平面圖形的幾何性質(zhì)-平面圖形的幾何性質(zhì)（建筑力學(xué)）

第二節(jié)慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑一、慣性矩和極慣性矩整個(gè)平面圖形上各微面積對(duì)z軸（或y軸）慣性矩的總和稱(chēng)為該平面圖形對(duì)z軸（或y軸）的慣性矩，用Iz（或Iy）表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

整個(gè)圖形上所有微面積對(duì)點(diǎn)O的極慣性矩的總和稱(chēng)為該圖形對(duì)點(diǎn)O的極慣性矩，用Ip表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

平面圖形對(duì)任一點(diǎn)的極慣性矩，等于圖形對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。

慣性矩的單位為ｍ4

或ｍｍ4

。其值恒為正。慣性矩也是對(duì)坐標(biāo)軸而言的。同一圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其慣性矩不同。

極慣性矩是對(duì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)的，同一圖形對(duì)不同點(diǎn)的極慣性矩也不相同。

平面圖形的幾何性質(zhì)二、慣性積

慣性積是平面圖形對(duì)某兩個(gè)正交坐標(biāo)軸而言，同一圖形對(duì)不同的正交坐標(biāo)軸，其慣性積不同。

由于坐標(biāo)值z(mì)、y有正負(fù)，因此慣性積可能為正或負(fù)，也可能為零。

其單位為m4或mm4。

整個(gè)圖形上所有微面積對(duì)z、y兩軸慣性積的總和稱(chēng)為該圖形對(duì)z、y兩軸的慣性積，用Izy表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

兩個(gè)坐標(biāo)軸中只要有一根軸為平面圖形的對(duì)稱(chēng)軸，則該圖形對(duì)這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積一定等于零。平面圖形的幾何性質(zhì)三、慣性半徑在工程中因?yàn)槟承┯?jì)算的特殊需要，常將圖形的慣性矩表示為圖形面積A與某一長(zhǎng)度平方的乘積。即

式中iz和iy分別稱(chēng)為平面圖形對(duì)z軸和y軸的慣性半徑，也叫回轉(zhuǎn)半徑。單位為m或mm。平面圖形的幾何性質(zhì)為了便于查用，表6-1列出了幾種常見(jiàn)截面圖形的面積、形心和慣性矩。平面圖形的幾何性質(zhì)

第六章平面圖形的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：平面圖形的幾何性質(zhì)

1.理解靜矩、慣性矩、極慣性矩、慣性半徑和慣性積的概念。2.熟練掌握組合圖形形心位置的計(jì)算。

3.會(huì)應(yīng)用平行移軸公式計(jì)算組合圖形對(duì)形心軸的慣性矩。4.熟記矩形、圓形等簡(jiǎn)單圖形對(duì)其形心軸的慣性矩。組合圖形形心位置的確定及組合圖形對(duì)形心軸的慣性矩的計(jì)算。重點(diǎn)：第一節(jié)靜矩一、靜矩的概念

微面積dA與坐標(biāo)y（或坐標(biāo)z）的乘積稱(chēng)為微面積dA對(duì)z軸（或y軸）的靜矩

.

這些微小乘積在整個(gè)面積A內(nèi)的總和，稱(chēng)為該平面圖形對(duì)z軸（或y軸）的靜矩。

用Sz（或Sy）表示。即

平面圖形的幾何性質(zhì)

從上述定義可以看出，平面圖形的靜矩是對(duì)指定的坐標(biāo)軸而言的。

同一平面圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜矩顯然不同。

靜矩的數(shù)值可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。

常用單位是

m3或mm3。平面圖形的幾何性質(zhì)

現(xiàn)設(shè)平面圖形的形心C的坐標(biāo)為zC、yC。

在第四章中，已得到求平面圖形形心的坐標(biāo)的公式為平面圖形的幾何性質(zhì)ΔA→0

?

