高考數(shù)學人教B版一輪復習訓練11-4古典概型

核心考點·精準研析考點一古典概型

1.在1,2,3,6這組數(shù)據(jù)中隨機取出三個數(shù),則數(shù)字2是這三個不同數(shù)字的平均數(shù)的概率是 ()A. B. C. D.2.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動.(1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人?(2)設抽出的7名同學分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;②設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”,求事件M發(fā)生的概率. 導學號【解析】1.選A.在1,2,3,6中隨機取出3個數(shù),所有的結果為123,126,136,236,共4種,其中數(shù)字2是這3個數(shù)的平均數(shù)的結果只有123,所以由古典概型的概率公式得所求概率為.2.(1)由已知,甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學,因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人,2人,2人.(2)①從抽出的7名同學中隨機抽取2名同學的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21種.②由①,不妨設抽出的7名同學中,來自甲年級的是A,B,C,來自乙年級的是D,E,來自丙年級的是F,G,則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的所有可能結果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5種.所以,事件M發(fā)生的概率為P(M)=.1.求古典概型概率的步驟(1)判斷本試驗的結果是否為等可能事件,設出所求事件A;(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m;(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.2.求基本事件個數(shù)的三種方法(1)列舉法:把所有的基本事件一一列舉出來,此方法適用于情況相對簡單的問題.(2)列表法:將基本事件用表格的方式表示出來,通過表格可以弄清基本事件的總數(shù),以及要求的事件所包含的基本事件數(shù).(3)樹狀圖法:樹狀圖法是使用樹的圖形把基本事件列舉出來的一種方法,樹狀圖法便于分析基本事件間的結構關系,對于較復雜的問題,可以作為一種分析問題的主要手段.考點二古典概型與統(tǒng)計的交匯問題

【典例】A市某校學生社團針對“A市的發(fā)展環(huán)境”對男、女各10名學生進行問卷調查評分，得到如圖所示莖葉圖：(1)計算女生打分的平均分，并用莖葉圖(1)的數(shù)字特征評價男生、女生打分誰更分散(通過觀察莖葉圖，不必說明理由).(2)如圖(2)是按該20名學生評分繪制的頻率分布直方圖(每個分組包含左端點，不包含右端點)，求最高矩形的高a.(3)從打分在70分以下(不含70分)的同學中抽取2人，求有女生被抽中的概率.【解析】(1)由莖葉圖知：女生打分平均數(shù)QUOTE(68+69+75+76+70+79+78+82+87+96)=78，由莖葉圖得：男生打分數(shù)據(jù)比較分散.(2)由莖葉圖知20名學生中分數(shù)在[70，80)內(nèi)的學生人數(shù)最多，共有9人，所以最高矩形的高a=QUOTE÷10=0.045. 統(tǒng)計分析(3)設“有女生被抽中”為事件A，打分在70分以下(不含70分)的同學中，女生有2人，設為a，b，男生有4人，設為c，d，e，f.基本事件有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15種， 求基本事件總數(shù)其中有女生的有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，共9種， 求事件A包含的基本事件總數(shù)所以有女生被抽中的概率P(A)=QUOTE. 求P(A)求解古典概型與統(tǒng)計交匯問題的思路(1)依據(jù)題目的直接描述或頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出的信息，提煉出需要的信息.(2)判斷概率的類型并求解.某質檢機構檢測某產(chǎn)品的質量是否合格，在甲、乙兩廠勻速運行的自動包裝傳送帶上每隔10分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其質量(單位：克)，分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得質量數(shù)據(jù)莖葉圖(如圖).導學號(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，求甲、乙兩廠產(chǎn)品質量的平均數(shù)和中位數(shù).(2)若從甲廠6件樣品中隨機抽取兩件，①列舉出所有可能的抽取結果；②記它們的質量分別是a克，b克，求|ab|≤3的概率.【解析】(1)甲廠產(chǎn)品質量的平均數(shù)QUOTE=QUOTE(108+111+112+114+116+123)=114，甲的中位數(shù)是113，乙廠產(chǎn)品質量的平均數(shù)是QUOTE=QUOTE(108+109+112+114+115+126)=114，乙的中位數(shù)是113.(2)①從甲廠6件樣品中隨機抽兩件，結果共有15個，分別為：{108，111}，{108，112}，{108，114}，{108，116}，{108，123}，{111，112}，{111，114}，{111，116}，{111，123}，{112，114}，{112，116}，{112，123}，{114，116}，{114，123}，{116，123}.②設“|ab|≤3”為事件A，則事件A共有5個結果{108，111}，{111，112}，{111，114}，{112，114}，{114，116}，所以|ab|≤3的概率P(A)=QUOTE.考點三古典概型的綜合問題

