數(shù)學(xué)物理方法期末復(fù)習(xí)

復(fù)變函數(shù)論習(xí)題課主要內(nèi)容：一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1）復(fù)數(shù)的三種表示模輔角代數(shù)表示三角表示指數(shù)表示1定義2）幾何意義意義1意義2復(fù)平面上的點(diǎn)復(fù)平面上從原點(diǎn)引出的矢量3）兩個特殊的復(fù)數(shù)零點(diǎn)模為零、復(fù)角任意的點(diǎn)點(diǎn)模為無限大、復(fù)角為任意的點(diǎn)2、復(fù)數(shù)運(yùn)算（略）3、復(fù)數(shù)的區(qū)域在一個復(fù)數(shù)的點(diǎn)集中，以某一點(diǎn)為中心作圓周，只要半徑足夠小，使得圓內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于該點(diǎn)集，此點(diǎn)稱為該集合的內(nèi)點(diǎn)。1）內(nèi)點(diǎn)：2）區(qū)域：是一個點(diǎn)集，全部由內(nèi)點(diǎn)組成，且具有連通性，既點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)，總可以用一條折線連接起來，折線上的點(diǎn)都屬于此點(diǎn)集。3）境界點(diǎn)與境界線：境界點(diǎn)不屬于區(qū)域，但以它為中心作圓，不論半徑多小，圓內(nèi)總含有區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。境界點(diǎn)的全體，構(gòu)成境界線。4）開區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域又稱為開區(qū)域，區(qū)域與境界線構(gòu)成閉區(qū)域。例1計(jì)算下列復(fù)數(shù)：例1計(jì)算下列復(fù)數(shù)：解1、法一法二2)、3)、4）、二、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)1、導(dǎo)數(shù)條件：1）、

f（

x

）單值、連續(xù)；2）、任何方式趨近z0；3）、所有趨近方式的極限值相同。2、解析函數(shù)函數(shù)f（x）在某一個區(qū)域上的各點(diǎn)處處解析，則稱該函數(shù)是該區(qū)域上的解析函數(shù)。3、解析函數(shù)的特點(diǎn)1）、解析函數(shù)在區(qū)域上的各點(diǎn)一定可導(dǎo)；2）、解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足Cauchy-Riemann方程。極角系直角系4、求解析函數(shù)的一般方法全微分法；不定積分法；曲線積分法；5、復(fù)變函數(shù)的幾何意義實(shí)部和虛部在復(fù)平面上各代表一曲面。v1、定義復(fù)變函數(shù)的積分是復(fù)平面上的線積分復(fù)變函數(shù)的積分是兩個實(shí)變函數(shù)積分的有序組合

三、復(fù)變函數(shù)的積分2、Cauchy定理1）、單連通區(qū)域的Cauchy定理如果函數(shù)在閉連通區(qū)域上解析，且沿上任一分段光滑閉合曲線L

（L也可以是的境界限），有推論：解析函數(shù)的積分值與路徑無關(guān)，可以引進(jìn)不定積分。2)、復(fù)通區(qū)域的Cauchy定理：ll2l1如果f(z)是閉合復(fù)通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，則l為區(qū)域的外邊界，是區(qū)域的內(nèi)邊界。積分方向沿境界線正方向進(jìn)行。常用Cauchy定理計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分。3、Cauchy公式若在閉單連通區(qū)域上解析,為的境界線,為內(nèi)的任一點(diǎn),則有1、