當(dāng)坐標(biāo)軸通過(guò)平面圖形的形心時(shí)，其靜矩為零；反之，若平面圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必通過(guò)平面圖形的形心。

?如果平面圖形具有對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸必然是平面圖形的形心軸。故平面圖形對(duì)其對(duì)稱(chēng)軸的靜矩必等于零。二、組合圖形的靜矩

在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到工字形、T形、環(huán)形等橫截面的構(gòu)件，這些構(gòu)件的截面圖形是由幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形組合而成的，稱(chēng)為組合圖形。平面圖形的幾何性質(zhì)由式可見(jiàn):

根據(jù)平面圖形靜矩的定義，組合圖形對(duì)z軸（或y軸）的靜矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和，即

式中yCi、zCi及Ai分別為各簡(jiǎn)單圖形的形心坐標(biāo)和面積，n為組成組合圖形的簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。平面圖形的幾何性質(zhì)例6-1

矩形截面尺寸如圖所示。試求該矩形對(duì)

z1軸的靜矩Sz1和對(duì)形心軸z的靜矩Sz。平面圖形的幾何性質(zhì)解（１）計(jì)算矩形截面對(duì)z1軸的靜矩。（２）計(jì)算矩形截面對(duì)形心軸的靜矩。

由于z軸為矩形截面的對(duì)稱(chēng)軸，故矩形截面對(duì)z軸的靜矩為

例6-2試計(jì)算如圖示的平面圖形對(duì)z1和y1的靜矩，并求該圖形的形心位置。

解將平面圖形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ組成矩形Ⅰ矩形ⅡA1=10×120mm2=1200mm2

A2=70×10mm2=700mm2平面圖形的幾何性質(zhì)該平面圖形對(duì)z1軸和y1軸的靜矩分別為求得該平面圖形的形心坐標(biāo)為平面圖形的幾何性質(zhì)第二節(jié)慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑一、慣性矩和極慣性矩整個(gè)平面圖形上各微面積對(duì)z軸（或y軸）慣性矩的總和稱(chēng)為該平面圖形對(duì)z軸（或y軸）的慣性矩，用Iz（或Iy）表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

整個(gè)圖形上所有微面積對(duì)點(diǎn)O的極慣性矩的總和稱(chēng)為該圖形對(duì)點(diǎn)O的極慣性矩，用Ip表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

平面圖形對(duì)任一點(diǎn)的極慣性矩，等于圖形對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。

慣性矩的單位為ｍ4

或ｍｍ4

。其值恒為正。慣性矩也是對(duì)坐標(biāo)軸而言的。同一圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其慣性矩不同。

極慣性矩是對(duì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)的，同一圖形對(duì)不同點(diǎn)的極慣性矩也不相同。

平面圖形的幾何性質(zhì)二、慣性積

慣性積是平面圖形對(duì)某兩個(gè)正交坐標(biāo)軸而言，同一圖形對(duì)不同的正交坐標(biāo)軸，其慣性積不同。

由于坐標(biāo)值z(mì)、y有正負(fù)，因此慣性積可能為正或負(fù)，也可能為零。

其單位為m4或mm4。

整個(gè)圖形上所有微面積對(duì)z、y兩軸慣性積的總和稱(chēng)為該圖形對(duì)z、y兩軸的慣性積，用Izy表示。平面圖形的幾何性質(zhì)

兩個(gè)坐標(biāo)軸中只要有一根軸為平面圖形的對(duì)稱(chēng)軸，則該圖形對(duì)這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積一定等于零。平面圖形的幾何性質(zhì)三、慣性半徑在工程中因?yàn)槟承┯?jì)算的特殊需要，常將圖形的慣性矩表示為圖形面積A與某一長(zhǎng)度平方的乘積。即

式中iz和iy分別稱(chēng)為平面圖形對(duì)z軸和y軸的慣性半徑，也叫回轉(zhuǎn)半徑。單位為m或mm。平面圖形的幾何性質(zhì)為了便于查用，表6-1列出了幾種常見(jiàn)截面圖形的面積、形心和慣性矩。平面圖形的幾何性質(zhì)第三節(jié)組合圖形的慣性矩一、平行移軸公式平面圖形的幾何性質(zhì)微面積dA在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)有如下關(guān)系：