命題精解讀考什么：(1)考查數(shù)學文化背景下的古典概型問題(2)考查與實際生活有關的概率問題怎么考：以數(shù)學文化或實際生活為載體考查概率問題新趨勢：考查實際問題的概率問題學霸好方法1.解決數(shù)學文化背景下或實際生活中的概率問題的方法充分讀取題目信息，恰當轉化為古典概型，代入概率公式求解.2.考查與向量、函數(shù)等知識交匯的概率問題脫去向量、函數(shù)的“外衣”，構造概率模型求解.與數(shù)學文化有關的古典概型問題【典例】為了大力弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校購進了《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》和《西游記》若干套，如果每班每學期可以隨機領取兩套不同的書籍，那么該校高一(1)班本學期領到《三國演義》和《水滸傳》的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.記《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》和《西游記》為a、b、c、d，則該校高一(1)班本學期領到兩套書的所有情況有ab、ac、ad、bc、bd、cd，共6種，符合條件的情況為ab共1種，故概率為QUOTE.如何解決與數(shù)學文化有關的古典概型問題？提示：讀取數(shù)學文化背景下的題目信息，構建出古典概型的數(shù)學模型，然后利用概率公式求解.與向量知識交匯的古典概型問題【典例】小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為以O為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6(如圖)這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記住這兩個向量的數(shù)量積為X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋. 導學號(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【解析】(1)X的所有可能取值為2，1，0，1.(2)數(shù)量積為2的只有·一種；數(shù)量積為1的有·，·，·，·，·，·六種；數(shù)量積為0的有·，·，·，·四種；數(shù)量積為1的有·，·，·，·四種，所以所有可能的情況共有15種.所以小波去下棋的概率為p1=QUOTE.因為去唱歌的概率為p2=QUOTE，所以小波不去唱歌的概率p=1p2=1QUOTE=QUOTE.古典概型與幾何知識的交匯問題【典例】1.從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為 導學號()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.曲線C的方程為QUOTE+QUOTE=1，其中m，n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點數(shù)，記事件A為“方程QUOTE+QUOTE=1表示焦點在x軸上的橢圓”，那么P(A)=_________.

【解析】1.選C.如圖，從A，B，C，D，O這5個點中任取2個，共有(A，B)，(A，C)，……，(D，O)10種取法，滿足兩點間的距離不小于正方形邊長的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6種，因此所求概率P=QUOTE=QUOTE.2.試驗中所含基本事件個數(shù)為36；若想表示焦點在x軸上的橢圓，則m>n，有(2，1)，(3，1)，…，(6，5)，共1+2+3+4+5=15種情況，因此P(A)=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE1.已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為 () B.0.6 【解題指南】先對產(chǎn)品標號，然后列舉出可能出現(xiàn)的結果，根據(jù)古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】選B.5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，有10種，分別是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6種，分別是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，設事件A為“恰有一件次品”，則P(A)=QUOTE=0.6.2.現(xiàn)在某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_________.

【解析】因為正整數(shù)m的選取有1，2，3，4，5，6，7，共7種情況，而對于m的每一種取法，n可以取1，2，3，4，5，6，7，8，9，共9種方法，所以基本事件空間中有7×9=63個元素，其中事件“m，n都取到奇數(shù)”包含的基本事件數(shù)為4×5=20，所以所求的概率為QUOTE.答案：QUOTE1.若a，b∈{1，0，1，2}，則使關于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的概率為_________.

【解析】要使方程有實數(shù)解，則a=0或QUOTE所有可能的結果為(1，1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(0，1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共16個，其中符合要求的有13個，故所求概率P=QUOTE.答案：QUOTE2.甲、乙兩人玩一種游戲，在裝有質地、大小完全相同，編號分別為1，2，3，4，5，6六個球的口袋中，甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.(1)求甲贏且編號和為8的事件發(fā)生的概率.(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由.【解析】(1)設“兩個編號和為8”為事件A，則事件A包括的基本事件有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5個.又甲、乙兩人取出的數(shù)字共有6×6=36種等可能的結果，故P(A)=QUOT