同濟(jì)第三版-高數(shù)-(76) 第六節(jié) 旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

中國(guó)藥科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室楊訪第六節(jié)旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面本節(jié)概要曲面可看成是動(dòng)點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)形成的圖形。由于建立了點(diǎn)和有序數(shù)組的“1-1”對(duì)應(yīng)關(guān)系，可進(jìn)一步建立曲面與方程的“1-1”對(duì)應(yīng)關(guān)系,由此便可通過(guò)方程的討論來(lái)研究曲面性質(zhì)。

一．旋轉(zhuǎn)曲面(1)

經(jīng)典觀念經(jīng)典的幾何觀念將“面”看成是立體與立體的公共部分，“線”看成是面與面的公共部分。按照這種觀念，曲線方程可通過(guò)聯(lián)立曲面方程，并由相應(yīng)的方程組來(lái)討論曲線。這對(duì)于較為簡(jiǎn)單的曲線，討論起來(lái)相對(duì)方便，如直線、圓錐曲線等，但如果所論曲線較復(fù)雜，按這種觀念考察則會(huì)產(chǎn)生困難，討論起來(lái)也不盡方便。1．對(duì)曲面與曲線的認(rèn)識(shí)觀念(2)

軌跡觀念軌跡觀念是由近代對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的研究產(chǎn)生的對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)是將“曲面”和“曲線”看成是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的軌跡。按照這種觀念，曲線和曲面的方程可通過(guò)將運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)形式來(lái)討論。這種觀念對(duì)曲線的討論常較為方便，但對(duì)于曲面的研究則不盡然。因此軌跡法主要用于討論曲線。對(duì)于曲面討論較方便的方法是將曲面看成是給定曲線按一方式運(yùn)動(dòng)形成的圖形。根據(jù)這種觀念，常可較方便地由曲線方程導(dǎo)出曲面方程，但這種觀念缺乏一般性，通常僅用于討論一些特殊的曲面，如旋轉(zhuǎn)曲面、柱面等。(3)

動(dòng)曲線觀念

由一條平面曲線

C

繞該平面內(nèi)的一條直線

L

旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面

稱為旋轉(zhuǎn)曲面。直線

L

稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸，曲線

C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線。(1)

旋轉(zhuǎn)曲面的概念2.旋轉(zhuǎn)曲面的概念及方程推導(dǎo)(2)

旋轉(zhuǎn)曲面方程的推導(dǎo)設(shè)有

yOz

平面上的曲線試確定

C繞

y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面

的方程。

由曲面與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系的討論知，建立曲面

方程應(yīng)分兩步進(jìn)行，即先考慮所論曲面

上的點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程

F(

x

,y

,z

)=0的形式，再考察坐標(biāo)所滿足該方程的點(diǎn)是否都在所論曲面

上。分析設(shè)

M(

x

,y

,z

)為旋轉(zhuǎn)曲面

上的任意一點(diǎn)，考慮點(diǎn)M

所滿足的方程?？疾禳c(diǎn)

M(

x

,y

,z

)坐標(biāo)滿足的方程，應(yīng)考慮將點(diǎn)

M與已知條件發(fā)生聯(lián)系。由于旋轉(zhuǎn)曲面

是曲線

C繞

y軸旋轉(zhuǎn)而得的，故考慮建立點(diǎn)

M的坐標(biāo)與母線

C

的聯(lián)系。

旋轉(zhuǎn)曲面Σ上的點(diǎn)所滿足的方程

過(guò)點(diǎn)

M

作垂直于

y軸的平面交曲線

C

于點(diǎn)

M

，交y軸于點(diǎn)

P．

分別設(shè)點(diǎn)

M

,

P

坐標(biāo)為

M

(

0

,y

,z

),P(

0

,y,0

).

由旋轉(zhuǎn)曲面的性質(zhì)知考慮將此幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件。

由于

M

(

0

,y

,z

)是曲線

C

上的點(diǎn)

，故其坐標(biāo)滿足C

的方程，即有

f(

y

,z

)=

0.

