2023高考圓錐曲線點差法練習(xí)100題

2023高考——圓錐曲線點差法必刷100題

目錄

1.圓錐曲線：點差法............................................................1

1.1.橢圓....................................................................1

1.2.雙曲線..................................................................2

1.3.拋物線..................................................................3

1.4.中點弦直線方程問題......................................................4

1.5.弦中點軌跡方程問題......................................................5

1.6.點關(guān)于直線對稱問題......................................................6

1.7.存在性問題..............................................................7

2.善良模式（基礎(chǔ)）1-30題.........................................................8

2.1.單選題..................................................................8

2.2.填空題.................................................................21

2.3.解答題.................................................................27

3.中立模式（中檔）1-40題........................................................33

3.1.單選題.................................................................33

3.2.填空題................................................................53

3.3.解答題.................................................................67

4.邪惡模式（困難）1-30題........................................................73

4.1.解答題.................................................................73

1.圓錐曲線：點差法

與圓錐曲線的弦中點有關(guān)的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。

解決圓錐曲線的中點弦問題我們通常用“點差法”，那何為“點差法”呢？

若設(shè)直線與圓錐曲線的交點坐標為A（xl,yl）?B（x2,y2）,將這兩點帶入圓錐

曲線的方程并對所得兩式做差，得到一個與弦AB的中點和斜率有關(guān)的式子，可

以大大減少運算量。我們稱這種帶點做差的方法為“點差法”。

下面我們分別以橢圓，雙曲線，拋物線為例來分別說明“點差法”的運用

1.1.橢圓

亡+已=1

已知橢圓二葭一，若直線L與橢圓相交于A、B兩點，點M是A、B兩

第1頁共124頁

點的中點，M坐標為(xθ,yθ),求直線L的斜率與中點坐標的關(guān)系。

解：

設(shè)A、B點的坐標分別是(xl,yl)、(x2,y2),將A、B兩點帶入橢圓方程中得:

爭g①

J+S=1②

由①-②可得：

W-x；Iyι^-y∑-.Q

a2b2

謔得：紅0?紅必=一］③

x1-X3x1+x2L

?.M是A、B的中點，可得2xo=xι+×z,2y0=yι+ya

又A、B兩點在解U上，JCAB=紅衛(wèi)

?-χ2

.??③可化簡為：∣(AB?,=一提

上式即得出了橢圓弦所在直線的斜率與弦中點坐標的關(guān)系

1.2.雙曲線

^一乃=1

已知雙曲線/一記一，若直線L與雙曲線相交于A、B兩點，點M是A、

B兩點的中點，M坐標為(xθ,yθ),求直線L的斜率與中點坐標的關(guān)系。

解：

設(shè)A、B點的坐標分別是(XLy1)、(x2,y2),將A、B兩點帶入雙曲線方程中

得：

第2頁共124頁

由①-②可得：

y；-y；=0

a?b2

整理得：上”.也為=?③

x1-x2x1+x2a

?.,M是A、B的中點，可得2xo=xι+Xz,2yo=yι+yz

又A、B兩點在直線/上，JCAB=紅0

xl-x2

.??③可化簡為：∣<AB??=?

XQa

上式即得出了雙曲線弦所在直線的斜率與弦中點坐標的關(guān)系

1.3.拋物線

已知拋物線y2=2px,若直線L與拋物線相交于A、B兩點，點M是A、B

兩點的中點，M坐標為(xθ,yθ),求直線L的斜率與中點坐標的關(guān)系。

解：

設(shè)A、B點的坐標分別是(xl,yl)、(x2,y2),將A、B兩點帶入拋物線方程中

得：

第3頁共124頁

yι2=2pxι①

Iya2=2p×2②

由①-②可得：

22

yι-y2=2p(xι-x2)③

整理得：紅Z?(yι+y2)=2p

×l-×2

e/M是A、B的中點r可得2yo=yι+yz

又A、B兩點在直線/上，.??kAB=紅X

XLXZ

，③可化簡為：ICAB?yo=p

上式即得出了拋物線弦所在直線的斜率與弦中點坐標的關(guān)系

點差法常見題型有：

a.求中點弦直線方程問題

b.求弦中點軌跡問題

c.求點關(guān)于直線對稱問題

d.求存在性問題

1.4.中點弦直線方程問題

例題：已知拋物線y2=4x,過點P(3,4)的直線L交拋物線于A、B兩點，且

點P是A、B兩點的中點，求直線L的方程

解：

設(shè)A、B點的坐標分別是(XLy1)、(x2,y2),將A、B兩點帶入拋物線方程中

得:

