自動(dòng)控制原理（李國(guó)勇第4版）課件 第4、5 章 線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析法、線性控制系統(tǒng)的頻域分析法

第4章線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析法

目錄4-l根軌跡分析的基礎(chǔ)知識(shí)4-2繪制根軌跡的基本規(guī)則

4-3廣義根軌跡的繪制4-4純遲延根軌跡的繪制4-5利用根軌跡分析控制系統(tǒng)4-6利用MATLAB進(jìn)行根軌跡分析

1

通過(guò)前面分析可知，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和時(shí)間響應(yīng)的形式由系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)（即特征方程的根）決定，時(shí)間響應(yīng)值的大小由系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)零點(diǎn)共同決定。因此，分析系統(tǒng)性能時(shí)，常常要求確定系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s復(fù)平面的位置。然而，對(duì)于高階的系統(tǒng)，求解閉環(huán)極點(diǎn)是相當(dāng)困難的，尤其是當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)需要重復(fù)計(jì)算，而且不能看出系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響趨勢(shì)。2

所以希望借助某種較為簡(jiǎn)單的分析方法，當(dāng)已知系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，可以很明顯地看出系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的變化趨勢(shì)，從而能夠判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性、預(yù)測(cè)閉環(huán)系統(tǒng)的性能，以獲得希望的性能指標(biāo)。根軌跡分析法就是這樣的一種圖解分析方法。它是通過(guò)系統(tǒng)在復(fù)域中的特征根，來(lái)評(píng)價(jià)和計(jì)算系統(tǒng)在時(shí)域中的性能，因而根軌跡分析法又稱為復(fù)域分析法。

34-l根軌跡分析的基礎(chǔ)知識(shí)4.1.1根軌跡的基本概念

根軌跡的提出

對(duì)于圖4-l所示單位反饋系統(tǒng)，已知開環(huán)傳遞函數(shù)為圖4-1反饋系統(tǒng)

4

則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根或閉環(huán)極點(diǎn)為

(4-1)

5

式(4-1)表明，閉環(huán)極點(diǎn)隨變量K的變化而變化，從而影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)具有不同的動(dòng)態(tài)過(guò)程。為了使系統(tǒng)盡可能穩(wěn)、準(zhǔn)、快地結(jié)束，應(yīng)多次改變k值，以調(diào)節(jié)閉環(huán)極點(diǎn)在s復(fù)平面的位置，達(dá)到尋求理想的輸出特性曲線的目的。但每改變一次K值，需重新求解一次閉環(huán)特征方程，這使得系統(tǒng)的分析、計(jì)算工作量很大。特別是當(dāng)系統(tǒng)高于三階時(shí)，求解特征根是相當(dāng)困難的，尤其是當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，要求出系統(tǒng)特征方程的根，就更加困難了。

6

為了減少多次求解代數(shù)方程的工作量，1948年埃文斯(W.R.Evans)提出了根軌跡分析法，這種方法不直接求解特征方程，而是根據(jù)反饋控制系統(tǒng)開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出一種在s復(fù)平面上，根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)的分布，用幾何作圖的方法，確定閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的圖解方法。7

對(duì)于圖4-1所示系統(tǒng)，當(dāng)

K從0

+

變化時(shí)，可以采用解析的方法，利用式(4-1)盡可能多的求出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于K的閉環(huán)極點(diǎn)值，將這些值標(biāo)注在s平面上，并連成光滑的粗實(shí)線，如圖4-2所示。圖中帶箭頭的粗實(shí)線就稱為系統(tǒng)的根軌跡，根軌跡上的箭頭表示隨著K的增大，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的變化趨勢(shì)。8

由此可見，根軌跡圖4-2直觀地表示了系統(tǒng)參數(shù)K變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)變化的情況，也全面地描述了系統(tǒng)參數(shù)K對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響。利用根軌跡圖4-2就能方便地分析系統(tǒng)性能隨系統(tǒng)參數(shù)K變化時(shí)的規(guī)律。(1)穩(wěn)定性當(dāng)K由0

+

變化時(shí)，由圖4-2可知，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)s1,s2均在s平面的左半平面，因此，系統(tǒng)對(duì)所有K值均是穩(wěn)定的。9

(2)動(dòng)態(tài)性能由于系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的位置影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及品質(zhì)指標(biāo)，則系統(tǒng)在不同的K值下，其動(dòng)態(tài)特性不同，對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線如圖4-3所示。即：

①當(dāng)0<K<0.5時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)s1,s2均為負(fù)實(shí)數(shù)，系統(tǒng)呈過(guò)阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)單調(diào)變化。10②當(dāng)K=0.5時(shí)，s1=s2=-1，系統(tǒng)兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)。

③當(dāng)0.5<K<+

時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)sl,s2為一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩過(guò)程。因隨K增大，僅閉環(huán)極點(diǎn)的虛部增大，故系統(tǒng)阻尼比減小，超調(diào)量增大，但過(guò)渡過(guò)程時(shí)間不變。11(3)穩(wěn)態(tài)性能由圖4-2可知，系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于I型系統(tǒng)。因此系統(tǒng)在階躍信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零；在單位斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差就等于根軌跡上K值的倒數(shù)。122.根軌跡的定義所謂根軌跡就是當(dāng)系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)從0

+

變化時(shí)，系統(tǒng)特征根在s平面上移動(dòng)所形成的軌跡。

一般系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示成如下形式（n

m）

13

根軌跡中的可變參數(shù)，實(shí)際上可取開環(huán)傳遞函數(shù)中的任何變量作為可變參數(shù)，如根軌跡增益k或開環(huán)零、極點(diǎn)zj和pi或時(shí)間常數(shù)

j和Ti，但通常取根軌跡放大系數(shù)k或開環(huán)增益K作為可變參數(shù)。以后如無(wú)特別說(shuō)明，就假設(shè)可變參數(shù)為根軌跡放大系數(shù)k或開環(huán)增益K，它們是一一對(duì)應(yīng)的線性正比關(guān)系。143.根軌跡分析法根軌跡分析法就是利用根軌跡對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)的一種圖解方法。該方法利用特征根在s平面上的位置，分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)特征根的影響，從而根據(jù)系統(tǒng)特征根位置與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系，可直觀地分析系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和動(dòng)靜態(tài)特性的關(guān)系。154.1.2根軌跡的基本條件1．根軌跡的基本方程設(shè)系統(tǒng)如圖4-4所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

圖4-4反饋系統(tǒng)

特征方程式為

滿足式(4-2)的s點(diǎn)均為閉環(huán)系統(tǒng)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)），反過(guò)來(lái)，根軌跡上的所有點(diǎn)均必須滿足式(4-2)。(4-2)16

可見，當(dāng)系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)從0

+

變化時(shí)，滿足式(4-2)的所有s值，都是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。把這些閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上按順序連接起來(lái)，就是系統(tǒng)的根軌跡。因此式(4-2)稱為控制系統(tǒng)根軌跡的基本方程，其可以寫成如下形式(4-3)

因?yàn)殚_環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)為復(fù)變量s的函數(shù)，所以可以將式(4-3)用幅值和相角表示，根據(jù)等式兩邊幅值和相角相等條件，可將特征方程式(4-3)表示成以下幅值條件和相角條件17

對(duì)于系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)從0

+

變化時(shí)，滿足以上兩式的所有s點(diǎn)，均為閉環(huán)極點(diǎn)，也就是根軌跡上的所有點(diǎn)。復(fù)平面上的s點(diǎn)如果是閉環(huán)極點(diǎn)，那么它與開環(huán)零、極點(diǎn)所組成的向量必須滿足式(4-4)幅值條件和式(4-5)相角條件。以上兩式是繪制系統(tǒng)根軌跡及應(yīng)用根軌跡分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的重要依據(jù)。幅值條件：

相角條件：

(4-4)

(4-5)18如將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式（n

m）

(4-6)則式(4-2)，式(4-4)和式(4-5)可以進(jìn)一步表示成

特征方程：

(4-7)

幅值條件：

(4-8)

相角條件：

(l=0,l,2,…)(4-9)

