高中數(shù)學(xué)常用公式和基礎(chǔ)知識梳理復(fù)習(xí)資料

高中數(shù)學(xué)常用公式和基礎(chǔ)知識梳理復(fù)習(xí)資料

——函數(shù)篇

一、集合

R為實(shí)數(shù)集；Q為有理數(shù)集；Z為整數(shù)集；N為自然數(shù)集；N+為正整數(shù)集

n下交(共有)；U上并(合并)；C為補(bǔ)(自己沒有的)

二、基本初等函數(shù)

1、定義域：

⑴一^=>g(x)N。；(2)Jg(x)=g(x)NO;

g(x)

(3)(g(x))“ng(x)*0；(4)log“(g(x))=>g(x)>0

指數(shù)運(yùn)算：a"'?a'1=""+"、(""‘)"=a"'\(ab)n=anb\a'n=曖，痂=cr,ap='

/7

對數(shù)運(yùn)算：logb"=—log?blog“M+logN=log.MNlogM-logaN=log—

amnaaN

sNN

a'°"-Nlogaa-Nlogfla-1log”1=0

2、奇偶性：

(1)f(x)=f(-x)=>f(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱

⑵/(x)=-/(-x)=>/(x)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱

常見的奇函數(shù)：y=kxy=ax3y=Asin(yx

常見的偶函數(shù)：

y=ax2+b\y=Acoscoxy=/(忖)=>及對函數(shù)中所有的x力移刨寸值

3、反函數(shù)：y=/(x)的反函數(shù)/'共幻為工二f(y)

4、常見函數(shù)圖像

募函數(shù)y=x"

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

三、三角函數(shù)及解三角形

34560°90°120135150180

0°OOOOO

1同V2

S出2_

二—10

inV2

色;也

C2_

20-1

os2

也

t-百

3一1V3-10

an

r=yjx2+y2

y

sina=—

r

x

cosa=—

r

y

tana=—

1.誘導(dǎo)公式

對于“竽土a,%ez的三角函數(shù)值”與“a角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶：

奇變偶不變，符號看象限.

(1)“變”與“不變”是針對互余關(guān)系的函數(shù)而言的.

(2)“奇”“偶”是對誘導(dǎo)公式k容a中的整數(shù)Z來講的.

(3)“象限”指售土a中，將a看成銳角時(shí)，垮±心所在的象限，再根據(jù)“一全正，二正

弦，三正切，四余弦”的符號規(guī)律確定原函數(shù)值的符號.

2.常用三種三角函數(shù)的性質(zhì)

=

函數(shù)y=sinxy=cosxytanx

圖像

1zsi

在~~+2k7r,—+2k7r(丘Z).

22_在[―TT+2ATT,2Ki](%ez)上單

(,JITT、

上單調(diào)遞增；調(diào)遞增；在(一/+E,5+%7iJ(A￡Z)

單調(diào)性

71_,3%_,在[2%r,TT+2Kr](%ez)

在—F2左乃，---F2k兀(keZ)上單調(diào)遞增

.22_上單調(diào)遞減

上單調(diào)遞減

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

對稱中心:(kn,O)(*ez)；對稱中心：0+E，O)(k《Z)；

對稱性對稱中心:y,oj(jtez)

對稱軸：x=^+E(kGZ)(

對稱軸：x=kn(kGZ)

3.三角函數(shù)的兩種常見變換

八、,向左S>0）或向右（9<0）./.、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?；倍.,|\

>

山―一十夕）

'（l”）y=sinx—平移網(wǎng)個(gè)單位—7y=sin'（x+^?）--縱--坐---標(biāo)--不--變------3y=sin（oxY

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍../I、/*cC、

橫坐標(biāo)不變>y=Asm（①x+g）（A>0,8>0）.

小、,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍向左（9>0）或向右（然0）..1\

⑵產(chǎn)smx縱坐標(biāo)不變"），=一3平磅個(gè)單位==s1n（s+e）

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍一,ICC\

―橫坐標(biāo)不變~>y=Asin（①x+G（A>0,口>0）

4.兩角和差公式

(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

①sin(a±0=sinacos/?±cos?sin[i.

②COS(Q步)=cosacos股sinasinp.

輔助角公式

asin0±bcos0=yla2+82sin(9±°),tan°二

acos。土。sin9=J。？+b2cos(^+^),tan^z?

tana±tan0

③tan(。土夕)=

1+tanatang

⑵二倍角的正弦、余弦、正切公式

①sin2a=2sinacosa.