將導(dǎo)出的坐標(biāo)關(guān)系式代入該方程便得點(diǎn)

M(

x

,y

,z

)的坐標(biāo)滿足的方程為設(shè)

M(

x

,y

,z

)為坐標(biāo)滿足方程的任意一點(diǎn)，考察點(diǎn)

M是否在旋轉(zhuǎn)曲面

上。要說(shuō)明點(diǎn)

M

在

上，可將點(diǎn)

M

繞

y

軸旋轉(zhuǎn)，看其是否能轉(zhuǎn)至曲線

C

上。過(guò)點(diǎn)

M

作垂直于

y軸的平面交

y軸于點(diǎn)

P，將點(diǎn)

M

在該平面內(nèi)繞點(diǎn)

P

旋轉(zhuǎn)至

yOz

平面得點(diǎn)

M

．

坐標(biāo)滿足導(dǎo)出方程的點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)曲面Σ

上設(shè)點(diǎn)

M

,

P

坐標(biāo)分別為

M

(

0

,y

,z

),P

(

0

,y,0

),由

M至M

的旋轉(zhuǎn)過(guò)程知故點(diǎn)

M

(

0

,y

,z

)的

坐標(biāo)滿足曲線

C的方程因此點(diǎn)

M

(

0

,y

,z

)在曲線

C上。由于點(diǎn)

M

是點(diǎn)

M

繞

y軸旋轉(zhuǎn)而得的點(diǎn)，故可知點(diǎn)

M在旋轉(zhuǎn)曲面

上。由上討論求得旋轉(zhuǎn)曲面

的方程為：方程轉(zhuǎn)化規(guī)則

繞軸

y旋轉(zhuǎn)一周，y不變，由上旋轉(zhuǎn)曲面方程的推導(dǎo)可見(jiàn)，旋轉(zhuǎn)曲面的方程不僅具有明顯的代數(shù)形式特點(diǎn)，且旋轉(zhuǎn)曲面方程與相應(yīng)的母線方程在形式上也有著密切的聯(lián)系。因此，旋轉(zhuǎn)曲面的討論主要涉及兩個(gè)方面的基本問(wèn)題：對(duì)于給定的母線方程及旋轉(zhuǎn)軸，如何寫出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面方程。對(duì)于給定的曲面方程，如何判別其是否為旋轉(zhuǎn)曲面及相應(yīng)的母線及旋轉(zhuǎn)軸。3.旋轉(zhuǎn)曲面討論的兩個(gè)基本問(wèn)題(1)

由準(zhǔn)線方程及旋轉(zhuǎn)軸寫出旋轉(zhuǎn)曲面的方程母線為

yoz

平面上的曲線繞

z

軸旋轉(zhuǎn)，z

不變繞

y

軸旋轉(zhuǎn)，y

不變母線為

xoz

平面上的曲線繞

z

軸旋轉(zhuǎn)，z

不變繞

x

軸旋轉(zhuǎn)，x

不變母線為

xoy

平面上的曲線繞

y

軸旋轉(zhuǎn)，y不變繞

x

軸旋轉(zhuǎn)，x

不變(2)

由方程判別曲面是否為旋轉(zhuǎn)曲面此處主要考慮簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)曲面的判別，即母線為坐標(biāo)面上的曲線，旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的情形。對(duì)于這類旋轉(zhuǎn)曲面的判別關(guān)鍵是考察方程中的變量形式及系數(shù)。對(duì)于給定的曲面方程形式

:F(

x,y

,z

)=0

，若其有兩個(gè)變量為二次冪且它們的系數(shù)相同，則可判別其為旋轉(zhuǎn)曲面。例如，形如f(

y

,z

2+

x

2

)=

0的方程所表示的就是旋轉(zhuǎn)曲面。判別方程是否表示旋轉(zhuǎn)曲面的基本原理依然是截口法原理，只是將這一原理轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算。對(duì)方程

f(

y

,z

2+

x

2

)=0，判別的代數(shù)運(yùn)算過(guò)程為令y

=

k，相當(dāng)于用平行于xOz

坐標(biāo)面的平面與曲面相截，截口方程可化為z

2+

x

2

=g(

k

)的形式，它是y=k平面上的圓，因而該曲面可認(rèn)為是由

yOz

或xOy

平面上的曲線繞

y

軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面。(1)

圓錐面的定義圓錐面是一類特殊旋轉(zhuǎn)曲面，它是由一條直線

L繞另一條與之相交的直線旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面。兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線的交角

叫做圓錐面的半頂角。4.圓錐面(2)

