2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)03 探究動態(tài)幾何問題解答分析

重難點03探究動態(tài)幾何問題

命題趨勢

數(shù)學(xué)因運動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化面精彩紛呈。動態(tài)幾何問題是近年來中考的一個重難點問題，以

運動的觀點探究幾何圖形或函數(shù)與幾何圖形的變化規(guī)律，從而確定某一圖形的存在性問題。隨之產(chǎn)生的動

態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性

的試題。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。

滿分技巧

D動態(tài)幾何問題是以幾何圖形為背景的，幾何圖形有直線型和曲線型兩種，那么動態(tài)幾何也有直線型的和

曲線型的兩類，即全等三角形、相似三角形中的動態(tài)幾何問題，也有圓中的動態(tài)問題。有點動、線動、面

動，就其運動形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動等。根據(jù)其運動的特點，又可分為（1）動點類（點在線

段或弧線上運動）也包括一個動點或兩個動點；（2）動直線類；（3）動圖形問題。

2）解決動態(tài)幾何題，通過觀察，對幾何圖形運動變化規(guī)律的探索，發(fā)現(xiàn)其中的，變量”和“定量”動中求靜，

即在運動變化中探索問題中的不變性;動靜互化抓住“靜'’的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動

與靜'’的關(guān)系;這需要有極敏銳的觀察力和多種情況的分析能力，加以想象、結(jié)合推理，得出結(jié)論。解決這類

問題，要善于探索圖形的運動特點和規(guī)律抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動為靜，以靜制動。解決運動

型試題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系

和變量關(guān)系，并特別關(guān)注-些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系。

3）動態(tài)兒何形成的存在性問題，重點和難點在于應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準(zhǔn)確地進(jìn)行分類，包括等

腰（邊）三角形存在問題，直角三角形存在問題，平行四邊形存在問題，矩形、菱形、正方形存在問題。全等

三角形存在問題，相似三角形存在問題等。

限時檢測

限時檢測1：最新各地模擬試題（60分鐘）

1.（2023?廣東珠海??？家荒＃┤鐖D①，在正方形A8C。中，點M是AB的中點，點N是對角線BO上一動

點，設(shè)。N=x,AN+MN=y.已知V與X之間的函數(shù)圖象如圖②所示，點6（4,26）是圖象的最低點，那

么正方形的邊長的值為（）

【答案】C

【分析】由A、C關(guān)于班?對稱，推出N4=M7,推出AN+MN=NC+MN,推出當(dāng)Af、N,C共線時,

）'的值最小，連接MC,由圖象可知用C=2正，就可以求出正方形的邊長.

【詳解】解：如圖，連接AC交8。于點。，連接NC,連接MC交BD于點N'.

?四邊形ABCr）是正方形，.?.。是BO的中點，

12

；點M是AB的中點，r.N'是ABC的重心，；.N'。=]80,N'D=]BO,

A、C關(guān)于BD對稱，.?NA=NC,AN+MN=NC+MN,

,當(dāng)M、N、C共線時，y的值最小，，y的值最小就是MC的長，

:,MC=2小,設(shè)正方形的邊長為機，則BM=Tm,

在RLBCM中，由勾股定理得：MC2=BC2+MB-,

..20=>+§m）2,.?.%=4（負(fù)值己舍），即正方形的邊長為4.故選：C.

【點睛】本題考查的是動點圖象問題，涉及到正方形的性質(zhì)，量心的性質(zhì)，利用勾股定理求線段長是解題

的關(guān)鍵?

2.（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABC。中，AB=6cm,∕8=120。，P為對角線AC上的一個動點，

過點P作AC的垂線，交A?；?于點E,交AB或BC于點尸，點P從點A出發(fā)以GCm/s的速度向終點C

運動，設(shè)運動時間為Ms）,以EF為折線將菱形ABCO向右折疊，若重合部分面積為4j3cn√,求f的值，對

于其答案，甲答：r=2,乙答：f=3,丙答：/=4,則正確的是（）

A.只有甲答的對B.甲、乙答案合在一起才完整

C.甲、丙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才充整

【答案】C

【分析】由菱形的性質(zhì)推出ZZMC的度數(shù),通過分類討論的方法得到含有特殊角的直角三角形AGO、APE、

CPE以及等邊三角形防4、EFC,利用面積公式進(jìn)而列出有關(guān)時間f的一元二次方程，通過解方程求出f.

