備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第4講隨機(jī)事件與概率

第4講隨機(jī)事件與概率課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測1.結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.2.結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.3.通過實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.4.結(jié)合實(shí)例，會用頻率估計(jì)概率.事件的關(guān)系的判斷2020新高考卷ⅠT5本講知識是概率部分的基礎(chǔ)，高考命題熱點(diǎn)為互斥事件和對立事件的概率計(jì)算，以頻率估計(jì)概率，古典概型的求解，概率基本性質(zhì)的應(yīng)用等，題型既有小題也有大題，大題常與排列組合、分布列、期望與方差、統(tǒng)計(jì)等知識綜合命題，難度中等.在2025年高考備考中，要加強(qiáng)對本講概念的理解與應(yīng)用及與其他知識的綜合訓(xùn)練.求隨機(jī)事件的頻率與概率2023新高考卷ⅡT19；2023北京T18；2022新高考卷ⅡT19；2021全國卷甲T17；2020新高考卷ⅠT19；2020全國卷ⅢT18；2019北京T17古典概型2023全國卷甲T4；2022新高考卷ⅠT5；2022全國卷乙T13；2022全國卷甲T15；2021全國卷甲T10概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用2023全國卷甲T61.樣本空間和隨機(jī)事件（1）樣本空間（i）樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的①基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，一般用Ω表示.（ii）樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，一般用Ω表示.（iii）有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果Ω1，Ω2，…，Ωn，則稱樣本空間Ω＝{Ω1，Ω2，…，Ωn}為有限樣本空間.說明樣本空間可以理解為集合，集合的元素就是樣本空間中的樣本點(diǎn).（2）隨機(jī)事件（i）定義：將樣本空間Ω的②子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件.（ii）表示：一般用大寫字母A，B，C，…表示.（iii）極端情形：③必然事件、不可能事件.2.兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生④A?B相等事件B?A且A?B⑤A＝B并事件（和事件）A與B至少有一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥（互不相容）A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生⑥A∩B＝?，A∪B＝Ω注意對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件，即兩事件互斥是對立的必要不充分條件.3.古典概型（1）古典概型的特征（i）有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有⑦有限個(gè)；（ii）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性⑧相等.（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P（A）＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n（A）和n4.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意的事件A，都有P（A）≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（Ω）＝1，P（?）＝0性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P（A∪B）＝⑨P（A）＋P（B）.（互斥事件的概率加法公式）性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝⑩1－P（B）.性質(zhì)5如果A?B，那么P（A）≤P（B）.性質(zhì)6設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P（A∪B）＝?PA+性質(zhì)3的推廣：若事件A1，A2，…，Am兩兩互斥，則P（A1∪A2∪…∪Am）＝P（A1）＋PA2＋…＋P（Am5.頻率與概率（1）頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn（A）會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P（A）.我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.（2）頻率穩(wěn)定性的作用：可以用頻率fn（A）估計(jì)概率P（A）.說明隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率.1.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（D）A.至多有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶解析射擊兩次的結(jié)果有：一次中靶，兩次中靶，兩次都不中靶，故至少有一次中靶的互斥事件是兩次都不中靶.故選D.2.[教材改編]下列說法錯(cuò)誤的是（D）A.任一事件的概率總在[0，1]內(nèi) B.不可能事件的概率為0C.必然事件的概率為1 D.概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定解析任一事件的概率總在[0，1]內(nèi)，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，概率是客觀存在的，是一個(gè)確定值.3.[教材改編]若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P（A）＝2－a，PB=4a-5，則實(shí)數(shù)aA.（54，2） B.（54，32） C.[54，32] D.解析由題意可知0<P（A）<1，0<P（B）4.[多選]下列說法正確的是（CD）A.兩個(gè)互斥事件的概率和為1B.兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件都發(fā)生C.對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件D.從－3，－2，－1，0，1，2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相等5.[教材改編]某戰(zhàn)士射擊一次，擊中環(huán)數(shù)大于7的概率是0.6，擊中環(huán)數(shù)是6或7或8的概率相等，且和為0.3，則該戰(zhàn)士射擊一次擊中環(huán)數(shù)大于5的概率為0.8.解析記“擊中6環(huán)”為事件A，“擊中7環(huán)”為事件B，“擊中環(huán)數(shù)大于7”為事件C，事件A，B，C彼此互斥，且易知P（A）＝0.1，P（B）＝0.1，P（C）＝0.6.記“擊中環(huán)數(shù)大于5”為事件D，則P（D）＝P（A∪B∪C）＝0.1＋0.1＋0.6＝0.8.6.拋擲一枚骰子，記A事件為“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B事件為“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則P（A∪B）＝23，P（A∩B）＝16解析拋擲一枚骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的樣本空間為Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A∪B＝{1，3，5，6}，故P（A∪B）＝23；事件A∩B＝{3}，故P（A∩B）＝1研透高考明確方向命題點(diǎn)1事件的關(guān)系的判斷例1（1）[多選]擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（CD）A.A?BB.A＝BC.A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是2D.A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3解析設(shè)A＝{1，2}，B＝{2，3}，則A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是2，A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.故選CD.（2）[多選]將顏色分別為紅、綠、白、藍(lán)的4個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人一個(gè)，則（BD）A.事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”是互斥不對立事件B.