備考2024屆高考數(shù)學一輪復(fù)習大題規(guī)范練5解析幾何

大題規(guī)范5解析幾何考情綜述解析幾何解答題，每年必考，難度中等偏上，意在考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想在解題中的靈活、綜合運用，以及直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng).從近幾年的命題情況來看，命題角度主要有：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，定點、定值、定線、最值、范圍、證明問題，存在性、探索性問題，解析幾何與向量、三角、數(shù)列等的綜合問題.解析幾何解答題一般第（1）問較為簡單，第（2）問或第（3）問中伴有較為復(fù)雜的數(shù)學運算，對考生解決問題的能力要求較高.具體解題時，要審清題意，看清已知條件，明確目標問題，準確運用有關(guān)基本知識、方法，避免因出現(xiàn)錯誤而失分.示例[2023新高考卷Ⅰ/12分]在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點（0，12）的距離，記動點P的軌跡為W（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33.思維導(dǎo)引（1）設(shè)動點P（x，y）列方程，化簡，得W的方程（2）矩形ABCD的周長為2（｜AB｜＋｜BC｜）設(shè)直線AB的方程求得弦長｜AB｜，｜BC｜得2（｜AB｜＋｜BC｜）的表達式研究函數(shù)性質(zhì)求解規(guī)范答題（1）設(shè)點P的坐標為（x，y），依題意得｜y｜＝x2＋（y－12化簡得x2＝y(tǒng)－14所以W的方程為x2＝y(tǒng)－14. （3分）→去“絕對值符號”，去“根號”，常利用“平方法”（2）設(shè)矩形ABCD的三個頂點A，B，C在W上，則AB⊥BC，矩形ABCD的周長為2（｜AB｜＋｜BC｜）. （4分）→可根據(jù)題意，在草稿紙上作出W和矩形ABCD的草圖，作圖是為了用圖，用圖是為了轉(zhuǎn)化，心中有圖，勢如破竹！設(shè)B（t，t2＋14），依題意知直線AB故可設(shè)直線AB的方程為y－（t2＋14）＝k（x－t），不妨設(shè)k＞0與x2＝y(tǒng)－14聯(lián)立，得x2－kx＋kt－t2＝0則Δ＝k2－4（kt－t2）＝（k－2t）2＞0，所以k≠2t.設(shè)A（x1，y1），所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t， （5分）→用點斜式設(shè)直線方程，需判斷直線是否與x軸垂直，是否需要分類討論.另易忽略判別式大于零，從而導(dǎo)致忽視k≠2t這一條件而失分.所以｜AB｜＝1+k2｜x1－t｜＝1+k2｜k－2t｜＝1+k2｜｜BC｜＝1+(－1k）2｜2t－（－1k）｜＝1+k2k｜2t＋1k｜＝1+k2k2·｜2kt＋1｜，且2kt＋1≠0，所以2（｜AB｜＋｜BC｜）＝21+k2k2（｜2k2t－k3｜＋｜2kt＋1｜）. （6分）→｜2k2t－k3｜＋｜2kt＋1｜＝（－當2k－2k2≤0，即k≥1時，函數(shù)y＝（－2k2－2k）t＋k3－1在（－∞，－12函數(shù)y＝（2k－2k2）t＋k3＋1在（－12k，k2）上單調(diào)遞減或是常函數(shù)（當k函數(shù)y＝（2k2＋2k）t－k3＋1在（k2，＋∞所以｜2k2t－k3｜＋｜2kt＋1｜＞｜2k2×k2－k3｜＋｜2k×k2＋1｜＝k2＋所以2（｜AB｜＋｜BC｜）＞21+k2k2（k2＋1）＝2（1+k2）32k2. （8分）→去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的依據(jù)：令2k2t－k3＝0，得t＝k2，令2kt＋1＝0，得t＝－12k，又k＞0，k≠2t，2kt＋1≠0，所以按照令f（k）＝2（1+k2）則f'（k）＝2（當1≤k＜2時，f'（k）＜0，當k＞2時，f'（k）＞0，所以函數(shù)f（k）在[1，2）上單調(diào)遞減，在