【詳解】解：如圖，連接30交AC于點G

四邊形ABc。為菱形，AD=CD=BC=AB=6cm

BDlAC,ZADC=ZABC=UOO:.NDAC=∣(180o-NADC)=30°

在RtAGDψ,DG=；AD=3cm.?.AG=GDG=3√3cm

DA=DC,BD1AC.?,AC=2AG=6√3cm由題意可知，AP=(6,Cm(O≤f46)

如圖所示，重合部分SEFA=S.EFA'=4√3cnr

Ap

在RtAPE中，EFIAC,ZDAC=300■■EP=-==Zcm

ZDAB=180°-NB=60。，EPlAC.?..EEA為等邊三角形，EF=2EP=(2/)cm

.?.SEFA=SEFA'=?χEF×AP=?×2f×√3?=4√3cm2(0≤r≤6)：.t=2

如圖所示，重合部分SEFC=4√3cm2

在RtACPF中，EFlAC,NDC4=30°CP=AC-AP=(δ√3-6,Cm

Qp

EP=耳=(6-f)cmNDCB=180o-Zfi=60o,EF1AC

；._EFC為等邊三角形：.EF=2EP=(12-2r)cm

SEFC=?×￡F×CP=?×(12-2r)×(66-后)=4√3cm2(0≤r≤6)

.?.f=4.?.r=4或f=2,即甲、丙答案合在起才完整.故答案選C.

【點睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)和折疊問題，涉及到的知識點有利用特殊直角三角形求邊長、求角度以

及等邊三角形的判定.是否能用分類討論的方法解決本題折疊問題是這道題的難點.本題的綜合能力較強.

3.(2023?浙江?九年級模擬)如圖，及AABo中，N84O=9()°,0A=6,03=10,以點0為圓心3為

半徑的優(yōu)弧MN分布交。4，OB于點M,N點P優(yōu)弧MN上的動點，點C為旅的中點，則AC長的

取值范圍是()

A—≤AC≤UB?3≤7C.叵<ACV叵D.旦AC<叵

22222~^102~^10

【答案】D

【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AB=8,然后根據(jù)ANoEΔBQ4的性質(zhì)求得NE和OE的長，當(dāng)點P在M

處時，AC有最小值，此時AC=JBP,在∕?ΔE4B中應(yīng)用勾股定理即可求解；當(dāng)P在點N處時，AC有

2

最大值，根據(jù)ACR?AWO的性質(zhì)求出CF、FO、AF,然后在MAAB中應(yīng)用勾股定理即可求解.

【詳解】VOA=6,OB=IO,ON=OM=3ΛAM=OA-OM=3

.??在&ΔABO中，AB=y∣OB2-OA1=8過N點作NE于點E

：.ZNEo=ZBAO=90。又/NOE=4BOA：?gIOE^BOA

.NONEOE.3NEOE.入?yún)n12“9

BOBAOA108655

當(dāng)點P在點M、N處時，AC分別有最小值和最大值；當(dāng)點P在M處時，AC有最小值

?.?C是BP的中點，ZBAP=90°ΛAC^-BP

2

二在R∕ΔΛ4B中，BP=y∣AB2-AP2=√73?"?AC=號

當(dāng)P在點N處時，AC有最大侑.?.NCFO=NB40=90°

.COCFFO

?：/CoF=NBoA：.ACFOMAo

'BO^BA~OA

.?.2*,Y.??B言,FO^,AF

在∕?ΔAB中，AC=JCF2+C產(chǎn)=也也綜上所述，恒≤AC≤且145故選D

10210

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，題目較為綜合，難度較大，根據(jù)題

意討論兩種情況是本題的關(guān)鍵.

4.（2023?綿陽市中考模擬）邊長為4、中心為。的正方形ABCz）如圖所示，動點P從點A出發(fā)，沿

A→B→C→O→A以每秒1個單位長度的速度運動到點A時停止，動點。從點A出發(fā)，沿

A→E>→C→3→A以每秒2個單位長度的速度運動一周停止，若點P,Q同時開始運動，點P的運動

時間為is,當(dāng)0<r<16時，滿足。P=OQ的點P的位置有（）

QD

P

BC

A.6個B.7個C.8個D.9個

【答案】B

【分析】依次取AB,BC,CD,ZM的中點EF,G,H,連接Of,OF,OG,OH.由題意可知，當(dāng)

點尸與點。到各自所在邊的中點的距離相等時，OP=OQ,則有六種情況，分類列式計算求出t的值，即

可解答本題.

【詳解】解：依次取AS,BC,CD,ZM的中點E,F,G,H,連接OEOF,OG,OH.

根據(jù)題意，得點尸運動的路程為七當(dāng)0<∕≤l時，點。運動的路程為2人

分析題意可知，當(dāng)點P與點。到各自所在邊的中點的距離相等時，OP=OQ.

