2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)選修2-3學(xué)案：12.2組合

1,2.2組合

第1課時(shí)組合與組合教公式

Z■目標(biāo)］1.能分析組合的意義，并能正確區(qū)分排列、組合.2。

能記住組合數(shù)的計(jì)算公式，組合教的性質(zhì)以及組合教與排列教

之間的關(guān)系，并能運(yùn)用這些知也斛決一些簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題、

［重點(diǎn)、1掌握組合教公式，能用組合教公式及其性質(zhì)進(jìn)行

計(jì)算、化簡(jiǎn).

［唯點(diǎn)7組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.

------------------本欄目通過課前自主學(xué)習(xí)，整合知識(shí),梳理主干,夯基固本

?細(xì)讀課本

知識(shí)點(diǎn)一組合的概念

C填一填1

一般地，從〃個(gè)不同元素中取出皿個(gè)元素合成一組,

叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合、

U答一答_7

L組合與排列的概念有何異同點(diǎn)？

提示：共同點(diǎn)：都是“從〃個(gè)不同元素中取出根（加口）個(gè)元

素”；

不同點(diǎn)：組合“不管順序并成一組“，而排列是要“模照一定

順序挑成一列二

2、從a,b,c,d中選取2個(gè)，與仇？是同一個(gè)組合嗎？

提示：是，組合與順序無關(guān)，

知識(shí)點(diǎn)二組合數(shù)與組合數(shù)公式

［一一一］

組合從ri個(gè)不同兀素中取出m(mWn)個(gè)兀素的所有不

數(shù)定同組合的個(gè)數(shù)，叫做從幾個(gè)小同兀素中取出m個(gè)兀

義素的組合數(shù).

表不法C：

乘積n(n-l)---(n-m+1)

Q二,

組合數(shù)形式________mi_________

公式

階乘C^1=___________

形式m!(n-m}\

「m_z>n-m

L/i-；

性質(zhì)

mmm-,

cn+I+1=cn+cn

①〃,meN*且mWn

備注

②規(guī)定C：=1

U答一答J

3、在組合數(shù)公式C錯(cuò)誤!中，m,〃應(yīng)滿足什么條件？

提示：m,n€N*,且根口。

4、一個(gè)組合與組合數(shù)有何區(qū)別？

提示：一個(gè)組合與組合數(shù)是兩個(gè)不同的概念，根據(jù)定義，一個(gè)

組合是具體的一件事，它不是一個(gè)教；而組合教是所有組合的

個(gè)教，燈是I個(gè)教.斛題時(shí)應(yīng)分請(qǐng)求組合還是組合教.

5,組合教公式C",〃=錯(cuò)誤!與C錯(cuò)誤！二錯(cuò)誤!在作用上有什么不

同？

提示：C錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!一般用于求值、計(jì)算，而C錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!一般用

于化簡(jiǎn)、證明，但二者上述作用不是絕對(duì)的，有時(shí)要相結(jié)合使

用,

?特別關(guān)注

1、對(duì)組合的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)

(1J組合的特點(diǎn)：組合要求H個(gè)元素是不同的，被取出的相

個(gè)元素自然也是不同的，即“從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元

素”.

(2；組合的特性是：元素的無序性，即取出的根個(gè)元素不講

究順序，亦即元素沒有住置的要求、

(3；相同的組合:根據(jù)組合的定義，只要兩個(gè)組合中的元素完

會(huì)相同，不管順序如何，也是相同的組合.

2、組合教兩個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用

要注意性質(zhì)C錯(cuò)誤！=C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤!的順用、逆用、變形

用.順用是將一個(gè)組合數(shù)拆成兩個(gè)；逆用則是“合二為一"；變形

式C7-1=C錯(cuò)誤!-C錯(cuò)誤!的使用，為某些項(xiàng)相互抵調(diào)提供了方

便，在解題中要注意靈活運(yùn)用。

W典例講練破題型/本欄目通過課堂講練冗動(dòng)，聚焦重點(diǎn)，剖析難點(diǎn),全線突破

類型一組合的概念

【例1】判斷下列問題是組合問題還是排列問題、

(1)禁鐵路上有4個(gè)車站，列這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車

票？

(2)把5本不同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人一本；

(3；從7本不同的書中取出5本給某個(gè)同學(xué).

