2022-2023學(xué)年湖北省武漢市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

/(??)-√(χo+??y)

1.若/(X。)=—2,則!必等于()

ΔΛ

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解,

【詳解】解：因?yàn)?(xo)=-2,

/(Xo)-=_/(?÷Δr)-∕(?)

所以lim=-∕X?)=2，

Λv-Δ^→°?x

故選：D

2.(1-2x)4的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為()

A.-24B.24C.-16D.16

【答案】D

【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】(l-2x)"的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為C：+C：+C：+C：+C：=2'=16.

故選：D

3.在等比數(shù)列｛叫中，色，%是函數(shù)/(刈=；/+4/+9》一1的極值點(diǎn)，則％=

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】B

【詳解】???∕(x)=gχ3+4r+9x-l,

X2

.?.由/'(X)=+8x+9=0可知a?.%=9,ai+a-7=-8

,/等比數(shù)列中為。=%-%且為＜0

.?.%=-3,故選B.

4.(x+N)(2x-y)5的展開式中χ3y3的系數(shù)為

A.-80B.-40C.40D.80

【答案】C

【詳解】(x+y)(2x-y)'=M2x-yY+y(2x-y)',

由(2x-j)5展開式的通項(xiàng)公式酊=q(2x)5--(->γ可得:

當(dāng)r=3時(shí)，X(2x-，展開式中H/的系數(shù)為C；x22x(-1)3=TO;

當(dāng)r=2時(shí)，y(2x-y)'展開式中V>3的系數(shù)為cjχ23χ(T)2=8O,

則Xv的系數(shù)為80-40=40.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一

步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系

數(shù)中〃和，的隱含條件，即〃，「均為非負(fù)整數(shù)，且〃≥r,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指

數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).

(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.

5.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，若E(X)=1,O(2X+1)=2,則P=()

π3

0

【答案】B

【分析】根據(jù)期望和方差運(yùn)算公式得到方程組，求出。的值.

【詳解】由題意得，E(X)=OXG-P)+αxg+2xp=l,

1+2p=l,①

由方差的性質(zhì)知，O(2X+1)=4O(X),又。(2X+1)=2,

222

ΛD(X)=1ΛD(X)=(0-l)×fi-pL(β-l)×i+(2-l)×p=i

即2α+l=0,所以α=l.將a=l代入①式，得P=]

4

故選：B.

6.借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線代替在切點(diǎn)附近的曲線來(lái)

近似計(jì)算，例如：求InLO1,我們先求得y=lnx在χ=l處的切線方程為y=x-l,再把X=LOI代入

切線方程，即得InLol≈≈0.01,類比上述方式，則"。%≈().

A.1.00025B.1.00005C.1.0025D.10005

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，設(shè)/*)=/，求出切線，以直代曲計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)fa)=，，可得r0)=e?/(0)=ι,r(0)=ι,

曲線y=e'在點(diǎn)((U)處的切線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=g(x)=x+l,

因?yàn)榭蹬c。之間的距離比較小，在切點(diǎn)附近用切線代替曲線進(jìn)行近似計(jì)算,

=1+------=1.00025,

400040004000

故選：A

7.數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)

某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了'‘古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)學(xué)通史”，"幾何原本”，“什

么是數(shù)學(xué)''四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3門，大一到大三三學(xué)年必須將四門選

修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有()

A.60種B.78種C.84種D.144種

【答案】B

【分析】先分類，再每一類中用分步乘法原理即可.

【詳解】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1』，2或0」,3或0,2,2若是

1,1,2,則先將4門學(xué)科分成三組共種不同方式.再分配到三個(gè)學(xué)年共有A；種不同分配方式,

C?C?C;

由乘法原理可得共有?國(guó)=36種,若是QI,3,則先將4門學(xué)科分成三組共C：C；種不同方式,

"?

再分配到三個(gè)學(xué)年共有A；種不同分配方式，由乘法原理可得共有24種，若是0,2,2,則

先將門學(xué)科分成三組共三種不同方式，再分配到三個(gè)學(xué)年共有8種不同分配方式，由乘法原理

可得共有差

?&=18種

所以每位同學(xué)的不同選修方式有36+24+18=78種，

故選：B.