當(dāng)O<f≤l時，顯然OPWOQ；

②當(dāng)1<∕≤2時，如圖（1）,點P在AE上，點。在8。上，PE=2-t,QH=2f-2,

4

由2—f=2f—2,得/———；

3

③當(dāng)2<r≤4時，如圖（2）,點P在EB上，點。在。C上，PE=t-2,QG=∣2∕-6∣,

由2=∣2r-6∣,得.=4或r=|；

④當(dāng)4<r≤6時，如圖（3）,點P在BF上，點。在BC上，PF=6-t,βF=∣2z-10∣,

由67=|2IO得t=4（舍去）或，=$

⑤當(dāng)6<r≤8時，如圖（4）,點P在尸C上，點。在AB上，PF=t-6,QE=∣2f-14∣,

由6=∣2-14∣,得f=8或f=g；

⑥當(dāng)后8時，點。停在點4處，因此當(dāng)8<∕<16時，OQ=OA=OD,只有f=12時滿足OP=OQ.

綜上，滿足條件的點P的位置有7個，故選：B.

圖(4)

【點睛】本題結(jié)合動點考查考生空間想象的能力與分析問題、解決問題的綜合能力，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)

學(xué)運算的核心素養(yǎng).分析題意時，需注意時間t的取值范圍不含O和16,第8s后點。停止運動，且與點A

重合.

5.(2022?江西?九年級一模)如圖，在心ΔΛ8C中，NACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點、M從前B

出發(fā)，在84邊上以每秒5c根的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4c加的

速度向點3勻速運動，運動時間為f秒(0<f<2),連接MN.若以MN為直徑的C。與心AABC的邊相

切，貝打的值為.

B

4173

【分析】分當(dāng)。。與BC相切、OO與AB相切，。。與AC相切時，三種情況分類討論即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)運動時間為t秒(0<t<2),則BM=5t,CN≈4t,BN=8-4t,

在宜角三角形ABC中，由勾股定理，得AB=JAC2+BC2=l0?

當(dāng)MN為宜徑的。與RfAABC的邊AB相切時，ZBMN=90o=ZC,又因為∕B=∕B,所以

△BMNsaBCA,.?.2?=紅生，解得t=%；當(dāng)MN為直徑的OoLj向ΔA8C的邊BC相切，

81041

Sf2—4/

ZBNM=90o=ZC,又因為∕B=∕B,所以△BMN^?BAC,所以一=-----，解得t=I;當(dāng)MN為直徑的二O

108

與用ΔABC的邊AC相切,如圖,過點O作OHJ_AC于點H,交PM于點Q,

B

OH=OQ+QH=?PM+PC=?（8t-8）+（8-4t）=4,ΛMN=2OH=8,Λ73t2-128t+64=64

aπzh128j，、32,..128

解得tl=0,t2=------.故t的值為1或—或----.

734173

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及圓的綜合知識：由三角形相似得出對應(yīng)邊成比例是解題的

關(guān)鍵，此類題目為中考的熱點考題之一，應(yīng)加強訓(xùn)練.

2

6.（2023?安徽合肥??？家荒＃┤鐖D，已知點A是雙曲線y=*在第一象限的分支上的一個動點，連接A。并

X

延長交另一分支于點B,過點A作y軸的垂線，過點B作X軸的垂線，兩垂線交于點C,隨著點A的運動,

點C的位置也隨之變化，設(shè)點C的坐標(biāo)為（％"）,則機，"滿足的關(guān)系式為

【答案】〃陽=一2

【分析】首先根據(jù)點C的坐標(biāo)為（見〃），分別求出點A的坐標(biāo)、點8的坐標(biāo)；然后根據(jù)點B和點C的橫坐標(biāo)

相同，求出附，〃滿足的關(guān)系式即可.

【詳解】解：由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，A點和B點關(guān)于原點對稱，

22

??,點的坐標(biāo)為（孫〃），；.點的坐標(biāo)為（一，及），二點的坐標(biāo)為（一，）

CAnBn-n,

22

根據(jù)圖象可知，B點和C點的橫坐標(biāo)相同，.?.-4=m,即"=-二.故答案為：mn=-2.

nm

【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)的特征，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：

①圖象上的點（χ,y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值3即D=3②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是

關(guān)于原點對稱；③在M圖象中任取一點，過這一個點向X軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面

積是定值I￠1.

