拋物線經(jīng)典題型

拋物線習(xí)題A組題一、選擇題：1、拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．B． C． D．2、拋物線的準(zhǔn)線方程為()A．B．C．D．3．如果拋物線y2=ax的準(zhǔn)線是直線x=-1，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 〔〕A．〔1,0〕 B．〔2,0〕 C．〔3,0〕 D．〔－1,0〕4、拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是〔〕A．B．C．D．B，而焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是5、假設(shè)拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為〔〕A．B．C．D．對C點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離，得6、以坐標(biāo)軸為對稱軸，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過圓的圓心的拋物線的方程是〔〕A．或B．C．或D．或D圓心為，設(shè)；設(shè)7、設(shè)為過拋物線的焦點(diǎn)的弦，那么的最小值為〔〕A．B．C．D．無法確定C垂直于對稱軸的通徑時(shí)最短，即當(dāng)8、假設(shè)拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為〔〕A．B．C．D．B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，得，過點(diǎn)所作的高也是中線，代入到得，9、直線y=kx-2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，那么k的值是A.-1B.2C.-1或2D.以上都不是10、雙曲線＝１的離心率ｅ∈〔１，２〕，那么k的取值范圍是〔〕Ａ.(－∞，０)Ｂ.〔－12，０〕Ｃ.〔－３，０〕Ｄ.〔－60，－12〕11、拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，那么拋物線方程為 〔〕 A．B． C． D．12、拋物線截直線所得弦長等于〔〕A．B． C． D．1513、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸的拋物線過點(diǎn)(－2,3)，那么它的方程是〔〕A．或 B．或C． D．14、拋物線在點(diǎn)M〔，〕處的切線的傾斜角是〔〕A．30°B．45°C．60°D．90°15、假設(shè)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，那么的值為〔〕。A．B．C．D416、一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R，且a≠0)的判別式是1，兩根之積為－8，.那么〔b，c〕的軌跡是〔〕(A)橢圓(B)雙曲線(C)拋物線(D)兩個(gè)點(diǎn)17、過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕兩點(diǎn)，如果x1+x2=6，那么|AB|=〔〕(A)10;(B)8;(C)6;(D)4.18．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)兩點(diǎn)，假設(shè)，那么PQ中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為〔〕〔A〕5〔B〕4〔C〕3〔D〕219、設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，假設(shè)過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，那么直線的斜率的取值范圍是 〔〕 〔A〕[－，] 〔B〕[－2，2] 〔C〕[－1，1] 〔D〕[－4，4]20、點(diǎn)、，動點(diǎn)，那么點(diǎn)P的軌跡〔〕〔A〕圓〔B〕橢圓 〔C〕雙曲線 〔D〕拋物線21、拋物線以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且焦點(diǎn)在直線上，那么拋物線的方程為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕或〔D〕或22、過點(diǎn)M〔2，4〕作與拋物線y2=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l有 〔〕 A．0條 B．1條 C．2條 D．3條23、一拋物線形拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m時(shí)，水面寬4m，假設(shè)水面下降1A．m B．2m C．4.5m D．9m24、假設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的右焦點(diǎn)重合，那么p的值為()A．2B．4C．8D.4eq\r(2)25、拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，且、、成等差數(shù)列，那么有〔〕A． B．C． D.二、填空題26、拋物線的準(zhǔn)線方程為＿＿＿＿＿.27、圓，與拋物線的準(zhǔn)線相切，那么_2__________．28、假設(shè)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)-129、假設(shè)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，假設(shè)線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，那么______。得，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不合題意當(dāng)時(shí)，30、拋物線的焦點(diǎn)恰好為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，那么_或_____31、拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓中心，那么拋物線方程為．三、解答題：32、求滿足以下條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：(1)過點(diǎn)(-3,2)(2)焦點(diǎn)在直線上【解題思路】以方程的觀點(diǎn)看待問題，并注意開口方向的討論.[解析](1)設(shè)所求的拋物線的方程為或,∵過點(diǎn)(-3,2)∴∴∴拋物線方程為或,前者的準(zhǔn)線方程是后者的準(zhǔn)線方程為(2)令得，令得，∴拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或(0,-2),當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí),∴，此時(shí)拋物線方程;焦點(diǎn)為(0,-2)時(shí)∴，此時(shí)拋物線方程.∴所求拋物線方程為或,對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是.33、在拋物線上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線的距離最短。