8.兀和e是數(shù)學(xué)上兩個(gè)神奇的無(wú)理數(shù).兀產(chǎn)生于圓周，在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在，時(shí)至今日，科學(xué)家借助

于超級(jí)計(jì)算機(jī)依然進(jìn)行兀的計(jì)算.而當(dāng)涉及到增長(zhǎng)時(shí)，e就會(huì)出現(xiàn)，無(wú)論是人口、經(jīng)濟(jì)還是其它的自

然數(shù)量,它們的增長(zhǎng)總是不可避免地涉及到e?已知—^=ln（eπ-2e））,=公,d*2,

則〃，b,c,d的大小關(guān)系是()

A.c<b<d<aB.c<d<b<aC.d<c<a<bD.b<c<a<d

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)/(x)=ei_x,g(x)=lnx—x+l,/2(x)=lnx+4—l,x>l,利用導(dǎo)數(shù)

X

探討單調(diào)性，賦值比較大小作答.

【詳解】依題意，α=e-3=e<"2z,?=ln(π-2)+l,c=2--

π-2

令函數(shù)/(x)=ei-x,x>l,求導(dǎo)得r*)=ei-l>O,函數(shù)/*)在(1,÷∞)上單調(diào)遞增，

則當(dāng)尢>1時(shí)，∕U)>∕(D=O,即e*τ>x,而兀一2>1,因此e->π-2,即心心

令函數(shù)g(x)=Mx-x+l,x>l,求導(dǎo)得g'(x)=1-1<0,函數(shù)g(x)在(L+∞)上單調(diào)遞減，

X

貝IJ當(dāng)x>l時(shí)，g(x)<g(D=O,BPlnx+l<x,S?ln(eπ-2e)=ln(π-2)+l<π-2,即d>人;

令函數(shù)依X)=InX+'—l,x>l,求導(dǎo)得以X)=L-J7=Wl>0,函數(shù)力(%)在(l,+∞)上單調(diào)遞增，

XXXX

則當(dāng)A>>1時(shí)，MX)>〃(I)=0,即InX>1—U>Inx÷1>2—,

XX

因此ln(eπ:—2e)=ln(兀-2)+1>2----!—=~~~-,即b>c,

兀一2兀一2

所以CVbVdV

故選：A

二、多選題

9.已知首項(xiàng)為T的等差數(shù)列｛q｝的前幾項(xiàng)和為S“，公差為d,且S7>S8,S8<S9,則（）

A.d<d<3B.S10>S5C.（S）nhl=SgD.S15>0

【答案】AC

【分析】由4=以-$7<0,的=號(hào)-0>0得出6/的范圍，判斷A；作差結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷B；

根據(jù)數(shù)列｛““｝的單調(diào)性，判斷C；由求和公式結(jié)合性質(zhì)判斷D.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)镾7>S8,Ss<S,,所以4=Ss-SiVOMg=Sg-Sii>0,

[Cia=—l+7d<01?

則I八，解得Z<d<j,故A正確；

[ag=-l+8J>087

對(duì)于B：S,o-S5=a6+α7+678+α9+al0=5?<0,貝IJSlO<怎,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：因?yàn)?>0,所以數(shù)列｛q,｝為遞增數(shù)列，

因?yàn)閝<0,%<0,%>0,,即數(shù)列｛4｝的前8項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第9項(xiàng)開始，都為正數(shù),

則(S,l)min=S8,故C正確；

51

對(duì)于D：'J["；M)=I5/<。，故D錯(cuò)誤;

故選：AC

l0

10.若(2x-l)'°=%+α∕+02χ2++α10x,x∈R,則()

A.%=180B.⑷+∣4∣+∣%∣+%∣=3∣°

13+包=-

Ca+a++a--'°D5+1

J÷α2+??+4o—2口2十2?十2,十十2∣°一】

【答案】ABD

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的系數(shù)特點(diǎn)，結(jié)合通項(xiàng)公式，采用賦值法，一一求解各個(gè)選項(xiàng)，即得答

案.

,

【詳解】由題意(2R—1)")=%+。/+生廠++Λ10X°,

所以n=CO(2x)2(-1)8=180/,

所以%=180,故A正確.

