微積分 第七版 課件 3.7 幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化

第七節(jié)

幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)0102能熟練求出幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的最優(yōu)解了解幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化的類(lèi)型掌握幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)優(yōu)化的計(jì)算步驟03一、幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化求函數(shù)的最值點(diǎn)也稱(chēng)為函數(shù)的優(yōu)化,求最值點(diǎn)的函數(shù)稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)的最值點(diǎn)稱(chēng)為最優(yōu)解,目標(biāo)函數(shù)的最值稱(chēng)為最優(yōu)值.1.幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化的類(lèi)型有兩種:類(lèi)型1求使得消耗為最小的最優(yōu)解類(lèi)型2求使得效益為最大的最優(yōu)解.32.幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)優(yōu)化的求解步驟如下:步驟1根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況,確定自變量與因變量,建立它們之間的函數(shù)關(guān)系即目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式;步驟2求目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn),往往也為最值點(diǎn),即得最優(yōu)解.4例1

一塊正方形紙板的邊長(zhǎng)為a,將其四角各截去一個(gè)大小相同的邊長(zhǎng)為x的小正方形,再將四邊折起做成一個(gè)無(wú)蓋方盒,問(wèn)所截小正方形邊長(zhǎng)x為多少時(shí),才能使得無(wú)蓋方盒容積V最大?5解:已設(shè)所截小正方形邊長(zhǎng)為x,從而無(wú)蓋方盒底邊長(zhǎng)為a-2x,如圖自變量為所截小正方形邊長(zhǎng)x,因變量為無(wú)蓋方盒容積V.由于盒底面積為(a-2x)2,盒高為x,于是無(wú)蓋方盒容積即目標(biāo)函數(shù)為V=V(x)=x(a-2x)2

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計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)V'(x)=(a-2x)2+x·2(a-2x)(a-2x)'=(a-2x)2-4x(a-2x)=(a-2x)(a-6x)

7再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)V″(x)=-2(a-6x)+(a-2x)(-6)=24x-8a

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例2

欲做一個(gè)容積為72m3的長(zhǎng)方體帶蓋箱子,箱子底長(zhǎng)xm與寬um的比為1∶2,問(wèn)長(zhǎng)方體帶蓋箱子底長(zhǎng)x、寬u及高h(yuǎn)各為多少時(shí),才能使得箱子用料最省?9解:已設(shè)長(zhǎng)方體帶蓋箱子底長(zhǎng)為xm、寬為um及高為hm,如圖自變量為長(zhǎng)方體帶蓋箱子底長(zhǎng)x,注意到箱子用料最省意味著箱子表面積最小,因此因變量為長(zhǎng)方體帶蓋箱子表面積S.由于箱子底長(zhǎng)x與寬u的比為1∶2,得到u=2x10由于箱子容積為72m3,因而有關(guān)系式xuh=72,即2x2h=72,得到

于是長(zhǎng)方體帶蓋箱子表面積即目標(biāo)函數(shù)為S=S(x)=2(xu+xh+uh)

11計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

令一階導(dǎo)數(shù)S'(x)=0,得到唯一駐點(diǎn)x=3.再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)

12當(dāng)然,在唯一駐點(diǎn)x=3處也不例外,有二階導(dǎo)數(shù)值S″(3)>0于是唯一駐點(diǎn)x=3為唯一極小值點(diǎn),也為最小值點(diǎn),為最優(yōu)解此時(shí)另外兩個(gè)變量

所以長(zhǎng)方體帶蓋箱子底長(zhǎng)x為3m、寬u為6m及高h(yuǎn)為4m時(shí),才能使得箱子用料最省.13例3

欲做一個(gè)容積為250πm3的圓柱形無(wú)蓋蓄水池,已知池底材料價(jià)格為池周?chē)牧蟽r(jià)格的2倍,問(wèn)圓柱形無(wú)蓋蓄水池池底半徑r與高h(yuǎn)各為多少時(shí),才能使得所用材料費(fèi)T最省?14解:已設(shè)圓柱形無(wú)蓋蓄水池池底半徑為rm,高為hm,如圖自變量為圓柱形無(wú)蓋蓄水池池底半徑r,因變量為所用材料費(fèi)T.由于蓄水池容積為250πm3,因而有關(guān)系式πr2h=250π,即

15再設(shè)池周?chē)牧蟽r(jià)格為a元/m2,從而池底材料價(jià)格為2a元/m2.由于池周?chē)娣e為2πrhm2,池底面積為πr2m2,于是所用材料費(fèi)即目標(biāo)函數(shù)為T(mén)=T(r)=2πrha+πr2·2a=2πa(rh+r2)

16計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

令一階導(dǎo)數(shù)T'(r)=0,得到唯一駐點(diǎn)r=5.再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)

于是唯一駐點(diǎn)r=5為唯一極小值點(diǎn),也為最小值點(diǎn),為最優(yōu)解.此時(shí)另外一個(gè)變量

所以圓柱形無(wú)蓋蓄水池池底半徑r為5m、高h(yuǎn)為10m時(shí),才能使得所用材料費(fèi)T最省.17例4某產(chǎn)品總成本C為月產(chǎn)量x的函數(shù)

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計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)

19再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)

于是唯一駐點(diǎn)x=10為唯一極小值點(diǎn),也為最小值點(diǎn),為最優(yōu)解

20例5某廠每批生產(chǎn)Qt某商品的平均單位成本函數(shù)為

商品銷(xiāo)售價(jià)格為p萬(wàn)元/t,它與批量Qt的關(guān)系為5Q+p-28=0問(wèn)批量Q為多少時(shí),才能使得每批商品全部銷(xiāo)售后獲得的總利潤(rùn)L最大?最大利潤(rùn)值為多少?21解:自變量為批量Q,因變量為每批商品全部銷(xiāo)售后獲得的總利潤(rùn)L從已知銷(xiāo)售價(jià)格p與批量Q的關(guān)系式5Q+p-28=0得到銷(xiāo)售價(jià)格p=p(Q)=28-5Q每批生產(chǎn)Qt商品,以?xún)r(jià)格p萬(wàn)元/t銷(xiāo)售,總收益為R=R(Q)=Qp(Q)=Q(28-5Q)=28Q-5Q222又生產(chǎn)Qt商品的總成本為

=Q2+4Q+1023于是每批商品全部銷(xiāo)售后獲得的總利潤(rùn)即目標(biāo)函數(shù)為L(zhǎng)=L(Q)=R(Q)-C(Q)=(28Q-5Q2)-(Q2+4Q+10)=-6Q2+24Q-10(萬(wàn)元)

計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)L'(Q)=-12Q+24令一階導(dǎo)數(shù)L'(Q)=0,得到唯一駐點(diǎn)Q=2再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)L″(Q)=-12<0于是唯一駐點(diǎn)Q