2．根軌跡基本方程的零極點(diǎn)表示19

復(fù)平面上的s點(diǎn)如果是閉環(huán)極點(diǎn)，那么它與開環(huán)零、極點(diǎn)所組成的向量必須滿足式(4-8)幅值條件和式(4-9)相角條件。由于根軌跡的幅值條件與根軌跡增益k有關(guān)，而相角條件與k無(wú)關(guān)。所以在繪制根軌跡時(shí)，一般先用相角條件確定軌跡上的點(diǎn)；然后利用幅值條件確定根軌跡上該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的k值；最后將復(fù)平面上所有滿足相角條件的點(diǎn)s順序連成曲線，這種方法被稱為試探法。

20

根據(jù)幅值條件與相角條件，采用試探法盡管可逐點(diǎn)精確繪制根軌跡，但它很麻煩，需要在s平面上任選足夠多的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，來(lái)根據(jù)相角條件判斷是否為根軌跡上的點(diǎn)，計(jì)算量大，不便于人工繪制，僅適用于計(jì)算機(jī)繪制。所以，人們根據(jù)相角條件和幅值條件推導(dǎo)出了若干繪制根軌跡的規(guī)則，利用這些規(guī)則可以簡(jiǎn)捷繪出根軌跡的大致圖形，并為精確繪制根軌跡指明方向。

214-2繪制根軌跡的基本規(guī)則

本節(jié)僅討論當(dāng)系統(tǒng)根軌跡增益k變化時(shí)，根據(jù)相角條件和幅值條件繪制根軌跡的一般規(guī)則。這些基本規(guī)則，對(duì)于系統(tǒng)其它參數(shù)變化時(shí)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換仍然可用。224.2.1負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡

1．繪制根軌跡的基本規(guī)則對(duì)于如圖4-4所示的負(fù)反饋系統(tǒng)，在繪制根軌跡前，首先將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表示成如式(4-6)所示的零、極點(diǎn)形式，且在s平面上，用”o”表示開環(huán)零點(diǎn)zj(j=1,2,…,m)的位置；用”

”表示開環(huán)極點(diǎn)pi(i=1,2,…,n)的位置。（n

m）(4-6)231）根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性當(dāng)根軌跡增益k從0

+

連續(xù)變化時(shí)，每個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的變化都在s平面上形成一支連續(xù)變化的曲線，這些曲線被稱為根軌跡的分支。故若系統(tǒng)有n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，就可形成n支根軌跡，即根軌跡的分支數(shù)就為n。根據(jù)特征方程式(4-7)，得24

當(dāng)n

m時(shí)，特征方程的階次等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，而n階特征方程就對(duì)應(yīng)有n個(gè)特征根或n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，所以其根軌跡的分支數(shù)就等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n。另外，由于系統(tǒng)特征方程式(4-7)是一實(shí)系數(shù)方程，其特征根或?yàn)閷?shí)根或?yàn)楣曹棌?fù)根，所以當(dāng)k從0

+

連續(xù)變化時(shí)，根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸，且連續(xù)變化。所以可得繪制根軌跡的規(guī)則1。規(guī)則1：根軌跡是對(duì)稱于實(shí)軸的連續(xù)曲線，其分支數(shù)等于系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n。252）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)是指根軌跡上對(duì)應(yīng)于k=0的點(diǎn)；終點(diǎn)是指根軌跡上對(duì)應(yīng)k=+

的點(diǎn)。根據(jù)幅值條件式(4-8)，可得(4-10)

26①當(dāng)k=0時(shí)，式(4-10)的右邊1/k

+

。而式(4-10)的左邊，只有s

pi(i=1,2,…,n)時(shí)為無(wú)窮大。也就是說(shuō)，當(dāng)k=0時(shí)，只有spi(i=1,2,…,n)時(shí)，式(4-10)才成立。所以，根軌跡的起點(diǎn)一定位于系統(tǒng)的n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)處。(4-10)

27②當(dāng)k+時(shí)，式(4-10)的右邊1/k=0。而式(4-10)的左邊，當(dāng)szj時(shí)為0，即根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)。另外，當(dāng)n>m時(shí)，s+時(shí)，式(4-10)左邊(4-10)

28

故當(dāng)n>m時(shí)，有m支根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)，其余(n-m)支根軌跡趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。由此可見，n階系統(tǒng)的n支根軌跡（n個(gè)分支）分別起始于n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，其中m支終止于m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，其余(n-m)支終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。如果把趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處根軌跡的終點(diǎn)稱為無(wú)限開環(huán)零點(diǎn)，有限數(shù)值的開環(huán)零點(diǎn)稱為有限開環(huán)零點(diǎn)，那么可以說(shuō)根軌跡必終止于開環(huán)零點(diǎn)處。從這個(gè)意義上講，可得繪制根軌跡的規(guī)則2。規(guī)則2：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，而終止于開環(huán)零點(diǎn)。293）實(shí)軸上的根軌跡位于實(shí)軸上的根軌跡，可直接利用相角條件來(lái)判斷，下面按兩種情況討論。假設(shè)系統(tǒng)所有的開環(huán)零、極點(diǎn)均為實(shí)數(shù),其分布如圖4-5(a)中的z1，p1和p2所示。

圖4-5開環(huán)零、極點(diǎn)分布30

現(xiàn)假定討論位于開環(huán)極點(diǎn)pl和p2之間的一段實(shí)軸，在該區(qū)間段上任取一點(diǎn)s0為試驗(yàn)點(diǎn)，很明顯，從點(diǎn)s0左邊的每一個(gè)實(shí)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)向點(diǎn)s0所作矢量的相位角均為零，而從點(diǎn)s0右邊的每一個(gè)實(shí)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)向點(diǎn)s0所作矢量的相位角均為180°。因此只有當(dāng)點(diǎn)s0右邊的實(shí)數(shù)開環(huán)零、

極點(diǎn)總個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，才滿足相角條件。31(2)若系統(tǒng)還存在一對(duì)共軛復(fù)零點(diǎn)z2，3，和一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p3，4，其分布如圖4-5(b)中所示。

由圖4-5(b)可看出，開環(huán)復(fù)零點(diǎn)z2，3對(duì)實(shí)軸上任意一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)s0所作矢量的相位角之和為360°，同理開環(huán)復(fù)極點(diǎn)p3，4對(duì)實(shí)軸上任意一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)s0所作矢量的相位角之和也為360°，它們的位置對(duì)相角條件沒有影響。因此，共軛復(fù)零點(diǎn)、共軛復(fù)極點(diǎn)對(duì)實(shí)軸上根軌跡的分布沒有影響。32即

所以要滿足相角條件，s0右邊實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)總數(shù)之和(或差)必須是奇數(shù)。規(guī)則3：若實(shí)軸上某點(diǎn)右邊的所有開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)，則這一點(diǎn)就是根軌跡。

如假設(shè)在試驗(yàn)點(diǎn)s0右邊實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)分別為m1和n1，在其左邊實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)分別為m2和n2，另外系統(tǒng)分別有m3和n3對(duì)共軛開環(huán)零、極點(diǎn),則根據(jù)相角條件式(4-7)可得。

33例4-1

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制k從0

+

變化時(shí)的根軌跡。解

①開環(huán)極點(diǎn)p1=-2；開環(huán)零點(diǎn)z1=-1；n=m=1。

②系統(tǒng)有一條根軌跡，起始于-2，終止于-1。

③實(shí)軸上(-2,-1)區(qū)段為根軌跡。

根據(jù)以上規(guī)則可繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖4-6所示。344）根軌跡的漸近線由上可知，當(dāng)系統(tǒng)的n>m時(shí)，根軌跡一定有(n-m)支在k

+

時(shí)趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處，根軌跡在無(wú)窮遠(yuǎn)處的趨向可由漸近線來(lái)決定。假設(shè)在根軌跡上無(wú)窮遠(yuǎn)處有一點(diǎn)s，即當(dāng)s

時(shí),由于系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)到根軌跡上無(wú)限遠(yuǎn)s點(diǎn)構(gòu)成的向量差別很小，幾乎重合。因而,可以將從各個(gè)不同的開環(huán)零、極點(diǎn)指向無(wú)限遠(yuǎn)s點(diǎn)的向量,用從同一點(diǎn)

a處指向無(wú)限遠(yuǎn)s點(diǎn)的向量來(lái)代替,即當(dāng)s

時(shí),用向量(s-

a)來(lái)代替向量(s-zj)和(s-pi)。35此時(shí)針對(duì)由根據(jù)特征式(4-7)所得的下式(4-11)