【分析】判斷一個(gè)問題是組合問題還是排列問題，關(guān)鍵看

元素之間是否與順序有關(guān)，

[<]門)因?yàn)橐环N火車票與起點(diǎn)、終點(diǎn)順序有關(guān)，如甲

一乙和乙一甲的車票是不同的，所以它是排列問題.

(2)由于書不同，每人拿到的書也不同，有順序之分,因此它

是排列問題、

(3)從7本不同的書中，取出5本給某個(gè)學(xué)生，在每種取法中

取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題,

通法提煉

y

排列問題與組合問題的區(qū)別是元素之間是否有順序問題，元

素與順序無關(guān)是組合問題，元素與順序有關(guān)是排列問題。

有甲、乙、丙、丁田人相見，他們相互握手1次，問他們握

手共有多少種不同的組合？

解:將甲、乙、丙、丁按照一定順序挑好，然后按順序用如圖

所示的方法將各個(gè)組合逐個(gè)寫出：

甲乙丙丁

由圖可知他們握手的組合有：甲乙、甲丙、甲丁、乙兩、乙

丁、丙丁6種.

類型二組合數(shù)的計(jì)算與證明

【例2】(1)求值：C5一〃，"+C錯(cuò)誤！

(2J證明：C錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤！。

【分析】門)首先確定〃的值；

(2)按組合教公式的階乘形式展開、

【斛】(1J由組合教定義知：

錯(cuò)誤!所以4s於5,又因?yàn)椤╓N*,所以〃=4或5。

當(dāng)幾=4時(shí)，C?-"+C錯(cuò)誤！=C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤！=5；

當(dāng)兒=5時(shí)，C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤！=C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤！=16o

(2J證明：錯(cuò)誤!C錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!?錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！二C錯(cuò)誤!.

通法提煉

(1)關(guān)注組合數(shù)C：中的隱含條件：mW九，且九eN*,

meN,求解時(shí)應(yīng)檢驗(yàn)其結(jié)果是否滿足這一條件.

(2)組合數(shù)公式C；=，—丁的主要作用：一

m!(八一Tn)J

是計(jì)算加力較大時(shí)的組合數(shù)；二是對(duì)含有字母的組合數(shù)

的式子進(jìn)行變形和證明.

(1)式子錯(cuò)誤!可表示為(D)

A、A錯(cuò)誤！B.C錯(cuò)誤！

101

C、IOIC/^IOOD.1O1C,,J+ioo

解折：分式的分母是100!,分子是101個(gè)連續(xù)自然數(shù)的尿秋,

最大的為川+100,最小的為兒

故錯(cuò)誤！

=101?錯(cuò)誤！=101C錯(cuò)誤!.

(2)證明：相C錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！

證明："2C錯(cuò)誤！二m?錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！

=〃?錯(cuò)誤！="C錯(cuò)誤!。所以原式j(luò)成立,

類型三組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例3】現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名、

(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？

(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí)的選法有多

少種？

(3)現(xiàn)要從中選出男、女老師各2名去參加會(huì)議，有多少

種不同的選法？

【分析】首先確定是否是組合問題，再確定完成事情是分

步，還是分類.

【解】(U從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，

就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即C錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=

45o

(2)可把問題分兩類:第1類,選出的2名是男教師有C2,6種

2

方法；第2類，選出的2名是女教師有C3種方法，即C,6+

C錯(cuò)誤！=21種.

(3)從6名男教師中選2名的選法有C錯(cuò)誤!種，隊(duì)4名女教師中

選2名的選法有C錯(cuò)誤!種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有選法C錯(cuò)誤!

