、Cauchy定理1）、單連通區(qū)域的Cauchy定理如果函數(shù)在閉連通區(qū)域上解析，且沿上任一分段光滑閉合曲線L

（L也可以是的境界限），有推論：解析函數(shù)的積分值與路徑無(wú)關(guān)，可以引進(jìn)不定積分。2)、復(fù)通區(qū)域的Cauchy定理：ll2l1如果f(z)是閉合復(fù)通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，則l為區(qū)域的外邊界，是區(qū)域的內(nèi)邊界。積分方向沿境界線正方向進(jìn)行。常用Cauchy定理計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分。3、Cauchy公式若在閉單連通區(qū)域上解析,為的境界線,為內(nèi)的任一點(diǎn),則有1、

單連通區(qū)域的Cauchy公式若是復(fù)連通區(qū)域上的解析函數(shù),是內(nèi)境界線，是外境界線.是區(qū)域的內(nèi)點(diǎn),則有沿正方線積分2、復(fù)連通區(qū)域的Cauchy公式推論：解析函數(shù)可以有任意階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用公式計(jì)算一些復(fù)變函數(shù)的積分四、三種級(jí)數(shù)展開(kāi)1、泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)1）、展開(kāi)中心的點(diǎn)是函數(shù)的解析點(diǎn)；2）、收斂區(qū)域是圓周，半徑為R=條件：一個(gè)重要函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)2、洛朗級(jí)數(shù)1）、展開(kāi)中心是函數(shù)的基點(diǎn)；2）、收斂區(qū)域是環(huán)域。很少按著定義通過(guò)計(jì)算系數(shù)的方法展開(kāi)，通常采用間接展開(kāi)。條件3、傅立葉級(jí)數(shù)?￥=++=1kkk0lxπkblxπkaaxf)sincos()(1）、f（x）是定義在無(wú)限區(qū)間上的周期函數(shù)；2）、在(l,-l)上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；3）、只有有限個(gè)極值點(diǎn).條件：周期函數(shù)為偶或奇函數(shù)函數(shù)?￥==1kklxπkbxfsin)(),,(dsin)(L21kξlπξkξfl2bl0k==ò奇函數(shù)偶函數(shù)?￥=+=1kk0lxπkaaxfcos)(),2,1(d)(10L==òkflal0xx),2,1(dcos)(20L==òklkflalkxpxx定義在有限區(qū)間上的函數(shù)做周期函數(shù)的傅立葉展開(kāi)偶周期函數(shù)將函數(shù)根據(jù)邊界條件延拓成周期函數(shù)奇周期函數(shù)f(0)=f(l)=0正弦傅立葉級(jí)數(shù)余弦傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)意義和物理意義數(shù)學(xué)意義:1）、函數(shù)是希爾伯特空間的一個(gè)矢量,空間中的基矢量是要展開(kāi)的級(jí)數(shù).實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)的基是：復(fù)數(shù)形式的基是：2、通過(guò)研究級(jí)數(shù)的性質(zhì)了解需要知道的函數(shù)性質(zhì)。物理意義：通過(guò)研究相空間的函數(shù)性質(zhì)，了解位形空間函數(shù)所含的頻率和各頻率波的強(qiáng)度。對(duì)于實(shí)數(shù)形式波函數(shù)振幅頻率五、一種特殊的傅立葉級(jí)數(shù)-----傅立葉積分對(duì)于復(fù)數(shù)形式波函數(shù)振幅頻率周期函數(shù)含有的頻率是分立的。1、定義在無(wú)限空間上的非周期函數(shù)1、定義在無(wú)限空間上的非周期函數(shù)在函數(shù)定義區(qū)間上截取一段以該段區(qū)間為周期延拓函數(shù)，構(gòu)成周期函數(shù)做周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)使周期l趨于無(wú)限大傅立葉級(jí)數(shù)成為傅立葉積分傅立葉積分的實(shí)數(shù)形式傅立葉變換的實(shí)數(shù)形式()wwwwwwxdBxdAxfsin)(cos)(+=ò￥0傅立葉積分的復(fù)數(shù)形式傅立葉變換的復(fù)數(shù)形式2、定義在半無(wú)限空間上的非周期函數(shù)構(gòu)成無(wú)限空間上的奇函數(shù)將該函數(shù)展成傅立葉積分將函數(shù)解析延拓到整個(gè)空間構(gòu)成無(wú)限空間上的偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)3、傅立葉積分的物理意義頻率連續(xù)變化對(duì)于復(fù)數(shù)形式波函數(shù)振幅對(duì)于實(shí)數(shù)形式波函數(shù)振幅振幅頻譜函數(shù)頻率連續(xù)變化振幅頻譜函數(shù)非周期函數(shù)的頻率是連續(xù)變化的。六、留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的積分1、有限遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)對(duì)于有限遠(yuǎn)點(diǎn)以該點(diǎn)為中心展開(kāi)的羅朗級(jí)數(shù)的-1次冪項(xiàng)的系數(shù)對(duì)于無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)以零點(diǎn)為中心展開(kāi)的羅朗級(jí)數(shù)的-1次冪項(xiàng)的系數(shù)負(fù)值，即可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)的留數(shù)原則上可以通過(guò)羅朗展開(kāi)求得。極點(diǎn)的留數(shù)還可以通過(guò)公式計(jì)算出來(lái)。2、留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的積分1）形如的積分2）形如的積分上半平面的留數(shù)x的有理分式3）形如的積分x的偶分式函數(shù)特例x的奇分式函數(shù)x的有理分式上半平面的留數(shù)第七章小結(jié)波動(dòng)方程輸運(yùn)方程拉普拉斯方程泊松方程第一類(lèi)第二類(lèi)第三類(lèi)周期性有界性演化方程穩(wěn)定方程線性邊界條件自然邊界條件初始狀態(tài)初始速度泛定方程邊界條件初始條件定解問(wèn)題1)雙曲型方程（HyperbolicEquation）：以波動(dòng)方程為代表的方程

它描繪了各向同性的彈性體中的波動(dòng)、振動(dòng)過(guò)程，或聲波、電磁波的傳播規(guī)律．

2)拋物型方程（ParabolicEquation）：以熱傳導(dǎo)方程（或輸運(yùn)方程）為代表的方程

它主要描述擴(kuò)散過(guò)程和熱傳導(dǎo)過(guò)程所滿足的規(guī)律.