第4頁共124頁

yι2=4xι①

y∕=4x2②

由①-②可得：

y12.y22=4(×ι-χ2)③

整理得：^=^?(yι+y2)=4

X1-X2

?.P是A、B的中點，可得2yo=yι+力即yι+yz=8

又A、B兩點在童U上，.??kAB=紅N

×l-χ2

.?,③可化簡為：kAB?8=4,得kAB=∣

又直線過P點,可得直淺L方程為x-2y+5=0

變式：過橢圓16內(nèi)一點M(L2)引一條弦，使弦被M平分，求這條弦

的方程。

1.5.弦中點軌跡方程問題

χ2

例題：己知雙曲線丫2一7”，過點P(2,l)作直線L交雙曲線與A、B兩點，

求弦AB中點M的軌跡方程。

解：

設(shè)A、B點的坐標分別是(XLy1)、(x2,y2),將A、B兩點帶入雙曲線方程中

得：

第5頁共124頁

?y"F=ι①

[yf-f=1②

由①-②可得：

由(yF-y22)一等=O

整理得：空空?區(qū)戈=i③

Xi-X2x2+x23

?/M是A、B的中點,可得2x=xι+Xz,2y=yι+yz

又A、B兩點在笛U上，JCAB=紅:在

xi-3?

③可化簡為：kAB?I=I④

又直線L還過P(2,l),且M(X,y)也在戢L上

.?kAB=±^,帶入④

-~-?—=~,整理得χ2-3y2-2x+3y=0

X-2X3

即點M的軌跡方程為:χ2-3y2-2χ+3y=0

變式：橢圓C：7+3,直線L過點P(LI)交橢圓與A、B兩點，求AB

中點M的軌跡方程。

1.6.點關(guān)于直線對稱問題

χ2y2_

例題：若橢圓5十^?！吧洗嬖趦牲cA,B關(guān)于L：y=4x+m對稱，求m的取

值范圍

解：

設(shè)A、B點的坐標分別是(xl,yl)、(x2,y2),且設(shè)AB的中點坐標P為(x,y),

將A、B兩點帶入橢圓方程中得：

第6頁共124頁

^+?=1①

式+4=1②

23

由①-②可得：

χχ

ι~llyl-yj_0

23

整理得：紅*如江=一2③

x1-X2x1+x22

?.?P是A、B的中點，可得2x=Xι+×2,2y=y1+y2

又A、B兩點關(guān)于y=4x+m對稱

.-.AB所在的直淺與直線L垂直，.?.kAB=--

4

1

.yι-y2,.

,

Xt-X24

整理得：y=6x①，即P點的軌跡是f直發(fā)

又P點在直線y=4x+m上②

由①②可得P點的坐標為(；,3m)

又P必在橢國內(nèi)部3*+<6

即-2(3/<6解得一半<比<華

y2

變式：雙曲線方程為：“一不1,若雙曲線上存在兩個點關(guān)于直線L:y=kx+4

對稱，求實數(shù)k的取值范圍.

1.7.存在性問題

例題：已知橢圓C：T+T=1,橢圓上是否存在點P,使得當(dāng)直線L繞焦點

F(1,O)點轉(zhuǎn)動到某一位置時，有不近同成立？若存在，求出所有點P的坐標,

若不存在，說明理由。

解：

設(shè)弦AB的中點為Q(x,y),由旗血殖可知，點Q是線段OP的中點

可得P點的坐標為(2x,2y]

第7頁共124頁

P在橢園上可4+2y?l①

若直線L的斜率不存在,不符合題意

??,直線L的斜率存在,且F點坐標為(1,0)

根據(jù)上面已證橢園中點弦的直線斜率與中點坐標的關(guān)系

可得：1(即2=—之，即上?X=-2②

Xa-x-1X3

根據(jù)①?可得:X=Jy=±?

2.善良模式(基礎(chǔ))1-30題

2.1.單選題

1.已知雙曲線了一彳=1被直線截得的弦AB,弦的中點為M(4,2),則

直線AB的斜率為()

√5逅

A.1B.2C.2D.2

【答案】A

【分析】

設(shè)“區(qū)，必)，8?,%),利用點差法計算可得.