令X=-1,則(2x-l)∣°二4+々/+&/++40”，

即為(2x+l)H)=I4∣+∣q|x+&1/++1/

令x=l,得I/I+1qI+1gI++∣α∣o∣=3∣°,故B正確;

2,

對(duì)于(2x-l)∣°=aQ+axx+a2x÷+^∣0x°,

令1=1,得〃°+q+&++4o=1,

令X=-1,得：/一4+。2一+α∣o=3",

兩式相加再除以2可得為+生++須=上手，故C錯(cuò)誤.

f2f0

對(duì)于(2x-l)∣°=?+d1x+?x++dl0√,

令X=0,得4=1,

令x=2，得%+?+墨+墨++翁=°，

故￡+堂+導(dǎo)++翁=T故D正確,

故選：ABD

11.甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有一4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲箱

中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以A，&,Aj表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；

再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是()

r)S

3

A.∕(β)=-B-尸NA)=TT

C.事件B與事件A相互獨(dú)立D.A、A2、4兩兩互斥

【答案】BD

【分析】A選項(xiàng)，利用獨(dú)立事件和互斥事件概率公式計(jì)算出P(8);B選項(xiàng)，根據(jù)條件概率計(jì)算公式

計(jì)算出P(8|4)V；C選項(xiàng)，根據(jù)P(A8)W尸(A)?P⑻得至IJC錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由互斥事件的概念

進(jìn)行判斷.

54÷15944346

［詳解］A選項(xiàng)，P(ΛB)=—×-------=—,P(AB)=—X-------=—,P(AB)=—X-------=—,

「1J1010+122vI71010÷l55v3371010÷l55

62

S4

一

故P(B)=P(AB)+P(A∕)+P(A3)=ζ^+ττ+

55212

B選項(xiàng)，P(A)=QM故P(MA)=策?,212

2

1QQ

C選項(xiàng)，因?yàn)镻(A)?P(B)=］XA=怖，故P(AB)HP(A)T(B),所以事件B與事件A不相互獨(dú)

立，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因?yàn)镻(AAz)=P(AA)=P(AAJ=O,故4、4、A兩兩互斥，D正確.

故選：BD

12.乒乓球，被稱為中國(guó)的“國(guó)球某次比賽采用五局三勝制，當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位贏得三局比

賽時(shí)，就由該選手晉級(jí)而比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前比賽結(jié)果影

響.假設(shè)甲在任一局贏球的概率為p(θ≤p≤l),實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)的期望值記為/(p),則下列說(shuō)法中正

確的是()

A.三局就結(jié)束比賽的概率為p3+(ι一p)'B./(P)的常數(shù)項(xiàng)為3

C.函數(shù)/(p)在尼)上單調(diào)遞減D.嗎)=充

【答案】ABD

【分析】設(shè)實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)為X,先計(jì)算出X可能取值的概率，即可判斷A選項(xiàng)；進(jìn)而求出期望值

F(P),即可判斷BCD選項(xiàng).

【詳解】設(shè)實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)為X,則X的可能取值為3,4,5,

所以P(X=3)=p3+(l-p)3,

P(X=4)=C；p3(l-p)+C；P(I-P)3,

P(X=5)=C"2(1-p)2,

因此三局就結(jié)束比賽的概率為p'+(1-P)3,則A正確；

故/(p)=3[p3+(l-P)1+4[c；p3(l-p)+C；P(I-P)[+5χC=p20-p)2

=6p4-12p3+3p2+3p+3,

由/(O)=3知常數(shù)項(xiàng)為3,故B正確；

/1,CICI333??丁“

由/不=6XN_]2XH+3X：+7=M,故D正確；

?Zy10o4λo

由/'(°)=24p'-36P?6p+3=3(2p-l)(4p2-4p-l),

O≤p≤l,所以4p2-4p7=(2"l)2-2<0,

.?.令尸(p)>0,則0<p<];令令(p)<0,則;<p≤l,

則函數(shù)/(P)在(og)上單調(diào)遞增，則C不正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.55”除以8,所得余數(shù)為.

【答案】7

【分析】由55=56-1,運(yùn)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合整除的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】依題意，

55555554532)540

55=(56-1)=Cθ556(-1)°÷?56(-1)'+?56(-l)++C^56(-1)+C^56(-lf

因?yàn)?6能被8整除，所以55"除以8,所得的余數(shù)為：-1+8=7.

