2023-2024學年高考數(shù)學圓錐曲線的方程專項練習題（附答案）

2023-2024學年高考數(shù)學圓錐曲線的方程小專題一、單選題1．拋物線的準線方程為(

)A． B． C． D．2．橢圓與橢圓的（

）A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等3．設(shè)圓錐曲線的兩個焦點分別為，.若曲線上存在點P滿足，則曲線的離心率等于（

）A． B． C．或 D．或4．阿基米德既是古希臘著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓的中心為原點，焦點、在軸上，橢圓的面積為，且離心率為，則的標準方程為（

）A． B．C． D．5．設(shè)雙曲線：的兩個焦點為，，是雙曲線H上的任意一點，過作的角平分線的垂線，垂足為，則點到直線的距離的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．66．國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式．在手工課上，張老師帶領(lǐng)同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為（

）cmA．30 B．10 C．20 D．7．若橢圓和雙曲線有相同的焦點和，而是這兩條曲線的一個交點，則的值是（

）A． B． C． D．8．若橢圓與雙曲線有相同的焦點，，P是兩曲線的一個交點，則的面積是（）A． B．t C．2t D．4t二、多選題9．已知曲線C：（其中，為參數(shù)），下列說法正確的是（

）A．若，則曲線C表示圓B．若，則曲線C表示橢圓C．若，則曲線C表示雙曲線D．若，，則曲線C表示兩條直線10．已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．當時，曲線C是橢圓B．當或時，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則11．對標準形式的拋物線給出下列條件，其中滿足拋物線的有（）A．焦點在y軸上B．焦點在x軸上C．拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6D．由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為12．2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）的正視圖近似伯努利雙紐線.定義在平面直角坐標系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡成為雙紐線，已知點是雙紐線上一點，下列說法正確的有（

）．

A．雙紐線關(guān)于原點中心對稱；B．；C．雙紐線上滿足的點有兩個；D．的最大值為.三、填空題13．拋物線的焦點坐標為，準線方程為.14．已知橢圓的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接，.若，，，則C的離心率為.15．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，若，則直線的方程為.16．在平面直角坐標系中，已知拋物線C：的焦點為F，準線為，過點F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點（其中A在B的上方），過線段的中點M且與x軸平行的直線依次交直線，，于點P，Q，N．給出下列四個命題：①；②若P，Q是線段的三等分點，則直線的斜率為；③若P，Q不是線段的三等分點，則一定有；④若P，Q不是線段的三等分點，則一定有；其中正確的是（寫出所有正確命題的編號）．