【詳解】

√-2√.1

解：設(shè)交點坐標分別為“α,M),B(2,%),則3+W=8,M+%=4,42

^L-yL=?

42

Xj-Xj_靖-J√=0(x+xia-x?)=(M+%)伍-%)

兩式相減可得42一，即4-2,所以

k==2(芭+X?)=2%1

48

^xl-x2^4(y,+y2)^4×4^,即直線48的斜率為1；

故選:A.

2.若點P(LI)為圓x=∕-6y=0的弦/B的中點，則弦所在直線的方程為

)

第8頁共124頁

A2x-y-?=0Bx-2y+?=0Cx+2j∕-3=OD2x+y-3=0

【答案】B

【分析】

利用點差法求出直線N8的斜率，進而得到方程，注意檢驗是否符合題意即

可.

【詳解】

設(shè)Z(X|，乂)，8(》2，%),貝-2+必2-6M=0,其+W-6%=0,

兩式做差可得H-X；+%2-貨一6乂+6%=0,

χx+,670

即(再+2)(∣-?)(>ι+%)仇一%卜OI-J2>j

又因為P(LI)是ZB的中點,則再+%=2,M+%=2,

因此2(?一工2)+2(必一%)-6仇-%)=0,即2(%-%)=0,

k=2?2L=1

所以項一七2,

因此直線"的方程為yT=5(l),即x-2y+l=0,

經(jīng)檢驗，符合題意，故弦”8所在直線的方程為x-2y+l=0.

故選：B.

u?+4=l(α>b>0)—八

3.已知橢圓/b2的離心率為2,直線/與橢圓C交于A,

1

y——X

8兩點，直線.2與直線/的交點恰好為線段48的中點，則直線/的斜率為

()

I.1

A.2B.4C.1D.4

【答案】C

【分析】

根據(jù)離心率可得。=揚，利用點差法即可求解.

【詳解】

e，=Il--=—

由題意可得a%a22,整理可得。=..

第9頁共124頁

設(shè)/（Xi，%）,8伉,%），則/+瓦」，α2+?2^?

--J?）（?+-2）+（乂一力）（M+%）=0

兩式相減可得?2b2

1%+%_1

y=一X--------~~

因為直線2與直線/的交點恰好為線段/8的中點，所以百+Xz2,

k————'2———^-?=-X×（-2）=1

貝慎線/的斜率占f/必+為2

故選：C

"I

4.若直線1與橢圓62交于點A、B,線段AB中點P為（1,2）,

則直線1的斜率為（）

1_1

A.6B.6C.6D.-6

【答案】B

【分析】

設(shè)A,B分別為“區(qū)，必），8（稱必），代入橢圓方程，相減后利用中點坐標公式

可得直線斜率.

【詳解】

設(shè)A,B分別為“（再M津（和必）,

22222222

ΞL+ZL=12+江=I.?.-Λ..+?-?=0

62,62,相減得62

(%-XJ(X2+&)(%+%)(％-M)_n

十一V

即62

fxl+x2=2

又48中點是P(I,2),[yi+y2=4,

(x-x,)?2(^-y,)-4_

..2Γ-V-+2k=0:.2k=--k=--

62.33.6

故選:B.

5.過點MR』）的直線交拋物線產(chǎn)=4X于48兩點，當(dāng)點"恰好為48的中點

時，直線48的方程為（）

Ax+2y-5=0g2x-y-l=0C2x+>,-5=0D2x-y-3=0

第10頁共124頁

【答案】D

【分析】

利用點差法求得直線48的斜率，進而可求出直線/8的方程，注意檢驗判

別式是否大于0.

【詳解】

設(shè)/（再,M），8（》2,%）,所以升=4xl,√=4X2,

兩式相減得，5+%）5一％）=4（%-々），

因為點MR』）為/8的中點，所以必+%=2,

必一丁一

所以X「％,故直線/8的斜率為2,

所以直線"的方程為>T=2（x-2）,即2x-y-3=0,

[2x-y-3=0

2

聯(lián)立i∕=4x,所以4∕-I6X+9=0,Δ=（-16）-4×4×9>0J故斜率為？符

合題意，因此直線/8的方程為2x-y-3=0,

故選：D.