7.（2023?浙江舟山?統(tǒng)考一模）如圖，在45C中，NC=90。，AC=8cm,8C=6cm.動點P沿線段AC以5cm∕s

的速度從點4向點C運動，另有一動點。與點尸同時出發(fā)，沿線段BC以相同的速度從點B向點C運動.作

PQ_LA8于點。，再將AAPD繞尸。的中點旋轉(zhuǎn)180。，得到A475P;作QE_LAB于點E,再將ABQE繞QE

的中點旋轉(zhuǎn)180。，得到B'EQ.設(shè)點P的運動時間為xs.

（1）如圖當(dāng)點A落在BC邊上時X的值為

（2）如圖，在點P,。運動中：當(dāng)點A在MZQ內(nèi)部時X的取值范圍為

404010

【答案】—<x<一

4?5311

【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)的意義直接求出；（2）找出分界點①A剛好到達(dá)Bz邊時，②A剛好到達(dá)EQ

邊時，利用同一條線段兩種算法求;I；X值，即可得X的取值范圍.

o

【詳解】解：(1)VZC=90,AC=ScmfBC=6cm,

JAB=IOcm,/.cosA=—SinA=―,tanA=—,

5f54

4

由題意得：AP=5x,ΛPA,=AD=APcosZA=-×5x=4x,CP=8-5x,

?/「nA，/ACP8-5x4.40740

?.cos^CPΛ=CoSN√4=---=-----=-,.,X=—；故答案為：—；

PAf4x54141

434

(2)同(1)可得SinB=1,CoSB=W,tanβ=p

①A剛好到達(dá)Bz邊時，

由旋轉(zhuǎn)可知，四邊形4WP是平行四邊形，四邊形BEB，Q是平行四邊形,

/.AP∕∕DA,BQ〃EB',二ZADE=Z4,ZBED=ZB,

ΛZADE+ZAED=ZA+ZB=iXf,BPZDA'E=90°,

Δ'∩525r

VDA'=PA=BQ=5x,則：BE=BQcosZB=3x,DE=———=-×5x=-,

cosZA'DE44

4x+—x+3x=AB=IO,.*.X=—；

453

②W剛好到達(dá)EQ邊時，

4

?.?QElAB,；.DE=A'DcosZA'DE=5x×-=4x,

?'?4-x+4x+3x-AB=10.；.x=—,—<x<—,故答案為：—<x<—.

1153115311

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)，解直角三角形等知識，具體的規(guī)劃是學(xué)會

用分類討論的思想思考問題屬于中考?？碱}.

8.（2023?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，RtZ?A8C中，ZC=90%AC=3,BC=4.點、

P從點C出發(fā)沿折線C4-AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，點。從點B出發(fā)沿BC-C4-A6以

每秒2個單位長的速度向點B勻速運動，點P,。同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)點B時停止運動，另一點也隨

之停止.設(shè)點P,。運動的時間是f秒（Z>0）.

發(fā)現(xiàn)：（I）AB=；（2）當(dāng)點P,。相遇時，相遇點在哪條邊上？并求出此時AP的長.

探究：⑶當(dāng)t=l時，APQC的面積為；（4）點P,Q分別在AC,8C上時，APQC的面積能否

是，ABC面積的一半？若能，求出，的值；若不能，請說明理由.

拓展：（5）當(dāng)PQ〃3C時?，求出此時f的值.

【答案】（1）5⑵相遇點在A3邊上，l（3）l（4）不能，見解析（5"=行

【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可；（2）分類討論點的位置對應(yīng)不同的時間，直接計算即可;

（3）直接求出邊長來求面積即可；（4）解方程時通過求根公式來說明不能取到值；

（5）先畫出圖形，然后利用平行線間的線段比列方程求值.

【詳解】（1）在RtAABC中，AB=√AC2+BC2==5?AB=5?,

（2）點P運動到8需要：（4+5）÷l=9s點Q運動到8點需要：（3+4+5）÷2=6s

當(dāng)點P,Q相遇時，W2/-/=4.解得，=4..?.相遇點在AB邊匕此時AP=4—3=1.

(3)當(dāng)f=l時，PC=?,BQ=2,即CQ=2，S”8=：PC?CQ=；xlx2=l故答案為1；

(4)不能理由：若aPQC的面積是ABC面積的一半，

β[J→(4-2f)=l×∣×3×4,化為“-2r+3=0?

V?=(-2)2-4X1×3<0,，方程沒有實數(shù)根，

即aPQC的面積不能是=ABC面積的一半.

(5)由題可知，點戶先到達(dá)AB邊，當(dāng)點。還在AC邊上時，存在PQ〃BC,如圖所示.

這時，4S=-????4Q=7-2f,AP=t-3,

ACAB

???早7—2，=，T一3.解得f=4三4，即當(dāng)尸?！?C時，，=曾44.