有(4-12)

即

(4-13)

式中，

(4-14)

36

式(4-13)即為根軌跡的漸近線方程。由式(4-13)可知，在給定開環(huán)傳遞函數(shù)的情況下（即n,m,pj,zi一定），自實(shí)軸上一定點(diǎn)

a向無(wú)限遠(yuǎn)處根軌跡上的變點(diǎn)s作矢量(s-

a)的長(zhǎng)度為

（因當(dāng)k

+

時(shí)，k-1/(n-m)

），相角

a也一定，它不隨s的變化而變化。37

另外，根據(jù)式(4-11)和式(4-12)可得

(4-15)

(4-16)

比較式(4-15)和式(4-16)知，當(dāng)s

時(shí)，兩式是等價(jià)的，其項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等，所以有(4-17)

38規(guī)則4：當(dāng)系統(tǒng)的n>m時(shí)，根軌跡在k

+

時(shí)，有(n-m)支漸近線，它們與實(shí)軸的夾角

a分別為

(4-18)

其所有(n-m)支漸近線交于實(shí)軸上同一點(diǎn)，其交點(diǎn)坐標(biāo)為(4-19)39說(shuō)明:

(1)由于開環(huán)零、極點(diǎn)或?yàn)閷?shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，故

a

必為實(shí)數(shù)，即各支漸近線的交點(diǎn)在實(shí)軸上。

(2)在求漸近線與實(shí)軸的夾角

a時(shí)，l依次取0,1,2,3,…，直到所求值重復(fù)3600為止。

(3)在(n-m)條漸近線中，兩兩與實(shí)軸成鏡像關(guān)系。40例4-2

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制k從0

+

變化時(shí)的根軌跡。解

①開環(huán)極點(diǎn)p1=-1,p2=-1；沒有開環(huán)零點(diǎn)；n-m=2。②系統(tǒng)有2條根軌跡，均起始于-1，而終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。，41④兩條漸近線與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)分別為③實(shí)軸上無(wú)根軌跡段；

根據(jù)以上規(guī)則可繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖4-7所示。425）根軌跡的分離（會(huì)合）點(diǎn)與分離（會(huì)合）角(1)分離（會(huì)合）點(diǎn)兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相交的點(diǎn)稱為根軌跡的分離（會(huì)合）點(diǎn)。由于根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸，所以分離（會(huì)合）點(diǎn)可以位于實(shí)軸也可以位于復(fù)平面上。如圖4-8所示。圖4-8根軌跡上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)

43其中，在圖4-8(a)和圖4-8(b)中，分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)均位于實(shí)軸上，通常將根軌跡分支離開實(shí)軸進(jìn)入復(fù)平面時(shí)與實(shí)軸的交點(diǎn)稱為分離點(diǎn)，如圖4-8(a)所示；而將根軌跡分支從復(fù)平面進(jìn)入實(shí)軸時(shí)與實(shí)軸的交點(diǎn)稱為會(huì)合點(diǎn)，如圖4-8(b)所示。分離（會(huì)合）點(diǎn)還可以共軛復(fù)數(shù)對(duì)的形式出現(xiàn)在復(fù)平面中，如圖4-8(c)所示。44

由于根軌跡上的分離（會(huì)合）點(diǎn)實(shí)質(zhì)上就是閉環(huán)特征方程的重根，因而可以利用求解方程重根的方法確定根軌跡上的分離（會(huì)合）點(diǎn)。針對(duì)式(4-6)所示系統(tǒng)，可得其特征多項(xiàng)式為(4-20)

則在根軌跡上的分離（會(huì)合）點(diǎn)，即系統(tǒng)特征方程的重根處，一定滿足

(4-21)

(4-22)45將式(4-21)除式(4-22)得

(4-23)

即

由于

所以

(4-24)

46根據(jù)式(4-24)，可得

利用式(4-25)求出實(shí)數(shù)s值（實(shí)軸上的根軌跡）中，使k>0的點(diǎn)，即為所求的分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于重根處的k值，可由式(4-21)或特征方程式(4-7)求得，即

(4-26)(4-25)47(2)分離（會(huì)合）角所謂分離（會(huì)合）角是指根軌跡進(jìn)入分離（會(huì)合）點(diǎn)的切線方向與離開分離（會(huì)合）點(diǎn)的切線方向之間的夾角。這里不加證明地給出，當(dāng)有條根軌跡進(jìn)入并離開分離（會(huì)合）點(diǎn)時(shí)，分離（會(huì)合）角的計(jì)算公式為(4-27)

顯然，當(dāng)r=2時(shí)，分離（會(huì)合）角必為直角。48

另外，因?yàn)獒槍?duì)于實(shí)軸上的根軌跡而言，在分離點(diǎn)處的k值最大，會(huì)合點(diǎn)處的k值最小。故也可根據(jù)求導(dǎo)來(lái)得到最大k值處的s值和最小k值處的s值。此時(shí)，利用根軌跡增益k的表達(dá)式(4-26)，將增益k對(duì)s求導(dǎo)，并令其為零，即，可得(4-28)

或

(4-29)

49

可見，所得結(jié)果式(4-29)與式(4-23)是等價(jià)的。規(guī)則5：根軌跡的分離（會(huì)合）點(diǎn)可由式(4-25)或式(4-28)求解；分離（會(huì)合）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡增益k可利用式(4-26)求解；根軌跡在分離（會(huì)合）點(diǎn)處的分離（會(huì)合）角可由式(4-27)求解。必須指出，規(guī)則5用來(lái)確定分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)的條件只是必要條件，不是充分條件，也就是說(shuō)由式(4-25)或式(4-28)求的解不一定是分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。只有當(dāng)求出的重根點(diǎn)在根軌跡上時(shí)，該點(diǎn)才是分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。所以在求出重根及對(duì)應(yīng)的k值后，必須判斷該點(diǎn)的k值,如果該點(diǎn)的k>0，才能認(rèn)為該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。50例4-3

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制k從0

+

變化時(shí)的根軌跡。解

①開環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=-2；沒有開環(huán)零點(diǎn)；n-m=2。②系統(tǒng)有兩條根軌跡，分別起始于0、-2，均終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。，51③實(shí)軸上(-2,0)區(qū)段為根軌跡段；52④兩條漸近線與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)分別為，53⑤根軌跡的分離點(diǎn)方法一：根據(jù)式(4-25)可得即

解此方程可得分離點(diǎn)為在分離點(diǎn)s=-1處的分離角，根據(jù)式(4-27)可知為得

方法二:由再令

同樣可得

54

系統(tǒng)的根軌跡如圖4-9所示。

圖4-9例4-3系統(tǒng)的根軌跡

556）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)由前可知，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的位置影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及品質(zhì)指標(biāo)，特征根在s平面的左半平面時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，根軌跡穿越虛軸進(jìn)入右半平面，系統(tǒng)將不穩(wěn)定，根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)極點(diǎn)中有一部分極點(diǎn)為純虛數(shù)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。為了判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍，需確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。56根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可采用以下兩種方法確定：

1)利用勞斯判據(jù)，可求出系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的k值和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。2)由特征方程方程s=j

聯(lián)立求解，可得

即

(4-30)和虛軸57

根據(jù)式(4-30)，則可解出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

值及對(duì)應(yīng)的臨界開環(huán)增益k值。規(guī)則6：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可根據(jù)勞斯判據(jù)或式(4-30)求解。58例4-4

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制k從0

+

變化時(shí)的根軌跡；解

①開環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=-1、p3=-2；無(wú)開環(huán)零點(diǎn)；n-m=3。

②系統(tǒng)有三條根軌跡，分別起始于0、-1、-2，均終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。

59④三條漸近線與實(shí)軸的夾角為漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)③實(shí)軸上(-

,-2)與(-1,0)兩區(qū)段為根軌跡；60⑤根軌跡的分離點(diǎn)方法二：根據(jù)系統(tǒng)特征方程

得

由

解得：s1=-0.42,

s2=-1.58,(舍去)方法一：根據(jù)式(4-25)有

得

61⑥求根軌跡與虛軸交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：列Routh陣列：

根據(jù)勞斯陣列可知,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)k=6，將其代入輔助方程求得

