2023-2024屆一輪復(fù)習(xí)新人教版 第七章第1講　機(jī)械振動(dòng) 學(xué)案

第七章

機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波

細(xì)研考題?明晰考什么提煉規(guī)律?忖測(cè)怎么考

高考考查

命題軌跡

年份點(diǎn)1.命題難度:對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的考查以中等難

波的度為主,對(duì)機(jī)械波的考查綜合性較強(qiáng)、要求

全國(guó)甲卷圖像較高,新高考多以選擇題的形式出現(xiàn)。

T34(l)(5的理2.命題頻率:命題頻率由高到低為振動(dòng)圖

分)解與像和波形圖的分析,機(jī)械波的形成與傳播

應(yīng)用及波速公式的應(yīng)用，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念

波速及規(guī)律,波傳播中的多解問(wèn)題,用單擺測(cè)量

與波重力加速度。

全國(guó)乙卷長(zhǎng)、周3.命題情境:波的圖像、振動(dòng)圖像、彈簧振

2022

T34(l)(5期的子、單擺、繩波、豎直漂浮物體的振動(dòng)等。

分)關(guān)系，4.情境圖示

WCm

波的

√l

j?4ιπ）,一

O1.5?/x/m

由振y/cm

20

7

山東卷動(dòng)圖

O.5ξTli=S

T9（4分）像判-20

斷波

的圖

像，

波的

多解

性

以抖

動(dòng)軟

繩激

發(fā)的

簡(jiǎn)諧

波為

情境,

廣東卷考查

T16(l)(6機(jī)械

分)振動(dòng)

中質(zhì)

點(diǎn)的

運(yùn)動(dòng)

特點(diǎn)

以及

機(jī)械

波波

速的

決定

因素

以豎

直浮

在河

面的

木棒，

在豎

直方

向

湖南卷做簡(jiǎn)

T16(l)(5諧運(yùn)

分)動(dòng)，同

時(shí)在

水平

方向

上隨

河

水做

勻速

直線

運(yùn)動(dòng)

為情

境,考

查

浮力、

機(jī)械

振動(dòng)、

機(jī)械

波等

問(wèn)題

波速

與波

長(zhǎng)、周

河北卷期的

T16(l)(4關(guān)系，

分)對(duì)振

動(dòng)圖

像的

理解

全國(guó)甲卷機(jī)械

2021T34(2)(10波傳

分)播過(guò)

程某

質(zhì)點(diǎn)

振動(dòng)

的

相關(guān)

物理

量分

析

機(jī)械

波的

圖像

全國(guó)乙卷

分析

T34（l）（5

及波

分）

速公

式的

應(yīng)用

由波

的圖

山東卷像判

T10（4分）斷振

動(dòng)圖

像，

波的

多解

性

豎直

方向

彈簧

廣東卷

振子

T16(l)(6

的簡(jiǎn)

分)

諧運(yùn)

動(dòng)問(wèn)

題

對(duì)聲

波的

理解,

福建卷波的

T5（6分）傳播

條件

及特

點(diǎn)

湖南卷波的

T16（l）（5傳播

分）與振

動(dòng)圖

像的

綜合

問(wèn)題

水平

方向

彈簧

河北卷

振子

T16(l)(4

的運(yùn)

分)

動(dòng)過(guò)

程分

析

第1講機(jī)械振動(dòng)

梳理必備知識(shí)回歸教材

［填一填］回顧基礎(chǔ)

一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

1.定義

(1)運(yùn)動(dòng)學(xué)角度:如果物體的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律,

即它的振動(dòng)圖像(X」圖像)是一條正弦曲線,這樣的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

(2)力學(xué)角度:如果物體在運(yùn)動(dòng)方向上所受的力與它偏離平衡位置位

移的大小成正比,并且總是指回平衡位置,物體的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

2.平衡位置

物體在振動(dòng)過(guò)程中回復(fù)力為零的位置。

3.回復(fù)力

(1)定義:使物體返回到平衡位置的力。

(2)方向：時(shí)刻指向平衡位置。

(3)公式:F=-kx°

(4)來(lái)源:屬于效果力,可以是某一個(gè)力，也可以是幾個(gè)力的合力或某

個(gè)力的分力。

4.兩種模型

(1)彈簧振子。

①水平方向：如圖甲所示，回復(fù)力由彈簧的彈力提供。

②豎直方向：如圖乙所示，回復(fù)力由重力和彈簧彈力的合力提供。

一

√

≡

≡

Λ

甲乙

(2)單擺:如圖所示,在細(xì)線的一端拴一個(gè)小球,另一端固定在懸點(diǎn)上,

如果細(xì)線的長(zhǎng)度不可改變,細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略,球的直