【點睛】此題考查動點問題以及平行線的線段比，解題關(guān)鍵是將點的路程表示出來找到等量關(guān)系，以及平

行線中線段成比例列方程.

9.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考模擬預(yù)測)如圖，直線小>=-x+8與X軸、y軸分別交于點

A和點B,直線/y=X與直線4交于點C,平行于y軸的直線，”從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速

度沿X軸向右平移,到C點時停止.直線m交線段BC、OC于點。、E,以O(shè)E為斜邊向左側(cè)作等腰RtADEF,

(2)填空：動點E的坐標(biāo)為"),DE=(用含f的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)點F落在，軸上時，求/的值.(4)求S與f的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量的取值范圍;

-3廠+8f,O≤f<2

【答案】⑴8；45。⑵，；8—2，⑶2(4)5=4t=2

產(chǎn)-8r+16,2<t≤4

【分析】(1)分別令X=0、y=0求出04、OB的長度，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求由NQAB的度數(shù):

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得動點E的坐標(biāo)，進(jìn)而求出DE的長度；

(3)當(dāng)點F在丫軸上時，四邊形Z)C即為正方形，進(jìn)而求出，的值：(4)E點的位置有三種可能：①點尸在

y軸的左側(cè)(0≤f<2);②點尸在y軸上。=2)；③點F在>軸右側(cè)(2<f≤4),求出S與r的關(guān)系式.

【詳解】(1)4與X軸交于A點，與y軸交于8點，

：當(dāng)X=O時，y=8；當(dāng)y=0時，χ=8,.'.OA=OB=S,：.ZOAB=45°,故答案為：8；45°.

(2)???直線4與直線4交于點C，

聯(lián)立得一χ+8=χ,解得χ=4,y=4,ΛC(4,4),NaM=45。，

貝IJoP=PE=r,BPE(r,t),DE=DP-EP=DP-I,

：NOAB=45。且直線，力平行于y軸，垂直于X軸，

ΛZDPA^90°,￡>/%為等腰宜角三角形，；.3P=R4=8-f,

?*?DE==8-2t,故答案為：t；8—2/.

NCDE=NFDE=45。

(3)當(dāng)點尸落在y軸上時，〃?！??！?Λ,DEC≡ΔDEF(ASA),.?DC=DFfEC=EF,

NDEC=NDEF=45。

二四邊形DC即為正方形，,DE=；OB=4,二￡出=8-2f=4,即Z=2,故答案為：2.

(4)由題意可知：直線加交線段BC、OC于點。、E,以。E為斜邊向左側(cè)作等腰R/DEF,

所以尸點的位置有三種情況：

①由(3)可知，當(dāng)t=2時，點F在y軸上，

此時,OEb和A8C0重疊部分的面積為等腰直角三角形，四邊形OCEF為IE方形，

S=∣DE√=→(8-4)×2=4;

②當(dāng)0≤f<2時，點尸在V軸左側(cè)，此時二。所與/CO重疊部分為梯形，

如圖，RtOEF的兩直角邊與V軸有兩交點P、Q,分別過兩個交點作X軸的平行線，交DE于M、N兩點，

222

S=SI)PM+SEQN+SpQNM=萬廠+/廠+{DE-2t'jι=t^+(8-2t-2t^t=t—4t+8r=-3t+8r；

③當(dāng)2<f≤4時，點尸在y軸右側(cè)，

此時λDEF和ΛBCO重疊部分的面積為等腰直角三角形，四邊形DCEF為正方形，

S=∣DE(4-r)=∣(8-2r)(4-f)=r2-8z+l6,

-3產(chǎn)+8/,0≤∕<2

故答案為：S='4t=2,

Γ-8f+16,2<Z≤4

【點睛】本題考查根據(jù)一次函數(shù)解析式求點的坐標(biāo)，以及三角形的面積的計算,正確表示出OE的長是關(guān)鍵.

10.(2023春.吉林長春.九年級東北師大附中?？茧A段練習(xí))如圖，在RtZXABC中，ZAe8=90。，BC=15,

AB=25.動點P從點A出發(fā)，以每秒7個單位長度的速度沿折線AC-CB向終點B運動.當(dāng)點P不與ABC

頂點重合時，作NCPQ=I35。，交邊AB于點Q,以CP、PQ為邊作.CPQD.設(shè)點尸的運動時間為f秒.

(1)求AC的長.(2)當(dāng)點P在邊Ae上時，求點。到邊AC的距離(用含，的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)CPQ。的某條對角線與AABC的直角邊垂直時，求C尸。。的面積；

(4)以點尸為直角頂點作等腰直角三角形EPQ,使點E與點C在PQ同側(cè)，設(shè)EQ的中點為FCPQ。的對

稱中心為點0,連接。尸.當(dāng)。尸〃P。時，直接寫出，的值.