雙曲型方程和拋物型方程都是隨時(shí)間變化（或發(fā)展）的,有時(shí)也稱(chēng)為發(fā)展方程.

3）橢圓型方程（EllipticEquation）：以泊松方程為代表的方程

當(dāng)，即退化為拉普拉斯方程.

它是描述物理現(xiàn)象中穩(wěn)定（或平衡狀態(tài)）過(guò)程規(guī)律的偏微分方程.在物理現(xiàn)象中，它很好地描述了重力場(chǎng)、靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)、穩(wěn)恒流的速度勢(shì)等規(guī)律．

初始條件意義反映系統(tǒng)的特定歷史分類(lèi)初始狀態(tài)（位置），用u|t=0=f(x)表示；初始變化（速度），用ut|t=0=g(x)表示。典型例子一維熱傳導(dǎo)未知函數(shù)對(duì)時(shí)間為一階，只需一個(gè)初始條件一端溫度為a，均勻增加到另一端溫度為bu|t=0=a+(b-a)x/L初始條件一維弦振動(dòng)未知函數(shù)對(duì)時(shí)間為二階，需要兩個(gè)初始條件初始位移處于平衡位置：u|t=0=0兩端固定，在c點(diǎn)拉開(kāi)距離h：

u|t=0=hx/c，0<x<c;u|t=0=h(L-x)/(L-c)，c<x<L;初始速度處于靜止?fàn)顟B(tài)：ut|t=0=0在c點(diǎn)受沖量I：ut|t=0=Iδ(x-c)/m邊界條件舉例典型線性邊界條件一維弦振動(dòng)固定端u|x=0=0受力端ux|x=0=F/k一維桿振動(dòng)固定端u|x=0=0自由端ux|x=0=0受力端ux|x=0=F/YS一維熱傳導(dǎo)恒溫端u|x=0=a絕熱端ux|x=0=0吸熱端ux|x=0=F/k達(dá)朗貝爾公式分離變量流程圖第八章分離變數(shù)法典型問(wèn)題的求解定解問(wèn)題未知函數(shù)分離泛定方程分離邊界條件分離分離結(jié)果典型問(wèn)題的求解空間方程解出非零解條件非零解時(shí)間方程解出分離結(jié)果的求解典型問(wèn)題的求解初始條件要求分離結(jié)果的合成再合成半通解系數(shù)的確定過(guò)程小結(jié)分離變量——分別求解——合成半通解——由初始條件確定系數(shù)波動(dòng)方程定解問(wèn)題初始條件要求未知函數(shù)分離泛定方程分離邊界條件分離本征運(yùn)動(dòng)半通解拉普拉斯方程矩形區(qū)域定解問(wèn)題未知函數(shù)分離泛定方程分離X邊界條件分離分離解半通解Y邊界條件要求泛定方程邊界條件本征值問(wèn)題本征值本征函數(shù)

k=1,2,3…

k=0,1,2,3

k=0,1,2,3

k=0,1,2,3…

基本思路：定解問(wèn)題：§8、2非齊次振動(dòng)方程和輸送方程傅立葉級(jí)數(shù)法（1）、根據(jù)方程的線性，將解設(shè)為分離變量形式的解：(2)、根據(jù)邊界條件，將X(x)形式寫(xiě)成滿足邊界條件的函數(shù)形式()沖量定理法定解問(wèn)題該定解問(wèn)題可以用分離變量方法求解。對(duì)定解問(wèn)題可令u=uI+uII§8、3非齊次邊界條件的處理一般處理方法定解問(wèn)題;帶入（2）中令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)則w(x,t)滿足

令v(x,y)滿足非齊次邊界條件中則可設(shè)形式為;v（x,t）=A(t)x+B(t)(4)小結(jié):(1)邊界條件化為齊次令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)（2）化成兩個(gè)簡(jiǎn)單的定解問(wèn)題可令w=wI+wII球坐標(biāo)下拉普拉斯方程歐拉方程連帶勒讓德方程球函數(shù)方程第九章二階常微分方程級(jí)數(shù)解法軸對(duì)稱(chēng)情況勒讓德方程波動(dòng)方程亥姆霍茲方程輸運(yùn)方程球坐標(biāo)下亥姆霍茲方程L階球貝塞爾方程連帶勒讓德方程球函數(shù)方程軸對(duì)稱(chēng)拉普拉斯方程的求解§10.1軸對(duì)稱(chēng)球函數(shù)非對(duì)稱(chēng)穩(wěn)定問(wèn)題的求解解：這是側(cè)面為齊次，上下低面為非齊次問(wèn)題選柱面坐標(biāo)，定解問(wèn)題為：柱函數(shù)由上、下底面邊界條件有

帶入①②中，可得解：定解問(wèn)題是將邊界條件齊次化，令U=u0+v化為：

對(duì)于ν=0時(shí)

而上下底面為齊次。則有C=0,D=0所以v=0的情況去掉。所以通解為：

由邊界條件確定系數(shù)