第一章高等數(shù)學(xué)（二十四）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)第四節(jié)線性方程組1．線性方程組的概念（1)含有個(gè)未知數(shù)的個(gè)一次方程的方程組（16-1）稱為個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的線性方程組，簡(jiǎn)稱線性方程組.倘若不全為零，則為非齊次線性方程組；倘若，即（16-2）則稱為齊次線性方程組。（2)矩陣形式:記，，則方程組（16-1）和（16-2）可分離表示為和，并稱為方程組的系數(shù)矩陣，為方程組的增廣矩陣。2．線性方程組有解判定條件（1）齊次線性方程組有非零解（這時(shí)必有無(wú)窮多解）的充要條件是其系數(shù)矩陣的秩。當(dāng)為方陣時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是。【例題10-15】設(shè)是3階非零矩陣，已知的每一列都是方程組的解，則等于：(A)(B)(C)(D)解：由是非零矩陣，知所給齊次方程組有非零解，故其系數(shù)行列式應(yīng)等于零，即，計(jì)算行列式并求解得，故選(D)。（2）非齊次線性方程組有解的充要條件是；當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多解，當(dāng)時(shí)，有唯一解。當(dāng)為方陣時(shí)，即有惟一解的充足須要條件為（即可逆），這時(shí)解為。3．線性方程組解的性質(zhì)（1）若均為齊次線性方程組的解（向量），則依然是的解。（2)若均為非齊次線性方程組的解（向量），則為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解。（3)若為非齊次線性方程組的一個(gè)解,為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解,則是非齊次線性方程組的解。（4)若是非齊次線性方程組的解，為常數(shù),且，則仍是的解。4．線性方程組解的結(jié)構(gòu)（1)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:若是齊次線性方程組的線性無(wú)關(guān)的解，并且的任一解向量均可被線性表出，則稱為的一組基礎(chǔ)解系。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不惟一,但基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)是固定的。（2)倘若個(gè)未知量的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則它的基礎(chǔ)解系含個(gè)解向量，且通解為其中為的一組基礎(chǔ)解系，為隨意常數(shù)。并且的隨意個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量都能構(gòu)成它的一組基礎(chǔ)解系。【例題10-16】設(shè)為非零矩陣，都是齊次線性方程組的解，則矩陣為：(A)(B)(C)(D)解：因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，知三元方程組的基礎(chǔ)解系含兩個(gè)向量，故有，顯然選項(xiàng)（A）中矩陣秩為3，選項(xiàng)（B）和（C）中矩陣秩都為2，應(yīng)選（D）。（3）非齊次線性方程組的任一解，均可表示為的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的某個(gè)解之和。（4)若有無(wú)窮多解，則其通解為對(duì)應(yīng)其中為的一組基礎(chǔ)解系，為隨意常數(shù)?！纠}10-17】設(shè)是線性方程組的兩個(gè)不同的解，是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，是隨意常數(shù)，則的通解是：(A)(B)(C)(D)解：首先的通解是其導(dǎo)出組的通解加上的一個(gè)特解，由是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，知的基礎(chǔ)解系含兩個(gè)解向量，又可證實(shí)是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，故構(gòu)成的通解；再由是線性方程組的兩個(gè)不同的解，利用非齊次方程組解的性質(zhì)知仍是的特解，從而是的通解，應(yīng)選(C).5．線性方程組求解的主意【例題10-18】齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為：(A)(B)(C)(D)解：主意一：方程組系數(shù)矩陣的秩為2，方程組有非零解。并且其基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量，經(jīng)驗(yàn)證和是方程組的解，并且線性無(wú)關(guān)，所以是方程