62根據(jù)以上規(guī)則可繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖4-10所示。

637）根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角，是指起始于復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角。如圖4-11中的

p1角。而根軌跡的入射角，是指終止于復(fù)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，如圖4-12中的

z1角.圖4-11根軌跡的出射角圖4-12根軌跡的入射角

64

在圖4-11所示根軌跡上，靠近起始點(diǎn)p1附近取一點(diǎn)s1，根據(jù)根軌跡相角條件有

當(dāng)s1無(wú)限靠近pl時(shí)，則各開環(huán)零、極點(diǎn)指向sl的向量，就變成各開環(huán)零、極點(diǎn)指向pl的矢即為出射角量，而這時(shí)

更一般情況，根據(jù)相角條件式(4-7)，根軌跡在第a個(gè)開環(huán)極點(diǎn)pa處的出射角為

(4-31)

65同理可得，根軌跡在第b個(gè)開環(huán)零點(diǎn)zb處的入射

有了出射角與入射角，就可確定根軌跡在復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)和復(fù)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)處大致的起始方向與終止方向。規(guī)則7：根軌跡的出射角和入射角分別根據(jù)式(4-31)和式(4-32)計(jì)算。角為(4-32)66例4-5

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。

解

①系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=-1+j、p3=-1-j；無(wú)開環(huán)零點(diǎn)；n-m=3。

②系統(tǒng)有3條根軌跡，分別起始于3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1,p2,p3，它們均終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處；67

④

三條漸近線夾角和交點(diǎn)分別為③實(shí)軸上根軌跡段為(-

，0)；⑤由于根據(jù)式(4-25)所得方程在k>0時(shí)無(wú)解，所以無(wú)分離點(diǎn)；68⑥根軌跡與虛軸交點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：列Routh陣列：

根據(jù)勞斯陣列可知，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)k=4，將其代入輔助方程P(s)=2s2+k=2s2+4=0

得

即根軌跡在k=4時(shí)，與虛軸交于69⑦根軌跡在極點(diǎn)p2處的出射角因p2與p3為共軛復(fù)數(shù)，所以

70圖4-13例4-5的根軌跡

系統(tǒng)的根軌跡如圖4-13所示。

71

由此可見，在給定系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)的情況下，利用以上介紹的繪制根軌跡的7條基本規(guī)則，就可以比較迅速地繪制出根軌跡的大致形狀和變化趨勢(shì)。如果對(duì)某些重要部分的根軌跡感興趣，比如虛軸和原點(diǎn)附近的根軌跡，可以根據(jù)相角條件精確繪制。需要說(shuō)明的是，根據(jù)系統(tǒng)的不同，繪制系統(tǒng)的根軌跡不一定要用到以上全部的繪制規(guī)則，有時(shí)只用到部分規(guī)則就可以繪制出系統(tǒng)完整的根軌跡。72

2．系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極零點(diǎn)的關(guān)系在根軌跡上，當(dāng)根軌跡增益k為確定值時(shí)，若已知一些閉環(huán)極點(diǎn)，利用根之和、根之積規(guī)則可以較方便地確定其它待求的根。73

系統(tǒng)的特征方程可表示為

當(dāng)系統(tǒng)n

m+2時(shí)，sm階次比sn

、sn-1要低，上式閉環(huán)特征方程還可由閉環(huán)極點(diǎn)pci來(lái)表示

(4-35)

(4-33)合并為

(4-34)74比較式(4-34)與(4-35)中sn-1的系數(shù)有式中，pci為系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)，i=l,2,…,n；pi為系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)，i=l,2,…,n。根據(jù)這一規(guī)則可知，當(dāng)系統(tǒng)n

m+2時(shí)，根軌跡若有一些分支向左移，必有一些分支向右移動(dòng)，以保持不變。(4-36)75式中，pci為系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)，i=l,2,…,n；pi為系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)，i=l,2,…,n；zj為系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)，j=l,2,…,m；k為根軌跡增益。

由此可見，當(dāng)系統(tǒng)滿足n

m+2時(shí)，根軌跡增益k變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)，等于開環(huán)極點(diǎn)之和。系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之積滿足式（4-37）。

比較式(4-34)與(4-35)式的常數(shù)項(xiàng)可得，n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)之積為

(4-37)

76圖4-14正反饋控制系統(tǒng)

4.2.2正反饋系統(tǒng)的根軌跡

前面提到的建立根軌跡的基本規(guī)則是針對(duì)負(fù)反饋控制系統(tǒng)而言的。而對(duì)圖4-14所示的正反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其特征方程式為

(4-38)

77

由此可得正反饋系統(tǒng)的特征方程式應(yīng)滿足的兩個(gè)條件幅值條件

相角條件

由式(4-38)、(4-39)可見正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件與負(fù)反饋系統(tǒng)的相同，而相角條件與負(fù)反饋系統(tǒng)的不同。因此繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡時(shí)，必須修改繪制負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡基本規(guī)則中的與相角有關(guān)的規(guī)則，即規(guī)則3、規(guī)則4和規(guī)則7。即：(4-39)(4-40)78

規(guī)則4：正反饋系統(tǒng)根軌跡漸近線與實(shí)軸的夾角為

(4-41)

規(guī)則3：正反饋系統(tǒng)在實(shí)軸上的根軌跡是分布在其右邊的開環(huán)實(shí)零、極點(diǎn)總數(shù)為偶數(shù)的線段上。根軌跡的入射角為(4-43)

(4-42)規(guī)則7：正反饋系統(tǒng)根軌跡的出射角為79

除了上述3條規(guī)則修改外，其它規(guī)則與負(fù)反饋系統(tǒng)相同。其中包括分離（會(huì)合）角的計(jì)算公式仍按式(4-28)計(jì)算。80

例4-6

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-15所示，試?yán)L制具有正反饋控制系統(tǒng)的根軌跡，并證明根軌跡為一圓。

解

(1)正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖4-15正反饋控制系統(tǒng)

81①系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=-1；開環(huán)零點(diǎn)z1=2。n-m=1；②根軌跡有兩條，分別起始于開環(huán)極點(diǎn)p1,p2；兩條根軌跡分別趨向于z1=2和無(wú)窮遠(yuǎn)處；82③根軌跡在實(shí)軸上分布在(2，+

)和(0，-1)之間；④根軌跡的漸近線有一條，夾角

a=0與正實(shí)軸重合；83⑤根軌跡的分會(huì)點(diǎn)根據(jù)式(4-25)可得

求得分會(huì)點(diǎn)為s1=4.45(k1=9.9),s2=-0.45(k2=0.1)

即根軌跡的分離點(diǎn)有2個(gè)s1=4.45,s2=-0.45。84系統(tǒng)特征方程為將s=j

代入特征方程

D(s)中，得可得：

⑥根軌跡與虛軸的交點(diǎn)85圖4-16例4-6正反饋控制系統(tǒng)的根軌跡

根軌跡的大致圖形如圖4-16所示。

當(dāng)k>l時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)將位于s平面的右半平面，正反饋系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的。

86(2)證明根軌跡為一圓①由特征方程得

將代入上式可得消去以上兩式中的k可得

分別令其實(shí)部和虛部為零，有87②利用相角條件：將代入以上相角條件可得

整理可得

可見，根軌跡在s平面是以為圓心，為半徑的圓。

884.2.3180

等相角根軌跡和0

等相角根軌跡（n

m）

(4-6)

因?yàn)樯厦娼榻B的負(fù)反饋系統(tǒng)和正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制規(guī)則，都是首先假設(shè)能將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表示成如式(4-6)所示的零、極點(diǎn)形式，然后根據(jù)根軌跡增益k從0

+

變化時(shí)，應(yīng)用系統(tǒng)特征方程的相角條件或幅值條件進(jìn)行推導(dǎo)的。

89

所以，當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)不能表示成如式(4-6)所示的零、極點(diǎn)形式時(shí)，應(yīng)對(duì)具有負(fù)反饋結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，采用正反饋系統(tǒng)的根軌跡規(guī)則進(jìn)行繪制；對(duì)具有正反饋結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，采用負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡規(guī)則進(jìn)行繪制。這是因?yàn)閷?duì)于某些系統(tǒng)雖然是負(fù)反饋（或正反饋）結(jié)構(gòu)，但在將其開環(huán)傳遞函數(shù)表示成如式(4-6)所示的零、極點(diǎn)形式時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)前可能出現(xiàn)一負(fù)號(hào)，使系統(tǒng)具有正反饋（或負(fù)反饋）的性質(zhì)。90