事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”是互斥不對立事件C.事件“甲分得綠球，乙分得藍(lán)球”的對立事件是“丙分得白球，丁分得紅球”D.當(dāng)事件“甲分得紅球”的對立事件發(fā)生時(shí)，事件“乙分得紅球”發(fā)生的概率是1解析事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A錯(cuò)誤；事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，除了甲分得紅球或者乙分得紅球以外，丙或者丁也可以分得紅球，B正確；事件“甲分得綠球，乙分得藍(lán)球”與事件“丙分得白球，丁分得紅球”可以同時(shí)發(fā)生，不是對立事件，C錯(cuò)誤；事件“甲分得紅球”的對立事件是“甲沒有分得紅球”，因此乙、丙、丁三人中有一個(gè)人分得紅球，事件“乙分得紅球”發(fā)生的概率是13.D正確方法技巧判斷事件關(guān)系的策略（1）判斷事件的互斥、對立關(guān)系時(shí)一般用定義法：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件為對立事件.（2）判斷事件的交、并關(guān)系時(shí)，一是緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件.訓(xùn)練1[多選]某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，設(shè)事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，則下列結(jié)論正確的是（BC）A.A?B B.A∩B＝?C.A∪B＝“至少一次中靶” D.A與B互為對立事件解析事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，所以A，B是互斥事件，但不是對立事件，所以A，D錯(cuò)誤，B正確；A∪B＝“至少一次中靶”，C正確.命題點(diǎn)2求隨機(jī)事件的頻率與概率例2[全國卷Ⅰ]某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？解析（1）由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為40100＝0.4乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為28100＝（2）由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525－5－75頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為65×40+25由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤70300－70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為70×28+30比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).方法技巧求隨機(jī)事件的概率的思路（1）計(jì)算所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)；（2）由頻率公式求出頻率，進(jìn)而由頻率估計(jì)概率.訓(xùn)練2[全國卷Ⅲ]某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率.（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率.解析（1）這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，則需最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為2+16+362+16+36+25+7+4＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為（2）當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25），則Y＝6×300＋2×（450－300）－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×（450－200）－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值為900，300，－100.當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20時(shí)，Y大于零，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為36+25+7+490＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為命題點(diǎn)3古典概型例3（1）[2023全國卷甲]某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（D）A.16 B.13 C.12 解析解法一由題意可知，所求概率P＝C21C21解法二記高一年級2名學(xué)生分別為a1，a2，高二年級2名學(xué)生分別為b1，b2，則從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），共6個(gè)，其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），共4個(gè)，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率P＝46＝23（2）[2022新高考卷Ⅰ]從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（D）A.16 B.13 C.12 解析從7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C72＝21（種）取法，取得的2個(gè)數(shù)互質(zhì)的情況有{2，3}，{2，5}，{2，7}，{3，4}，{3，5}，{3，7}，{3，8}，{4，5}，{4，7}，{5，6}，{5，7}，{5，8}，{6，7}，{7，8}，共14種.根據(jù)古典概型的概率公式，得這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為1421＝2方法技巧1.求解古典概型問題的步驟（1）求出樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n；（2）求出事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)k；（3）代入公式P（A）＝kn求解，即為事件A的概率2.求樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：列舉法、列表法、樹狀圖法、排列組合法.訓(xùn)練3（1）[2021全國卷甲]將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（C）A.13 B.25 C.23 解析解法一將4個(gè)1和2個(gè)0視為完全不同的元素，則將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行有A66種排法.將4個(gè)1排成一行有A44種排法，再將2個(gè)0插空有A52種排法.所以2個(gè)0不相鄰的概率解法二將4個(gè)1和2個(gè)0安排在6個(gè)位置，則選擇2個(gè)位置安排0，共有C62種排法.將4個(gè)1排成一行，再將2個(gè)0插空，即在5個(gè)位置中選2個(gè)位置安排0，共有C52種排法.所以2個(gè)0不相鄰的概率P＝（2）[2022全國卷甲]從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為635解析從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，取法有C84＝70（種）.其中①所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖1，有6種取法；②所取的4個(gè)點(diǎn)為正方體同一個(gè)對角面上的4個(gè)頂點(diǎn)，如圖2，也有6種取法. 圖1 圖2所以所取的4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率P＝1270＝6命題點(diǎn)4概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用例4（1）如圖所示，靶子由一個(gè)中心圓面Ⅰ和兩個(gè)同心圓環(huán)Ⅱ，Ⅲ構(gòu)成，射手命中圓面Ⅰ、圓環(huán)Ⅱ、圓環(huán)Ⅲ的概率分別為0.35，0.30，0.25，則射手命中圓環(huán)Ⅱ或圓環(huán)Ⅲ的概率為0.55，未命中靶的概率為0.10.解析設(shè)射手命中圓面Ⅰ為事件A，命中圓環(huán)Ⅱ?yàn)槭录﨎，命中圓環(huán)Ⅲ為事件C，未中靶為事件D，則P（A）＝0.35，P（B）＝0.30，P（C）＝0.25，事件A，B，C兩兩互斥，故射手命中圓環(huán)Ⅱ或圓環(huán)Ⅲ的概率為P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝0.30＋0.25＝0.55，射手命中靶的概率為P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因?yàn)橹邪泻臀粗邪惺菍α⑹录?，所以未命中靶?/p>