答案：1．C【分析】根據(jù)拋物線標準方程即可求解.【詳解】由題知，拋物線方程為，則其準線方程為.故選：C2．D【分析】求出兩橢圓的長軸長、短軸長、焦距以及離心率，即可得出合適的選項.【詳解】橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，所以，兩橢圓的焦距相等，長軸長不相等，短軸長不相等，離心率也不相等.故選：D.3．C【分析】根據(jù)圓錐曲線的類型，結(jié)合圓錐曲線的定義和離心率的公式分類討論進行求解即可.【詳解】設(shè)該圓錐曲線的離心率為，當該圓錐曲線為橢圓時，，當該圓錐曲線為雙曲線時，.即曲線的離心率等于或.故選：C.4．A【分析】由題意得，然后列出方程組，從而求解.【詳解】由題意得：，離心率：，從而可得方程組：，解得.故橢圓的標準方程為：，故A項正確.故選：A.5．B【分析】首先根據(jù)幾何關(guān)系求得點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，再根據(jù)圓心到直線的距離加上半徑為點到直線的距離的最大值，最后求解即可.【詳解】由題意，延長，交于一點，連接，因為，且為的平分線，所以，且點為線段的中點，假設(shè)點在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得，所以，因為，分別為，的中點，所以，由雙曲線的對稱性可得點的軌跡為以原點為圓心，為半徑的圓，軌跡方程為，點到直線的距離的最大值為原點到直線的距離加上半徑，即，故B項正確故選：B.6．C【分析】求出大橢圓的離心率，根據(jù)兩橢圓離心率相同，結(jié)合小橢圓短半軸長即可求得其長半軸長，即得答案.【詳解】在大橢圓中，，，則，則橢圓離心率為．∵兩橢圓扁平程度相同，∴離心率相等，∴在小橢圓中，，結(jié)合題意知，得，∴小橢圓的長軸長為20．故選：C7．A【分析】利用橢圓與雙曲線的定義得出與的和與差，變形求得積．【詳解】由題意知不妨設(shè)點是兩曲線在第一象限內(nèi)的交點，可得：，解得：，則，故A項正確.故選：A.8．B【分析】設(shè)，，再根據(jù)橢圓與雙曲線的定義列式，化簡可得，可得是直角三角形，再根據(jù)可得面積.【詳解】設(shè)，，不妨設(shè)交點P在第一象限，分別為左右焦點，則①，②，，可得①②2：，∴是直角三角形，①②：，．故選：B9．ACD【分析】利用圓、橢圓、雙曲線的標準方程一一判定即可.【詳解】對于A項，由，是以原點為圓心，為半徑的圓，故A正確；對于B項，顯然時，不是橢圓，故B錯誤；對于C項，若，若，兩種情況都表示雙曲線，故C正確；對于D項，若，若，兩種情況均表示兩條直線，故D正確.故選：ACD.10．BC【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線方程的特征逐項判斷作答.【詳解】對于A，當時，，則曲線是圓，A錯誤；對于B，當或時，，曲線是雙曲線，B正確；對于C，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，C正確；對于D，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，D錯誤．故選：BC.11．BD【分析】根據(jù)拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由拋物線的焦點坐標為，位于軸上，所以A不滿足，B滿足；對于C中，設(shè)是拋物線上一點，為焦點，則，所以C不滿足對于D中，由于拋物線的焦點為，若由原點向該直線作垂線，垂足為，設(shè)過該焦點的直線方程為，則，此時該直線存在，所以D滿足．故選：BD.12．ABD【分析】對于A，根據(jù)雙紐線的定義求出曲線方程，然后將替換方程中的進行判斷，對于B，根據(jù)三角形的等面積法分析判斷，對于C，由題意得，從而可得點在軸上，進行可判斷，對于D，由向量的性質(zhì)結(jié)合余弦定理分析判斷.【詳解】對于A，因為定義在平面直角坐標系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，所以，用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關(guān)于原點中心對稱，所以A正確，對于B，設(shè)∵，，∴，∴，∴，故B正確；對于C，由知在的垂直平分線（方程為）上將代入得即，解得，∴這樣的點只有一個，故C錯誤；對于D，因為，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值為，故D正確；故選：ABD.13．/【分析】把拋物線方程化成標準方程形式，結(jié)合焦點坐標和準線方程進行求解即可.【詳解】，因此該拋物線的焦點坐標為，準線方程為，故；14．【分析】設(shè)橢圓的右焦點為，由橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，利用余弦定理求出，再根據(jù)橢圓的定義分別求出，結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點為，連接，由橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以四邊形為矩形，所以，則，，所以，所以C的離心率為.故答案為.方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.15．【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程得到，再利用拋物線的定義與條件求得，進而求得，從而得解.【詳解】設(shè)，拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程設(shè)為，則，聯(lián)立，可得，易得，則，由拋物線的定義，可得，由，得，解得所以，解得，故直線的方程為.故答案為.16．①②【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用三點共線即可判斷①，若是線段的三等分點，則，利用韋達定理和弦長公式即可求判斷②，運用求根公式求得點的坐標，結(jié)合的表達式，可判斷③，由圖像可以判斷④.【詳解】由拋物線C：可知，焦點坐標為，設(shè)直線的方程為，，設(shè)，聯(lián)立得，，則，則，所以直線的方程為，因為三點共線，，，同理，所以，，