故答案為：7.

14.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，等比數(shù)列也｝前〃項(xiàng)和為若59=78,S,3=-52,且

4=%，bI=?7>則弘的值為.

12

【答案】3

【分析】利用等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和公式及性質(zhì)計(jì)算，再結(jié)合等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式計(jì)算作答.

【詳解】等差數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和為則Sg=我處=9%=-18,即有々=%=-2,

S=I3(q：%)=]3%=-52,即有4=%=-4,令等比數(shù)列也｝的公比為4,則八今=2,

2%

,（一q4）

1-4

故答案為：3

15.如圖所示，有5種不同的顏色供選擇，給圖中5塊區(qū)域A,B,C,D,E染色，每個(gè)區(qū)域只染一

種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色，則共有種不同的染色方法.

【答案】420

【分析】根據(jù)分類分步計(jì)數(shù)原理，分用3,4,5種顏色染色的方法分步計(jì)算，再求和即可.

【詳解】選擇3種顏色，則B,。同色，且C,E同色，共A；=60種情況；

選擇4種顏色，則8,。同色，或C,E同色，共2xA；=240種情況；

選擇5種顏色，共A；=12()種情況；故共有60+240+120=420種情況.

故答案為：420

16.已知函數(shù)F(X)=罐lnα,g(x)="ln(x-l),其中α>0且”1.若函數(shù)4。)=/(x)-g(x)為單調(diào)函

數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】[ef)

【分析】若MX)單調(diào)遞增，則g)≥0,即≡?！?(m=x-1>0),y=mam→O,不滿足；若MX)

單調(diào)遞減，則"(x)≤0,進(jìn)而可得(〃山"),小49一，對(duì)y=m∕'求導(dǎo)分析單調(diào)性，求出最大值，即可

得出答案.

【詳解】由題意〃(無(wú))=avln^-?ln(x-l),∕√(x)=axIn2a一一?

X-L

若函數(shù)〃(力單調(diào)遞增，則〃(x)≥0,所以優(yōu)h√α≥目，即(尤―1)優(yōu)-h6,

所以("加")in≥9^(,%=xT>°)，又加→0時(shí)，y=tnam→O,不滿足;

若函數(shù)MX)單調(diào)遞減，則"(%)≤0,所以優(yōu)h√0≤目，即(X-1)/一二臺(tái)，

所以(〃加〃)Wd-[fn=x-?>0),考查y二加〃zn,(m=x-l>0).

n,

當(dāng)α>1時(shí)，maT+8,不滿足(小〃")陋—?ɑia=%-1>。)；

1時(shí)，Ina<0,令y'=(l+mIna)α"'=0有M=-一—,當(dāng)m∈[θ,一1

當(dāng)a<時(shí)y'>0,y=ma,n單

InaIIna

1

調(diào)遞增；當(dāng)機(jī)￡,+8時(shí))/<0,y=∕mΓ單調(diào)遞減.

Intz

1—L1__L1-J-?--

lnw}na,na

故(小1)I=-——QmJ則----a≤——,BPa≤-------,BPIn≤ln,則

\/1maxInaInaln^aIna

，即一解得

?lnα≤In，故T≤lnJ—≥',α≥eY.

InaInae

綜上有4e[e?l).

故答案為：［e^e,l)

四、解答題

17.某新聞部門共有A、B、C,D、E、F六人.

⑴由于兩會(huì)召開，部門準(zhǔn)備在接下來(lái)的六天每天安排1人加班，每人只被安排1次，若A不能安排

在第一天，B不能安排在最后一天，則不同的安排方法共有多少種？

(2)該部門被評(píng)為優(yōu)秀宣傳組，六人合影留念，分前后兩排每排3人對(duì)齊站立，要求后排的3個(gè)人每

人都比自己前面的人身高要高，則不同的站法共有多少種？(六人身高均不相同)

【答案】(1)504

(2)90

【分析】(1)按照A安排在最后一天和不在最后一天進(jìn)行分類，利用排列組合、計(jì)數(shù)原理求解；

(2)將前后2人看成一組，可看成3個(gè)不同位置，分別取出2人排在3個(gè)位置，利用組合知識(shí)求解.