由此可見，繪制系統(tǒng)的根軌跡時(shí)，不僅要看系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，而且也要看系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的形式，結(jié)合兩者才能判斷該系統(tǒng)的根軌跡滿足的相角條件是式(4-5)還是式(4-39)，從而最終決定采用何種反饋方式的規(guī)則進(jìn)行繪制系統(tǒng)的根軌跡。91

通常，也將復(fù)平面上所有滿足相角條件式(4-5)的點(diǎn)s連成的曲線稱為180

等相角根軌跡，即上面所述的負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡；將復(fù)平面上所有滿足相角條件式(4-40)的點(diǎn)s連成的曲線稱為0

等相角根軌跡（零度根軌跡），即上面所述的正反饋系統(tǒng)的根軌跡。一般來(lái)說(shuō)，0

等相角根軌跡的來(lái)源有兩個(gè)方面：其一是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中包含s最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子；其二是控制系統(tǒng)中包含有正反饋回路。92

例如對(duì)如圖4-15所示的具有正反饋結(jié)構(gòu)的控制系統(tǒng)，如該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則將其表示成如式(4-6)所示的零、極點(diǎn)形式時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)就變?yōu)樗栽撓到y(tǒng)實(shí)際具有負(fù)反饋的性質(zhì)。因此繪制該系統(tǒng)的根軌跡時(shí)，應(yīng)該采用負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡規(guī)則進(jìn)行繪制，即該系統(tǒng)的根軌跡是180

等相角根軌跡。934-3參數(shù)根軌跡的繪制

前面討論系統(tǒng)根軌跡的繪制方法時(shí)，是以根軌跡增益k（或開環(huán)增益K）為可變參量，這是在實(shí)際中最常見的情況。而在實(shí)際控制系統(tǒng)中，有時(shí)需要研究根軌跡增益k以外的其它參數(shù)，如開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)和反饋系數(shù)等對(duì)系統(tǒng)性能的影響，這時(shí)可繪制以其它參數(shù)為可變參數(shù)的根軌跡。94

通常將負(fù)反饋系統(tǒng)中以根軌跡增益k為可變參量的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。而將除根軌跡增益k為可變參量的根軌跡以外，其他情況下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。如以上介紹的零度根軌跡，及以下將要介紹的參數(shù)根軌跡、開環(huán)傳遞函數(shù)中零點(diǎn)個(gè)數(shù)多于極點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)的根軌跡和開環(huán)傳遞函數(shù)中含有純遲延因子時(shí)的根軌跡等均可列入廣義根軌跡的范疇。954.3.1單參數(shù)根軌跡

繪制單參數(shù)根軌跡的規(guī)則與繪制常規(guī)根軌跡的規(guī)則完全相同。只要在繪制參數(shù)根軌跡之前，引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)概念，則常規(guī)根軌跡的所有繪制規(guī)則，均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。96已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為假設(shè)

m為可變參數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程

(4-45)

(n

m)(4-44)97總可以化成當(dāng)?shù)碾A次不小于的階次時(shí)，有否則，有(4-48)

(4-46)(4-47)98

比較式（4-45）和式（4-47）知，它們盡管等式左邊的第二項(xiàng)不同，但它們都由同一特征方程式得到，因而可得到相同的閉環(huán)極點(diǎn)，故可把看成一個(gè)等效開環(huán)傳遞函數(shù)，即令

(4-49)

則

等效開環(huán)傳遞函數(shù)中

m所處的位置與原開環(huán)傳遞函數(shù)中k的位置相同，這樣就可按前述繪制以k為參變量的方法來(lái)繪制以

m為參變量的根軌跡。99

當(dāng)系統(tǒng)的其他參數(shù)作為參變量時(shí)，可以采用同樣的方法處理。順便指出，當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)式(4-44)中的n<m時(shí)，對(duì)于根軌跡的繪制，同樣也可采用類似式(4-48)的方法處理。

需要強(qiáng)調(diào)指出，等效開環(huán)傳遞函數(shù)是根據(jù)式(4-45)得來(lái)的，因此“等效”的含義僅在閉環(huán)極點(diǎn)相同這一點(diǎn)上，而閉環(huán)零點(diǎn)一般是不同的。所以根據(jù)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布來(lái)分析和估算系統(tǒng)性能時(shí)，可以采用參數(shù)根軌跡上的閉環(huán)極點(diǎn)，但必須采用原來(lái)閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)。100例4-7

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制參數(shù)T從0

變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。

解系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為以除特征方程，得等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中k1=6T，由于k1所處位置與G(s)H(s)中k所處位置相當(dāng)，可以按以k為參變量繪制常規(guī)根軌跡的方法來(lái)繪制k1=6T為參變量的根軌跡。101

①系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)p1=-3、p2=j、p3=-j開環(huán)零點(diǎn)z1=0；n-m=2。

②根軌跡有三條，分別起始于開環(huán)極點(diǎn)p1,p2,p3；三條根軌跡分別趨向于0和無(wú)窮遠(yuǎn)處，

③實(shí)軸上的根軌跡在(0,-3)之間。

④漸近線有兩條，其夾角為漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)

102⑤由于根據(jù)式(4-25)所得方程在k>0時(shí)無(wú)解，故無(wú)分離點(diǎn)；⑥由可知，根軌跡與虛軸除在起點(diǎn)處和終點(diǎn)處有交點(diǎn)外無(wú)其它交點(diǎn)；103⑦

根軌跡的出射角對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p2處根軌跡的出射角104

根軌跡如圖4-17所示。1054.3.2多參數(shù)根軌跡在有些場(chǎng)合，需研究幾個(gè)參數(shù)同時(shí)變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。這時(shí)就需要繪制幾個(gè)參數(shù)同時(shí)變化時(shí)的根軌跡，此時(shí)根軌跡將是一族曲線，稱為根軌跡族。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制k1和k2為可變參量的根軌跡族。

(4-50)第一步：令可變參數(shù)k2為零，繪制k1的根軌跡。第二步：令k1為某一常值，繪制k2變化時(shí)的根軌跡。106

例4-8

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制以k和a為參變量的根軌跡族。

解第一步：令a=0，繪k為參變量的根軌跡。

此時(shí)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為k變化的軌跡如圖4-18(a)所示。第二步：令k=4，繪制a從0

變化時(shí)的根軌跡。根據(jù)特征方程107可得等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

k=4時(shí)，a從0

變化時(shí)的根軌跡如圖4-18(b)所示。該根軌跡起始于圖4-18(a)根軌跡上k=4的點(diǎn)，即(0，

j2)點(diǎn)，終止于原點(diǎn)及無(wú)遠(yuǎn)窮處。108圖4-18例4-8控制系統(tǒng)的根軌跡

當(dāng)k為其它值時(shí)，a從0

變化時(shí)的根軌跡如圖4-18(c)所示。

1094-4純遲延根軌跡的繪制

在很多控制系統(tǒng)中，如過(guò)程控制系統(tǒng)的成分分析控制、溫度控制等，不僅存在著時(shí)間常數(shù)較大的環(huán)節(jié)，還常有純遲延存在，這時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中含有純遲延因子e-

s。假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

則系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為(4-56)

(4-57)

(4-55)110由于e-

s是一個(gè)超越函數(shù)，故式(4-57)為一超越方程，它有無(wú)窮多個(gè)根。因此，具有純延遲系統(tǒng)的根軌跡有無(wú)窮多條分支，這是純遲延系統(tǒng)根軌跡的特點(diǎn)。則純延遲系統(tǒng)根軌跡的幅值條件為因?yàn)?/p>

相角條件為(4-58)

(4-59)式中，l=0,l,2,…111純延遲系統(tǒng)根軌跡繪制的基本規(guī)則為：1．根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性由于e-

s是超越函數(shù)，可展開成無(wú)窮級(jí)數(shù)，即由此可知，e-

s展成無(wú)窮級(jí)數(shù)后，方程式(4-57)仍為實(shí)系數(shù)方程，僅僅是階次是無(wú)窮大的多項(xiàng)式。因而系統(tǒng)的特征根有無(wú)窮多個(gè)。當(dāng)k從0