單連通區(qū)域的Cauchy公式若是復(fù)連通區(qū)域上的解析函數(shù),是內(nèi)境界線，是外境界線.是區(qū)域的內(nèi)點(diǎn),則有沿正方線積分2、復(fù)連通區(qū)域的Cauchy公式推論：解析函數(shù)可以有任意階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用公式計(jì)算一些復(fù)變函數(shù)的積分四、三種級數(shù)展開1、泰勒級數(shù)展開1）、展開中心的點(diǎn)是函數(shù)的解析點(diǎn)；2）、收斂區(qū)域是圓周，半徑為R=條件：一個重要函數(shù)的泰勒級數(shù)2、洛朗級數(shù)1）、展開中心是函數(shù)的基點(diǎn)；2）、收斂區(qū)域是環(huán)域。很少按著定義通過計(jì)算系數(shù)的方法展開，通常采用間接展開。條件3、傅立葉級數(shù)?￥=++=1kkk0lxπkblxπkaaxf)sincos()(1）、f（x）是定義在無限區(qū)間上的周期函數(shù)；2）、在(l,-l)上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)；3）、只有有限個極值點(diǎn).條件：周期函數(shù)為偶或奇函數(shù)函數(shù)?￥==1kklxπkbxfsin)(),,(dsin)(L21kξlπξkξfl2bl0k==ò奇函數(shù)偶函數(shù)?￥=+=1kk0lxπkaaxfcos)(),2,1(d)(10L==òkflal0xx),2,1(dcos)(20L==òklkflalkxpxx定義在有限區(qū)間上的函數(shù)做周期函數(shù)的傅立葉展開偶周期函數(shù)將函數(shù)根據(jù)邊界條件延拓成周期函數(shù)奇周期函數(shù)f(0)=f(l)=0正弦傅立葉級數(shù)余弦傅立葉級數(shù)復(fù)數(shù)形式的傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)的數(shù)學(xué)意義和物理意義數(shù)學(xué)意義:1）、函數(shù)是希爾伯特空間的一個矢量,空間中的基矢量是要展開的級數(shù).實(shí)數(shù)級數(shù)的基是：復(fù)數(shù)形式的基是：2、通過研究級數(shù)的性質(zhì)了解需要知道的函數(shù)性質(zhì)。物理意義：通過研究相空間的函數(shù)性質(zhì)，了解位形空間函數(shù)所含的頻率和各頻率波的強(qiáng)度。對于實(shí)數(shù)形式波函數(shù)振幅頻率五、一種特殊的傅立葉級數(shù)-----傅立葉積分對于復(fù)數(shù)形式波函數(shù)振幅頻率周期函數(shù)含有的頻率是分立的。1、定義在無限空間上的非周期函數(shù)1、定義在無限空間上的非周期函數(shù)在函數(shù)定義區(qū)間上截取一段以該段區(qū)間為周期延拓函數(shù)，構(gòu)成周期函數(shù)做周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開使周期l趨于無限大傅立葉級數(shù)成為傅立葉積分傅立葉積分的實(shí)數(shù)形式傅立葉變換的實(shí)數(shù)形式()wwwwwwxdBxdAxfsin)(cos)(+=ò￥0傅立葉積分的復(fù)數(shù)形式傅立葉變換的復(fù)數(shù)形式2、定義在半無限空間上的非周期函數(shù)構(gòu)成無限空間上的奇函數(shù)將該函數(shù)展成傅立葉積分將函數(shù)解析延拓到整個空間構(gòu)成無限空間上的偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)3、傅立葉積分的物理意義頻率連續(xù)變化對于復(fù)數(shù)形式波函數(shù)振幅對于實(shí)數(shù)形式波函數(shù)振幅振幅頻譜函數(shù)頻率連續(xù)變化振幅頻譜函數(shù)非周期函數(shù)的頻率是連續(xù)變化的。六、留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的積分1、有限遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)對于有限遠(yuǎn)點(diǎn)以該點(diǎn)為中心展開的羅朗級數(shù)的-1次冪項(xiàng)的系數(shù)對于無限遠(yuǎn)點(diǎn)以零點(diǎn)為中心展開的羅朗級數(shù)的-1次冪項(xiàng)的系數(shù)負(fù)值，即可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)的留數(shù)原則上可以通過羅朗展開求得。極點(diǎn)的留數(shù)還可以通過公式計(jì)算出來。2、留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的積分1）形如的積分2）形如的積分上半平面的留數(shù)x的有理分式3）形如的積分x的偶分式函數(shù)特例x的奇分式函數(shù)x的有理分式上半平面的留數(shù)第七章小結(jié)波動方程輸運(yùn)方程拉普拉斯方程泊松方程第一類第二類第三類周期性有界性演化方程穩(wěn)定方程線性邊界條件自然邊界條件初始狀態(tài)初始速度泛定方程邊界條件初始條件定解問題1)雙曲型方程（HyperbolicEquation）：以波動方程為代表的方程

它描繪了各向同性的彈性體中的波動、振動過程，或聲波、電磁波的傳播規(guī)律．

2)拋物型方程（ParabolicEquation）：以熱傳導(dǎo)方程（或輸運(yùn)方程）為代表的方程

它主要描述擴(kuò)散過程和熱傳導(dǎo)過程所滿足的規(guī)律.