【答案】(I)AC=20(2)點Q到邊AC的距離為3r

(3).CPQD的面積為36或管(4)滿足條件的t的值為R或4

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）如圖1,過點Q作QM?LAC于點M,由tanA=萼=會='，

AMAC4

設(shè)MQ=3",AM=Aa,由題意NQPM=45。，推出RW=MQ=3",AP=70=7f,可得。=「，可得結(jié)論；

（3）分兩種情形：當(dāng)PD,AC時，如圖2中，過點。作QMLAC于點M,當(dāng)Pz）I.BC時，如圖3中，過

點。作QNL尸B于點M分別構(gòu)建方程求解，可得結(jié)論；

（4）如圖4-1中，當(dāng)，PD。是等腰直角三角形時，滿足條件；如圖4-2中，當(dāng)APQD是等腰直角三角形

時.，滿足條件，分別構(gòu)建方程求解，可得結(jié)論.

【詳解】（1）在RtZiABC中，NACB=90。，BC=15,AB=25,

'?AC=JAB2-BC?=√252-152=20;

（2）如圖1中，過點。作QM?LAC于點M.

在RjAMQ中，ZAMQ=90°,tanA=^=—=-,

AMAC4

設(shè)MQ=3α,AM=4a,NCPQ=I35°,ΛZQPM=45°,

.*.PM=MQ=3a,:?AP=7cι=7i,.?.α=r,ΛMQ=3/；

(3)當(dāng)P。，AC時,，如圖2中，過點。作QMLAC于點M.

?：CP=PD=QM=PM=3t,AM=4f,Λ4r+3r+3r=20,

Z=2,?)CPQ。的面積=6x6=36；

當(dāng)叨，BC時，如圖3中，過點。作QNLP4于點M

TNCPQ=135。，ΛΛQPM=45o,Y3〃PQ,：,4DCP=ZQPN=45。,

：.CP=PD=QN=PN=It-IO,：tanB=@=2=9,

BCBN3

Λ2(7f-20)+∣(7∕-20)=15,解得￡=與，

ΛCPQD的面積=∣SX絲—20丫=塑.

IllJ121

綜上所述，滿足條件的QQD的面積為36或答；

（4）如圖4-1中，當(dāng)/。。是等腰直角三角形時，滿足條件.

圖4-2

過點。作QMAC于點/W,則AΛ∕=4f,PM=QM=3t,

on

ΛPQ=PD=3?Jlt,：.PC=6t,；.4f+3f+6f=20,Λ/=—,

如圖4-2中，當(dāng)aPQO是等腰直角三角形時，滿足條件，

過前N作QNLCB于點、N.?；PC=&PD=應(yīng)PQ=2PN,然=:，

BN3

131

.?.7z-20+-（7r-20）+-×-（7r-20）=15,Λr=4,

綜上所述，滿足條件的t的值為120或4.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分

類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

11.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）如圖①，在,ABC中，NAc6=90。，N8=30。，AC=I,。為AB的中點,

EF為ACQ的中位線，四邊形EFG”為，48的內(nèi)接矩形（矩形的四個頂點均在A8的邊上）.

（1）計算矩形瓦6”的面積；（2）將矩形EFG”沿AB向右平移、點F落在BC上時停止移動，在平移過程中，

當(dāng)矩形與aCBO重疊部分的面積為立時.，求矩形平移的距離：（3）如圖③，將（2）中矩形平移停止時所得

16

的矩形記為矩形E/GM，將矩形與尸。乜繞GI點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)H/落在8上時停止轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)

后的矩形記為矩形片2工642,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α,求COSa的值.