+

連續(xù)變化時(shí)，根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸，且連續(xù)變化。所以可得繪制純遲延系統(tǒng)根軌跡的規(guī)則1。規(guī)則1：純遲延系統(tǒng)的根軌跡是對(duì)稱于實(shí)軸的連續(xù)曲線，其分支數(shù)為無(wú)窮多個(gè)。1122．根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)

由幅值條件(4-58)式可得當(dāng)k=0時(shí)，即根軌跡的起點(diǎn)條件為s=pi或s的實(shí)部

趨于-

。當(dāng)k=+

時(shí)，由式(4-58)可得根軌跡的終止條件為s=zj或s的實(shí)部

趨于+

。

規(guī)則2：純遲延系統(tǒng)根軌跡的起始點(diǎn)為有限的開環(huán)極點(diǎn)pi和無(wú)窮多個(gè)

-

的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)；而根軌跡的終止點(diǎn)為有限零點(diǎn)zj和無(wú)窮多個(gè)

+

的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。1133．實(shí)軸上的根軌跡在實(shí)軸上，將

=0代入相角條件式(4-59)，其變?yōu)榕c常規(guī)根軌跡時(shí)相角條件相同，因此，確定實(shí)軸上根軌跡的規(guī)則3同前。即規(guī)則3：若實(shí)軸上某線段右邊的所有開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)，則這一線段就是根軌跡。1144．根軌跡的漸近線

由上可知，純遲延系統(tǒng)根軌跡的漸近線有無(wú)窮多條，且全部平行于s平面的實(shí)軸。漸近線與虛軸的交點(diǎn)由下式計(jì)算。(1)起點(diǎn)處的漸近線因在根軌跡無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的起點(diǎn)處有:k=0，

-

。所以，這時(shí)所有開環(huán)零、極點(diǎn)到s平面左半無(wú)窮遠(yuǎn)處變點(diǎn)s的矢量相角均為

。根據(jù)純遲延系統(tǒng)的相角條件式(4-59)有

(4-60)115為使式(4-60)成立，當(dāng)n-m=奇數(shù)時(shí)，

應(yīng)為

的偶數(shù)倍，即

=

2l

(l=0,1,2,…)

當(dāng)n-m=偶數(shù)時(shí)，

應(yīng)為

的奇數(shù)倍，即

=

(2l+1)

(l=0,1,2,…)

所以起點(diǎn)處的漸近線與虛軸的交點(diǎn)為當(dāng)n-m=奇數(shù)時(shí)，

=

2l

/

(l=0,1,2,…)(4-61)

當(dāng)n-m=偶數(shù)時(shí)，

=

(2l+1)

/

(l=0,1,2,…)(4-62)116(2)終點(diǎn)處的漸近線因在根軌跡無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的終點(diǎn)處有:k=

，

+

。所以，這時(shí)所有開環(huán)零、極點(diǎn)到s平面右半無(wú)窮遠(yuǎn)處變點(diǎn)s的矢量相角均為0。根據(jù)純遲延系統(tǒng)的相角條件式(4-59)有所以終點(diǎn)處的漸近線與虛軸的交點(diǎn)為

=

(2l+1)

/

(l=0,1,2,…)(4-63)規(guī)則4：純遲延系統(tǒng)的根軌跡在無(wú)窮遠(yuǎn)起點(diǎn)處和無(wú)窮遠(yuǎn)終點(diǎn)處均有無(wú)限多條漸近線平行于實(shí)軸；其中，無(wú)窮遠(yuǎn)起點(diǎn)處的無(wú)限多條漸近線與虛軸的交點(diǎn)按式(4-61)或式(4-62)計(jì)算；無(wú)窮遠(yuǎn)終點(diǎn)處的無(wú)限多條漸近線與虛軸的交點(diǎn)按式(4-63)計(jì)算。1175．其它規(guī)則同前，可仿照進(jìn)行。118例4-9

已知純遲延系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制k

變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。

解

1）純遲延系統(tǒng)存在一個(gè)有限開環(huán)極點(diǎn)p=

-1；無(wú)有限開環(huán)零點(diǎn)。

2)根軌跡有無(wú)限多條分支，根軌跡的起點(diǎn)為有限開環(huán)極點(diǎn)p=-1及無(wú)限多個(gè)

-

的點(diǎn)，終點(diǎn)為無(wú)限個(gè)

+

的點(diǎn)。

3）實(shí)軸上(-1，-)區(qū)段為根軌跡段；

1194）漸近線因n-m=奇數(shù)，所以無(wú)窮遠(yuǎn)起點(diǎn)處的漸近線與虛軸的交點(diǎn)為

=

2

l

/

=

2

l

(l=0,1,2,…)無(wú)窮遠(yuǎn)終點(diǎn)處的漸近線與虛軸的交點(diǎn)為

=

(2l+1)/

=

(2l+1)

(l=0,1,2,…)漸近線用點(diǎn)劃線標(biāo)在圖4-19上。120

5）分會(huì)點(diǎn)令

可得s=-26）求根軌跡與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為將s=j

代入特征方程

D(s)中，得即121令：

可得：

有無(wú)窮多個(gè)解

=0.64

，k=2；

=2.55

，k=8；…

設(shè)l＝0,l,2,…可繪出系統(tǒng)根軌跡如圖4-19所示。l=0的根軌跡稱為主根軌跡。l=l,2,…的根軌跡稱為輔助根軌跡。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)主要由主根軌跡來(lái)決定。122圖4-19例4-9控制系統(tǒng)的根軌跡1234-5利用根軌跡分析控制系統(tǒng)利用特征根在s平面上的位置分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性是根軌跡法的重要應(yīng)用。本節(jié)通過(guò)實(shí)例來(lái)具體說(shuō)明。4.5.1利用根軌跡定性分析系統(tǒng)如果系統(tǒng)的根軌跡全部位于s左半平面，則對(duì)于所有的根軌跡可變參數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。但是很多系統(tǒng)的根軌跡通常一部分位于s左半平面，而另一部分位于s右半平面。這意味著對(duì)于某些根軌跡的可變參數(shù)，在一定范圍內(nèi)取值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；而取值超出此范圍時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。可變參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值才能使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，這樣的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)于條件穩(wěn)定系統(tǒng)，可由根軌跡法確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。即使對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，也可能由于根軌跡的不同，系統(tǒng)表現(xiàn)為不同的動(dòng)態(tài)過(guò)程。124例4-10

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)(1)試?yán)L制k從0

+

變化時(shí)的根軌跡；(2)利用根軌跡分析k對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響；(3)利用根軌跡確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的根軌跡增益k的范圍。解

(1)繪制k從0+

變化時(shí)的根軌跡①開環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=-4、p3=-6;無(wú)開環(huán)零點(diǎn)；n-m=3。②系統(tǒng)有三條根軌跡，起始于0、-4、-6，均終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。

125④三條漸近線與實(shí)軸的夾角為漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)⑤根軌跡的分離點(diǎn)分離點(diǎn)為:s1=-1.57，在分離點(diǎn)s1=-1.57處的分離角，根據(jù)式(4-27)可知為⑥求根軌跡與虛軸交點(diǎn)③實(shí)軸上(-

,-6)與(-4,0)兩區(qū)段為根軌跡；126圖4-21例4-10控制系統(tǒng)的根軌跡127系統(tǒng)根軌跡如圖4-21所示。(2)從根軌跡圖可以看到：當(dāng)0<k

16.9時(shí)，系統(tǒng)三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)都是負(fù)實(shí)數(shù)，系統(tǒng)為衰減單調(diào)型；當(dāng)16.9<k<240時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)成為實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)，系統(tǒng)為衰減振蕩型；當(dāng)k=240時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，系統(tǒng)為等幅振蕩型；當(dāng)k>240時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(3)由以上對(duì)根軌跡分析可知，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的根軌跡增益k的范圍為0<k<240

