微積分 第七版 課件 1.2 幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式

第二節(jié)

幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練建立幾何與經(jīng)濟(jì)方面的函數(shù)關(guān)系式并計(jì)算出其定義域了解經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式掌握幾何方面常見函數(shù)關(guān)系式一、幾何方面函數(shù)關(guān)系式矩形面積S等于長(zhǎng)x與寬u的積,即S=xu特別地,正方形面積S等于邊長(zhǎng)x的平方,即S=x2矩形面積長(zhǎng)方體體積V等于底面積(矩形面積)S與高h(yuǎn)的積,即V=Sh長(zhǎng)方體體積3圓柱體體積V等于底面積(圓面積)πr2(r為底半徑)與高h(yuǎn)的積,即圓柱體體積側(cè)面積(相當(dāng)于矩形面積)S等于底周長(zhǎng)2πr與高h(yuǎn)的積,即V=πr2hS=2πrh4例1

欲圍一塊面積為216m2的矩形場(chǎng)地,矩形場(chǎng)地東西方向長(zhǎng)xm、南北方向?qū)抲m,沿矩形場(chǎng)地四周建造高度相同的圍墻,并在正中間南北方向建造同樣高度的一堵墻,把矩形場(chǎng)地隔成兩塊,試將墻的總長(zhǎng)度Lm表示為矩形場(chǎng)地長(zhǎng)xm的函數(shù).5例1解:已設(shè)矩形場(chǎng)地長(zhǎng)為xm、寬為um,如圖由于矩形場(chǎng)地面積為216m2,因而有關(guān)系式xu=216,即

所以墻的總長(zhǎng)度

6例2

欲做一個(gè)底為正方形、表面積為108m2的長(zhǎng)方體開口容器,試將長(zhǎng)方體開口容器的容積Vm3表示為底邊長(zhǎng)xm的函數(shù).解:已設(shè)長(zhǎng)方體開口容器底邊長(zhǎng)為xm,再設(shè)高為hm,如圖7由于長(zhǎng)方體開口容器表面積為108m2,它等于下底面積x2與側(cè)面積4xh之和,因而有關(guān)系式x2+4xh=108,即

所以長(zhǎng)方體開口容器容積

8例3

欲做一個(gè)容積為V0的圓柱形封閉罐頭盒,試將圓柱形封閉罐頭盒表面積S表示為底半徑r的函數(shù).解:已設(shè)圓柱形封閉罐頭盒底半徑為r,再設(shè)高為h,如圖9由于罐頭盒容積為V0,因而有關(guān)系式πr2h=V0,即

由于上、下底面積分別為πr2,側(cè)面積為2πrh,所以圓柱形封閉罐頭盒表面積

10二、經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式(1)總成本函數(shù)

在生產(chǎn)過程中,產(chǎn)品的總成本C為產(chǎn)量x的單調(diào)增加函數(shù),記作C=C(x)它包括兩部分:固定成本C0(廠房及設(shè)備折舊費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)等)、變動(dòng)成本C1(材料費(fèi)、燃料費(fèi)、提成獎(jiǎng)金等)固定成本C0不受產(chǎn)量x變化的影響,產(chǎn)量x=0時(shí)的總成本值就是固定成本,即C0=C(0);變動(dòng)成本C1受產(chǎn)量x變化的影響,記作C1=C1(x)于是總成本C=C(x)=C0+C1(x)11經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式(2)平均單位成本

在討論總成本的基礎(chǔ)上,還要進(jìn)一步討論均攤在單位產(chǎn)量上的成本.均攤在單位產(chǎn)量上的成本稱為平均單位成本,記作

12(3)總收益函數(shù)

產(chǎn)品全部銷售后總收益R等于產(chǎn)量x與銷售價(jià)格p的積.若銷售價(jià)格p為常數(shù),則總收益R為產(chǎn)量x的正比例函數(shù),即R=R(x)=px若考慮產(chǎn)品銷售時(shí)的附加費(fèi)用、折扣等因素,這時(shí)作為平均值的銷售價(jià)格p受產(chǎn)量x變化的影響,不再為常數(shù),記作p=p(x),則總收益R=R(x)=xp(x)13(4)總利潤(rùn)函數(shù)

產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤(rùn)L等于總收益R減去總成本C,即L=L(x)=R(x)-C(x)14(5)需求函數(shù)

銷售商品時(shí),應(yīng)密切注意市場(chǎng)的需求情況,需求量Q當(dāng)然與銷售價(jià)格p有關(guān),此外還涉及消費(fèi)者的數(shù)量、收入等其他因素,若這些因素固定不變,則需求量Q為銷售價(jià)格p的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為需求函數(shù),記作Q=Q(p)一般說來,當(dāng)商品提價(jià)時(shí),需求量會(huì)減少;當(dāng)商品降價(jià)時(shí),需求量就會(huì)增加.因此需求函數(shù)為單調(diào)減少函數(shù)15說明：

在理想情況下,商品的生產(chǎn)既滿足市場(chǎng)需求又不造成積壓.這時(shí)需求多少就銷售多少,銷售多少就生產(chǎn)多少,即產(chǎn)量等于銷售量,也等于需求量,它們有時(shí)用記號(hào)x表示,也有時(shí)用記號(hào)Q表示.本門課程討論這種理想情況下的經(jīng)濟(jì)函數(shù).16例4某產(chǎn)品總成本C萬元為年產(chǎn)量xt的函數(shù)C=C(x)=a+bx2其中a,b為待定常數(shù).已知固定成本為400萬元,且當(dāng)年產(chǎn)量x=100t時(shí),總成本C=500萬元

17解:由于總成本C=C(x)=a+bx2,從而當(dāng)產(chǎn)量x=0時(shí)的總成本C(0)=a,說明常數(shù)項(xiàng)a為固定成本,因此確定常數(shù)a=400再將已知條件:x=100時(shí),C=500代入到總成本C的表達(dá)式中,得到關(guān)系式500=400+b·1002從而確定常數(shù)

18于是得到總成本函數(shù)表達(dá)式

所以平均單位成本

19例5某產(chǎn)品總成本C元為日產(chǎn)量xkg的函數(shù)

產(chǎn)品銷售價(jià)格為p元/kg,它與日產(chǎn)量xkg的關(guān)系為

試將每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤(rùn)L元表示為日產(chǎn)量xkg的函數(shù)20解:生產(chǎn)xkg產(chǎn)品,以價(jià)格p元/kg銷售,總收益為

又已知生產(chǎn)xkg產(chǎn)品的總成本為

所以每日產(chǎn)品全部銷售后獲得的總利潤(rùn)21

22上述討論的目的不僅是建立幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)關(guān)系式,而是在此基礎(chǔ)上繼續(xù)研究它們的性質(zhì),其中一個(gè)主要內(nèi)容是求它們的最值點(diǎn),即討論幾何與經(jīng)濟(jì)方面函數(shù)的優(yōu)化問題在例1中,矩形場(chǎng)地長(zhǎng)x為多少時(shí),才能使得墻的總長(zhǎng)度L最短在例2中,長(zhǎng)方體開口容器底邊長(zhǎng)