2024年高考試題與答案-全國卷1數(shù)學(xué)理

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué) 第I卷一．選擇題〔1〕設(shè)集合，那么 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕R〔2〕函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，那么 〔A〕R〕 〔B〕·〔〕 〔C〕R〕 〔D〕〔〕〔3〕雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，那么m= 〔A〕 〔B〕－4 〔C〕4 〔D〕〔4〕如果復(fù)數(shù)是實數(shù)，那么實數(shù)m= 〔A〕1 〔B〕－1 〔C〕 〔D〕－〔5〕函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 〔A〕Z 〔B〕Z 〔C〕Z 〔D〕Z〔6〕△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.假設(shè)a、b、c成等比數(shù)列，且 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕〔7〕各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，那么這個球的外表積是 〔A〕16 〔B〕20 〔C〕24 〔D〕32〔8〕拋物線上的點到直線距離的最小值是 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕3〔9〕設(shè)平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.如果平面向量b1、b2、b3滿足 順時針旋轉(zhuǎn)30°后與bi同向，其中i=1，2，3，那么 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕〔10〕設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，假設(shè)=80，那么 = 〔A〕120 〔B〕105 〔C〕90 〔D〕75〔11〕用長度分別為2、3、4、5、6〔單位：cm〕的5根細木棒圍成一個三角形〔允許連接，但 不允許折斷〕，能夠得到的三角形的最大面積為 〔A〕cm2 〔B〕cm2 〔C〕cm2 〔D〕20cm2〔12〕設(shè)集合，選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中 最大的數(shù)，那么不同的選擇方法共有 〔A〕50種 〔B〕49種 〔C〕48種 〔D〕47種第二卷二．填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分.把答案填在橫線上.〔13〕正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，那么側(cè)面與底面所成的二面角等于.〔14〕設(shè)，式中變量x、y滿足以下條件 那么z的最大值為.〔15〕安排7位工作人員在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日.不同的安排方法共有種.〔用數(shù)字作答〕〔16〕設(shè)函數(shù)假設(shè)是奇函數(shù)，那么=.三．解答題：本大題共6小題，共74分.解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟.〔17〕〔本小題總分值12分〕 △ABC的三個內(nèi)角為A、B、C，求當(dāng)A為何值時,取得最大值,并求出這個最大值.〔18〕〔本小題總分值12〕 A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用假設(shè)干試驗組進行比照試驗，每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效.假設(shè)在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組.設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為. 〔Ⅰ〕求一個試驗組為甲類組的概率；〔Ⅱ〕觀察3個試驗組，用表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù).求的分布列和數(shù)學(xué)期望.〔19〕〔本小題總分值12分〕 如圖，、是相互垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段.點A、B在上，C在上，AM=MB=MN. 〔Ⅰ〕證明；〔Ⅱ〕假設(shè)，求NB與平面ABC所成角的余弦值.〔20〕〔本小題總分值12分〕 在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓.設(shè)橢圓在第一象限的局部為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x、y軸的交點分別為A、B，且向量.求： 〔Ⅰ〕點M的軌跡方程；〔Ⅱ〕||的最小值.〔21〕〔本小題總分值14分〕 函數(shù) 〔Ⅰ〕設(shè)，討論的單調(diào)性；〔Ⅱ〕假設(shè)對任意恒有，求a的取值范圍.〔22〕〔本小題總分值12分〕 設(shè)數(shù)列的前n項的和 〔Ⅰ〕求首項與通項； 〔Ⅱ〕設(shè)證明：.2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)試題〔必修+選修Ⅱ〕參考答案一．選擇題〔1〕B 〔2〕D 〔3〕A 〔4〕B 〔5〕C 〔6〕B 〔7〕C 〔8〕A 〔9〕D 〔10〕B 〔11〕B 〔12〕B二．填空題〔13〕 〔14〕11〔15〕2400〔16〕三．解答題〔17〕解：由 所以有 當(dāng)〔18分〕解：〔Ⅰ〕設(shè)A1表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小白鼠有i只〞，i=0，1，2，B1表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小白鼠有i只〞，i=0，1，2，依題意有 所求的概率為P=P〔B0·A1〕+P〔B0·A2〕+P〔B1·A2〕=〔Ⅱ〕ξ的可能值為0，1，2，3且ξ~B〔3，〕ξ的分布列為ξ0123p數(shù)學(xué)期望〔19〕解法： 〔Ⅰ〕由l2⊥MN，l2⊥l1，MNl1=M，可得l2⊥平面ABN.由MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影，∴AC⊥NB 〔Ⅱ〕∵Rt△CAN=Rt△CNB，∴AC=BC，又∠ACB=60°，因此△ABC為正三角形?！逺t△ANB=Rt△CNB?！郚C=NA=NB，因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心，連結(jié)BH，∠NBH為NB與平面ABC所成的角。 在Rt△NHB中， 解法二： 如圖，建立空間直角坐標系M－xyz， 令MN=1， 那么有A〔-1，0，0〕，B〔1，0，0〕，N〔0，1，0〕。 〔Ⅰ〕∵MN是l1、l2的公垂線，l2⊥l1，∴l(xiāng)2⊥平面ABN，∴l(xiāng)2平行于z軸， 故可設(shè)C〔0，1，m〕于是∴AC⊥NB. 〔Ⅱ〕又∠ABC=60°，∴△ABC為正三角形，AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中，NB=，可得NC=，故C連結(jié)MC，作NH⊥MC于H，設(shè)H〔0，λ，〕〔λ>0〕.∴HN⊥平面ABC，∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又〔20〕解：〔Ⅰ〕橢圓的方程可寫為，式中得，所以曲線C的方程為設(shè)，因P在C上，有，得切線AB的方程為設(shè)A〔x，0〕和B〔0，y〕，由切線方程得由的M的坐標為〔x，y〕，由滿足C的方程，得點M的軌跡方程為〔Ⅱ〕∵∴且當(dāng)時，上式取等號，故的最小值為3?！?1〕解：〔Ⅰ〕的定義域為求導(dǎo)數(shù)得〔i〕當(dāng)a=2時，〔0，1〕和〔1，+∞〕均大于0，所以為增函數(shù)?！瞚i〕當(dāng)在〔－∞，1〕，〔1，+∞〕為增函數(shù)?！瞚ii〕當(dāng)令當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：〔1，+∞〕+－++↗↘↗↗〔1，+∞〕為增函數(shù)，為減函數(shù)?！并颉场瞚〕當(dāng)時，由〔Ⅰ〕知：對任意恒有〔ii〕當(dāng)時，取，那么由〔Ⅰ〕知〔iii〕當(dāng)時，對