【答案】（1）且（24（3）止叵

R88

【分析】（1）根據(jù)已知，由直角三角形的性質(zhì)可知AB=2,從而求得AO,CD,利用中位線的性質(zhì)可得

EF,DF,利用三角函數(shù)可得GF,由矩形的面積公式可得結(jié)果；

（2）首先利用分類討論的思想，分析當(dāng)矩形與△€?￡?重疊部分為三角形時（0<χ≤J）,利用三角函數(shù)和三

角形的面積公式可得結(jié)果；當(dāng)矩形與ACBD重疊部分為直角梯形時（5<x≤g）,列出方程解得X,即可得到

答案；（3）作AB于。，設(shè)8Q=∕M,則也Q=鬲，DG1=I,/G=J利用勾股定理可得〃?，在RtQH2G1

中，利用三角函數(shù)解得COSa；

【詳解】（1）解：如圖①，在ABC中，

圖①圖②圖③

VZACB=90°,N8=30。，AC=I,ΛAB=2,又YD為AB的中點，，，AO=1,CD=^AB=?,

又：E尸為，AC。的中位線，；.EF=DF=;,在,ACO中，AD=CD,NA=60。，ΛZAZX?=60°,

在,/G。中，GF=DFSinGOo=—，，矩形EFG”的面積S=EF?GF='χ3=且；

4248

(2)解：如圖②，設(shè)矩形移動的距離為X,則O<x≤g,

當(dāng)矩形與ACBD重疊部分為三角形時，貝∣JO<χ≤J,S=NX杰X=②,.?.χ=也>1(舍去)，

421644

當(dāng)矩形與△"￡)重疊部分為直角梯形時?，則:<X≤；,

重疊部分的面積S=3x-1χLχ@=9，???x=1,

4244168

即矩形移動的距離為W時，矩形與ACBD重疊部分的面積是更；

816

(3)解:如圖③,H2QlABTQ,設(shè)BQ=,”,則也Q=鬲，?.?％=(,H2G1=I,

222

fjRtQHyG^?',(>∕3HI)+(^+?)=?,解之得：m.=—匕4?,m2=--~~也3(負(fù)的舍去).

42,1616

-1+√131

+

?coscr-ɑɑ,_[^4_3+713

凡G18

2

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)和三角函數(shù)定義等，利用分類討論的思想，構(gòu)

建宜角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

12.(2023春?江蘇?九年級?？茧A段練習(xí))已知：如圖，在RtAABC中，NAC5=90。，ΛC=6cm,8C=8cm.點

。是8C中點，點尸從點C出發(fā)，沿C4向點A勻速運動，速度為2cm/s；同時點Q從點A出發(fā)，沿A8向點

B勻速運動，速度為3cm/s；連接PDQD,PQ,將△尸。。繞點。旋轉(zhuǎn)180。得△/??!?.設(shè)運動時間為Ms)

(0<f<3),解答下列問題：(1)當(dāng)f為何值時，RT〃BC?(2)當(dāng)f為何值時，四邊形PQRT是菱形？

(3)設(shè)四邊形尸。RT的面積為y(C∕),求y與f的函數(shù)關(guān)系式；(4)是否存在某一時刻r,使得點T在CABC的

外接圓上？若存在，求出1的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)f=喘；⑵~—；(3)y=-γt2+48(0</<3)；(4)存在，r=弓

【分析】(1)首先根據(jù)勾股定理得到AB的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和平行四邊形判定，可以證出四邊形PQRT為

平行四邊形，利用RT//BC得線段成比例，從而得解；

(2)過。作QV_LgC于M用含r的代數(shù)式表示出CAARAQ,QB的長，由(1)已經(jīng)證明四邊形PQRT

為平行四邊形，它的對角線互相垂直時為萎形，再證明二△助VQS/XBCA,再根據(jù)相似三角

形對應(yīng)邊的比相等即可得解；(3)過P作PMLAQ于M,過點。作QNJ_BD于N,根據(jù)

SQRT=2SPQpQ,SPQ=S-S—SQ—S即可得解；

PR=4SθDabcpcdAPW)O

(4)過C作CH_LAB于H,所以C"xAB=ACxBC=,再證明ACDT-BDQ(SAS),對應(yīng)角相等，

即為內(nèi)錯角相等，所以CT〃84，從而證出當(dāng)Q在A8上運動時，7也在過C點與AB平行的直線上運動，

取AB中點。連。C作。MLCTTM,則四邊形OHeM為矩形，OM=CH,若7在43(7的外接圓上，則

OT=OC=-AB=Scm,即可得解.

2

【詳解】(1)解：連接PQ、QR、PT,由旋轉(zhuǎn)知：DP=DR,DQ=DT,

二四邊形尸QRT為平行四邊形，當(dāng)77?〃BC時，則PQ〃BC,.?.空=例，

φ.*ZACB=90o,AC=6cm,BC=8cm,ΛAB=√62+82=IOcm?

依題意得：4Q=3∕Cm,CP=2rcm,，AP=(6-2。Cm,BQ=(10-3，)Cm,

(2)解：由(1)知，四邊形PQRr為平行四邊形，根據(jù)對角線互相垂宜的平行四邊形為菱形知，當(dāng)。PJ?DQ,

即NPDQ=9()O時，平行四邊形PQRT為菱形，過。作QNJ。于M

JZQND=90°,?,.ZQDN+ZDQN=90°,

VZPDβ=90°,，NPDC+NQDN=90：ΛZPDC=ZDQN,

pcDN

?.?NPCD=NzWQ=90。，：.PCDsDNQ,?-=—0,

?.?N8N0=NC=90。，ZB=ZB,：..BNQ^BCA,

.BNNQBQBNNQ10-3r.3八八?4八八

'.m=.=7?'即nnk=房=~fTΓ,'QN=W(IO-o3f)cm,QN=W(10-3of)λcm,

f>CAcZ∕ΛDOOIU??