圓錐面方程的推導(dǎo)為討論簡(jiǎn)單化，僅考慮頂點(diǎn)在原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為

z

軸，半頂角為

的圓錐面方程。為直觀起見(jiàn)，可認(rèn)為所求圓錐面是由

yOz

平面上的直線

L:

z=y

cot

繞

z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的。由旋轉(zhuǎn)曲面方程規(guī)則直線L:

z=y

cot

，繞

z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲

面

的方程滿足

z不變，于是可寫出其方程為令cot

2=a，則有例：將

xOz

平面上的曲線

分別繞

x

軸、z軸旋轉(zhuǎn)一周，試求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程，并作曲面圖形。母線方程：xOz

平面上的曲線

繞

x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程按方程轉(zhuǎn)化規(guī)則寫出按旋轉(zhuǎn)曲面方程

解繞

x軸旋轉(zhuǎn)，x不變繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面圖形母線方程：xOz

平面上的曲線

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程繞

z軸旋轉(zhuǎn)，z不變繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面圖形二.二次曲面

用動(dòng)曲線形成曲面的觀點(diǎn)來(lái)研究曲面確實(shí)可較方便地討論某些曲面，但這種方法缺乏一般性，因?yàn)椴⒎侨魏吻娑伎煽闯墒怯汕孢\(yùn)動(dòng)形成的。作為曲面研究的一般方法還是依據(jù)曲面與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即通過(guò)方程來(lái)討論曲面性質(zhì)。通過(guò)方程討論曲面性質(zhì)既可通過(guò)截痕法研究曲面的幾何性質(zhì)，也可由已知曲面導(dǎo)出未知曲面性質(zhì)。(1)

用歸納法定義曲面1.曲面定義的一般方法曲面總對(duì)應(yīng)于三元F(

x

,y

,

z

)=0，為討論方便而不失一般性，可討論較簡(jiǎn)單的情形，即三元二次方程所對(duì)應(yīng)的曲面，稱之為二次曲面。三元二次方程的一般形式為

Ax

2

+

By

2

+

C

z

2

+

D

x

y

+

E

x

z

+

F

y

z

+

G

x

+

H

y

+

I

z

+

J

=

0

.

通過(guò)不改變圖形形狀的坐標(biāo)變換(正交變換)可消去方程中的乘積項(xiàng)使其化為如下形式

A

x

2

+

B

y

2

+

C

z

2

+

G

x

+

H

y

+

I

z

+

J

=

0

.下就此方程中系數(shù)的不同情形討論曲面性質(zhì)。(2)

二次曲面的一般概念(3)

已知方程確定曲面圖形的方法

已知曲面方程

F(

x

,y

,z

)=

0，如何討論并確定方程所表示的圖形及其性質(zhì)呢？由于三元方程所表示的圖形一般是空間圖形，而描繪空間圖形卻只能在平面上進(jìn)行。因此，討論方程所表示的空間圖形通常采用“截口法”，即用一些特殊平面與所論曲面相截，通過(guò)對(duì)截口曲線形狀的研究來(lái)了解曲面形狀。(1)

橢圓錐面

橢圓錐面的歸納定義為

考慮用截痕討論該曲面的形狀。

用垂直于

z軸的平面

z

=

t

與此曲面相截，考察相應(yīng)截痕的形狀：

當(dāng)t

=

0

時(shí)，得一點(diǎn)O(

x

,y

,

z

)；

當(dāng)t

0

時(shí)，得

z

=

t平面上的橢圓2.各類二次曲面的討論由截痕考察橢圓錐面形狀(2)

橢球面

橢球面的歸納定義為:

容易看出，若

a

=

b，則該曲面就是旋轉(zhuǎn)橢球面，由旋轉(zhuǎn)曲面討論知，該旋轉(zhuǎn)橢球面可看成是由

xOz

平面上的橢圓繞

z

軸旋轉(zhuǎn)一周而成的。當(dāng)

a

b時(shí)，相應(yīng)的曲面與該旋轉(zhuǎn)橢球面相差不大,只是在y

軸方向上有所伸縮，因此只需將該旋轉(zhuǎn)橢球面沿

y

軸方向伸縮

b/a

倍即可。用伸縮法考察橢球面形狀

單葉雙曲面的歸納定義為:

易看出，若

a

=

b，則該曲面就是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面由旋轉(zhuǎn)曲面討論知，該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面可看成是由xOz平面上的雙曲線繞

z

軸旋轉(zhuǎn)一周而成。當(dāng)

a

b時(shí)，相應(yīng)的曲面與該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面相差不大，只是在y

軸方向上有所伸縮，因此只需將該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面沿

y

軸方向伸縮

b/a

倍即可。(3)