XC2，4=錯(cuò)誤!X錯(cuò)誤！=90種.

通法提煉

斛簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，要先判斷它是不是組合問題，取出元

素只是組成一組，與順序無關(guān)則是組合問題；取出元素排成一

列，與順序有關(guān)則是排列問題.只有當(dāng)該問題能構(gòu)成組合模型時(shí),

才能運(yùn)用組合教公式求出其種數(shù).在解題時(shí)還應(yīng)注意兩個(gè)計(jì)數(shù)原

理的運(yùn)用，在分類和分步時(shí)，注意有無重復(fù)或遺漏。

禁人決定投資8種股票和4種債券，經(jīng)紀(jì)人向他推薦了12種

股票和7種債券、問：此人有多少種不同的投資方式？

斛：需分兩步：

第1步，根據(jù)經(jīng)紀(jì)人的推薦在12種股票中選8種，共有C錯(cuò)誤!

種選法；

第2步，根據(jù)經(jīng)紀(jì)人的推薦在7種債券中選4種，共有C錯(cuò)誤!

種選法、

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，此人有C錯(cuò)誤!?C錯(cuò)誤！=17325種不同

的投咨方式、

H素養(yǎng)提升

規(guī)范解答系列：組合教性質(zhì)巧用

【例4】（1）計(jì)算C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤！+...+C錯(cuò)誤!的值為

A、C錯(cuò)誤！B、C錯(cuò)誤！

C、C錯(cuò)誤！一1D,C錯(cuò)誤！一1

(2)求證：C%+2=C〃，機(jī)+2C〃T,加+C錯(cuò)誤!.

【斛折】n)C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤！+...+C錯(cuò)誤！

=C4,4+C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤！+...+C錯(cuò)誤！一C錯(cuò)誤！

=Cg+C錯(cuò)誤！+...+C錯(cuò)誤！-1二...

=C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤！-1=C錯(cuò)誤！一1。

(2)證明：由組合教的性質(zhì)C錯(cuò)誤！=C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤!可知，

右邊二(C",加+C錯(cuò)誤!)+(C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤!)

—C%+1+C錯(cuò)誤！-C錯(cuò)誤！—龍.苴.、

所以原式成立、

【答案】(1；c(2J見解析

【解后反思】本題是組合教公式和組合教性質(zhì)的應(yīng)用，多

個(gè)組合教的和化簡(jiǎn)為一個(gè)組合數(shù)的關(guān)鍵在于掌握性質(zhì)2兩邊的

上、下標(biāo)的特征，并注意觀察和分析待化簡(jiǎn)的組合式的特征、

(1J計(jì)算C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤!；

(2)已知C錯(cuò)誤！=C錯(cuò)誤!，求〃；

(3J已知C錯(cuò)誤！一C錯(cuò)誤！=C錯(cuò)誤!，求幾的值.

解：(\)C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤！=C錯(cuò)誤！+C錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！+200=5150.

(2)由題意得3〃+6=4幾-2或3幾+6=18-(4n-2),解得〃

=2或〃=8.

而3〃+6518且4〃一2518,即且?guī)譝N:

「.H=8不合題意，應(yīng)舍去，：.n=2。

(3)根據(jù)題意C錯(cuò)誤！一C錯(cuò)誤！=C錯(cuò)誤!，變形可得，C錯(cuò)誤！=C錯(cuò)誤！+C

錯(cuò)誤！，

由組合教的性質(zhì)，可得C2+C錯(cuò)誤！=C錯(cuò)誤!，即C錯(cuò)誤！=(2錯(cuò)誤!，

故8+7=〃+1,解得〃=14。

上課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典不二……本欄目通過課堂自主達(dá)標(biāo)，巧練經(jīng)典，強(qiáng)基提能.全面提升

L給出下面幾個(gè)問題，其中是組合問題的有(C)

①由123,4構(gòu)成的2個(gè)元素集合；

②五個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽的分組情況；

③由1,