徑與線的長(zhǎng)度相比也可以忽略,這樣的裝置叫作單擺。

5.物理量

⑴振幅:振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離,是表示振動(dòng)幅度大小的

物理量。

⑵周期:振動(dòng)物體完成一次全振動(dòng)所需要的時(shí)間。

(3)頻率:振動(dòng)物體完成全振動(dòng)的次數(shù)與所用時(shí)間之比。

(4)周期和頻率都是表示物體振動(dòng)快慢的物理量,周期越小,頻率越大,

表示振動(dòng)越快。它們之間的定量關(guān)系是f="。

(5)相位:物理學(xué)中把(at+.)叫作相位,它代表了做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體

此時(shí)正處于一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中的哪個(gè)狀態(tài)。

二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的公式和圖像

1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式

⑴動(dòng)力學(xué)表達(dá)式:F=B或,其中“-”表示F與X反向。

(2)運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式:X=ASin(ωt+。),其中A代表振幅；3=2五f,叫作簡(jiǎn)

諧運(yùn)動(dòng)的“圓頻率”,表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的快慢,(ωt+°)代表簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的

相位，相U作初相位。

2.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像

(1)從平衡位置開始計(jì)時(shí),函數(shù)表達(dá)式為X=ASinωt,圖像如圖甲所示。

(2)從最大位移處開始計(jì)時(shí),函數(shù)表達(dá)式為X=ACoSωt,圖像如圖乙所

∕J?。

三、單擺

1.單擺模型

(1)回復(fù)力來(lái)源:重力沿圓弧切線方向的分力。

(2)運(yùn)動(dòng)規(guī)律:擺角很小時(shí)，單擺的振動(dòng)可近似視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

2.單擺的周期公式:T=22L

四、受迫振動(dòng)和共振

1.受迫振動(dòng)

受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率,與系統(tǒng)的固有頻率無(wú)關(guān)。

2.共振

(1)條件:驅(qū)動(dòng)力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率。

⑵特征:振幅最大。

［做一做］情境自測(cè)

［教材情境］(人教版選擇性必修第一冊(cè)第37頁(yè)“做一做”)如圖,彈

簧上端固定,下端懸掛鋼球。把鋼球從平衡位置向下拉一段距離A,放

手讓其運(yùn)動(dòng)。

4β

-≡Lf≡≡?

二

二

二

?

.

」.

?-

二

二

一

二

三

二

?

rL?-

KS1.

°Oy

A

7

X

1.正誤辨析

(1)鋼球在0點(diǎn)時(shí)受到彈簧彈力和重力作用，二者平衡,故0點(diǎn)是鋼球

的平衡位置。(√)

(2)鋼球做的是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，自釋放點(diǎn)開始計(jì)時(shí),其x-t圖像大致是

×)

⑶鋼球振動(dòng)的振幅是A,其運(yùn)動(dòng)范圍是2A。(√)

(4)鋼球在任意半個(gè)周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為2A,任意四分之一周期內(nèi)運(yùn)

動(dòng)的路程為A。(X)

(5)自釋放點(diǎn)開始計(jì)時(shí),鋼球在t時(shí)刻的位移是X=ASin年t+學(xué)。

(√)

(6)鋼球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是彈簧彈力,它是一個(gè)變力。(X)

(7)鋼球先后通過(guò)同一點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力、速度、加速度、位移、動(dòng)能都是

相同的。(X)

(8)鋼球速度增大時(shí),其加速度一定減小。(√)

(9)若將此鋼球與細(xì)線組成單擺讓其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),則鋼球在最低點(diǎn)時(shí)

回復(fù)力為零,合力也為零。(X)

(IO)鋼球振動(dòng)的振幅越大,其固有頻率越大。(×)

(11)若該系統(tǒng)在周期性驅(qū)動(dòng)力的作用下振動(dòng),一定發(fā)生共振現(xiàn)象。

(×)

2.若鋼球下端裝有一記錄筆,在豎直面內(nèi)放置有一記錄紙，當(dāng)鋼球上

下振動(dòng)時(shí)，以速率V水平向左勻速拉動(dòng)記錄紙,記錄筆在紙上留下如

圖所示的圖像。記錄筆與記錄紙之間的摩擦和空氣阻力都可忽略不計(jì)。

y1sy2>Xo>2xo為紙上印跡的已知位置坐標(biāo),則(C)

B.該彈簧振子的振動(dòng)周期為出

V

C.鋼球在坐標(biāo)（x。,y2）位置時(shí)加速度最大

D.若勻速拉動(dòng)記錄紙的速率增大為原來(lái)的2倍,則振子振動(dòng)的周期變

為原來(lái)的1

解析:根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知,平衡位置縱坐標(biāo)為y=卓,故A錯(cuò)

誤；由圖像可知,振子在一個(gè)周期內(nèi)沿X方向的位移為2x。,水平速度為

V,則振子的周期丁外,故B錯(cuò)誤；由圖可知,振子在坐標(biāo)（x。,yj位置時(shí)