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，所以f（k）≥f（2）＝33，所以2（｜AB｜＋｜BC｜）＞2（1+k2）32k2≥3當2k－2k2＞0，即0＜k＜1時，函數(shù)y＝（－2k2－2k）t＋k3－1在（－∞，－12函數(shù)y＝（2k－2k2）t＋k3＋1在（－12k，函數(shù)y＝（2k2＋2k）t－k3＋1在（k2，＋∞所以｜2k2t－k3｜＋｜2kt＋1｜＞｜2k2×（－12k）－k3｜＋｜2k×（－12k）＋1｜＝k3＋k＝k（1所以2（｜AB｜＋｜BC｜）＞21+k2k2k（k2＋令g（k）＝2（1+k2）32k，0＜k＜1當0＜k＜22時，g'（k）＜0當22＜k＜1時，g'（k）＞0所以函數(shù)g（k）在（0，22）上單調(diào)遞減，在（22，所以g（k）≥g（22）＝33所以2（｜AB｜＋｜BC｜）＞2（1+k2）32k綜上，矩形ABCD的周長大于33. （12分）感悟升華1.解決解析幾何解答題重在“設(shè)”——設(shè)點，設(shè)線2.應(yīng)用設(shè)而不求法解題一般分成程序化的三步：第一步，聯(lián)立直線與曲線的方程，并將消元所得方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系正確寫出；第二步，用兩個交點的橫（縱）坐標的和與積，來表示題目中涉及的數(shù)量關(guān)系；第三步，求解轉(zhuǎn)化而來的代數(shù)問題，并將結(jié)果回歸到原幾何問題中，在求解時，要根據(jù)題目特征，恰當?shù)卦O(shè)點、設(shè)線，以簡化運算.3.解題時注意以下兩種方法的應(yīng)用（1）幾何法，若題目中的條件帶有明顯的幾何特征，可利用曲線的定義、幾何性質(zhì)及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；（2）代數(shù)法，把要求最值的幾何量表示為關(guān)于某個參數(shù)的函數(shù)解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式求解.訓(xùn)練[12分]已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，上頂點為A，橢圓的焦距等于橢圓的長半軸長，且△AF（1）求橢圓的標準方程；（2）若B，C是橢圓上不同的兩點，且直線AB和直線AC的斜率之積為14，求△ABC面積的最大值解析（1）由橢圓的焦距等于橢圓的長半軸長，得2c＝a，① （1分）由△AF1F2的面積為3，得12×2c×b＝3，②（2由①②并結(jié)合a2＝b2＋c2，得c＝1，b＝3，a＝2， （3分）所以橢圓的標準方程為x24＋y23＝1. （2）由（1）知A（0，3），易知直線AB和直線AC的斜率存在，所以點B，C與橢圓的上、下頂點不重合.（不要忽略該隱含條件） （5分）若直線BC的斜率不存在，不妨設(shè)B（x0，y0），x0≠0，則C（x0，－y0），直線AB和直線AC的斜率分別是kAB＝y(tǒng)0－3x0，kAC＝－y所以kAB·kAC＝3－又點B（x0，y0）在橢圓上，所以x024＋y023＝1，所以所以kAB·kAC＝3x024x02＝3所以直線BC的斜率存在. （6分）設(shè)直線BC的方程為y＝kx＋m，其中m≠±3，（提示：當m＝±3時，直線BC過橢圓的上頂點或下頂點，不符合題意）將直線BC的方程代入x24＋y2得（4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ＝（8km）2－4（4k2＋3）（4m2－12）＝48（4k2－m2＋3）＞0，即4k2－m2＋3＞0，設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則x1＋x2＝－8km4k2+3，x1x2＝4m2－124所以kABkAC＝（y1－3)(y2－3）x1x2＝（kx1＋m－3)(kx所以m2－33m＋6＝0，即（m－23）（m－3）＝0，所以m＝23，（注意根據(jù)m≠±3對m的值進行取舍） （8分）所以直線BC的方程為y＝kx＋23，x1＋x2＝－163k4k2+3，x1x2＝364k2所以｜BC｜＝1+k2｜x1－x2｜＝