6.以橢圓了+于=內(nèi)一點尸（單）為中點的弦所在的直線方程是（）

A4x+3y-7=0B3x+4y-7=0

C?/??+2y—（2+?/?）=0D2x+VJy-（2+VJ）=O

【答案】B

【分析】

首先設(shè)直線與橢圓的兩個交點/a*）,8（X2，%）,再利用點差法求直線的

斜率，最后求解直線方程.

【詳解】

設(shè)過點尸（U）的直線交橢圓于/（∕?）,85，力）兩點，

K2

+

4231

22

?

-+22（占+一）（Xl-X2）I（%+%）（乂一為）二θ

431

，兩式相減得43

第11頁共124頁

因為%+X2=2,M+%=2,

l+lxΔZ21=o

vxx

∣≠2,兩邊同時除以X得43x1-x2,

kJf=3

得L24,

所以直線方程為"1=一W(XT),即3x+4y-7=0

故選：B

J匕I近

7.已知橢圓/b2(">b>O)的右焦點為尸，離心率為2,過點尸的直

線/交橢圓于A,B兩點，若42的中點為°」)，則直線/的斜率為()

131

A.4B.4C.2D.1

【答案】A

【分析】

根據(jù)中點坐標公式、橢圓離心率公式，結(jié)合點差法進行求解即可.

【詳解】

解：設(shè)血再，必)，B(w,%),則的中點坐標為I2'2人

由題意可得再+%=2,M+%=2,

岑+=-I

將A,B的坐標的代入橢圓的方程:a

22

√-√lyi-y2=0

作差可得//

必一%=〃X∣+X?=_匕

所以陽_》2/必+%/,

_C_7|a2-b2_3

222

又因為離心率，=￡=了，c=a-b,所以屋=7,

所以一/一%，即直線/8的斜率為2,

故選：A.

第12頁共124頁

X

8.已知直線1被雙曲線C：^4^-y2=l所截得的弦的中點坐標為(1,2],則

直線1的方程()

A.x+4y-9=0B.x-4y+7=0

C.X-8y+15=0D.x+8y-17=0

【答案】C

【分析】

運用代入法、點差法求出直線1的斜率，最后利用直線的點斜式方程進行求

解即可.

【詳解】

解:設(shè)P,Q的坐標分別為(xl,yl),(x2,y2),

?線段PQ的中點為(1,2),.?.xl+x2=2,yl+y2=4,

...A=1,>=1,

(為一一乂再+%)

.?.4-(yl-y2)(yl+y2)=0,

1

yl-y2=?

整理得X8,即直線1的斜率為W,

?

故直線1的方程為y-2=W(X-I),

即X-8y+15=0,

故選：C.

X2y2_

9.已知橢圓從/+記="'">°’的右焦點為尸(3，°),過點F的直線交橢圓

于48兩點，若48的中點坐標為O,-),則橢圓E的方程為()

X2y2X2/X2y2X2y2

---1----11---1----11---1---=11---1---=11

A.4536B.3627C.2718D.189

【答案】D

【分析】

設(shè)題再,必)津(均力)，可得再+X2=2,必+乃=-2,將48兩點的坐標分別代入

第13頁共124頁

22

%一%b(xl+x2)h

橢圓方程，兩式相減可求出心B=玉-X?=/(M+%)=/,進而可求出的值.

【詳解】

設(shè)4（%,必）8（*2，必）,則芭+%=2,yl+y2=-2f

(石+一)(西一?)(必+乃)(乂一為)一0

兩式相減得：*一，

%一%一(XI+*2)=—匕二七

kaa2

：.AB=Xl-X2=\y^+%)-2=/,

0+11Jl

又如=3-1=5,.?.a2~2,

c=3

a22a?=18

聯(lián)立N=∕-J得卜2=9.

χ22

+y-X

.?.橢圓方程為189.

故選：D.

?+?=l(a>?>0)

10.已知橢圓/h2',點尸為右焦點，8為上頂點，平行于F8的

直線/交橢圓于M，N兩點且線段制的中點為e1f-2?,-4?人l則橢圓的離心率為

()

√2lL巫

A.2B.5C.4D.2

【答案】A

【分析】

求得直線/的斜率，然后使用點差法進行計算，最后根據(jù)離心率的公式計算

即可.