V

處于最大位移處,則回復(fù)力最大，由牛頓第二定律知加速度最大,故C

正確;彈簧振子的周期只與彈簧振子本身有關(guān)系，改變拉動(dòng)記錄紙的

速率,彈簧振子的周期不變,故D錯(cuò)誤。

3.由兩個(gè)鋼球和細(xì)線組成的甲、乙兩單擺的振動(dòng)圖像如圖所示,從t=0

時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，甲單擺第一次到達(dá)負(fù)的最大位移時(shí)，乙單擺的位移大

小是多少？甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比是多少？

解析：甲單擺第一次到達(dá)負(fù)的最大位移時(shí)的時(shí)刻為t=3s,此時(shí)乙單擺

的位移為

X二AA乙Sln—3πm=—√2m;

42

甲、乙兩單擺的周期之比為T甲：T乙=1：2,

根據(jù)T=2πE

可得擺長(zhǎng)之比1甲：1乙二1：4。

答案:產(chǎn)m1：4

提升關(guān)鍵能力突破考點(diǎn)

考點(diǎn)一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

［想一想］提煉核心

1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的五個(gè)特征

受

力

回復(fù)力F=-kx,F（或a）的大小與X的大小成正比,方向相反

特

征

運(yùn)

動(dòng)靠近平衡位置時(shí),a、F、X都減小,V增大;遠(yuǎn)離平衡位置時(shí),a、F、

特X都增大,V減小

征

能

量振幅越大,能量越大。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)

特化,機(jī)械能守恒

征

周

期質(zhì)點(diǎn)的位移、回復(fù)力、加速度和速度隨時(shí)間做周期性變化,變化

性周期就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T；動(dòng)能和勢(shì)能也隨時(shí)間做周期性變

特化,其變化周期為T

征

(1)如圖所示,做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過(guò)關(guān)于平衡位置O對(duì)稱的兩

點(diǎn)P、P，(OP=OP')時(shí),速度的大小、動(dòng)能、勢(shì)能相等,相對(duì)于平

衡位置的位移大小相等。

-piOp-

⑵物體由P到0所用的時(shí)間等于由0到Pz所用的時(shí)間，即

tPO=top，o

對(duì)

稱⑶物體往復(fù)過(guò)程中通過(guò)同一段路程(如OP段)所用時(shí)間相等,即

tɑp?tpɑo

性

相隔)的兩個(gè)時(shí)刻,彈簧振子在同一位

特(4)?t=nT(n=l,2,3,…

置,位移和速度都相同。(如圖)

征

(5)相隔△t=(n+9)T(n=0,1,2,…)的兩個(gè)時(shí)亥∣J,彈簧振子的位置

關(guān)于平衡位置對(duì)稱,位移等大反向(或都為零)，速度也等大反向

(或都為零)。(如圖)

2.彈簧振子的周期公式為T=2π器,其中m為振子質(zhì)量,k為彈簧勁度

系數(shù)。

［議一議］深化思維

⑴做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在四分之一周期內(nèi)通過(guò)的路程S與振幅A有什

么關(guān)系？

(2)如圖所示,在水平面上有一小物塊與左端固定的輕質(zhì)彈簧相連,彈

簧處于原長(zhǎng)時(shí)小物塊位于O點(diǎn)?，F(xiàn)將小物塊拉至N點(diǎn),釋放后小物塊

向左運(yùn)動(dòng)。小物塊和水平面間各處的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，則小物塊向左

的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？

d

ON

(3)如圖所示,一根固定在墻上的水平光滑桿,兩端分別固定著相同的

輕彈簧,兩彈簧自由端相距X。套在桿上的小球從中點(diǎn)以初速度V向

右運(yùn)動(dòng),小球?qū)⒆鲋芷跒門的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。小球的運(yùn)動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?

小球動(dòng)能變化的周期是多少？

IXI

仙m區(qū)/.T∣TJ,T,T,MΛTΛW

提示：(1)計(jì)時(shí)起點(diǎn)在三個(gè)特殊位置(兩個(gè)最大位移處和一個(gè)平衡位置)

時(shí)，s=A;計(jì)時(shí)起點(diǎn)在最大位移處和平衡位置之間且向平衡位置運(yùn)動(dòng)

時(shí)，s>A;計(jì)時(shí)起點(diǎn)在最大位移處和平衡位置之間且向最大位移處運(yùn)

動(dòng)時(shí)，s<Ao

(2)小物塊在彈簧彈力和恒定的滑動(dòng)摩擦力作用下向左運(yùn)動(dòng),是簡(jiǎn)諧

運(yùn)動(dòng)。

⑶小球在桿中點(diǎn)到接觸彈簧過(guò)程,所受合力為零,此過(guò)程做勻速直線

運(yùn)動(dòng)，故小球不是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);根據(jù)對(duì)稱性可知小球動(dòng)能的變化周期

為三。

［悟一悟］典題例練

［例1］［簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)基本物理量的分析］（2021?廣東卷，16）如圖所示，