單葉雙曲面用伸縮法考察單葉雙曲面形狀

雙葉雙曲面的歸納定義為:

易看出，若

b

=

c，則該曲面就是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面由旋轉(zhuǎn)曲面討論知，該雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面可看成是由xOz平面上的雙曲線繞

x

軸旋轉(zhuǎn)一周而成。當(dāng)

b

c時(shí)，相應(yīng)的曲面與該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面相差不大，只是在y

軸方向上有所伸縮，因此只需將該單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面沿

y

軸方向伸縮

b/c

倍即可。(4)

雙葉雙曲面用伸縮法考察雙葉雙曲面形狀

橢圓拋物面的歸納定義為:

考慮用截痕討論該曲面的形狀。

用垂直于

z軸的平面

z

=

t

與此曲面相截，考察相應(yīng)截痕的形狀：

當(dāng)t

=

0

時(shí)，截得一點(diǎn)O(

x

,y

,

z

)；

當(dāng)t

>

0

時(shí)，得

z

=

t平面上的橢圓

當(dāng)t

<

0

時(shí)，平面z

=

t與該曲面沒(méi)有交點(diǎn)。(5)

橢圓拋物面由截痕考察橢圓拋物面形狀

雙曲拋物面的歸納定義為:

考慮用截痕考察該曲面的形狀。

用垂直于

x軸的平面

x

=

t

與曲面相截，截痕方程為

由截痕方程看出當(dāng)t

=

0

時(shí)，截痕為

yOz

平面上頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以

z

軸為對(duì)稱軸，開(kāi)口向上的拋物線。當(dāng)

t

0

時(shí)，截痕形狀不變，只是沿平行于

yOz

平面的方向作平移。(6)

雙曲拋物面由截痕考察橢圓雙曲面形狀

用垂直于

y軸的平面

y

=

t

與曲面相截，截痕方程為

由截痕方程看出當(dāng)t

=

0

時(shí)，截痕為

xOz

平面上頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以

z

軸為對(duì)稱軸，開(kāi)口向下的拋物線。當(dāng)

t

0

時(shí)，截痕形狀不變，只是沿平行于

yOz

平面的方向作平移。由截痕考察橢圓雙曲面形狀

用垂直于

z軸的平面

z

=

t

與曲面相截，截痕方程為

由截痕方程看出

當(dāng)t

>

0

時(shí)，截痕為

xOy

平面上方的平面z

=

t上以平行于

x

軸的直線為虛軸，以平行于y

軸的直線為實(shí)軸的雙曲線

當(dāng)t

<

0

時(shí)，截痕為

xOy

平面下方的平面

z

=

t上以平行于

x

軸的直線為實(shí)軸，以平行于y

軸的直線為虛軸的雙曲線由截痕考察橢圓雙曲面形狀例：設(shè)有方程

p

與

q

同號(hào)，試討論方程所對(duì)應(yīng)的曲面形狀。

令

z

=

k，聯(lián)立方程有

研究截口形狀：曲面截口為平面

z

=

k

上的雙曲線。用截口法討論曲面形狀

解

用平行于

xOy

坐標(biāo)面的平面與曲面相截當(dāng)

k>0時(shí)，即截面在

xOy

平面上方時(shí)，雙曲線的實(shí)軸沿

y軸方向，虛軸沿

x

軸方向。當(dāng)

k<0時(shí)，即截面在

xOy

平面下方時(shí)，雙曲線的實(shí)軸沿

x軸方向，虛軸沿

y

軸方向。令

y

=

k，聯(lián)立方程有

研究截口形狀：曲面截口為平面

y

=

k

上以平行于

z

軸的直線為對(duì)稱軸，開(kāi)口向下的拋物線。

用平行于

xOz

坐標(biāo)面的平面與曲面相截

用平行于

yOz

坐標(biāo)面的平面與曲面相截令

x=k，聯(lián)立方程有

研究截口形狀：曲面截口為平面

x

=

k

上以平行于

z

軸的直線為對(duì)稱軸，開(kāi)口向上的拋物線。用截口法描述曲面圖形(1)

柱面及其方程的特點(diǎn)