可見，根軌跡清晰地描繪了閉環(huán)極點(diǎn)與根軌跡系數(shù)k的關(guān)系。1284.5.2利用根軌跡定量分析系統(tǒng)1．利用根軌跡估算系統(tǒng)的性能根軌跡分析法和時(shí)域分析法的實(shí)質(zhì)是一樣的，都可用來(lái)分析系統(tǒng)的性能。但是由根軌跡采用的是圖解方法，與時(shí)域分析法相比，避免了繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算，又能清楚地看到系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益或其它開環(huán)參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)位置及其動(dòng)態(tài)性能的改變情況。根軌跡法用于控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)十分方便，尤其是對(duì)于具有主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)，使用根軌跡對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)更加簡(jiǎn)便。129對(duì)于典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

(4-65)

在欠阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)，即

根據(jù)第3章3.3.4小節(jié)中的討論可知，二階系統(tǒng)的等

線與負(fù)實(shí)軸間的夾角

越小，系統(tǒng)的阻尼比

就越大，則系統(tǒng)的超調(diào)量越小。閉環(huán)極點(diǎn)離開虛軸的距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間越小。；130圖4-22

顯然，如果二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于如圖4-22所示的折線ABCD的左邊區(qū)域，則必有；131

在具有主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)中，可以使用該方法估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。在進(jìn)行高階系統(tǒng)的性能指標(biāo)估算時(shí)，應(yīng)先確定系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)；然后將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為以主導(dǎo)極點(diǎn)為極點(diǎn)的二階系統(tǒng)（主導(dǎo)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)）或一階系統(tǒng)（主導(dǎo)極點(diǎn)為一個(gè)實(shí)數(shù)）；最后再根據(jù)二階系統(tǒng)（或一階系統(tǒng)）的性能指標(biāo)來(lái)估算。132例4-11已知例4-10所給系統(tǒng)。試判斷閉環(huán)極點(diǎn)是否為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。若是，試解

(1)首先根據(jù)根軌跡的繪制規(guī)則，可得系統(tǒng)的根軌跡如圖4-23（a）所示。估算該系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。圖4-23系統(tǒng)根軌跡及性能指標(biāo)計(jì)算圖133(2)判斷閉環(huán)極點(diǎn)①判斷閉環(huán)極點(diǎn)利用圖4-23（b），根據(jù)相角條件可知點(diǎn)滿足相角條件。所以是系統(tǒng)根軌跡上的是否為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)是否為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)，即為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。134②判斷閉環(huán)極點(diǎn)是否為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)首先假設(shè)系統(tǒng)的另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為，然后再根據(jù)。當(dāng)系統(tǒng)滿足n

m+2時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和。則有解上式可得：由，可知為系統(tǒng)的主導(dǎo)復(fù)極點(diǎn)。在閉環(huán)極點(diǎn)處的根軌跡增益k，可根據(jù)以下特和征方程求解，即135(3)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)根據(jù)以上所得系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)、根據(jù)主導(dǎo)極點(diǎn)(s)和對(duì)應(yīng)的根軌跡增益k，可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為，將原三階系統(tǒng)近似為以下典型其中，系數(shù)根據(jù)系統(tǒng)近似前后要保證其穩(wěn)態(tài)值（系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)增益）不變，即求得為

二階系統(tǒng)136(s)由圖4-23（b）可知，在閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)處，系統(tǒng)的阻尼角為則系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間分別為。1372．利用根軌跡計(jì)算系統(tǒng)的參數(shù)利用根軌跡法可以計(jì)算在一定性能指標(biāo)下的系統(tǒng)參數(shù)。這里通過(guò)下例來(lái)討論如何根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)來(lái)確定系統(tǒng)的參數(shù)。例4-12

已知例4-10所給系統(tǒng)。(1)若要求在單位階躍輸入信號(hào)作用時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量。試確定根軌跡增益k的范圍。(2)能否通過(guò)選擇k滿足系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)的要求。解

(1)由于閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量為所以，可得阻尼角138

在根軌跡圖上，畫一條與負(fù)實(shí)軸為的直線，它與根軌跡交于A點(diǎn)，如圖4-24所示。假設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，則另外根據(jù)相角條件有聯(lián)立求解以上兩式可得即A點(diǎn)的坐標(biāo)為由于根據(jù)上例4-11知，可作為系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，且這時(shí)系統(tǒng)的根軌跡增益。所以，若要求系統(tǒng)的超調(diào)量，則根軌跡增益要滿足139。

另外，將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，令其實(shí)部和虛部分別為零，再利用A點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)部和虛部的關(guān)系式，也可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的根軌跡增益。

(2)系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)為

由例4-10可知，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的根軌跡增益k的范圍為0<k<240。因此，在使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，靜態(tài)速度誤差系數(shù)所以，不能通過(guò)選擇k滿足系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)140圖4-24系統(tǒng)根軌跡1414-6利用MATLAB進(jìn)行根軌跡分析

MATLAB提供了繪制系統(tǒng)精確根軌跡的函數(shù)，使用它們不僅可以很方便地繪制出控制系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖和根軌跡，而且也可以利用繪制出的根軌跡求給定點(diǎn)的根軌跡增益.1424.6.1繪制系統(tǒng)根軌跡和獲得根軌跡增益1．繪制系統(tǒng)的根軌跡利用rlocus()函數(shù)可繪制出當(dāng)根軌跡增益k由0至+∝變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面變化的軌跡，該函數(shù)的調(diào)用格式為

[r,k]=rlocus(num,den)或[r,k]=rlocus(num,den,k)143

如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是用零、極點(diǎn)的形式表示，也就是說(shuō)它們的分子和分母可能由若干個(gè)一階多項(xiàng)式相乘組成，則可利用MATLAB中的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算函數(shù)conv()將其分子和分母分別處理成一個(gè)高階多項(xiàng)式的形式。當(dāng)然也可以先表示成零、極點(diǎn)的形式，然后再利用函數(shù)zpk2tf()將其轉(zhuǎn)換成的多項(xiàng)式的形式。這些函數(shù)的具體調(diào)用格式參第2章的2.5節(jié)。1441442.獲得系統(tǒng)的根軌跡增益在系統(tǒng)分析過(guò)程中，常常希望確定根軌跡上某一點(diǎn)處的增益值k，這時(shí)可利用MATLAB中的rlocfind()函數(shù)，在使用此函數(shù)前要首先得到系統(tǒng)的根軌跡，然后再執(zhí)行如下命令[k,poles]=rlocfind(num,den)[k,poles]=rlocfind(num,den,p)其中，num和den分別為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)按降冪排列構(gòu)成的系數(shù)向量；poles為所求系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)；k為相應(yīng)的根軌跡增益；p為系統(tǒng)給定的閉環(huán)極點(diǎn)。145例4-13

已知某反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)根軌跡，并利用根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。解MATLAB的命令為>>num=1;den=conv([1,0],conv([1,1],[1,2]));>>rlocus(num,den);[k,poles]=rlocfind(num,den)或>>K=1;Z=[];P=[0;-1;-2];[num,den]=zp2tf(Z,P,K);>>rlocus(num,den);[k,poles]=rlocfind(num,den)執(zhí)行以上命令，并移動(dòng)鼠標(biāo)到根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處單擊鼠標(biāo)左鍵后可得如圖4-25所示的根軌跡和如下結(jié)果：146Selectapointinthegraphicswindowselected_point=0.0000-1.4142ik=6.0000poles=-3.00000.0000+1.4142i0.0000-1.4142i圖4-25負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡

由此可見根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的增益k=6，這說(shuō)明當(dāng)k<6時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)k>6時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定；利用rlocfind()函數(shù)也可找出根軌跡從實(shí)軸上的分離點(diǎn)處的增益k=0.38,這說(shuō)明當(dāng)0<k<0.38時(shí)，系統(tǒng)為單調(diào)衰減穩(wěn)定，當(dāng)0.38<k<6時(shí)系統(tǒng)為振蕩衰減穩(wěn)定的。

147例4-14

已知某正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如例4-13所示。試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，并計(jì)算根軌跡上點(diǎn)-2.3

j2.02處的根軌跡增益和此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解MATLAB的命令為>>num=1;den=conv([1,0],conv([1,1],[1,2]));>>rlocus(-num,den);[k,poles]=rlocfind(-num,den,-2.3+2.02j)執(zhí)行以上命令可得如下結(jié)果和如圖4-26所示的根軌跡。148k=15.0166poles=-2.3011+2.0195i-2.3011-2.0195i1.6021圖4-26正反饋系統(tǒng)的根軌跡