一個(gè)輕質(zhì)彈簧下端掛一小球,小球靜止?，F(xiàn)將小球向下拉動(dòng)距離A后

由靜止釋放,并開始計(jì)時(shí),小球在豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),周期為T0經(jīng)5

時(shí)間，小球從最低點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)的距離（選填“大于”“小于”

或“等于”冷在力寸刻,小球的動(dòng)能（選填“最大”或“最

24

小”）。

解析：由于從最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí),則經(jīng)營(yíng)時(shí)間，小球從最低點(diǎn)向平衡位置

O

運(yùn)動(dòng),則小球的速度逐漸增大,故0~5時(shí)間內(nèi)小球的平均速度小于

O

時(shí)間內(nèi)的平均速度，因此經(jīng)!時(shí)間，小球從最低點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)的距

848

離小于之在?時(shí)刻，小球位于平衡位置，動(dòng)能最大。

24

答案:小于最大

［例2］［簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用］（2022?湖北卷,5）如圖所示,質(zhì)量分別

為m和2m的小物塊P和Q,用輕質(zhì)彈簧連接后放在水平地面上,P通過(guò)

一根水平輕繩連接到墻上。P的下表面光滑,Q與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)

為P,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。用水平拉力將Q向右緩慢拉開

一段距離,撤去拉力后,Q恰好能保持靜止。彈簧形變始終在彈性限度

內(nèi)，彈簧的勁度系數(shù)為k,重力加速度大小為go若剪斷輕繩,P在隨后

的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)于其初始位置的最大位移大小為（C）

g——Q

勿〃〃〃“∣〃T"〃〃∣^〃〃4）〃,力^〃,

AIImgB2〃徵。

kk

C41ImgD6μmg

,k*k

解析:Q恰好能保持靜止時(shí)，設(shè)彈簧的伸長(zhǎng)量為X,由平衡條件知kx=2

umg;剪斷輕繩后,Q始終保持靜止,物塊P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),可知P相對(duì)于

其初始位置的最大位移大小為s=2x=華。

［例3］［簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性與對(duì)稱性］（多選）彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),若

從平衡位置0開始計(jì)時(shí),經(jīng)過(guò)0?5s時(shí),振子第一次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，又經(jīng)過(guò)

了0?2s,振子第二次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)。則再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間該振子第三次經(jīng)過(guò)P

點(diǎn)（AD）

A.0.6sB.2.4sC.0.8sD.2.2s

解析:若振子從0點(diǎn)開始向右振動(dòng),作出示意圖如圖甲所示,則振子的

振動(dòng)周期為TL（O?5+0.1）X4s=2.4s,則該質(zhì)點(diǎn)再經(jīng)過(guò)時(shí)間△

t=T,-0.2s=2.2s,第三次經(jīng)過(guò)P點(diǎn);若振子從0點(diǎn)開始向左振動(dòng),作

出示意圖如圖乙所示，

乙

則有O.5s+O.1s=：T2,振子的振動(dòng)周期為T2=O?8s,則該振子再經(jīng)過(guò)

時(shí)間At'=T2-O.2s=0.6s,第三次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)。

考點(diǎn)二對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像的理解與應(yīng)用

［想一想］提煉核心

1.對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)

⑴簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像是一條正弦或余弦曲線,如圖所示。

⑵圖像反映的是位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，隨時(shí)間的增加而延伸，圖像

不代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。

2.由圖像可獲取的五個(gè)信息

⑴判定振動(dòng)的振幅A和周期T。(如圖所示)

⑵判定振動(dòng)物體在某一時(shí)刻的位移。

(3)判定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向。

①下一時(shí)刻位移若增加,質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向是遠(yuǎn)離平衡位置。

②下一時(shí)刻位移若減小,質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向是指向平衡位置。

(4)判定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度(回復(fù)力)的大小和方向。

⑸比較不同時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能和動(dòng)能的大小。質(zhì)點(diǎn)的位移越大,它所具

有的勢(shì)能越大,動(dòng)能則越小。

［議一議］深化思維

請(qǐng)根據(jù)如圖所示的圖像寫出這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的關(guān)

系式。

y/cm

,

ɑΓ5t∕8

提示:振幅為2cm,周期為4s,3=—=空rad∕rad∕s,t=0時(shí)，x=√∑

T42

cm,則Wh,故簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為X=ASin（ωt+°）=2Sinqt+4）cmo

［悟一悟］典題例練

［例4］［對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像的理解］（2022?天津一模）（多選）如圖所示，

