2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-平面向量（附答案）

2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)——平面向量決勝2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)特訓(xùn):平面向量（解答題篇）1．已知向量，．(1)求的坐標(biāo)及；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)的值．2．己知向量以為基底的分解式為，其中.(1)求m，n的值；(2)若，且，求k的值.3．的內(nèi)角的對邊分別為，已知的周長為.(1)求的值；(2)求的最大值.4．如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點(diǎn)，交于．(1)用和表示；(2)求證：．5．在中，角的對邊分別為，且，．(1)求的長；(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，若線段的長不大于，求的長的最大值．6．在梯形ABCD中，．(1)求AC；(2)若，求的值．7．已知圓過點(diǎn)，，三個(gè)點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過圓外點(diǎn)向圓引兩條切線，且切點(diǎn)分別為A，兩點(diǎn)，求最小值.8．在中，為邊的中線，證明：(1)；(2)．9．已知的內(nèi)角的對邊分別為，面積為.(1)求；(2)若的周長為20，面積為，求.10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和，設(shè)的面積為，內(nèi)切圓半徑為，當(dāng)時(shí)，記頂點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，，，在上，且直線與相交于點(diǎn)，記，的斜率分別為，．(i)設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，證明：存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，；(ii)若，當(dāng)最大時(shí)，求四邊形的面積．11．已知向量滿足，且的夾角為.(1)求的模；(2)若與互相垂直，求λ的值.12．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．(1)求證：；(2)若，求b．13．已知向量，，.(1)求的最大值，并求此時(shí)的值；(2)若，求的取值范圍.14．單位向量，滿足.(1)求與夾角的余弦值：(2)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.15．如圖，在等腰梯形中，，，M為線段中點(diǎn)，與交于點(diǎn)N，P為線段上的一個(gè)動點(diǎn)．(1)用和表示；(2)求；(3)設(shè)，求的取值范圍．16．已知雙曲線過點(diǎn)且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在雙曲線上，且，求與的值．17．已知向量，向量，.(1)求的最小正周期；(2)求在上零點(diǎn)和極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).18．已知F是拋物線E：的焦點(diǎn)，是拋物線E上一點(diǎn)，與點(diǎn)F不重合，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為P，且．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，求的最大值．

答案：1．(1)(2)1或【分析】（1）由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算以及模的坐標(biāo)公式即可得解.（2）由向量平行的充要條件列出方程即可得解.【詳解】（1）由題意，，所以，所以.（2）由題意與平行，所以當(dāng)且僅當(dāng)，化簡得，解得，即實(shí)數(shù)的值為1或-1.2．(1)(2)【分析】（1）由平面向量基本定理，列方程組求m，n的值；（2）利用向量共線的條件，計(jì)算k的值.【詳解】（1），則有，解得.（2），由，有，即，則，解得.3．(1)2(2)【分析】（1）由題意結(jié)合數(shù)量積定義、余弦定理即可求解.（2）由題意結(jié)合余弦定理以及基本不等式相關(guān)推論即可求解.【詳解】（1），即.因?yàn)榈闹荛L為6，所以，解得.（2）由（1）可知.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故當(dāng)時(shí)，取得最大值.4．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，，再結(jié)合向量的加減法和平面向量基本定理可求得結(jié)果；（2）由題意可得，再結(jié)合和三點(diǎn)共線，可求出，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1），，又為上靠近的三等分點(diǎn)，，；（2）交于，，由（1）知．．三點(diǎn)共線，，解得，．即5．(1)(2)2【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角形的內(nèi)角關(guān)系即可求出c的長；（2）因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，兩邊平方，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式求解可得b的范圍，則最大值可求.【詳解】（1）在中，由正弦定理得．又，故，即．又因?yàn)椋?，即，故．在中，由于，所以，所以．?）設(shè)線段的長為，則．因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以．兩邊平方得，即．又因?yàn)?，所以，解得．又，所以．所以的長的最大值為2．6．(1)3(2)或9【分析】（1）在中，由正弦定理求出答案；（2）求出，在中，由余弦定理得到或2，利用向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】（1）在中，由正弦定理，即，得，解得；（2）由，得，因?yàn)?，所以．在中，由余弦定理，得，即?，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足要求，因?yàn)?，所以?.7．(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓的一般方程為，將三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，求出D、E、F的值，再化簡成標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）將向量轉(zhuǎn)化為，再利用數(shù)量積公式化簡，用半徑表示長，消元，利用均值不等式求最值.【詳解】（1）設(shè)圓的一般方程為，將，，分別代入得，解得，，所以圓的一般方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖所示，，，設(shè)，且半徑，所以在直角三角形PAM中可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以的最小值為.8．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）在和中，利用余弦定理得到和，兩式相加，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，結(jié)合向量的運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，在和中，由余弦定理，可得；，因?yàn)闉檫叺闹芯€，所以，所以所以．（2）解：在中，因?yàn)闉檫叺闹芯€，由，可得，即．9．(1)(2)【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的定義、三角形的面積公式可求出，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值;（2）結(jié)合余弦定理及面積與周長公式整理計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可得，所以，因?yàn)椋?（2）由余弦定理可得，，即.因?yàn)?，所?因?yàn)椋哉淼?，所?10．(1)(2)(i)證明見解析；(ii)【分析】（1）根據(jù)題意可得，化簡得，由橢圓定義可解；（2）(i)（法一）由直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，同理可得，又利用向量數(shù)量積運(yùn)算，求出；（法二）設(shè)，，，由點(diǎn)差法得，則，同理，欲使，則，求得；(ii)由弦長公式可得，，∵，則，利用換元法和基本不等式知時(shí)取最大值，不妨設(shè)此時(shí)，，直線和的夾角為，則，從而，再由弦長公式求出、，即可求解.【詳解】（1）由題意得，易知，

