數(shù)學(xué)人教A版必修3學(xué)案2-1-2系統(tǒng)抽樣

2．1.2系統(tǒng)抽樣[目標(biāo)]1.記住系統(tǒng)抽樣的方法和步驟；2.會用系統(tǒng)抽樣從總體中抽取樣本；3.能用系統(tǒng)抽樣解決實際問題．[重點]系統(tǒng)抽樣的步驟和應(yīng)用．[難點]對系統(tǒng)抽樣的理解．知識點一系統(tǒng)抽樣的概念[填一填]先將總體中的個體逐一編號，然后按號碼順序以一定的間隔進行抽取，先從第一個間隔中隨機地抽取一個號碼，然后按此間隔逐個抽取即得到所需樣本．[答一答]1．怎樣判斷一種抽樣是否為系統(tǒng)抽樣？提示：判斷一種抽樣是否為系統(tǒng)抽樣，關(guān)鍵有兩點：(1)是否在抽樣前知道總體是由什么構(gòu)成的，抽樣的方法能否保證每個個體被抽到的機會均等；(2)是否能將總體分成幾個均衡的部分，在每個部分中是否能進行簡單隨機抽樣．2．系統(tǒng)抽樣有哪些特點？提示：系統(tǒng)抽樣適用于總體容量較大的情況，它也是逐個抽取、不放回、等可能抽樣．知識點二系統(tǒng)抽樣的步驟[填一填]一般地，假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，我們可以按下列步驟進行系統(tǒng)抽樣：[答一答]3．由系統(tǒng)抽樣的步驟可知，樣本中編號相鄰的每兩個個體的編號間隔是否相等？提示：相等．4．當(dāng)eq\f(N,n)不是整數(shù)時，應(yīng)怎么做？提示：當(dāng)eq\f(N,n)不是整數(shù)時，可用簡單隨機抽樣剔除多余個體．類型一系統(tǒng)抽樣的判斷[例1](1)下列抽樣問題中最適合用系統(tǒng)抽樣法抽樣的是()A．從全班48名學(xué)生中隨機抽取8人參加一項活動B．一個城市有210家百貨商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．為了掌握各商店的營業(yè)情況，要從中抽取一個容量為21的樣本C．從參加模擬考試的1200名高中生中隨機抽取100人分析試題作答情況D．從參加模擬考試的1200名高中生中隨機抽取10人了解某些情況(2)某校為了解高二的1553名同學(xué)對教師的教學(xué)意見，現(xiàn)決定用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，先在總體中隨機剔除n個個體，然后把剩下的個體按0001,0002,0003…編號并分成m個組，則n和m應(yīng)分別是()A．53,50 B．53,30C．3,50 D．3,31[解析](1)A中，總體容量較小，樣本容量也較小，可采用抽簽法；B中，總體中的個體有明顯的差異不適宜用系統(tǒng)抽樣法；D中，總體容量較大，但樣本容量較小，可用隨機數(shù)法；C中，總體容量較大，樣本容量也較大，可用系統(tǒng)抽樣法．(2)1553被50除余3，故可以剔除3個個體，分成50組即可．[答案](1)C(2)C判斷一種抽樣是否是系統(tǒng)抽樣，必須看能否將總體分成幾個均衡的部分，并先在第一個部分中進行簡單隨機抽樣，接下來按照一定的規(guī)則抽取樣本.當(dāng)抽樣行為具備系統(tǒng)抽樣特點時，即可以認(rèn)為是系統(tǒng)抽樣.[變式訓(xùn)練1]高考結(jié)束后，某市教育局為了了解該市20000名考生的有關(guān)情況，決定從這20000名考生中抽取200名考生的成績進行分析，根據(jù)從1到20000的編號，從1至100號考生中隨機確定39號考生，然后依次取出139號，239號，339號，…，19939號考生組成樣本．這種抽樣方法是(C)A．抽簽法 B．隨機數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法 D．簡單隨機抽樣法解析：根據(jù)抽樣過程可以發(fā)現(xiàn)，從20000名考生中抽取200名考生的成績時，先從前100號考生中隨機確定39號考生，然后直接等距離確定其余的199名考生，這種抽樣方法是系統(tǒng)抽樣．類型二系統(tǒng)抽樣的設(shè)計命題視角1：eq\f(N,n)是整數(shù)的系統(tǒng)抽樣[例2]為了了解某地區(qū)今年高一學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科的成績，擬從參加考試的15000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中抽取容量為150的樣本．請用系統(tǒng)抽樣寫出抽取過程．[分析]由于總體容量恰被樣本容量整除，所以分段間隔k＝eq\f(15000,150)＝100，按系統(tǒng)抽樣方法的四個步驟抽取樣本．