【詳解】(1)分兩類完成，第一類A安排在最后一天，則有A；種.

第二類，除AB外選一人安排在最后一天，再?gòu)某鼳外剩余的4人選一人排在第一天,

剩余的4人排在剩余的4個(gè)位置上，故有C]C；?A：種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同的安排方法共有A；+C：-CJ1-At=504種.

(2)將前后2人看成一組，可看成3個(gè)不同位置，分別取出2人排在3個(gè)位置,

兩人順序確定(高在后，矮在前)，所以不同的站法共有C=CJC=9()利L

前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求:

(1)展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和;

(2)展開式中的所有有理項(xiàng).

6561

【答案】(1)^256^

351

(2)√,------X

TΛ'256

【分析】(1)先根據(jù)展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列計(jì)算〃，再代入％=1可得展開式中所有項(xiàng)的

系數(shù)之和.

Y生也

(2)因通項(xiàng)為九1=忖)C"4,故人取0、4、8時(shí)為有理項(xiàng).

2〃-3*

【詳解】(1)由題意，通項(xiàng)為7；M4

由題意2χQ[c,=6)°c!!+(jc:,得”=8或”=1(舍去)

令x=l,得(/+當(dāng))=理，故展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為整

256256

/]、％16-3女

(2)由(1)知，1+∣=OCX丁，所以當(dāng)k取0、4、8時(shí)為有理項(xiàng),

當(dāng)女=0時(shí)，τj=(g)<4√=χ4

當(dāng)出=4時(shí)，7；=W?=yx,

當(dāng)&=8時(shí)，^=f∣Tφ-2=-l-χ-2

\ZyZJO

251

故展開式中的所有有理項(xiàng)為/,匕X和力X-.

8256

19.設(shè)函數(shù)函數(shù)=InX+l,g(x)=αx+2,awR,記F(X)=數(shù)x)-g(x).

⑴求函數(shù)F(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)f(x)=lnx+l的圖象恒在函數(shù)g(x)=ax+2的圖象的下方，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)a≤0時(shí)，則F(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)。>0時(shí)，則尸O)的

單調(diào)遞增區(qū)間為(0一)，單調(diào)遞減區(qū)間為(Ly).

aa

⑵(4,+S)

e^

【分析】(1)求出F(X)的導(dǎo)數(shù)，討論參數(shù)。的范圍，根據(jù)U(X)的符號(hào)，寫出單調(diào)區(qū)間;

(2)將函數(shù)圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，根據(jù)(1)中的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值即可.

【詳解】(1)F(x)=∕(x)-g(x)=lnx-ox-l,F?x)=--a,

X

當(dāng)α≤0時(shí)，F(xiàn)'(X)=L-4>O,則F(X)在(0,+8)上為增函數(shù)；

X

當(dāng)4>0時(shí)，F(xiàn)'(x)=L-α=O,即X=

Xa

F'(x)>O,則O<X<L；F'(x)<O,則X>L.

aa

則尸(x)在(0」)上為增函數(shù)，(L+∞)上為減函數(shù).

aa

綜上所述，當(dāng)α≤0時(shí)，則F(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)α>0時(shí)，則F(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3,單調(diào)遞減區(qū)間為(L田).

aa

(2)函數(shù)f(x)=lnx+l的圖象恒在g(x)=αr+2的圖象的下方，

即F(X)=/(x)-g(x)=Inx-Ot-I<O恒成立；

由(1)知，當(dāng)α≤OB寸，則F(X)在3”)上為增函數(shù)，

此時(shí)"x)無(wú)最大值，并且尸(e)=-αe≥O,不合題意；

當(dāng)4>0時(shí)，F(xiàn)(X)在(0」)上為增函數(shù)，(Ly)上為減函數(shù).

aa

所以F(X)max=w3=-∣n"-2<0,故.>±;

ae

即實(shí)數(shù)α的取值范圍是?,+8)

e^

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題(2)時(shí)，關(guān)鍵在于將不等式的恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，利用導(dǎo)

數(shù)得出實(shí)數(shù)”的取值范圍.

20.學(xué)校舉辦學(xué)生與智能機(jī)器人的圍棋比賽，現(xiàn)有來(lái)自兩個(gè)班的學(xué)生報(bào)名表，分別裝入兩袋，第一

袋有5名男生和4名女生的報(bào)名表，第二袋有6名男生和5名女生的報(bào)名表，現(xiàn)隨機(jī)選擇一袋，然

后從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，讓他們參加比賽.

