平面彎曲-梁的內(nèi)力（建筑力學(xué)）

第二節(jié)梁的內(nèi)力一、梁的內(nèi)力—剪力和彎矩（截面法）彎曲內(nèi)力alABFPFPFAyFByAB11xFQMMFQ彎矩M

：

構(gòu)件受彎時(shí)，縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的內(nèi)力偶，力偶矩為M。CCABFAyFByFPFPFByAFAy∑Fy=0FAy－FQ=0FQ=FAy

(↓)∑MC=0－FAyx+M=0M=FAyx

(

)剪力FQ

：

構(gòu)件受彎時(shí)，與橫截面相切的內(nèi)力。二、剪力和彎矩的正負(fù)規(guī)定:

１.剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定當(dāng)截面上的剪力FQ使所研究的梁段有順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，剪力為正；反之為負(fù)。彎曲內(nèi)力２.彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定當(dāng)截面上的彎矩Ｍ使所研究的水平梁段產(chǎn)生向下凸的變形時(shí)（即該梁段的下部受拉，上部受壓），彎矩為正；反之為負(fù)。彎曲內(nèi)力三、用截面法求指定截面上的剪力和彎矩（1）求支座反力（2）用假想的截面將梁從欲求剪力和彎矩的位置截開(kāi)。（3）取截面的任一側(cè)為隔離體，作出其受力圖，列平衡方程求出剪力和彎矩。彎曲內(nèi)力例10-1用截面法求圖示懸臂梁指定截面上的剪力和彎矩。已知：q=15kN/m，F(xiàn)P=30kN，圖中截面1-1無(wú)限接近截面A，但在A的右側(cè)，通常稱為A偏右截面。

解由于懸臂梁具有一端為自由端的特征，所以在計(jì)算內(nèi)力時(shí)可以不求其支座反力。彎曲內(nèi)力（1）求1-1截面的剪力和彎矩

取1-1截面的右側(cè)為隔離體。1-1截面上的剪力和彎矩都按照正方向假定。

∑Fy=0

－FP－q×1＋FQ1=0

FQ1=FP＋q×1=30＋15×1=45kN

計(jì)算結(jié)果為正，說(shuō)明1-1截面上剪力的實(shí)際方向與圖中假定的方向一致，即1-1截面上的剪力為正值。彎曲內(nèi)力（1）求1-1截面的剪力和彎矩

∑M1=0

M1＋

q×1×2.5＋FP×3=0

M1=－q×1×2.5－FP×3=－15×1×2.5－30×3=－127.5kN·m

計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明1-1截面上彎矩的實(shí)際方向與圖中假定的方向相反，即1-1截面上的彎矩為負(fù)值。彎曲內(nèi)力（2）求2-2截面上的剪力和彎矩取2-2截面的右側(cè)為隔離體。

∑Fy

=0

FQ2－FP－q×1=0

FQ2=FP＋q×1=30＋15×1=45kN(正剪力)

∑M2=0 M2＋

q×1×0.5＋

FP×1=0

M2=－q×1×0.5－FP×1=－15×1×0.5－30×1=－37.5kN·m(負(fù)彎矩)彎曲內(nèi)力例10-2用截面法求圖示外伸梁指定截面上的剪力和彎矩。已知：FP=100kN，a=1.5m，M=

75kN·m，圖中截面1-1、2-2都無(wú)限接近于截面A，但1-1在A左側(cè)、2-2在A右側(cè)，習(xí)慣稱1-1為A偏左截面，2-2為A偏右截面；同樣3-3、4-4分別稱為D偏左及偏右截面。彎曲內(nèi)力∑MB=0

解（1）求支座反力∑Fy=0

FBy=25kN(↓)（2）求1-1截面上的剪力和彎矩列平衡方程∑Fy=0FQ1＋

FP=0

FQ1=－FP

=－100kN(負(fù)剪力)∑M1=0M1＋FP×a=0

M1=－FPa=－100×1.5

=－150kN·m(負(fù)彎矩)彎曲內(nèi)力（3）求2-2截面上的剪力和彎矩∑Fy=0－FQ2－FP＋FAy=0FQ2=25kN(正)∑M2=0M2＋FP×a=0M2=－150kN·m(負(fù))（4）求3-3截面的剪力和彎矩∑M3=0－M3－M－FBy×a=0M3=－112.5kN·m(負(fù))∑Fy=0 FQ3－FBy=0FQ3=25kN(正)彎曲內(nèi)力（5）求4-4截面的剪力和彎矩∑Fy=0FQ4－FBy=0FQ4=25kN(正剪力)∑M4=0 －M4－FBy×a=0M4=－37.5kN·m(負(fù)彎矩)彎曲內(nèi)力利用截面法求內(nèi)力時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：１）為了簡(jiǎn)化計(jì)算，通常取外力比較少的一側(cè)來(lái)研究。２）作所取隔離體的受力圖時(shí)，在切開(kāi)的截面上，未知的剪力和彎矩通常均按正方向假定。

３）在列梁段的靜力平衡方程時(shí)，要把剪力、彎矩當(dāng)作隔離體上的外力來(lái)看待。因此，平衡方程中剪力、彎矩的正負(fù)號(hào)應(yīng)按靜力計(jì)算的習(xí)慣而定，不要與剪力、彎矩本身的正、負(fù)號(hào)相混淆。彎曲內(nèi)力四、直接用外力計(jì)算截面的剪力和彎矩FQ=∑FL或FQ=∑FR

1.求剪力的規(guī)律梁內(nèi)任一截面上的剪力FQ，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)梁段上所有外力在平行于剪力方向投影的代數(shù)和，表示為根據(jù)剪力正負(fù)號(hào)的規(guī)定可知：在左側(cè)梁段上所有向上的外力會(huì)在截面上產(chǎn)生正剪力，而所有向下的外力會(huì)在截面上產(chǎn)生負(fù)剪力；在右側(cè)梁段上所有向下的外力會(huì)在截面上產(chǎn)生正剪力，而所有向上的外力會(huì)在截面上產(chǎn)生負(fù)剪力。即：左上右下正，反之負(fù)。作用在梁上的力偶對(duì)剪力沒(méi)有影響。彎曲內(nèi)力M=∑MC(FL)或M=∑MC(FR)2.求彎矩的規(guī)律梁內(nèi)任一截面上的彎矩Ｍ，等于該截面一側(cè)所有外力對(duì)該截面形心取力矩的代數(shù)和，表示為根據(jù)彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定可知：在左側(cè)梁段上的外力（包括外力偶）對(duì)截面形心的力矩為順時(shí)針時(shí)，在截面上產(chǎn)生正彎矩，為逆時(shí)針時(shí)在截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩；在右側(cè)梁段上的外力（包括外力偶）對(duì)截面形心的力矩為逆時(shí)針時(shí)，在截面上產(chǎn)生正彎矩，為順時(shí)針時(shí)在截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩，即：左順右逆正，反之負(fù)。彎曲內(nèi)力例10-3直接用規(guī)律求圖示簡(jiǎn)支梁指定截面上的剪力和彎矩。已知：M=8kN·m，q=2kN/m解（1）求支座反力FAy=1kN(↓)FBy=5kN(↑)（2）求1-1截面上的剪力和彎矩。取該截面的左側(cè)為隔離體FQ1=－FAy=－1kNM1=8kN·m彎曲內(nèi)力（3）求2-2截面上的剪力和彎矩。取該截面的右側(cè)為隔離體FQ2=q×2－Fby=(2×2－5)kN=－1kNM2=－q×2×1