為一個(gè)水平彈簧振子的振動(dòng)圖像。下列說(shuō)法正確的是（BCD）

A.t=ls到t=2S內(nèi)，彈簧振子的動(dòng)能不斷減小

B.該彈簧振子的振動(dòng)方程為X=-IOsinCm

C?t=3S時(shí),彈簧振子的加速度沿X軸負(fù)方向

D.t=0至IJt=IOs彈簧振子的路程為100cm

解析:t=ls到t=2S內(nèi)，彈簧振子從位移最大位置向平衡位置運(yùn)動(dòng)，

則振子的動(dòng)能不斷增加,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由圖像知T=4s,則ω=午音

rad∕s,該彈簧振子的振動(dòng)方程為X=ToSinCnI,選項(xiàng)B正確；t=3s

時(shí),彈簧振子的位移正向最大,則加速度沿X軸負(fù)方向，選項(xiàng)C正確；10

s=2.5T,則t=0到t=10s彈簧振子的路程為IOA=IOOcm,選項(xiàng)D正確。

［例5］［兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像的對(duì)比］（多選）甲、乙兩彈簧振子的振動(dòng)

圖像如圖所示,則可知（CD）

A.兩彈簧振子完全相同

B.兩彈簧振子所受回復(fù)力最大值之比F甲：F乙=1：2

C.振子甲速度為零時(shí),振子乙速度最大

D.振子乙速度最大時(shí),振子甲速度不一定為零

解析:彈簧振子的周期與振子質(zhì)量、彈簧勁度系數(shù)k有關(guān),二者周期顯

然不同，說(shuō)明兩彈簧振子不同,A錯(cuò)誤。由于彈簧的勁度系數(shù)k不一定

相同,所以兩振子所受回復(fù)力（F=-kx）的最大值之比不一定為1：2,B

錯(cuò)誤。由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知,在振子到達(dá)平衡位置時(shí)位移為零,速度

最大,在振子到達(dá)最大位移處時(shí),速度為零,從圖像中可以看此在振

子甲到達(dá)最大位移處時(shí),振子乙恰好到達(dá)平衡位置；當(dāng)振子乙到達(dá)平

衡位置時(shí),振子甲在最大位移處或平衡位置,C、D正確。

考點(diǎn)三單擺及其周期公式

［想一想］提煉核心

1.單擺的基本規(guī)律

不意圖

簡(jiǎn)諧運(yùn)①擺線為不可伸縮的輕細(xì)線。

動(dòng)②無(wú)空氣阻力等阻力。

條件③最大擺角小于或等于5°

平衡位在最低點(diǎn)，回復(fù)力為零,但擺球在該處所受合力不為零（合力

置提供向心力）

續(xù)表

T=2πRl為等效擺長(zhǎng),表示從懸點(diǎn)到擺球重心的距離,g為

周期

當(dāng)?shù)刂亓铀俣?周期大小與振幅和擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)

能量

重力勢(shì)能與動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)化,機(jī)械能守恒

轉(zhuǎn)化

2.單擺的受力特征

⑴回復(fù)力:擺球重力沿與擺線垂直方向的分力,F回=IngSinθ

=-?=-kx,負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F回與位移X的方向相反,故單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)

動(dòng)。

⑵向心力:擺球的拉力和擺球重力沿?cái)[線方向分力的合力充當(dāng)向心

力,Fτ-mgcosθ=mγo

①當(dāng)擺球在最高點(diǎn)時(shí)，v=0,Fτ=mgcosθo

②當(dāng)擺球在最低點(diǎn)時(shí),FT最大,Fτ=mg+m^o

⑶單擺處于月球上時(shí),重力加速度為g月;單擺在電梯中處于超重、失

重狀態(tài)時(shí),重力加速度為等效重力加速度。

［悟一悟］典題例練

［例6］［對(duì)單擺周期公式的理解及應(yīng)用］（2023?上海模擬）如圖所示,

兩單擺的擺長(zhǎng)相同,平衡時(shí)兩擺球剛好接觸?，F(xiàn)將擺球A在兩擺線所

在的平面內(nèi)向左拉開一小角度后釋放,碰撞后兩擺球分開各自做簡(jiǎn)諧

運(yùn)動(dòng)。以氏、∏h分別表示擺球的質(zhì)量,則（D）

AOOB

A.當(dāng)mA>πiB時(shí)，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置右側(cè)

B.當(dāng)m<∏?時(shí)，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置左側(cè)

C.只有當(dāng)mki∏B時(shí)，下一次碰撞才發(fā)生在平衡位置

D.無(wú)論兩球的質(zhì)量關(guān)系如何,下一次碰撞一定還發(fā)生在平衡位置

解析:根據(jù)單擺的周期公式T=2π可知兩單擺的周期相同，所以相

撞后兩球分別經(jīng)過(guò)］后回到各自的平衡位置,下一次碰撞一定還發(fā)生

在平衡位置,D正確。

［例7］［單擺的圖像問(wèn)題］（2019?全國(guó)II卷,34）如圖,長(zhǎng)為1的細(xì)繩

下方懸掛一小球ao繩的另一端固定在天花板上0點(diǎn)處,在0點(diǎn)正下

方的0'處有一固定細(xì)鐵釘。將小球向右拉開,使細(xì)繩與豎直方向

成一小角度（約為2。）后由靜止釋放,并從釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)。當(dāng)小球a