【詳解】

第14頁共124頁

設(shè)M（XQJ，N（X2,%）,直線/的斜率為發(fā)

22

?江

+=J

0從一（Xl-1）（再+》2）,（必一%）（必+為）0

M2

+%

a溟=1

y-yy+y_62

---l-----2----l------2—~----Q?—,—

所以Xl-X2再+、2/由線段MN的中點為（24

x1+x>=-1，%+%=—

所以2

LEk__b_2_廿

所以5=一/,又「,所以五=7,又6=/+，

所以％=c,

故選：A.

11.在拋物線∕=8x中，以（1，T）為中點的弦所在直線的方程是（)

Ax-4y-3=0θχ+4y-3=0

Q4x+y-3=0D4x+y+3=0

【答案】C

【分析】

先設(shè)弦的兩端點的坐標分別為/（斗，必），8（々，%）,代入拋物線方程，兩式

作差，求出弦所在直線的斜率，進而可求出直線方程.

【詳解】

設(shè)以（Ii）為中點的弦的兩端點的坐標分別為Na，“），8優(yōu),力），

必2=跖

?

2

由題意可得，〔1=地，兩式作差可得，K-Λ=8xl-8x2t

k-M-力_8_8_

所以x∣-χ2M+%-2

因此所求直線的方程為尸（T）=T（XT）,整理得4χ+y-3=o.

故選：C.

22

--Z—?-=l（fl>0,b>0）

12.已知斜率為左=1的直線與雙曲線/b2交于A,8兩點,

第15頁共124頁

若A,B的中點為M（L3）,則雙曲線的漸近線方程為（）

A%±v??=OB?/??±y=O

Cx±2y=0D2x±y=O

【答案】B

【分

利用點差法，設(shè)小不乂）*（X2,%）,代入雙曲線方程后作差，得

x∣+%%+%必-%0b_

fl2b2x'-x^~，利用直線的斜率和線段48的中點坐標求得】的值.

【詳解】

設(shè)/(N,M),8(X2,%),

927797

X2J72??MFMT=0

/按，兩式相減得b2

（一+々）（占一々）（M+8）（M-%）=0

即/白；兩邊同時除以X得

■+-乂+%Mf-O-2]

2

/bxl-x2,由條件可知玉+Z=2,乂+%=6,χl-χ2^,

26b2bA

Q-b2,解得：/a,

所以雙曲線的漸近線方程是y=±瓜，即百χ±y=°.

故選：B

13.直線/：x-2y+G=0經(jīng)過橢圓/+R=K">6>°）的左焦點尸，且與橢圓

交于48兩點，若/為線段/8中點，1“尸1=1°歷1,則橢圓的標準方程為（）

【答案】C

【分析】

第16頁共124頁

由已知求得c=3,得到M的橫坐標為-進而求得M的縱坐標，然后得出

OM的斜率，由得到/=即可判定結(jié)論.

【詳解】

易得直線1的與X軸的交點橫坐標為-6,...橢圓的半焦距c=3,

又?..IMFH°MI,.?.M的橫坐標為2,代入直線方程得到M的縱坐標為4,

.?.0M的斜率2%x∣+x2,

A,=I=AZA

由于直線1的斜率2XLX2,

逐項檢驗，即可判定只有C符合，

故選：C.

14.已知曲線/-4∕=4,過點"(3,1)且被點A平分的弦MV所在的直線方程

3x-4y-5=OB3x+4y-5=O

4x-3y-5=QD4x+3y-5=O

【答案】A

【分析】

k_=二

設(shè)"(XQ)N(W,%),根據(jù)點差法求43+%)4,進而求出方程并檢

驗即可.

【詳解】

第17頁共124頁

,x：-4y；=4

解:設(shè)Ma，必），N（X2，力），故IW-4及=4,

兩式做差得：（Xl-々）&+*2）=4（乂一%）（弘+必）,

k-Mf=.+!

所以Xl-X24?+%）,

又因為再+Z=6,必+為=2,

k=二石+》2=3

所以x∣-χ24（必+%）%,

3

故弦的所在的直線方程為‘7=Wa-3）,即：3x-4y-5=0ι

]3Iy-5=0

聯(lián)立方程12-4/=4得：20y2_40y+U=0,

Δ=1600-880=720>0,故滿足條件.