[解](1)對全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行編號：1,2,3，…，15000.(2)分段：由于樣本容量與總體容量的比是1100，所以我們將總體平均分為150個部分，其中每一部分包含100個個體．(3)在第一部分即1號到100號用簡單隨機抽樣抽取一個號碼，比如是56.(4)以56作為起始數(shù)，然后順次抽取156,256,356，…，14956，這樣就得到一個容量為150的樣本．當(dāng)總體容量能被樣本容量整除時，分段間隔k＝eq\f(N,n)；當(dāng)用系統(tǒng)抽樣抽取樣本時，通常是將起始數(shù)l加上間隔k得到第2個個體編號l＋k，再加k得到第3個個體編號l＋2k，依次進行下去，直到獲取整個樣本.[變式訓(xùn)練2]為了解參加某知識競賽的1000名學(xué)生的成績，從中抽取容量為50的樣本，采用哪種抽樣方法比較恰當(dāng)？簡述抽樣過程．解：適宜選用系統(tǒng)抽樣，抽樣過程如下：第一步，隨機地將這1000名學(xué)生編號為1,2,3，…，1000.第二步，將總體按編號順序均分為50部分，每部分包括20個個體．第三步，在第1部分的個體編號1,2,3，…，20中，利用簡單隨機抽樣抽取一個號碼，比如18.第四步，將編號為18,38,58，…，978,998的個體抽出，組成樣本．命題視角2：eq\f(N,n)不是整數(shù)的系統(tǒng)抽樣[例3]某校高中二年級有253名學(xué)生，為了了解他們的視力情況，準(zhǔn)備按15的比例抽取一個樣本，試用系統(tǒng)抽樣方法進行抽取，并寫出過程．[分析]eq\x(編號)→eq\x(剔除)→eq\x(再編號)→eq\x(分段)eq\x(在第一段上抽樣)→eq\x(在其他段上抽樣)→eq\x(成樣)[解](1)先把這253名學(xué)生編號000,001，…，252.(2)用隨機數(shù)表法任取出3個號，從總體中剔除與這三個號對應(yīng)的學(xué)生．(3)把余下的250名學(xué)生重新編號1,2,3，…，250.(4)分段．取分段間隔k＝5，將總體均分成50段．每段含5名學(xué)生．(5)以第一段即1～5號中隨機抽取一個號作為起始號，如l.(6)從后面各段中依次取出l＋5，l＋10，l＋15，…，l＋245這49個號．這樣就按15的比例抽取了一個樣本容量為50的樣本．當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時，可以先從總體中隨機剔除幾個個體.但要注意的是剔除過程必須是隨機的，也就是總體中的每個個體被剔除的機會均等.剔除幾個個體后使總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除.[變式訓(xùn)練3]從73個個體中抽取含8個個體的樣本，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，則分段間隔k是9；每個個體被抽到的可能性為eq\f(8,73).解析：系統(tǒng)抽樣是等可能抽樣，即從數(shù)量為N的總體中抽取一個容量為n的樣本，則總體中每個個體被抽到的機會均為eq\f(n,N).采用系統(tǒng)抽樣的方法，因為eq\f(73,8)＝9.125，故分段間隔k＝9，每個個體被抽到的可能性仍為eq\f(8,73).類型三系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用[例4]將參加夏令營的600名學(xué)生編號為：001,002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次是()A．26,16,18 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9[解析]由題意及系統(tǒng)抽樣的意義可知，將這600名學(xué)生按編號依次分成50組，每一組有12名學(xué)生，第k(k∈N*)組抽中的號碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤eq\f(103,4)，因此第Ⅰ營區(qū)被抽中的人數(shù)是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此第Ⅱ營區(qū)被抽中的人數(shù)是42－25＝17，從而第Ⅲ營區(qū)被抽中的人數(shù)是50－25－17＝8.[答案]B由于整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，故可依此確定某范圍上的要抽取的樣本容量.