擺至最低位置時(shí),細(xì)繩會(huì)受到鐵釘?shù)淖钃酢ＴO(shè)小球相對(duì)于其平衡位置

的水平位移為X,向右為正。下列圖像中，能描述小球在開始一個(gè)周期

內(nèi)的x-t關(guān)系的是（A）

解析：由T=2π1得擺長(zhǎng)為1的單擺周期為T1=2π擺長(zhǎng)為:1的單

WW4

擺周期為T2=2nJ∣=πJl=/,故B、D錯(cuò)誤;擺長(zhǎng)為1時(shí),擺球離開平

衡位置的最大位移為A,=21-sin學(xué),擺長(zhǎng)為幺時(shí),擺球離開平衡位置

24

的最大位移為A2=2U?sin>2???sin?=∣-sin?,由能量守恒

24222

知,小球先后擺起的最大高度相同,有AisinY=A2Siny,解得sin

?=2sin?,>2,故A正確,C錯(cuò)誤。

Γ舉一反三

⑴在［例7］中，細(xì)繩碰釘子瞬間,小球的瞬時(shí)速度、角速度、加速

度、所受的向心力、懸線所受的拉力將如何變化？

⑵小球擺動(dòng)的周期等于多少？（用1和g表示）

提示：（1）小球的瞬時(shí)速度不變,角速度增大,加速度增大,所受的向心

力變大,懸線所受的拉力變大。

⑵小球擺動(dòng)周期T=^+?l,即T=空口。

2242√g

考點(diǎn)四受迫振動(dòng)和共振

［想一想］提煉核心

1.三種振動(dòng)的比較

振動(dòng)

自由振動(dòng)受迫振動(dòng)共振

類型

受力受驅(qū)動(dòng)

受回復(fù)力受驅(qū)動(dòng)力

情況力

振動(dòng)

由驅(qū)動(dòng)力的周期或T驅(qū)=TO

周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定,即固有

頻率決定，即或

或頻周期T。或固有頻率fo

T=T驅(qū)或f=f?f驅(qū)=fo

率

振動(dòng)物

體

振動(dòng)由產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)力的物

振動(dòng)物體的機(jī)械能不變獲得的

能量體提供

能

量最大

共振

常見彈簧振子或機(jī)械工作時(shí)底座發(fā)篩、

例子單擺（OW5。）生的振動(dòng)聲音的

共鳴等

2.對(duì)共振的理解

⑴

A

共振曲線。

如圖所示,橫坐標(biāo)為驅(qū)動(dòng)力的頻率f,縱坐標(biāo)為振幅Ao它直觀地反映

了驅(qū)動(dòng)力的頻率對(duì)某固有頻率為fo的振動(dòng)系統(tǒng)做受迫振動(dòng)時(shí)振幅的

影響，由圖可知,f與f。越接近,振幅A越大；當(dāng)f=f。時(shí),振幅A最大。

(2)受迫振動(dòng)中系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化。

做受迫振動(dòng)的系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒,系統(tǒng)與外界時(shí)刻進(jìn)行能量交換。

［悟一悟］典題例練

［例8］［對(duì)受迫振動(dòng)的理解］(2021?浙江1月選考,15)(多選)為了提

高松樹上松果的采摘率和工作效率,工程技術(shù)人員利用松果的慣性發(fā)

明了用打擊桿、振動(dòng)器使松果落下的兩種裝置,如圖甲、乙所示。則

(AD)

甲乙

A.針對(duì)不同樹木,落果效果最好的振動(dòng)頻率可能不同

B.隨著振動(dòng)器頻率的增加,樹干振動(dòng)的幅度一定增大

C.打擊桿對(duì)不同粗細(xì)樹干打擊結(jié)束后,樹干的振動(dòng)頻率相同

D.穩(wěn)定后,不同粗細(xì)樹干的振動(dòng)頻率始終與振動(dòng)器的振動(dòng)頻率相同

解析:不同樹木的固有頻率不同，因此針對(duì)不同樹木,要使之發(fā)生共振

需要的振動(dòng)頻率不同,選項(xiàng)A正確;根據(jù)共振曲線,小于固有頻率時(shí)，

逐漸增加驅(qū)動(dòng)力頻率,振幅會(huì)增大,而在大于固有頻率時(shí)增加頻率,振

動(dòng)幅度會(huì)減小,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;穩(wěn)定后,不同粗細(xì)的樹干的振動(dòng)為受迫振

動(dòng)，因此與振動(dòng)器的振動(dòng)頻率相同,選項(xiàng)D正確;打擊桿打擊樹干后，

樹干做阻尼振動(dòng)，阻尼振動(dòng)頻率取決于固有頻率,粗細(xì)不同的樹干固

有振動(dòng)頻率不同,選項(xiàng)C錯(cuò)誤。

［例9］［對(duì)共振曲線的理解］(2022?北京模擬)一個(gè)單擺在地面上做

受迫振動(dòng),其共振曲線(振幅A與驅(qū)動(dòng)力頻率f的關(guān)系)如圖所示,則

(B)

