微積分 第七版 課件 3.6 函數曲線的凹向區(qū)間與拐點

第六節(jié)

函數曲線的凹向區(qū)間與拐點本節(jié)學習目標0102能熟練計算函數曲線的凹向區(qū)間與拐點掌握函數曲線上凹、下凹的定義掌握函數曲線凹向的判斷方法031.函數曲線與其切線的位置關系在討論可導函數的單調區(qū)間與極值的基礎上,往往還要討論函數曲線的彎曲情況,即討論函數曲線與其切線在位置上的關系.3一、函數曲線的凹向區(qū)間函數曲線y=f(x)在開區(qū)間(a,c)內向上彎曲,這時曲線弧AC位于其上任意一點處切線的上方函數曲線y=f(x)在開區(qū)間(c,b)內向下彎曲,這時曲線弧CB位于其上任意一點處切線的下方而函數曲線y=f(x)上點C(c,f(c))是曲線y=f(x)彎曲方向改變的分界點.42.函數曲線的凹向區(qū)間定義3.2已知函數f(x)在開區(qū)間J內可導,若函數曲線y=f(x)在開區(qū)間J內位于其上任意一點處切線的上方,則稱函數曲線y=f(x)在開區(qū)間J內上凹,開區(qū)間J為函數曲線y=f(x)的上凹區(qū)間若函數曲線y=f(x)在開區(qū)間J內位于其上任意一點處切線的下方,則稱函數曲線y=f(x)在開區(qū)間J內下凹,開區(qū)間J為函數曲線y=f(x)的下凹區(qū)間經過深入的討論可知:函數曲線的凹向與函數的二階導數正負號有著緊密的聯系.5二、函數曲線的凹向判定方法1.定理3.7已知函數f(x)在開區(qū)間J內二階可導,那么:(1)如果在開區(qū)間J內二階導數f″(x)恒為正,則開區(qū)間J為函數曲線y=f(x)的上凹區(qū)間(2)如果在開區(qū)間J內二階導數f″(x)恒為負,則開區(qū)間J為函數曲線y=f(x)的下凹區(qū)間62.推論如果在開區(qū)間J內二階導數f″(x)恒非負(或恒非正),且使得二階導數f″(x)=0的點x只是一些孤立的點,則開區(qū)間J為函數曲線y=f(x)的上凹區(qū)間(或下凹區(qū)間).7三、函數曲線的拐點1.定義3.3在函數曲線y=f(x)上,凹向改變的分界點稱為函數曲線y=f(x)的拐點.對于二階可導函數f(x),函數曲線y=f(x)在其拐點(x0,f(x0))左右的凹向改變,即在拐點橫坐標x0左右二階導數f″(x)變號,因而二階導數值f″(x0)=0,說明拐點橫坐標x0一定是二階導數f″(x)=0的根但在二階導數f″(x)=0的根左右,若二階導數f″(x)不變號,意味著函數曲線y=f(x)在對應點左右的凹向不改變,則這個二階導數f″(x)=0的根不是拐點橫坐標.82.函數曲線的拐點與二階導數由此可知:對于二階可導函數,函數曲線拐點橫坐標一定為二階導數等于零的根,但二階導數等于零的根不一定為函數曲線拐點橫坐標,二階導數等于零的根是否為函數曲線拐點橫坐標與二階導數在其左右變號不變號有著緊密的聯系.93.定理3.8已知函數f(x)二階可導,點x0為二階導數f″(x)=0的根,那么:(1)如果在點x0左右二階導數f″(x)變號,則點(x0,f(x0))為函數曲線y=f(x)的拐點;(2)如果在點x0左右二階導數f″(x)不變號,則點(x0,f(x0))不為函數曲線y=f(x)的拐點.104.求函數曲線的凹向區(qū)間與拐點步驟在函數f(x)二階可導時,求函數曲線y=f(x)的凹向區(qū)間與拐點的步驟如下:步驟1確定二階可導函數f(x)的定義域D;步驟2計算一階導數f'(x)、二階導數f″(x);步驟3在定義域D內,若二階導數f″(x)恒非負(或恒非正),則函數曲線y=f(x)的上凹區(qū)間(或下凹區(qū)間)為定義域D,這時當然無拐點.否則令二階導數f″(x)=0,求出全部根,并轉入步驟4;11步驟4二階導數f″(x)=0的全部根將定義域D分成幾個開區(qū)間,列表判斷在這幾個開區(qū)間內二階導數f″(x)的正負號,于是確定函數曲線y=f(x)的凹向區(qū)間、拐點橫坐標,計算拐點橫坐標處的函數值即為拐點縱坐標.上凹用記號∪表示,下凹用記號∩表示.12例1求函數曲線y=x+lnx的凹向區(qū)間與拐點.解:函數定義域D=(0,+∞),

計算一階導數、二階導數

說明在定義域D=(0,+∞)內二階導數y″恒為負,所以函數曲線y=x+lnx的下凹區(qū)間為定義域D=(0,+∞);無拐點.13例2求函數曲線y=6x2-x3的凹向區(qū)間與拐點.解:函數定義域D=(-∞,+∞),

計算一階導數、二階導數y'=12x-3x2y″=12-6x令二階導數y″=0,得到根x=2.列表如表14x(-∞,2)2(2,+∞)y″+0-y=f(x)∪拐點(2,16)∩所以函數曲線y=6x2-x3的上凹區(qū)間為(-∞,2),下凹區(qū)間為(2,+∞);拐點為(2,16).15例3求函數曲線y=(x2-2)ex的凹向區(qū)間與拐點.解:函數定義域D=(-∞,+∞),計算一階導數、二階導數y'=2xex+(x2-2)ex=(x2+2x-2)exy″=(2x+2)ex+(x2+2x-2)ex=(x2+4x)ex令二階導數y″=0,得到根x=-4與x=0.列表如表16x(-∞,-4)-4(-4,0)0(0,+∞)y″+0-0+y=f(x)∪拐點(-4,14e-4)∩拐點(0,-2)∪所以函數曲線y=(x2-2)ex的上凹區(qū)間為(-∞,-4),(0,+∞),下凹區(qū)間為(-4,0);拐點為(-4,14e-4),(0,-2).17例4求函數y=x3-3x2+1的單調區(qū)間與極值及函數曲線的凹向區(qū)間與拐點.解:函數定義域D=(-∞,+∞),計算一階導數y'=3x2-6x令一階導數y'=0,得到駐點x=0與x=2.列表如表18x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)y'+0-0+y↗極大值1↘極小值-3↗計算二階導數y″=6x-6令二階導數y″=0,得到根x=1.列表如表19x(-∞,1)1(1,+∞)y″-0+y=f(x)∩拐點(1,-1)∪所以函數y=x3-3x2+1的單調增加區(qū)間為(-∞,0),(2,+∞),單調減少區(qū)間為(0,2);極大值為y|x=0=1，極小值為y|x=2=3函數曲線y=x3-3x2+1的下凹區(qū)間為(-∞,1),上凹區(qū)間為(1,+∞);拐點為(1,-1).20例5

解:函數定義域D=(-∞,+∞),計算一階導數

令一階導數y'=0,得到駐點x=0.列表如表21x(-∞,0)0(0,+