2024年廣東深圳高三一模高考數(shù)學(xué)試卷試題答案（精校打印版）

試卷類型：A2024年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)2024.2本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生請務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4．考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若角的終邊過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．3．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且對任意，均有成立，則下列函數(shù)中符合條件的是（）A． B． C． D．4．已知是夾角為120°的兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則（）A． B．2 C． D．5．由0，2，4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為，即，若，則（）A．34 B．33 C．32 D．306．已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，且，若半徑為2的球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A．624 B．625 C．626 D．6508．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，且雙曲線的離心率為，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”．為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，已知運(yùn)動(dòng)員甲特訓(xùn)的成績分別為：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，則這組數(shù)據(jù)的（）A．眾數(shù)為12 B．平均數(shù)為14 C．中位數(shù)為14.5 D．第85百分位數(shù)為1610．設(shè)，且，則下列關(guān)系式可能成立的是（）A． B． C． D．11．如圖，八面體的每一個(gè)面都是邊長為4的正三角形，且頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)．若點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)，則（）A．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，開面直線與所成角為B．當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離可能為D．存在一個(gè)體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若函數(shù)的最小正周期為，其圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則______．13．設(shè)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則的最大值為______．14．已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，且，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，集合，求（用列舉法表示）．16．（15分）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點(diǎn)在上，且．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．17．（15分）在某數(shù)字通信中，信號(hào)的傳輸包含發(fā)送與接收兩個(gè)環(huán)節(jié)。每次信號(hào)只發(fā)送0和1中的某個(gè)數(shù)字，由于隨機(jī)因素干擾，接收到的信號(hào)數(shù)字有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為，；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為．假設(shè)每次?黒的傳輸相互獨(dú)立．（1）當(dāng)連續(xù)三次發(fā)送信號(hào)均為0時(shí)，設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號(hào)數(shù)字均相同的概率為，求的最小值；（2）當(dāng)連續(xù)四次發(fā)送信號(hào)均為1時(shí)，設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為，記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機(jī)變量（中任意相鄰的數(shù)字均不相同時(shí)，令），若，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（17分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)函數(shù)無極值點(diǎn)時(shí)，求證：．19．（17分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動(dòng)點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn)．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：的值及的周長均為定值；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請說明理由．2024年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：每小題5分，共40分。題號(hào)12345678答案ABDABCCD二、選擇題：每小題6分，共18分。題號(hào)91011答案BCACACD說明：第9、10題全部選對得6分，選對1個(gè)得3分，有選錯(cuò)得0分；第11題全部選對得6分，每選對1個(gè)得2分，有選錯(cuò)得0分．三、填空題：每小題5分，共15分。

12．13．14．18四、解答題：15．（13分）證明：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，①因?yàn)椋杂?，得．②由①、②解得，所以，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，上式也成立，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是等差數(shù)列．解：（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足上式，所以．，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．16．（15分）證明：（1）不妨設(shè)，，由余弦定理得，在中，，平面平面，平面平面平面，平面．平面，四邊形是菱形，，又，且平面平面平面．解：（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，平面平面，平面平面，平面，又四邊形是菱形，，均為等邊三角形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，及過點(diǎn)平行于的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，由（1）平面，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則即．令，可得，，平面與平面的夾角的余弦值為．17．（15分）解：（1）由題可知，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值為．（2）由題設(shè)知，的可能取值為1，2，3，4．①當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0101或1010．因此，，②當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，，③當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為1110，或0111，或0001，或1000．因此，，④當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0000，或1111．因此，．所以的分布列為1234因此，的數(shù)學(xué)期望．18．（17分）解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，因?yàn)椋裕畡t在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋允沟迷谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因此，在上的最小值是與兩者中的最小者．因?yàn)?，所以函?shù)在上的最小值為．（2），由，解得，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋睿?，解得，設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．根據(jù)時(shí)，，得的大致圖像如圖所示．因此有：（ⅰ）當(dāng)時(shí)，方程無解，即無零點(diǎn)，沒有極值點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，利用，得，此時(shí)沒有極值點(diǎn)；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，即有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；（ⅳ）當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，即有一個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)極值點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)．（3）先證明當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則，記，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，不等式成立．由（2）知，當(dāng)函數(shù)無極值點(diǎn)時(shí)，，則，在不等式中，取，則有，即不等式成立．19．（17分）解：（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．（2）設(shè)點(diǎn)，其中且，（?。┯桑?）可知的方程為，因?yàn)椋?，因此，三點(diǎn)共線，且，（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，則，由（1）可知，所以（定值）．（法二）設(shè)，則有，解得，同理由，解得，所以（定值）．由橢圓定義，得，，解得，同理可得，所以．因?yàn)?，所?/p>