A.此單擺的固有周期約為0?5s

B.此單擺的擺長(zhǎng)約為1m

C.若擺長(zhǎng)增大,單擺的固有頻率增大

D.若擺長(zhǎng)增大,共振曲線的峰將向右移動(dòng)

解析：由共振曲線可知,此單擺的固有頻率約為f=0.5Hz,所以固有周

期約為T=^=2s,故A錯(cuò)誤;根據(jù)單擺周期公式T=2弘E得

1?9'8~2Jm,故B正確;若擺長(zhǎng)增大,則單擺的固有周期增

4π24x(3.14)

大,所以固有頻率減小,共振曲線的峰將向左移動(dòng),故C、D錯(cuò)誤。

訓(xùn)練學(xué)科素養(yǎng)限時(shí)鞏固

基礎(chǔ)題組夯基

1.下列振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的是（D）

A.手拍乒乓球的運(yùn)動(dòng)

B.風(fēng)中搖擺的樹枝

C.單擺的擺球在懸點(diǎn)下方往復(fù)擺動(dòng)

D.輕質(zhì)彈簧的下端懸掛一個(gè)鋼球,上端固定組成的振動(dòng)系統(tǒng)

解析:在空中，乒乓球在重力和阻力的作用下運(yùn)動(dòng),不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故A

錯(cuò)誤;搖擺的樹枝受到風(fēng)力作用，不滿足F=-kx,不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故B錯(cuò)

誤;單擺的擺球必須是小角度擺動(dòng)才是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤;輕質(zhì)彈簧

的下端懸掛一個(gè)鋼球,上端固定組成的振動(dòng)系統(tǒng),鋼球以受力平衡處

為平衡位置上下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故D正確。

2.（2022?浙江1月選考,6）圖甲中的裝置水平放置,將小球從平衡位

置0拉到A后釋放,小球在0點(diǎn)附近來(lái)回振動(dòng)；圖乙中被細(xì)繩拴著的小

球由靜止釋放后可繞固定點(diǎn)來(lái)回?cái)[動(dòng)。若將上述裝置安裝在太空中的

我國(guó)空間站內(nèi)進(jìn)行同樣操作，下列說(shuō)法正確的是（B）

甲乙

A.甲圖中的小球?qū)⒈３朱o止

B.甲圖中的小球仍將來(lái)回振動(dòng)

C.乙圖中的小球仍將來(lái)回?cái)[動(dòng)

D.乙圖中的小球?qū)⒆鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)

解析:空間站中的物體處于完全失重的狀態(tài),等效于重力為零，甲圖中

小球僅受彈簧的彈力，仍做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),選項(xiàng)A錯(cuò)誤,B正確；乙圖中被細(xì)

繩拴著的小球由靜止釋放后，因?yàn)榭臻g站無(wú)重力，小球會(huì)靜止,選項(xiàng)C、

D錯(cuò)誤。

3.（2022?海南?？谝荒＃ǘ噙x）一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像如圖所示,

A.在t=0.1s時(shí),該質(zhì)點(diǎn)的速度最大

B.在t=0.1s時(shí),該質(zhì)點(diǎn)具有X軸負(fù)向最大加速度

C.在0.1~0.2s內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)沿X軸負(fù)方向做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)

D,在0~0.6s時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為100cm

解析:在t=0?1S時(shí),該質(zhì)點(diǎn)處于正方向最大位移處,速度為零,具有X

軸負(fù)向最大加速度,A錯(cuò)誤,B正確;在0.l~0.2s內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)從正方向最

大位移處運(yùn)動(dòng)至平衡位置,即沿X軸負(fù)方向做加速度減小的加速運(yùn)

動(dòng),C正確;在0~0?6S時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了1.5個(gè)周期,路程為6A,

即120cm,D錯(cuò)誤。

4.如圖所示,在一條張緊的繩子上掛幾個(gè)擺,其中a、b的擺長(zhǎng)相等。

當(dāng)a擺振動(dòng)的時(shí)候,通過(guò)張緊的繩子給b、c、d擺施加驅(qū)動(dòng)力,使其余

各擺做受迫振動(dòng)。觀察b、c、d擺的振動(dòng)發(fā)現(xiàn)（C）

A.c擺的頻率最小

B.d擺的周期最大

C.b擺的振幅最大

D.b、c、d的振幅相同

解析:a擺擺動(dòng)帶動(dòng)其他3個(gè)單擺做受迫振動(dòng)，受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)