故選：A.

」片+己=1

15.過點"（U）作斜率為-5的直線與橢圓C：/+記一（。>6>0）相交于A

、B兩點,若M是線段/8的中點，則橢圓C的離心率等于（）

√2√3??

A.2B.3C.5D.3

【答案】A

【分析】

設(shè)“（X”M）津（Z，%），由點差法運算可得/=5,再由離心率公式即可得解.

【詳解】

k=必一%=1

λb

設(shè)/（x∣,必）,8（X2,%）,則x∣+w=2,必+乃=2,X1-X22,

22

三+21=1(Xl-X2)(再+々)+(弘-%)(%+%)=θ

所以口/，作差得/〃

2(xl-x2)2(yl-y2)_￡」

所以/b2,即4占一￡2,

第18頁共124頁

e，=CZ=IL也

所以該橢圓的離心率aNa22.

故選：A.

C--H7=1（47>∕>>O）Gn?C

16.過橢圓/〃的右焦點尸EV（2,0）的直線與C交于A,B兩點,

uA

若線段X8的中點〃的坐標為（7'7九則C的方程為（）

μ+廣=1^+/=1片+片=1?i+Z=1

A.95B.5-C.62D.?ɑ6

【答案】A

【分析】

設(shè)48以及“8中點M坐標，利用“點差法”得到“如如。之間的關(guān)系，從而

得到/,從之間的關(guān)系，結(jié)合“（2，°）即可求解出橢圓的方程.

【詳解】

設(shè)/（XQJ,8（超,％）,則再WX?

222222

Λx1+αyj=ab

112222

又?bx}+ay}^ab；所以〃卜；-4)=~a(y1-戈)，

即x∣-*2再+々〃，

2×f--λ]

M+%_II)=5

—~~—=G=Ix∣+x22×-'

而XI-X2,7,

?2,55

所以合一9-9,又c=2,

所以99,所以/=9，從=5

橢圓方程為：95.

第19頁共124頁

故選：A.

17.已知斜率為人小產(chǎn)°)的直線/與橢圓“+彳=1交于A,B兩點，線段/8

的中點為C,直線。C(。為坐標原點)的斜率為&,則勺K=()

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【分析】

首先設(shè)/N'),B(B),”的中點C(X。，％),將A,8代入橢圓方程再相

、」外(%-%)CI

2-0

7vfrr?2+-?l?A,=O

減得到2Xn(Xt-X2),從而得到2-,即可得到答案.

【詳解】

設(shè)/(xQι),以々,%),48的中點C(X。，％),

則玉+馬=2/，yl+y2=2yu

22

x2+—=1x2+—=1

因為A,B兩點在橢圓上，所以l'424

^'-^+?(^?2-^2)=0

兩式相減得:

(??+χ2)(χ1-χ2)+^-(y,+%)(必-%)=0

2+

2xo(xl-x2)+-yo(yl-y2)=O2χ0(χl-χ2)~°

即2+”「a=0,解得占.&二-4.

故選：B

18.過點M(LI)作斜率為一5的直線與橢圓C：/+%=M'">")相交于

B,若〃是線段”的中點，則橢圓C的離心率為()

√2√31?

A.2B.TC.?D.?

【答案】A

【分析】

第20頁共124頁

設(shè)/(x∣,必),8(z,%),由條件可得陽+七=2,乂+%=2,X1-X22j由

√+√=1立+迂=1(再+》2乂芭F)I(M+%)(?-%)二O

-T-1—?-=?-?-^ι—Z-=I

/b2,a2b2得到,然后得出a?=2〃

即可.

【詳解】

設(shè)/（再，必），8（》2，%）,由條件可得玉+X2=2,必+%=2,xl-x22

（再+々乂占一工2）I（M+%）（乂一%）=0

所以

-

將再+X2=2,必+必=2,xl-x22代入可得/=2〃,

_c_I.A2_√2

所以=廠4-/-三

故選：A

第H卷（非選擇題）

2.2.填空題

E:——+-?-T-=l（i?>?>O）P（Λβ?