21+cos2a

cosa--------------

2

2222

②cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina.降用擴(kuò)角）.21-cos2a

sina=------------

2

1?c

sina?cosa=—sinzcr

2

2tana

③tan2a—

1-lan%

5.正余弦定理

在AABW

sin(B+C)=sinAcos(B+C)=-cosA

<sin(A+C)=sinBcos(A+C)=-cosB

sin(A+3)=sinCcos(A+8)=-cosC

（1）正弦定理

肅r系=默=”為△?二c外接圓的直徑）.

（邊角互化：每一項(xiàng)邊的次數(shù)都相同，則就把邊化成sin；每一項(xiàng)的sin的次數(shù)相同，則

可以把sin化成對應(yīng)的邊)

(2)余弦定理

a1=b2+c2-2hccosA,b2=a2+c2-2accosB,(r=cr+b1—2abcosC.

+小、人從+c2-4?cr+cr—b2cr+b1—^

推比：cosA=—而一，cosB=—五cosC=加

四、數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)

a=q+(〃-l)d

公式n

前n3=姻+凡）=叫+亞4

qQW),一%

項(xiàng)和22

"\-q\-q

公式

①當(dāng)?M+〃=p+q（見zp,g為正整數(shù)）時(shí)①當(dāng)根+“=p+q（也2p,g為正整數(shù)）時(shí)

,則有,則有

am-an=ap-aq

②當(dāng)m+〃=2p時(shí)，則有②當(dāng)7M+"=2p時(shí)，則有

性質(zhì)

a?+an=2apaHp，

③&=5

^an=a?+(n-m')d

④若公&c成等差數(shù)列，則a+c=2b④若公b、c成等比數(shù)列，則a?c=/

①當(dāng)d>0,數(shù)列｛用｝是單調(diào)遞增數(shù)列，若⑴當(dāng)q>l時(shí)：

生<0,則數(shù)列的前n項(xiàng)和S〃存在最小值，①q>0,數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞減數(shù)列

求出凡<0的項(xiàng)求其和②為<0,數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列

單調(diào)

性

②當(dāng)d<0,數(shù)列｛凡｝是單調(diào)遞增數(shù)列，若⑵當(dāng)0<g<l時(shí)：

4〉0,則數(shù)列的前n項(xiàng)和S”存在最大值，①q>0,數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列

求出4>0的項(xiàng)求其和②％<0,數(shù)列｛&｝是單調(diào)遞減數(shù)列

證明數(shù)列是等差數(shù)列：只要證明a,i=d,d為常數(shù)

常用的公式

證明數(shù)列是等比數(shù)列：只要證明里」=勺，4為常數(shù)4=5“-S,i(〃為大于2的整數(shù))

%a\=S]

一一幾何篇

一、平面向量

1>坐標(biāo)運(yùn)算

(1)A(X1,x),B(X2,y2)AB^(x2-xi,y2-yl)

（2證=（%，x）,B=（/，%）=>止收+N

①?！?=（玉±%2，%土%）

②標(biāo)雨煙cos<a,b>=xfx2+y{y2

@Aa=（AXj,）

(3)兩向量平行(或共線)=2

/巴

(4)兩向量垂直〃石=0=>%%2+*%=0

2、向量運(yùn)算

Lf1/一\2/-?2-?2—?—/-*272I-II——

a±Z?=J（a±b）=7a+b+2a?b=Ja+b±2LzJZ?cos<a,b>

二、直線

(1)ACXp^),B(x2,y2)

①兩點(diǎn)連線的斜率：Z=UZ&；②中點(diǎn)：(北士三

x}-x2122

③兩點(diǎn)間的距離：|A同=J(M+(X—%)2

④點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ar+By+C=0的距離：d=1"+為°+。[

⑤

y=k,x-^-b,

(2)兩直線平行：《'1'n&=卜或

y=k2x-^b2

設(shè)二澗"則今卷

y=k[X+h

(3)兩直線垂直：4=>%]?22二一1或

y=k2x-^b2

/.:Ax+B,y+C.=0_e

也=。若則44+股=。

三、圓

⑴(x-a)2+(y-〃)2=r2:圓心為半徑為r

(2)工2+y2+瓜+Ey+/=0：

①。2+￡2-4/>0表示圓；②圓心：③半徑:

⑶直線被圓所截的弦長：|AB|=2y/r2-d2(d是圓心到直線的距離)