解：設(shè)點(diǎn)，距離為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)為所求的點(diǎn)。34、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，求拋物線的方程。解：設(shè)拋物線的方程為，那么消去得，那么35、拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，又知此拋物線上一點(diǎn)A〔4，m〕到焦點(diǎn)的距離為6.〔1〕求此拋物線的方程；〔2〕假設(shè)此拋物線方程與直線相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求k的值.36、動直線y=a，與拋物線相交于A點(diǎn)，動點(diǎn)B的坐標(biāo)是，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡的方程．(12分)37、假設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與Y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn),且，求此拋物線的方程[解析]設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影，那么，由勾股定理知，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，代入方程得或4，拋物線的方程或B組題選擇題1、過拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，假設(shè)線段PF與FQ的長分別是p、q，那么等于 〔〕A．2a B． C．4a D．2、動點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離比到直線l:y=-4的距離小2，那么動點(diǎn)P的軌跡方程為A.B.C.D.3、拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上點(diǎn)〔-5，m〕到焦點(diǎn)距離是6，那么拋物線的方程是 〔〕A．y2=-2x B．y2=-4x C．y2=2x D．y2=-4x或y2=-36x4、拋物線上兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，且，那么等于〔〕A．B．C．D．A，且在直線上，即5、假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上移動時(shí)，使取得最小值的的坐標(biāo)為〔〕A．B．C．D．D可以看做是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到和點(diǎn)一樣高時(shí)，取得最小值，即，代入得6、直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(8，8)，那么線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A.B.C.D.257、動圓M經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)且與直線l:x=-3相切，那么動圓圓心M的軌跡方程是()A.B.C.D.8、平面內(nèi)過點(diǎn)A〔-2，0〕，且與直線x=2相切的動圓圓心的軌跡方程是 〔〕A．y2=－2x B．y2=－4x C．y2=－8x D．y2=－16x9、拋物線y=x２上到直線２x-y=4距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是〔〕Ａ.()Ｂ.(1，1)Ｃ.()Ｄ.(2，4)10、定點(diǎn)P(0,2)到曲線y=|－1|上點(diǎn)的最短距離為(A)(B)1(C)2(D)11、過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)A、B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別是A1，B1，那么∠A1FB1等于(A)450;(B)600;(C)900;(D)1200.12、圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓的方程是 〔 〕A．x2+y2-x-2y-=0 B．x2+y2+x-2y+1=0C．x2+y2-x-2y+1=0 D．x2+y2-x-2y+=013、把與拋物線y2=4x關(guān)于原點(diǎn)對稱的曲線按向量a平移，所得的曲線的方程是〔〕 A． B．C． D．14、(2010年梧州模擬)拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是()A.eq\f(4,3)B.eq\f(7,5)C.eq\f(8,5)D．315、(2010年全國卷Ⅱ)直線y＝k(x＋2)(k＞0)與拋物線C：y2＝8x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，假設(shè)|FA|＝2|FB|，那么k＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(2\r(2),3)解析：設(shè)拋物線C：y2＝8x的準(zhǔn)線為l：x＝－2直線y＝k(k＋2)(k＞0)恒過定點(diǎn)P(－2,0)，如下圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，那么|AM|＝2|BN|，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，連結(jié)OB.|OB|＝eq\f(1,2)|AF|，∴|OB|＝|BF|點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2eq\r(2))，∴k＝eq\f(2\r(2)－0,1－－2)＝eq\f(2\r(2),3)，選D.16、(2010年遼寧卷)點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.eq\f(\r(17),2)B．3C.eq\r(5)D.eq\f(9,2)17、過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線,假設(shè)此直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),弦AB的中垂線與軸交于P點(diǎn),那么線段PF的長等于A,B,C,D,解析此拋物線的焦點(diǎn)與原點(diǎn)重合,得直線AB的方程為,因此A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程:.由此求得弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),進(jìn)而求得其中垂線方程為,令,得P點(diǎn)的橫坐標(biāo),即PF=.二、填空題18、，拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離為__________。直線為，設(shè)拋物線上的點(diǎn)19、對于拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)都滿足，那么的取值范圍是____。設(shè)，由得恒成立，那么20、拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸，假設(shè)AB的長為4，那么焦點(diǎn)到AB的距離為2．