由橢圓定義可知，動點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，且長軸長為的橢圓上，又不能在直線上，∴的方程為：．（2）（2）(i)（法一）設(shè)，，，易知直線的方程為，聯(lián)立，得，∴，∴，，即，同理可得，，∴，欲使，則，即，∴，∴存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，．（法二）設(shè)，，，易知的斜率不為零，否則與重合，欲使，則將在軸上，又為的中點(diǎn)，則軸，這與過矛盾，故，同理有，則，可得，易知，，且，，∴，即，同理可得，，欲使，則，∴，∴，∴存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，．(ii)由(i)易知，且，∴，即，同理可得，，∵，∴，記，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)此時(shí)，，且直線和的夾角為，則，不難求得，此時(shí)，易知，且，∴四邊形的面積為．方法點(diǎn)睛：1.利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.2.中點(diǎn)弦問題常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有，，三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式即可求得斜率.同時(shí)設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別也可充分的破解中點(diǎn)問題.11．(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)向量滿足，且的夾角為，由求解；（2）根據(jù)與互相垂直，由求解.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄繚M足，且的夾角為，所以，解得；（2）因?yàn)榕c互相垂直，所以，，即，解得或.12．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由余弦定理結(jié)合已知推理即得.（2）根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積定義、正弦定理求出，再由余弦定理結(jié)合（1）求解即得.【詳解】（1）在中，由余弦定理及，得，所以.（2）在中，由，得，即，由及正弦定理得，兩式平方相加得，于是，由余弦定理得，又，則，即，而，解得，因此，所以.13．(1)最大值為，(2)【分析】（1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出模，表示為函數(shù)，求最值即可.（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算得到乘積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)合理求值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，（2），設(shè)，易知是第一象限角，故原式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，易知是第一象限角，故，，當(dāng)時(shí)，，，故，即，14．(1)(2)【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求得，再由模長與數(shù)量積求得與夾角的余弦值；（2）由題意得且與不共線，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，則，則，即與夾角的余弦值.（2）因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以且與不共線，當(dāng)與共線時(shí)，有，即，由（1）知與不共線，所以，解得，所以當(dāng)與不共線時(shí)，，由，得，即，解得，所以且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．(1)(2)(3)【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算；（2）由題意得，由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件求出，即可得出答案；（3）由題意，可設(shè)，代入中并整理可得，又，根據(jù)平面向量基本定理得出方程組，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）由向量的線性運(yùn)算法則，可得，①，②因?yàn)镸為線段中點(diǎn)，則，聯(lián)立①②得：，整理得：．（2）由AM與BD交于點(diǎn)N，得，由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件知，，解得：．所以，即．（3）由題意，可設(shè)，代入中并整理可得．又，故，可得：，．因?yàn)?，所以，．在單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，的取值范圍為．16．(1)1(2)【分析】（1）由橢圓方程可得，設(shè)雙曲線方程，則且，解出a、b即可；（2）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】（1）橢圓x2+4y2＝16，即為1，所以焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線的方程為，則，又1，解得，所以雙曲線的方程為1；（2）若點(diǎn)在雙曲線上，且0，即，得，又，解得．17．(1)(2)3；3.【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式化簡，再由的最小正周期即可得出答案；（2），由的圖象結(jié)合零點(diǎn)和極值點(diǎn)的定義即可得出答案.【詳解】（1），則的最小正周期.（2）令，因?yàn)?，所以，由的圖象可得，當(dāng)時(shí)，即在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)