19.已知橢圓a2b2的右焦點為口40）,過點尸的直線交橢

圓E于48兩點，若的中點坐標為MO，-。，則橢圓E的方程為

【分析】

,上

設(shè)/（再,兇）,B（x2,y2）采用“點差法"，得,廠標,再根據(jù)直線過點尸A。）,

和AB的中點坐標（L-1）,得7=3,結(jié)合橢圓中a,b,C的關(guān)系，可求得〃=8,

/=24,即可得E的方程.

【詳解】

第21頁共124頁

jr+2__j

由題意，設(shè)N（XQJ,8（X2,%）,代入橢圓方程/+∑γ=

2

V

-1

-

A2

2

V

2

--

7÷b2

可得U2

XT"FAk--("W

兩式相減可/b2,變形可得再F(必+%)。，又NB的

l2

k-2b_b

中點M為(LF,所以*+Z=2,必+%=-2,代入上式可得，"*=W7=/,又

心a=L∕(4,0)%=:?=∣,3ft2=/

3,所以。3,

乂a2=b1+c2,c2=16,

2,222,∕χ—+—=1

解得"-="+c-C=16,所以橢圓E的方程為248.

χ22

+y-↑

故答案為：248

20.橢圓a?b2I,離心率為3,直線x-2y+6=°與橢圓交于p,

Q兩點，且尸。中點為E,。為原點，則直線OE的斜率是.

_4

【答案/

【分析】

設(shè)PaJJ,°（孫乃），利用點差法即可求出直線0E的斜率；

【詳解】

22

X/ιz,m√3_c_I1?-√3

—rH—7=1（4＞人〉0）—C=_=Jl—T=—

解：因為橢圓片b2'’離心率為3,所以a、3,所

b^__2

以/=§

k,一%一%」JXI+x?%+{]

Q

設(shè)P（N,必），。（丫2，%）,所以1X1-X22,I2'2人因為尸，。在

第22頁共124頁

√

+F=

2

+%N+%=k-必2_￡

官-0=

橢圓上，所以兩式作差得/〃，即X；-XJ?2,

（M-T2）（必+%）=2_2

即α-匕）（為+χ2）5,即""°￡一一§卜=--

所以°E3

_4

故答案為：-3

21.已知48為拋物線X2="的一條長度為8的弦，當(dāng)弦/8的中點離X軸最

近時，直線”的斜率為.

【答案】±1

【分析】

利用拋物線的定義，找到直線/8中點M的縱坐標，以及最短距離時點尸也

在直線/8上，再次利用直線的兩點表示出斜率，即可解出M的坐標，求出/8的

斜率.

【詳解】

由題意得拋物線的準線方程為/:N=T,過A作/4，/于4,過8作,/于

%

設(shè)弦的中點為例，過河作MaJ于M,則21MMl=IMl+1網(wǎng)I,

設(shè)拋物線的焦點為尸，則MH+忸-歸/卻，即|例|+|因I=M尸|+忸目28（當(dāng)且

僅當(dāng)A,B,F三點共線時等號成立），

所以M41+悶卜2∣M%∣≥8,解得阿M∣N4,

即弦”的中點到X軸的最短距離為：47=3,

第23頁共124頁

所以點M的縱坐標為（x”3）,力（XQJ,B（X2J2）,尸（0,1）,彳=4%，1=4%,

/：二切一必.+%Jo=3-1

.?.所以直線/8的斜率一再一七—4^2^xo-Oj

：.xo=±2,此時左=±1,

當(dāng)弦相的中點離X軸最近時，直線”的斜率為±1,

故答案為：±1.

__I_y2=]

22.直線加與橢圓4.一交于6,p2,線段EE的中點為P,設(shè)直線加的

斜率為M%≠°）,直線OP的斜率為心，則3=.

【答案戶

【分析】

設(shè)點，代入橢圓的方程，利用點差法，結(jié)合線段的中點P的坐標，即可

得到答案.

【詳解】

設(shè)6（X”M），E（X2,%），中點PaO,為），

一%-%_%/+%

ΛkI-，兒k，——

X1-X2X0X1+X2

2

_+v=1

把點I（XQ）EH,%）代入橢圓的方程4-

-+y^=1,-+y

整理得4-'4-2

兩式相減得4

療一員=(?-%)3+%)=_1

整理得x'-χ2(XI-X2)a+》2)4

E'.+?-=l(tz>/>>0)_

23.已知橢圓a-b-,過點(4,0)的直線交橢圓E于48兩

點.若/8中點坐標為（2