21、拋物線y=2x2的一組斜率為k的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程是．22、P是拋物線y2=4x上一動點(diǎn)，以P為圓心，作與拋物線準(zhǔn)線相切的圓，那么這個(gè)圓一定經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是〔1，0〕．23、(2010年寧夏海南卷)設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)．假設(shè)AB的中點(diǎn)為(2,2)，那么直線l的方程為___y＝x_____．24、(2010年福建卷)過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作傾角為45°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)線段AB的長為8，那么p＝___2_____.25、對于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出以下條件：①焦點(diǎn)在y軸上②焦點(diǎn)在x軸上③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6④拋物線的通徑的長為5⑤由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)能使這個(gè)拋物線方程為y2＝10x的條件是____②⑤____．(要求填寫適宜條件的序號)26、設(shè)A、B為拋物線上的點(diǎn),且(O為原點(diǎn)),那么直線AB必過的定點(diǎn)坐標(biāo)為__________.【解題思路】由特殊入手，先探求定點(diǎn)位置［解析］設(shè)直線OA方程為,由解出A點(diǎn)坐標(biāo)為解出B點(diǎn)坐標(biāo)為，直線AB方程為,令得，直線AB必過的定點(diǎn)【名師指引】〔1〕由于是填空題，可取兩特殊直線AB,求交點(diǎn)即可；〔2〕B點(diǎn)坐標(biāo)可由A點(diǎn)坐標(biāo)用換k而得。三、解答題27、設(shè)A、B為拋物線上的點(diǎn),且(O為原點(diǎn)),證明直線AB必過的定點(diǎn)。【解題思路】由特殊入手，先探求定點(diǎn)位置［解析］設(shè)直線OA方程為,由解出A點(diǎn)坐標(biāo)為解出B點(diǎn)坐標(biāo)為，直線AB方程為,令得，直線AB必過的定點(diǎn)【名師指引】〔1〕由于是填空題，可取兩特殊直線AB,求交點(diǎn)即可；〔2〕B點(diǎn)坐標(biāo)可由A點(diǎn)坐標(biāo)用換k而得。28、拋物線．過動點(diǎn)M〔，0〕且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，．〔Ⅰ〕求的取值范圍；〔Ⅱ〕假設(shè)線段AB的垂直平分線交軸于點(diǎn)N，求面積的最大值．(14分)[解析]：〔Ⅰ〕直線的方程為，將，得．設(shè)直線與拋物線兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為、，那么又，∴． ∵，∴．解得． 〔Ⅱ〕設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q，令坐標(biāo)為，那么由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，． ∴．又為等腰直角三角形，∴，∴即面積最大值為29、如圖，直線l1和l2相交于點(diǎn)M，l1⊥l2，點(diǎn)N∈l1．以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等．假設(shè)△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程．(14分)解：設(shè)曲線段C的方程為，其中分別為A、B的橫坐標(biāo)，．所以，．由，得①②聯(lián)立①②解得．將其代入①式并由p>0解得，或．因?yàn)椤鰽MN為銳角三角形，所以，故舍去．∴p=4，．由點(diǎn)B在曲線段C上，得．綜上得曲線段C的方程為30、(2010年揭陽聯(lián)考)M(0，－2)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸，點(diǎn)P在直線AB上，且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0.(1)當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動時(shí)，求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(－2,0)的直線l與軌跡C交于E、F兩點(diǎn)，又過E、F作軌跡C的切線l1、l2，當(dāng)l1⊥l2，求直線l的方程．．解析：(1)設(shè)P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)(yB＞0)那么eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－xA，y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，yB－y)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))得xA＝2x，yB＝2y，又eq\o(MA,\s\up6(→))＝(xA,2)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－xA，y)，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝(2x,2)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－x，y)，由eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0得x2＝y(tǒng)(y＞0)．(2)顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y＝k(x＋2)，設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，因?yàn)閥′＝2x，故兩切線的斜率分別為2x1,2x2.由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝y(tǒng),y＝kx＋2))得x2－kx－2k＝0，所以x1＋x2＝k，x1·x2＝－2k，當(dāng)l1⊥l2時(shí)，2x1·2x2＝－1，所以k＝eq\f(1,8).31、(2010年山東卷)如右圖所示，設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p＞0)，M為直線y＝－2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A、B.(1)求證：A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；(2)當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，－2p)時(shí)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝4eq\r(10)，求此時(shí)拋物線的方程；解析：(1)證明：由題意設(shè)Aeq\b\lc