(4)直線與圓的位置關(guān)系

利用圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系

①d>r：直線與圓相離

②“=7?:直線與圓相切

③d<r：直線與圓相交

⑸切線的求法：

過點(diǎn)+(y-b)2=r:圓心為(a,》),半徑為r的切線

步驟一：先判斷P3o,%)是否在圓上

步驟二：①若在圓上，則先求P與圓心(。/)的連線的斜率七步二維心，%,為=-1,求

/一。

%,則切線方程為y—(尤一玉))；

②若在圓外，則設(shè)切線方程為y-yo=Mx-x0),利用點(diǎn)到直線的距離

\Ax+By+C\

a=-一~1=不求女

VA2+B2

若求出的女只有一個(gè)解，則另外一條切線為x=x0

(6)圓與圓的位置關(guān)系

⑴利用兩圓心間的距離與兩半徑和、半徑差的關(guān)系

①do,。,>R+r：兩圓外離②do°=R+r：兩圓外切

@R-r<doo^<R+r?.兩圓相交④0<doo^<R—r：兩圓內(nèi)含

⑤兩圓為同心圓

(2匿圓/+>2+?！?用)，+耳=0與圓，+/2+。2*+m)'+尸2=0相交，則相交弦所在的直線為

2z22

(x+y+Dlx+E]y+Fl)-(x+y+D2x+E2y+F2)=O

即(R-A)x+(瓦一%)y+心-切=0

四、圓錐曲線

1、橢圓(誰的分母大，焦點(diǎn)在哪個(gè)軸)

焦點(diǎn)

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

的位置

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程/后=l(a>3>0)%+戶=13>8>0)

范圍-且一力WyWb—bWxWb且——aWyWa

&(—a,0),A](0,—a),A'O,a).

頂點(diǎn)

5i(0,-b),&(0,b)8i(一40),32(40)

軸長短軸長=%，長軸長=2a

焦點(diǎn)一](—c,0),0(c,0)一](0,—c),，2(0,c)

焦距

\FtF2\=2c

對稱性對稱軸x軸和y軸,對稱中心(0,0)

離心率e=^(0<e<l)

2、雙曲線(看哪個(gè)是正，焦點(diǎn)就在哪軸上)

y2爐

標(biāo)準(zhǔn)方程「一.=l(a>0,*>0)5-R=l(a>0,/>>0)

圖形

焦點(diǎn)網(wǎng)(―c,0),尸2(c.O)尸l(o,-C),&(0,C)

焦距嗎戶?|=2c

范圍xW一。或yW-a或

對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸;對稱中心：原直

性頂點(diǎn)4(一〃,0),4伍,())A|(0,一〃)，42(0，〃)

質(zhì)實(shí)軸：線段皿，長：2a；虛軸：線段班殳，長：2b;

軸

半實(shí)軸長：a,半虛軸長：b

離心率e=~€(l>+0°)

ba

漸近線產(chǎn)土后

求漸近線：把1換成0

3、拋物線（看誰是一次，那焦點(diǎn)就在那條軸上）

類型y2=2px[p>0)y2=—2px[p>Q)x2=2py[p>0)x2=—2py(p>0)

4Kw

圖形yfr

9。）?q

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線x--—x=2y=—

2222

范圍x20,y￡RxWO,yGRx￡R,y-0

對稱軸X軸y軸

性

頂點(diǎn)

質(zhì)0(0,0)

離心率e=1

開口方向向右向左向上向下

4、直線與圓錐曲線

（1）位置關(guān)系：

聯(lián)立方程，寫成一元二次方程的形式，判斷

△>0,直線與圓錐曲線相交（有兩個(gè)交點(diǎn)）

△=6°-4ao△=（）,直線與圓錐曲線相切（只有-一個(gè)交點(diǎn)）

A<0,直線與圓錐曲線相離，（無交點(diǎn)）

（2）弦長公式：

聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理求出玉和玉馬

利用弦長公式IAB|=41+公加|+々）2-4g（k為直線的斜率）

——空間幾何

1、圓錐母線長（/）和底面半徑⑺和高㈤的關(guān)系：尸=/+〃2

球的任何截面的圓心和球心的連線必定與截面垂直

R2=r2+00：

2、扇形與圓錐

77H77

扇形r=-R；扇形的弧長——271R,面積為——KR1（或者是扇形半徑乘于扇形弧長

360360360

的一半一/?2萬r）

2

3,立體幾何（平行與垂直）

(2)柱、錐、臺和球的表面積和體積

表面積體積

v=

柱體(棱柱和圓柱)S表面枳=S側(cè)+2S底

—Sh-

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底

v=1,

臺體(棱臺和

上+下+、/上

s表面銳==s杷+s上+S下v=/(SSsST)77

圓臺)

球?yàn)??3

s=4兀心y=3

4平行

(1)“三線八角”一同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)

(2)中位線：(三角形的中立線、梯形的中位線)遇中點(diǎn)allb

兩組對邊分別相等

對邊平行且相等<bua=>alia

(3)平行四邊形”

對角線”相平分acza

兩組對角相等

(4)在同一平面中，