特別注意：式中Iz與Iy必須是平面圖形對(duì)其形心軸的慣性矩。

上式表明：圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于圖形對(duì)與該軸平行的形心軸的慣性矩，再加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。

由于a2恒為正值，故在所有平行軸中，平面圖形對(duì)形心軸的慣性矩最小。平面圖形的幾何性質(zhì)例6-5

計(jì)算圖示的矩形截面對(duì)z1軸和y1軸的慣性矩。平面圖形的幾何性質(zhì)解二、組合圖形慣性矩的計(jì)算

由矩形、圓形和三角形等幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成，或由幾個(gè)型鋼組成，稱(chēng)為組合圖形。

由慣性矩定義可知：組合圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于組成組合圖形的各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸慣性矩之和。即平面圖形的幾何性質(zhì)在計(jì)算組合圖形的慣性矩時(shí)：首先應(yīng)確定組合圖形的形心位置，然后通過(guò)積分或查表求得各簡(jiǎn)單圖形對(duì)自身形心軸的慣性矩，再利用平行移軸公式，就可計(jì)算出組合圖形對(duì)其形心軸的慣性矩。

由于截面有一根對(duì)稱(chēng)軸y，故形心必在此軸上，即zc=0

選坐標(biāo)系yoz′，以確定截面形心的位置yC。矩形ⅠA1=50×12=600cm2

yC1=58+6=64cm例6-6

試計(jì)算圖示T形截面對(duì)其形心軸z、y的慣性矩。解（１）計(jì)算截面的形心位置。平面圖形的幾何性質(zhì)矩形Ⅱ

A2=25×58=1450cm2

yC2=29cm(2)計(jì)算組合圖形對(duì)形心軸的慣性矩Iz、Iy。

首先分別求出矩形Ⅰ、Ⅱ?qū)π涡妮Sz的慣性矩。由平行移軸公式可得平面圖形的幾何性質(zhì)整個(gè)圖形對(duì)z軸的慣性矩為平面圖形的幾何性質(zhì)y軸正好經(jīng)過(guò)矩形截面A1和A2的形心，所以整個(gè)圖形對(duì)y軸的慣性矩為

當(dāng)把組合圖形視為幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形之和時(shí)，其慣性矩等于簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸慣性矩之和；當(dāng)把組合圖形視為幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形之差時(shí)，其慣性矩等于簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸慣性矩之差。平面圖形的幾何性質(zhì)第四節(jié)形心主慣性軸形心主慣性矩一、形心主慣性軸平面圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸z0、y0軸的慣性積為零，則這一對(duì)坐標(biāo)軸稱(chēng)為平面圖形的主慣性軸，簡(jiǎn)稱(chēng)主軸。

平面圖形對(duì)主軸的慣性矩稱(chēng)為主慣性矩。

若主慣性軸通過(guò)平面圖形形心，則該軸稱(chēng)為圖形的形心主慣性軸，簡(jiǎn)稱(chēng)形心主軸。平面圖形對(duì)形心主軸的慣性矩稱(chēng)為形心主慣性矩。二、形心主慣性矩平面圖形的幾何性質(zhì)

第六章平面圖形的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：平面圖形的幾何性質(zhì)

1.理解靜矩、慣性矩、極慣性矩、慣性半徑和慣性積的概念。2.熟練掌握組合圖形形心位置的計(jì)算。

3.會(huì)應(yīng)用平行移軸公式計(jì)算組合圖形對(duì)形心軸的慣性矩。4.熟記矩形、圓形等簡(jiǎn)單圖形對(duì)其形心軸的慣性矩。組合圖形形心位置的確定及組合圖形對(duì)形心軸的慣性矩的計(jì)算。重點(diǎn)：第一節(jié)靜矩一、靜矩的概念

微面積dA與坐標(biāo)y（或坐標(biāo)z）的乘積稱(chēng)為微面積dA對(duì)z軸（或y軸）的靜矩

.

