深入數學教學 重視習題探究

精品文檔-下載后可編輯深入數學教學重視習題探究課本中的習題，具有典型性、示范性和探索性，因此，深入探究每一道習題，充分挖掘其內在的數學思想與方法，發(fā)揮典型習題應有的功能與價值，對調動學生的學習積極性，培養(yǎng)學生的思維品質，提高學生的數學素養(yǎng)，同時教師自己也能得到發(fā)展。本文擬就浙教版《數學》九年級上冊P.118作業(yè)題B組第5題，談談自己的一些思考。

原題有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上。問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？

為方便起見,將參考答案摘錄如下：設正方形PQMN

為加工成的正方形零件,邊QM在BC上,頂點P、N分別

在AB、AC上。ABC的高AD與邊PN相交于點E，

設正方形的邊長為xmm

PN∥BC,APN∽ABC

即

解得x=48

答：加工成的正方形零件的邊長是48mm。

思考一課本中給出的三角形余料ABC的圖形不夠標準，與題意產生矛盾，缺乏嚴謹性和科學性

我認為此題有一個小小的瑕疵，若不仔細觀察，

動手測量、計算和必要的推理，還真不容易發(fā)現問

題所在，可能是教材編寫者把注意力集中在知識點

相似三角形性質的鞏固和運用上，忽視了對圖形的

考慮，忽視了對數據的研究，沒有將圖形與數據有

機結合起來，所給的ABC中的∠BAC=Rt∠,這是不可能的，

是錯誤的。理由簡單如下：如圖1，以BC為直徑作，如果∠BAC=Rt∠,

則點A必定在圓上，顯然BC邊上的高AD≤BC/2=60mm，這與題意高AD=80mm

相矛盾，因此點A必在圓外，所以∠BAC是一個銳角不可能是Rt∠。也許有人認為這是小題大做吹毛求疵，不必大驚小怪，對求解也不會產生多大的影響，不值得研究討論?？蛇@畢竟是教材，里邊的習題，都是精挑細選，反復斟酌，最后敲定的，是眾多專家智慧的結晶，應該力爭完美，做到準確無誤。

思考二、滿足題意的三角形余料ABC的圖形究竟應該怎樣？是否都有內接正方形？

定義四個頂點都在一個三角形的邊上的正方形叫做三角形的內接正方形。

根據課本題目給出的條件，滿足BC=120mm，BC邊上高AD=80mm，可知點A的位置無法確定，由于A點的位置不同，得到的三角形余料ABC的形狀也不同，因此需要分情況進行探討：

1.如圖2，當垂足D落在線段BC內時，即ABC是銳角三角形，在每一條邊上均可畫出一個正方形，故銳角三角形有三個內接正方形。

2.如圖3，當垂足D落在線段BC的兩個端點時，即ABC是直角三角形，由于兩直角邊上的正方形互相重合，故直角三角形有兩個內接正方形。

3.如圖4，當垂足D落在線段BC延長線上時（或CB的延長線），即ABC是鈍角三角形，這時使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上的正方形并不存在，只有在最長邊上可以畫出一個內接正方形，故鈍角三角形只有一個內接正方形

根據以上分析及教材編寫者意圖，結合參考答案，建議課本將題目和圖形修改如下：

修改題有一塊銳角三角形余料ABC，如圖，它的邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上。⑴加工成的正方形零件的邊長是多少mm？

⑵如果BC=a，高AD=h，問加工成的正方形零件的邊長又是多少mm？

修改意圖：使題意明確，圖形符合要求，更具針對性，

做到數據圖形兩結合。特別是追加的第（2）個問題，促使學生去探求內接正方形邊長計算的一般方法，體現從特殊到一般的數學思想，更能使學生明確對于銳角三角形只要已知一邊及這一邊上的高，即可求出這一邊上的內接正方形的邊長的結論。

可設內接正方形邊長為x，依據相似三角形的性質和等比性質，

有

所以或

思考三課本中給出的三角形余料ABC的內接正方形PQMN是怎樣加工出來的？根據三角形余料ABC的不同形狀，怎樣使加工成的正方形零件最大?，F以正方形的邊QM落在BC邊上為例，一一進行探討。