[變式訓(xùn)練4]某初級中學(xué)領(lǐng)導(dǎo)采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校預(yù)備年級800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做牙齒健康檢查．現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進行編號，求得間隔數(shù)k＝eq\f(800,50)＝16，即每16人抽取一個人．在1～16中隨機抽取一個數(shù)，如果抽到的是7，則從33～48這16個數(shù)中應(yīng)取的數(shù)是39.解析：因為采用系統(tǒng)抽樣方法，每16人抽取一個人，1～16中隨機抽取一個數(shù)抽到的是7，所以在第k組抽到的是7＋16(k－1)，所以從33～48這16個數(shù)中應(yīng)取的數(shù)是7＋16×2＝39.1．老師從全班50名同學(xué)中抽取學(xué)號為3,13,23,33,43的五名同學(xué)了解學(xué)習(xí)情況，其最可能用到的抽樣方法為(D)A．簡單隨機抽樣 B．抽簽法C．隨機數(shù)表法 D．系統(tǒng)抽樣解析：間隔相同，均為10.2．從2005個編號中抽取20個號碼入樣，采用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔為(C)A．99B．99.5C．100D．100.5解析：由于eq\f(2005,20)不是整數(shù)，所以先剔除5個個體，再分段，分段間隔為k＝eq\f(2000,20)＝100.3．用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1～160編號，按編號順序平均分成20組(1～8號，9～16號，…，153～160號)．若第16組抽出的號碼是126，則第1組抽出的號碼是(C)A．4B．5C．6D．7解析：系統(tǒng)抽樣一般是按照事先確定的規(guī)則，即通常是將k加上間隔l的整數(shù)倍，得到第2個編號k＋l，第3個編號k＋2l，…，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本，其中k是第1組中抽出的樣本號碼．題中的分段間隔是160÷20＝8，且第16組抽出的號碼是126，則k＋15×8＝126，解得k4．某校高三年級有男生220人，學(xué)籍編號為1,2，…，220；女生380人，學(xué)籍編號為221,222，…，600，為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的心理狀態(tài)，按學(xué)籍號采用系統(tǒng)抽樣的方法從這600名學(xué)生中抽取75人進行問卷調(diào)查(第一組采用簡單隨機抽樣，抽到的學(xué)籍編號為5)，則女生被抽取的人數(shù)為48人．解析：由題意得，抽樣間隔為600÷75＝8，且第1組抽到的號碼為5，則每組抽到的號碼數(shù)為5＋8(k－1)，k∈N*，當(dāng)k＝27時，抽到的號碼為5＋8×26＝213，此時為男生，故男生一共可抽到27人，一共需要抽取75人，則女生人數(shù)為75－27＝48.5．為了了解參加高考的2000名學(xué)生的成績，決定抽取一個樣本容量為100的樣本，應(yīng)采用什么抽樣方法恰當(dāng)？簡述抽樣過程．解：適宜選用系統(tǒng)抽樣，抽樣過程如下：(1)隨機地將這2000名學(xué)生編號為1,2,3，…，2000.(2)將總體按編號順序均分成100部分，每部分包括20個個體．(3)在第一部分的個體編號1,2,3，…，20中，利用簡單隨機抽樣抽取一個號碼，比如是8.(4)以8為起始號碼，每間隔20抽取一個號碼，這樣得到一個容量為100的樣本：8,28,48，…，1968,1988.——本課須掌握的三大問題1．體會系統(tǒng)抽樣的概念，其中關(guān)鍵因素是“分組”，否則不是系統(tǒng)抽樣．系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況，因為這時采用簡單隨機抽樣顯得不方便．2．解決系統(tǒng)抽樣問題的兩個關(guān)鍵步驟為：(1)用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，當(dāng)eq\f(N,n)不為整數(shù)時，取k＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(N,n))