這些微小乘積在整個(gè)面積A內(nèi)的總和，稱(chēng)為該平面圖形對(duì)z軸（或y軸）的靜矩。

用Sz（或Sy）表示。即

平面圖形的幾何性質(zhì)

從上述定義可以看出，平面圖形的靜矩是對(duì)指定的坐標(biāo)軸而言的。

同一平面圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜矩顯然不同。

靜矩的數(shù)值可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。

常用單位是

m3或mm3。平面圖形的幾何性質(zhì)

現(xiàn)設(shè)平面圖形的形心C的坐標(biāo)為zC、yC。

在第四章中，已得到求平面圖形形心的坐標(biāo)的公式為平面圖形的幾何性質(zhì)ΔA→0

?

當(dāng)坐標(biāo)軸通過(guò)平面圖形的形心時(shí)，其靜矩為零；反之，若平面圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必通過(guò)平面圖形的形心。

?如果平面圖形具有對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸必然是平面圖形的形心軸。故平面圖形對(duì)其對(duì)稱(chēng)軸的靜矩必等于零。二、組合圖形的靜矩

在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到工字形、T形、環(huán)形等橫截面的構(gòu)件，這些構(gòu)件的截面圖形是由幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形組合而成的，稱(chēng)為組合圖形。平面圖形的幾何性質(zhì)由式可見(jiàn):

根據(jù)平面圖形靜矩的定義，組合圖形對(duì)z軸（或y軸）的靜矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和，即

式中yCi、zCi及Ai分別為各簡(jiǎn)單圖形的形心坐標(biāo)和面積，n為組成組合圖形的簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。平面圖形的幾何性質(zhì)例6-1

矩形截面尺寸如圖所示。試求該矩形對(duì)

z1軸的靜矩Sz1和對(duì)形心軸z的靜矩Sz。平面圖形的幾何性質(zhì)解（１）計(jì)算矩形截面對(duì)z1軸的靜矩。（２）計(jì)算矩形截面對(duì)形心軸的靜矩。

由于z軸為矩形截面的對(duì)稱(chēng)軸，故矩形截面對(duì)z軸的靜矩為

例6-2試計(jì)算如圖示的平面圖形對(duì)z1和y1的靜矩，并求該圖形的形心位置。

解將平面圖形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ組成矩形Ⅰ矩形ⅡA1=10×120mm2=1200mm2

A2=70×10mm2=700mm2平面圖形的幾何性質(zhì)該平面圖形對(duì)z1軸和y1軸的靜矩分別為求得該平面圖形的形心坐標(biāo)為平面圖形的幾何性質(zhì)第四節(jié)形心主慣性軸形心主慣性矩一、形心主慣性軸平面圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸z0、y0軸的慣性積為零，則這一對(duì)坐標(biāo)軸稱(chēng)為平面圖形的主慣性軸，簡(jiǎn)稱(chēng)主軸。

平面圖形對(duì)主軸的慣性矩稱(chēng)為主慣性矩。

若主慣性軸通過(guò)平面圖形形心，則該軸稱(chēng)為圖形的形心主慣性軸，簡(jiǎn)稱(chēng)形心主軸。平面圖形對(duì)形心主軸的慣性矩稱(chēng)為形心主慣性矩。二、形心主慣性矩平面圖形的幾何性質(zhì)第三節(jié)組合圖形的慣性矩一、平行移軸公式平面圖形的幾何性質(zhì)微面積dA在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)有如下關(guān)系：

特別注意：式中Iz與Iy必須是平面圖形對(duì)其形心軸的慣性矩。

上式表明：圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于圖形對(duì)與該軸平行的形心軸的慣性矩，再加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。

由于a2恒為正值，故在所有平行軸中，平面圖形對(duì)形心軸的慣性矩最小。平面圖形的幾何性質(zhì)例6-5

計(jì)算圖示的矩形截面對(duì)z1軸和y1軸的慣性矩。平面圖形的幾何性質(zhì)解二、組合圖形慣性矩的計(jì)算

由矩形、圓形和三角形等幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成，或由幾個(gè)型鋼組成，稱(chēng)為組