1.銳角三角形余料ABC中BC邊上的最大正方形

方法（1）利用圖形的位似和相似三角形的性質進行構造

畫法①：以BC為一邊向三角形外作正方形BEPC

連接AE、AP交BC于點Q、M，

分別過Q、M作QPBC交AB于點P

MNBC交AC于點N，連接PN。

則四邊形PQMN是ABC的內接正方形，如圖5。

簡要說明NM//CP，

AMN∽APC

同理可得

因為CP=BE，所以NM=PQ

又因為NM//PQ且NMBC

所以四邊形PQMN是矩形

又因為，EP=CP，

所以QM=NM

即四邊形PQMN是正方形。

畫法②在AB邊上任取點D，過D作DEBC于點E，以DE為一邊作正方形DEFG，如圖6，連接BG并延長交AC于點N，過N分別作NMBC于M，NP//BC交AB于點P，過P作PQBC于點Q，則四邊形PQMN即為所作的ABC的內接正方形。

簡要說明：由畫圖可知四邊形PQMN是矩形，

根據相似三角形的性質有

因為GF=GD所以NM=NP

即四邊形PQMN是ABC的內接正方形。

方法（2）根據前面內接正方形邊長計算的結論進行構造

引例已知：如圖7，AD和BC相交于點于E,

AC//BD//EF，EF交AB于F，又AC=p，BD=q，FE=r。

證明：

于是構造如圖8所示圖形，過點A作AF//BC，

滿足AF=AD，連接CF交AB于點P，過點P作PN//BC交AC于點N，則AF//PN//BC，

由引例可知

即PN就是所求正方形的邊長。

因此只要分別過P、N作PQBC于Q，NMBC于M，則四邊形PQMN就是ABC的內接正方形。

2.直角三角形余料ABC中BC邊上的最大正方形銳角三角形中的畫正方形的方法同樣適用于直角三角形，不過，對于特殊的直角三角形還有更簡單的畫法，作∠ACB的平分線CP交AB于點P，過P點作PQBC交BC于點Q，PNAC交AC于點N。

則四邊形PQMN是ABC的內接正方形，如圖9。

簡要說明：由畫圖可知四邊形PQMN是矩形，由角平分線的性質可知PQ=PN，所以四邊形PQMN是正方形。

3.鈍角三角形余料ABC中BC邊上的最大正方形將鈍角三角形轉化為直角三角形問題進行考慮，用直角三角形中的畫正方形的方法即可。

過C點作CEBC交AB于點E，作∠BCE的平分線CP交AB于點P，過P點作PQBC交BC于點Q，PNCE交CE于點N。

則四邊形PQMN是BCE的內接正方形，也是鈍角三角形余料ABC中BC邊上的最大正方形如圖10。

思考四正方形PQMN落在三角形余料ABC不同的邊上，所得到的正方形邊長不盡相同，同一三角形余料中不同正方形的邊長如何計算，大小又如何比較，根據三角形余料ABC的不同形狀一一加以分析說明既然同一三角形余料ABC有不同的正方形PQMN，肯定要比較到底誰最大，為便于討論，設ABC的三邊長分別為a、b、c，各邊上的高分別為ha、hb、hc中，邊落在BC、AC、AB邊上的內接正方形的邊長分別為xa、xb、xc，為不失一般性，設a≤b≤c，ABC的面積為s，顯然有aha=bhb=chc=2s

即可得ha≥hb≥hc。按以下三種形狀分類進行討論。

1.三角形余料ABC為銳角三角形時的不同正方形邊長的計算與比較當三角形余料ABC為銳角三角形時，如圖11，根據相似三角形的性質和等比性質有

同理可得

又因為

所以所以xa≥xb，同理xb≥xc，所以xa≥xb≥xc。

結論對于銳角三角形余料，只要已知一邊及這一邊上的高線，即可求出這一邊上的內接正方形的邊長，當內接正方形的一邊落在銳角三角形最短邊上時，邊長最大，即加工成的正方形最大。

2.三角形余料ABC為直角三角形時的不同正方形邊長的計算與比較當三角形余料ABC為直角三角形時，如圖12，a、b為兩條直角邊，則有ab=chc=2S，根據相似三角形的性質和等比性質有

同理可得

所以

因為

所以xa=xb，xa≥xc，所以xa=xb≥xc。

結論對于直角三角形余料，只要已知兩條直角邊，即可求出任何一邊上的內接正方形的邊長，當內接正方形的一邊落在直角邊上時，邊長最大，即加工成的正方形最大。

3.三角形余料ABC為鈍角三角形時的不同正方形邊長的計算與比較當三角形余料ABC為鈍角三角形時，一邊落在BC邊上面積最大的是正方形PQMN，如圖13所示，由前面直角三角形余料分析可知，只要求出線段CE即可，因為CE//AD