(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；

(2)比賽記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，兩人同時(shí)贏積2分，一贏一輸積0分，兩人同時(shí)輸積-2分.現(xiàn)

3_2_

抽中甲、乙兩位同學(xué)，每輪比賽甲贏的概率為g,乙贏的概率為二，比賽共進(jìn)行兩輪，在兩輪比賽

中，求這兩名學(xué)生得分的分布列和均值.

【答案】⑴一

198

(2)分布列見解析，均值為0

【分析】(1)設(shè)A="抽到第一袋”，4="抽到第二袋”，B="隨機(jī)抽取2張，恰好抽到一名男生和

一名女生的報(bào)名表”，由條件概率公式結(jié)合全概率公式求解；

(2)(i)X的可能取值為-2,0,2,計(jì)算出相應(yīng)概率，即得分布列；(ii)F的可能取值為-4,-

2,0,2,4,計(jì)算出相應(yīng)概率，即得分布列和均值；

【詳解】(1)設(shè)A="抽到第一袋”，4="抽到第二袋”，

B="隨機(jī)抽取2張，恰好抽到一名男生和一名女生的報(bào)名表”

P(A)=P(4)=g

P(vB1iA,7)小C；型3二69

P1p?6

TT

?1

由全概率公式得

P(B)=P(A)P(B∣A)+P(?2)P(B∣Λ2)=lχ∣+i×A=^

(2)設(shè)在一輪比賽中得分為X,則X的可能取值為-2,0,2,則

326

p(χ=2)=—X—

5525

設(shè)在二輪比賽中得分為y,則y的可能取值為-4,-2,0,2,4,則

636

p(y=-4)=-×——

25625

13136156

p(y=-2)=y_____I_____v?_____—_______

252525625

6131366_241

P(K=O)=-X+一X一+——×——

v7252525252525^625

g)=M13136156

H---X—=

252525625

P(IZ=4)=*636

25^625

得分為Y的分布列用表格表示為

Y-4-2024

3615624115636

P

625625625625625

「人7\/八36/.156C241C156)36C

E(}z)=(-4)×----F(-2)×----+Ox----÷2×-----f-4×---=0

'J'7625v7625625625625

21.已知正項(xiàng)數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S,,,對(duì)任意“€^，點(diǎn)(凡同)都在函數(shù)/(冷2x-2的圖象上.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列｛c,,｝滿足若對(duì)任意"∈N*,存在Xoe,使得

c+c+L+C,,4

l2≤∕(Λ0)-4成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】⑴％=2",(〃eN*)

(91

⑵-吟癡

【分析】(1)由S”與巴的關(guān)系結(jié)合累乘法得出數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)令K為數(shù)列｛q,｝的前"項(xiàng)和，由裂項(xiàng)相消法以及公式法得出設(shè),=一二-4

l由W,,4ΛΛ以及

fW-a=2x-2-a的最大值得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】(1)點(diǎn)(4,5,)都在函數(shù)/5)=2彳-2的圖象上，可得S“=2凡-2.

當(dāng)〃=1時(shí)，4=S∣=2α∣-2,4=2.

當(dāng)〃≥2時(shí)，al=Sn-Sn.,=2an-2-2an.l+2,整理得區(qū)=2,

an-?

7,lπ

即且?—?—=—=2^,an=2,對(duì)〃=1也成立.

an-?an-2an-3%%4

即α,,=2",("∈N*).

由cl=0,c2>0,c3>0,c4>0,

當(dāng)〃≥5時(shí)，2w>/7(/7+1),下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)〃=5時(shí)，2'>5(5+1)成立.①

假設(shè)〃二&時(shí)，2卜>k(k+l)成立.

那么"=R+1時(shí)，2k+l>2k(k÷1),2k(k+1)—(?+1)(?+2)=(A:+1)(2?-2)>O

則2Λ+,>(?÷D(α+l)+l),即〃=Z+1時(shí)也成立.②

由①②可得，當(dāng)〃≥5時(shí)，2z,>∏(H÷1),即有?,<0.

可得