：.CN=BC-BN=8-8+g(cm),：.DN=CN-CD=yt-4(cm),

12〃

——t—4

由①等式知：.=59,.?.6∕-∣z2=y∕-8,30f-9*=24r-40,

6—t

5

?八，,"八八?6+6^47I±^4???Z-?÷,74?

??9廣一61—40=0，?Z=----------=---，舍去負(fù)7根，??/=---，

1833

檢驗”土叵I是原方程的根，.?.f=匕且:

33

(3)解：???四邊形PQKT為平行四邊形,

.?.SPQRT=2SPQR=4S小，過P作PM1AQ于M,過點。作QNJ.BD于M

山(2)知QN=(6—?∣,Cm,

在RtΔAPΛ∕中，ΛP=(6-2r)cm,

4248?

：,PM=AP?smA=^6-2t)×-=--------1cm,

55J

■《6><8!"4!34絲24一89

?*?SPDQ=SABC_SPCD_SAPQ-S

5525

?“36122,c1812238“048，152ltct,n.、

=24-4?---t+-Γ-?2+-t=-t^--—f+12,，y=4Sraβ=M廠---r+48(0<r<3)；

?：QD=DT,CD=DB,NCDT=NBDQ,.?CDT/BDQ(SAS),

：.ZB=ZDCT,，C7〃84,...當(dāng)。在AB卜.運動時，7也在過C點與AB平行的直線上運動，

取ΛB中點。連OC作。MLCTTM,則四邊形OHCM為矩形，OM=CH,若T在“SC的外接圓上，則

OT=OC=-AB=5cm,'：OMLCT,：.CM=MT,

2

X?.?CM=^OC2-OM2=^52-[^yJ=I..?CT=2MC=y,

141412

,:二BQD'CTD,；.CT=BQ=-cm,gpiθ-3r=y,；"=與,

12

即當(dāng)f=不時，7在4?C的外接圓上.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外

接圓的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作出輔助線，熟練掌握以上性質(zhì)和判定.

13.(2023?重慶市?九年級專題練習(xí))如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(8,0),點B的坐標(biāo)是(0,6),

連接A3.若動點P從點B出發(fā)沿著線段54以5個單位每秒的速度向終點A運動，設(shè)運動時間為/秒.

(1)求線段A3的長.(2)連接OP,當(dāng)OBP為等腰三角形時，過點P作線段AB的垂線與直線。8交于點M,

求點M的坐標(biāo)；(3)已知N點為AB的中點，連接ON,點尸關(guān)于直線。N的對稱點記為p(如圖2),在整個

運動過程中，若P'點恰好落在，AOB內(nèi)部(不含邊界)，請直接寫出f的取值范圍.

【答案】(I)K)⑵(0，-，,(0,-4),(0,-6)(3)當(dāng)￡<f<l時，產(chǎn)點恰好落在AOB內(nèi)部(不含邊界)

【分析】(1)勾股定理直接求解即可；

(2)分PO=P8,80=8P,OB=BP三種情形，分別討論，即可求解；

(3)當(dāng)P，在OA上時，過點N作NF_LX軸于點F,過點。作OELΛB,過點P作PG，y軸于點G,因為N

24

點為AB的中點，由(2)可知N(4,3),OE=M,根據(jù)等面積法求得PG=4f,進(jìn)而得出5G=3∕,OG=6-3t.

PN=5-5t,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出OP=OP,SPON=SFoN，繼而求得Op=8-8t,在RtPG中，

PG2+OG2=OP2>即可求解.

【詳解】(1)解：Y點A的坐標(biāo)為(8,0),點B的坐標(biāo)是(0,6),

ΛOA=S,OB=6,；.AB=QOH+0B。=]0；

(2)當(dāng)PB=PO時，如圖，過點P作PDLy軸于點Q,PC_LX軸于點C,

：.BQ=OQ=gθB=3,?：PB=PO,ΛZPBO=ZPOB,

,：NPOB+ZPOA=90o,ZPAO+NPBO=90°,

ΛZPOA=ZPAO,：.PO=PA=-AB=S,設(shè)OM=x,

2

在Rt尸。M中，PM2=PD2+DM'，在RtRW中，PM2=MB2-BP2-

???2。2