動(dòng)力的頻率,故其他各擺振動(dòng)周期跟a擺相同,頻率也相等,故選項(xiàng)A、

B錯(cuò)誤;受迫振動(dòng)中，當(dāng)固有頻率等于驅(qū)動(dòng)力頻率時(shí)，出現(xiàn)共振現(xiàn)象,振

幅達(dá)到最大，由于b擺的固有頻率與a擺的頻率相同，故b擺發(fā)生共振,

振幅最大,故選項(xiàng)C正確,D錯(cuò)誤。

5.（多選）如圖所示為同一地點(diǎn)的兩單擺甲、乙的振動(dòng)圖像,則下列說(shuō)

法中正確的是（ABD）

A.甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)相等

B.甲擺的振幅比乙擺大

C.甲擺的機(jī)械能比乙擺大

D.在t=0.5S時(shí)有正向最大加速度的是乙擺

解析：由題圖知,A甲=10cm,A乙=7cm,T,=2.0s,T乙=2.0s,根據(jù)單擺

周期公式T=2五Jl可得，甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)相等,故A、B正確;兩單

擺擺球的質(zhì)量未知,所以兩單擺的機(jī)械能無(wú)法比較,故C錯(cuò)誤;在

t=0.5s時(shí)，乙擺在負(fù)向最大位移處，即有正向最大加速度,而甲擺的

位移為零,加速度為零,故D正確。

6.如圖所示,木塊在水中沿豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，相對(duì)平

衡位置的位移X、運(yùn)動(dòng)的速度V隨時(shí)間t變化的關(guān)系和木塊受到的合

力F和動(dòng)能Ek隨相對(duì)平衡位置的位移X變化的關(guān)系圖像可能正確的是

(B)

解析：因?yàn)槟緣K在水中沿豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),故運(yùn)動(dòng)的速度V和相

對(duì)平衡位置的位移X隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖像都應(yīng)該是正弦函數(shù)的波

形,A錯(cuò)誤,B正確;木塊受到的合力提供回復(fù)力，由F=-kx知F與X的

圖線應(yīng)該過(guò)二、四象限,C錯(cuò)誤;ELX圖線的斜率為合外力F,F隨X變

化,則Ek-x圖線不是直線,D錯(cuò)誤。

7.(2022?廣東廣州二模)火車在鐵軌上運(yùn)行時(shí),車輪每接觸到兩根鋼

軌的接頭處就受到一次撞擊,而使車廂在彈簧上上下振動(dòng)。若鐵軌上

每根鋼軌的長(zhǎng)為12.6m,車廂與彈簧組成的系統(tǒng)的固有周期為0.63s,

則當(dāng)車輪與鐵軌撞擊的周期（選填“大于”“小于”或“等

于”）0.63s時(shí),車廂的振動(dòng)最強(qiáng)烈,此時(shí)火車速度為

km/ho

解析:火車勻速行駛時(shí),每當(dāng)通過(guò)鋼軌的接頭處就受到一次撞擊,這是

一種周期性的撞擊,在周期性撞擊作用下火車做受迫振動(dòng)，當(dāng)這種撞

擊的周期T和彈簧與車廂這一系統(tǒng)的固有周期相等時(shí),發(fā)生共振現(xiàn)象,

車廂的振動(dòng)最強(qiáng)烈，即有T=T固=0.63S又T=-,解得m∕s=72

0VT0.63

km/ho

答案:等于72

8.（2021?河北卷，16）

BOA

如圖,一彈簧振子沿X軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),振子零時(shí)刻向右經(jīng)過(guò)A點(diǎn),2S

時(shí)第一次到達(dá)B點(diǎn)，已知振子經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)時(shí)的速度大小相等,2s

內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為5.6m,則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為s,振幅為_

mo

解析:振子零時(shí)刻向右經(jīng)過(guò)A點(diǎn),2s時(shí)振子第一次到達(dá)B點(diǎn),且經(jīng)過(guò)A、

B兩點(diǎn)的速度大小相等,則振子從A到B的時(shí)間為半個(gè)周期，即會(huì)2s,

解得周期T=4s,振幅A=3=2.8mo

答案：42.8

.創(chuàng)新題組提能

9.(2021?江蘇卷,4)如圖所示,半徑為R的圓盤邊緣有一釘子B,在水

平光線下，圓盤的轉(zhuǎn)軸A和釘子B在右側(cè)墻壁上形成影子。和P,以0

為原點(diǎn)在豎直方向上建立X坐標(biāo)系。t=0時(shí)從圖示位置沿逆時(shí)針?lè)较?/p>

勻速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤,角速度為％則P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為(B)

A.x=Rsin(ωt^-)

B.x=Rsin(ωt+?^)

C.x=2Rsin(ωt-?)

D.x=2Rsin(ωt+?^)

解析:影子P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為R,以向上為正方向，設(shè)P的振動(dòng)方

程為x=Rsin(at+0),當(dāng)t=0時(shí),P的位移為R,解得pg,則P做簡(jiǎn)諧運(yùn)

動(dòng)的表達(dá)式為X=RSin(at+1)。

10.(2023?廣東汕頭階段練習(xí))如圖所示,