由此可見，點(diǎn)-2.3

j2.02確實(shí)為根軌跡上的，且該點(diǎn)處的增益為15.0166，而由于另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于正實(shí)軸上的1.6021點(diǎn)處，故此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。實(shí)際上由于系統(tǒng)的一條根軌跡一直位于正實(shí)軸上，因此該系統(tǒng)在所有的正值增益k值下均不穩(wěn)定。149

由以上兩例可見，對(duì)同一開環(huán)傳遞函數(shù)，其正、負(fù)反饋系統(tǒng)在實(shí)軸上的根軌跡正好互補(bǔ)，它們的根軌跡共同占據(jù)了整個(gè)實(shí)軸，即實(shí)軸上負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡沒有經(jīng)過(guò)的區(qū)段恰好有相應(yīng)的正反饋系統(tǒng)的根軌跡所填補(bǔ)。1504.6.2繪制阻尼系數(shù)和自然頻率的柵格線

MATLAB中的函數(shù)sgrid()可在系統(tǒng)的根軌跡或零極點(diǎn)圖上繪制出柵格線，柵格線由等阻尼系數(shù)和等自然頻率線構(gòu)成，阻尼系數(shù)ζ以步長(zhǎng)0.1，從0到1給出；自然頻率ωn以步長(zhǎng)π/10，從0到π繪出。函數(shù)sgrid()有以下幾種調(diào)用格式sgrid%在已有的圖形上繪制柵格線；

sgrid('new')%先清除圖形屏幕，然后繪制出柵格線并設(shè)置成holdon，使后續(xù)繪圖命令能繪制在柵格上；

sgrid(zeta,wn)%可指定阻尼系數(shù)ζ和自然頻率ωn；

sgrid(zeta,wn,'new')%可指定阻尼系數(shù)ζ和自然頻率ωn；且在繪制柵格線之前清除圖形窗口。

1514-15

已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如例4-13所示。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡，并求取系統(tǒng)具有阻尼比

=0.5的共軛閉環(huán)極點(diǎn)，并估算此時(shí)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解MATLAB的命令為>>num=1;den=conv([1,0],conv([1,1],[1,2]));>>rlocus(num,den);sgrid(0.5,[]);執(zhí)行以上命令，可得如圖4-27所示的根軌跡。然后移動(dòng)鼠標(biāo)到根軌跡與阻尼比

=0.5射線的交點(diǎn)處單擊鼠標(biāo)左鍵便可獲得此時(shí)系統(tǒng)的有關(guān)性能指標(biāo)，即可得系統(tǒng)的阻尼比

=0.5時(shí)，根軌跡增益為1.02；閉環(huán)極點(diǎn)為-0.335j0.569；最大超調(diào)量(%)為15.8%；阻尼比為0.507；無(wú)阻尼自然振蕩頻率為0.661，如圖4-27所示。152圖4-27例4-15的根軌跡153

再者，由于系統(tǒng)另外一個(gè)閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)位于其開環(huán)極點(diǎn)-2的左邊，且2/0.335>5，故另外一個(gè)閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)離虛軸的距離一定大于共軛閉環(huán)極點(diǎn)-0.335

j0.569離虛軸距離的5倍以上，因此極點(diǎn)-0.335j0.569可作為該系統(tǒng)的一對(duì)共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。從而根據(jù)該主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部可知，系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間為(34)/0.335。拖動(dòng)利用鼠標(biāo)單擊所產(chǎn)生的標(biāo)記點(diǎn)，也可獲得各個(gè)點(diǎn)的系統(tǒng)有關(guān)性能指標(biāo)。盡管直接利用鼠標(biāo)單擊雖然快捷，并同時(shí)給出了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，但不能給出其余極點(diǎn)的值和位置。若要獲得它們的值和位置，則需利用rlocfind()函數(shù)。154本章小結(jié)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)、零點(diǎn)的分布位置對(duì)系統(tǒng)的性能有直接的影響。根軌跡法是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布繪制系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根的軌跡曲線。利用根軌跡法，能較方便地確定高階系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)分布的規(guī)律，可形象地看出參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的影響，特別是可以看到增益變化的影響。

155第5章控制系統(tǒng)的頻域分析目錄5-1頻率分析的基礎(chǔ)知識(shí)5-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5-3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5-4系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性5-5利用頻率特性對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行分析5-6基于MATLAB的控制系統(tǒng)頻裕分析156

頻域分析法:頻域分析法的特點(diǎn):

1可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去判斷閉環(huán)系統(tǒng)的性能。

是一種圖解分析方法，它依據(jù)系統(tǒng)的頻率特性，對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。

2能較方便地分析系統(tǒng)中參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。1575-l頻率分析的基礎(chǔ)知識(shí)

5.1.1頻率特性的基本概念

在正弦輸入信號(hào)作用下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)的關(guān)系稱為頻率特性。

圖5-1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為158

正弦輸入信號(hào)

系統(tǒng)輸出響應(yīng)為(5-1)其中159

對(duì)式(5-1)進(jìn)行拉氏反變換，可得對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)t

+

時(shí)，

此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為(5-3)(5-2)160(5-3)

式(5-3)表明,線性定常系統(tǒng)在正弦輸入信號(hào)作用下,其輸出的穩(wěn)態(tài)分量是與輸入正弦信號(hào)同頻率的正弦信號(hào),與輸入正弦信號(hào)的幅值之比為|G(j

)|,相角之差為∠G(j

),均與G(j

)有關(guān)。式中，即

161通常定義(5-4)

為系統(tǒng)的頻率特性，它反映了線性定常系統(tǒng)在正弦輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與正弦輸入信號(hào)之間的關(guān)系。

A(

)=|G(j

)|系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與正弦輸入信號(hào)的幅值之比,稱為系統(tǒng)的幅頻特性,反映了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出對(duì)于不同頻率正弦輸入信號(hào)的幅值變化特性。

(

)=∠G(j

)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與正弦輸入信號(hào)的相角之差,稱為系統(tǒng)的相頻特性,表示系統(tǒng)輸出對(duì)于不同頻率正弦輸入信號(hào)的相位變化特性。

162(5-5)

因?yàn)轭l率特性G(j

)為復(fù)數(shù)，所以它還可以用如下的形式來(lái)表示，即

顯然，頻率特性的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)表示形式的相互關(guān)系為式中，Re(

)為頻率特性G(j

)的實(shí)部，它是頻率

的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性；Im(

)為頻率特性G(j

)的虛部，它也是頻率

的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的虛頻特性。163(5-6)

通過(guò)上述推導(dǎo)過(guò)程，可以看出系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為

由于這種簡(jiǎn)單關(guān)系的存在，利用頻率特性的頻率分析法和利用傳遞函數(shù)的時(shí)域分析法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的，因此在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)時(shí)，其作用也是類似的。但頻率分析法有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。因?yàn)槔檬?5-6)不僅可以獲得穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性，而且也可獲得不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性。另外穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性還可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法獲得，這對(duì)于那些內(nèi)部結(jié)構(gòu)未知以及難以用分析的方法列出動(dòng)態(tài)方程的系統(tǒng)尤為重要。頻率特性雖然是一種穩(wěn)態(tài)特性，但它卻不僅能夠反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且還可以用來(lái)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和暫態(tài)響應(yīng)。164

根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性的實(shí)部和虛部(不考慮0.434)，可得：

對(duì)數(shù)幅頻特性:

對(duì)數(shù)相頻特性:

另外，由系統(tǒng)的頻率特性式(5-4)，可得系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性165對(duì)數(shù)幅相圖對(duì)數(shù)幅相頻率特性(Nichols)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖對(duì)數(shù)頻率特性(Bode)頻率對(duì)數(shù)分度幅值/相角線性分度極坐標(biāo)圖幅相頻率特性(Nyquist)以頻率為參變量表示對(duì)數(shù)幅值和相角關(guān)系：L(

)—

(

)圖5.1.2頻率特性的表示方法166(1)極坐標(biāo)圖

極坐標(biāo)圖，又稱為幅相頻率特性曲線。它是當(dāng)頻率

從0變化時(shí)，G(j

)在直角坐標(biāo)復(fù)平面上的幅值A(chǔ)(

)=|G(j

)|與相角

(

)=∠G(j

)的關(guān)系曲線。

幅頻特