曲面通常對(duì)應(yīng)于三元方程

F(

x

,y

,z

)=

0

，但如果曲面方程是二元方程，此時(shí)方程所對(duì)應(yīng)的曲面就是一些特殊的柱面。例如，考慮形如

F(

x

,y

)=

0

的方程的性質(zhì)和特點(diǎn),作為二元方程，它表示

xOy

平面上的一條曲線

C，而作為三元方程，它應(yīng)表示一張曲面

。

F(

x

,y

)=

0作為二元方程和作為缺變量的三元方程，在性質(zhì)上有什么聯(lián)系呢？3.柱面設(shè)

M(

x

,y

,z

)為坐標(biāo)滿足方程

F(

x

,y

)=

0

的任一點(diǎn)，由于方程不含豎坐標(biāo)

z，故不論空間點(diǎn)

M(

x

,y

,z

)的豎坐標(biāo)

z如何取值，只要其橫坐標(biāo)

x和縱坐標(biāo)

y滿足這個(gè)方程，點(diǎn)

M就在曲面

上，即只要點(diǎn)

M1(

x

,y

,0

)在曲線

C上，點(diǎn)

M(

x

,y

,z

)就在曲面

上。因此過(guò)

xOy

平面上的曲線

C上的點(diǎn)

M1(

x

,y

,0

)且平行于

z軸的直線L在曲面

上，由此可看出曲面

是一個(gè)柱面。

(2)

柱面的一般定義平行于定直線

L

并沿定曲線

C平行移動(dòng)的直線

L形成的軌跡稱為柱面，定曲線

C稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線

L

稱為柱面的母線。定直線動(dòng)直線準(zhǔn)線(3)

柱面定義要點(diǎn)

柱面由準(zhǔn)線及母線方向完全確定

柱面由準(zhǔn)線及母線方向完全確定，因此只要給定了母線方向(一般是一定向量)及準(zhǔn)線方程，就可完全確定柱面方程。由定義及直觀可見(jiàn)，柱面的準(zhǔn)線并不是唯一的，且未必是平面曲線。在討論具體的柱面方程問(wèn)題時(shí)，為使討論簡(jiǎn)單化，通常宜考慮選擇形式較簡(jiǎn)單的平面曲線作為柱面準(zhǔn)線，如坐標(biāo)面上的曲線等。

柱面準(zhǔn)線及母線并不唯一(4)

討論柱面方程的意義

空間圖形研究的基本方法是將其投影到平面考察，空間圖形的投影主要是通過(guò)投影柱面來(lái)實(shí)現(xiàn)。

柱面對(duì)于多元函數(shù)性質(zhì)的研究具有重要意義。對(duì)高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用而言，柱面的討論主要應(yīng)掌握投影柱面，即母線平行于坐標(biāo)軸的柱面。研究投影柱面問(wèn)題應(yīng)掌握兩個(gè)方面的內(nèi)容：

由準(zhǔn)線方程及母線方向?qū)懗鱿鄳?yīng)的柱面方程；由給定方程判別其是否為母線平行于坐標(biāo)軸的柱面。(5)

由準(zhǔn)線方程及母線方向?qū)懗鲋娣匠讨娣匠炭煽闯捎善錅?zhǔn)線C的方程按一定規(guī)則轉(zhuǎn)化而得的，其轉(zhuǎn)化過(guò)程遵從以下規(guī)則：

準(zhǔn)線

C

為

xOy

平面上的曲線母線平行于

z軸的柱面

準(zhǔn)線

C

為

yOz

平面上的曲線母線平行于

x軸的柱面

準(zhǔn)線

C

為

zOx

平面上的曲線母線平行于

y軸的柱面(6)

母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程的代數(shù)特征由上柱曲面方程的討論可以看出，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程具有明顯的代數(shù)特征

——

缺變量。一般曲面方程F(

x

,y

,z

)=0

應(yīng)包含三個(gè)變量，而母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程至多含有兩個(gè)變量。這一特征給出了判別曲面是否為母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的簡(jiǎn)潔而直觀的方法。

:F(

x

,y

)=

0，缺變量

z，母線平行于

z

軸的柱面。

:G(

y

,z

)=

0，缺變量

x，母線平行于

x

軸的柱面。

:H(

z

,x

)=

0，缺變量

y，母線平行于

y

軸的柱面。(7)

區(qū)別曲線方程與柱面方程平面解析幾何中，方程F(

x

,y

)=

0表示xOy

平面上的一條曲線，但在空間解析幾何中，該二元方程通常表示母線平行于

z軸的柱面，應(yīng)注意不要混淆。例如，在平面解析幾何中，方程x

2

+

y

2=

a

2

表示圓心在原