雙曲型方程和拋物型方程都是隨時間變化（或發(fā)展）的,有時也稱為發(fā)展方程.

3）橢圓型方程（EllipticEquation）：以泊松方程為代表的方程

當(dāng)，即退化為拉普拉斯方程.

它是描述物理現(xiàn)象中穩(wěn)定（或平衡狀態(tài)）過程規(guī)律的偏微分方程.在物理現(xiàn)象中，它很好地描述了重力場、靜電場、靜磁場、穩(wěn)恒流的速度勢等規(guī)律．

初始條件意義反映系統(tǒng)的特定歷史分類初始狀態(tài)（位置），用u|t=0=f(x)表示；初始變化（速度），用ut|t=0=g(x)表示。典型例子一維熱傳導(dǎo)未知函數(shù)對時間為一階，只需一個初始條件一端溫度為a，均勻增加到另一端溫度為bu|t=0=a+(b-a)x/L初始條件一維弦振動未知函數(shù)對時間為二階，需要兩個初始條件初始位移處于平衡位置：u|t=0=0兩端固定，在c點(diǎn)拉開距離h：

u|t=0=hx/c，0<x<c;u|t=0=h(L-x)/(L-c)，c<x<L;初始速度處于靜止?fàn)顟B(tài)：ut|t=0=0在c點(diǎn)受沖量I：ut|t=0=Iδ(x-c)/m邊界條件舉例典型線性邊界條件一維弦振動固定端u|x=0=0受力端ux|x=0=F/k一維桿振動固定端u|x=0=0自由端ux|x=0=0受力端ux|x=0=F/YS一維熱傳導(dǎo)恒溫端u|x=0=a絕熱端ux|x=0=0吸熱端ux|x=0=F/k達(dá)朗貝爾公式分離變量流程圖第八章分離變數(shù)法典型問題的求解定解問題未知函數(shù)分離泛定方程分離邊界條件分離分離結(jié)果典型問題的求解空間方程解出非零解條件非零解時間方程解出分離結(jié)果的求解典型問題的求解初始條件要求分離結(jié)果的合成再合成半通解系數(shù)的確定過程小結(jié)分離變量——分別求解——合成半通解——由初始條件確定系數(shù)波動方程定解問題初始條件要求未知函數(shù)分離泛定方程分離邊界條件分離本征運(yùn)動半通解拉普拉斯方程矩形區(qū)域定解問題未知函數(shù)分離泛定方程分離X邊界條件分離分離解半通解Y邊界條件要求泛定方程邊界條件本征值問題本征值本征函數(shù)

k=1,2,3…

k=0,1,2,3

k=0,1,2,3

k=0,1,2,3…

基本思路：定解問題：§8、2非齊次振動方程和輸送方程傅立葉級數(shù)法（1）、根據(jù)方程的線性，將解設(shè)為分離變量形式的解：(2)、根據(jù)邊界條件，將X(x)形式寫成滿足邊界條件的函數(shù)形式()沖量定理法定解問題該定解問題可以用分離變量方法求解。對定解問題可令u=uI+uII§8、3非齊次邊界條件的處理一般處理方法定解問題;帶入（2）中令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)則w(x,t)滿足

令v(x,y)滿足非齊次邊界條件中則可設(shè)形式為;v（x,t）=A(t)x+B(t)(4)小結(jié):(1)邊界條件化為齊次令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)（2）化成兩個簡單的定解問題可令w=wI+wII球坐標(biāo)下拉普拉斯方程歐拉方程連帶勒讓德方程球函數(shù)方程第九章二階常微分方程級數(shù)解法軸對稱情況勒讓德方程波動方程亥姆霍茲方程輸運(yùn)方程球坐標(biāo)下亥姆霍茲方程L階球貝塞爾方程連帶勒讓德方程球函數(shù)方程軸對稱拉普拉斯方程的求解§10.1軸對稱球函數(shù)非對稱穩(wěn)定問題的求解解：這是側(cè)面為齊次，上下低面為非齊次問題選柱面坐標(biāo)，定解問題為：柱函數(shù)由上、下底面邊界條件有

帶入①②中，可得解：定解問題是將邊界條件齊次化，令U=u0+v化為：

對于ν=0時

而上下底面為齊次。則有C=0,D=0所以v=0的情況去掉。所以通解為：

由邊界條件確定系數(shù)