高中數(shù)學(xué)課件(必修一)：1.3.1-函數(shù)的單調(diào)性

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的根本性質(zhì)思考1：觀察以下各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律注意：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)。思考2：能否根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)，什么是減函數(shù)？〔1〕如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上隨著自變量x的增大，y也越來越大，我們就說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)。〔2〕如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上隨著自變量x的增大，y越來越小，我們就說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)。二、新知探究解析法圖像法通俗語言：在區(qū)間〔0，+∞〕上，隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大。數(shù)學(xué)語言：在區(qū)間〔0，+∞〕上，任取，得

當(dāng)時(shí)，有。這時(shí)我們就說函數(shù)在區(qū)間〔0，+∞〕上是增函數(shù)x…01234…f(x)…014916…列表法0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象

y=f(x)

y=f(x)圖象特征數(shù)量

特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象

y=f(x)

y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升數(shù)量

特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象

y=f(x)

y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升數(shù)量

特征y隨x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象

y=f(x)

y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降數(shù)量

特征y隨x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象

y=f(x)

y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降數(shù)量

特征y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象

y=f(x)

y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降數(shù)量

特征y隨x的增大而增大當(dāng)x1＜x2時(shí)，f(x1)<f(x2)y隨x的增大而減小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在區(qū)間I內(nèi)在區(qū)間I內(nèi)圖象

y=f(x)

y=f(x)圖象特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降數(shù)量

特征y隨x的增大而增大當(dāng)x1＜x2時(shí)，f(x1)<f(x2)y隨x的增大而減小當(dāng)x1＜x2時(shí)，f(x1)>f(x2)那么就說在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為f(x)的單調(diào)減區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出單調(diào)增函數(shù)和單調(diào)減函數(shù)的定義.xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間IA.如果對(duì)于屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間I，x1,x2I設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間IA.如果對(duì)于屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間I上x1,x2I

那么就說在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增

函數(shù)，I稱為f(x)的單調(diào)區(qū)間.增當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，<當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，<>單調(diào)區(qū)間〔2〕函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)局部性質(zhì);〔1〕如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性。在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。注意：判斷1：函數(shù)f(x)=x2在是單調(diào)增函數(shù)；xyo〔2〕函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)局部性質(zhì);〔1〕如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性。在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。注意：判斷2：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1)，那么函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；〔3〕x1,x2取值的任意性yxO12f(1)f(2)yoxoyxyox在(-∞,+∞)是減函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)是減函數(shù)在增函數(shù)在減函數(shù)yoxyoxyox在(-∞,+∞)是增函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)是增函數(shù)在增函數(shù)在減函數(shù)例1：以下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]

其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)是減函數(shù)， 在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù)。《學(xué)習(xí)的藝術(shù)》P17根底練習(xí)2單調(diào)遞減區(qū)間：[-2，1]，[3，5]單調(diào)遞增區(qū)間：[1，3]看以下函數(shù)圖象,以下各函數(shù)有沒有單調(diào)區(qū)間,假設(shè)有寫出其單調(diào)區(qū)間.圖1圖3圖2沒有單調(diào)區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間沒有單調(diào)區(qū)間例2.寫出單調(diào)區(qū)間數(shù)缺形時(shí)少直觀xy_____________,討論1：？不能——數(shù)形結(jié)合的思想《學(xué)習(xí)的藝術(shù)》：P17根底練習(xí)1要了解某函數(shù)在某一區(qū)間上是否具有單調(diào)性，從圖象上進(jìn)行觀察是一種常用的方法，但這種方法比較粗略。嚴(yán)格地說，它還需要進(jìn)行證明。例3〔1〕證明函數(shù)f(x)=-3x+2在R上是減函數(shù)。分析：按定義只需設(shè)x1,x2是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，

當(dāng)x1<x2，我們來證明f(x1)＞f(x2)。證明：x1,x2R,且x1<x2，f(x1)-f(x2)=(-3x1+2)-(-3x2+2)=3(x2-x1)由x1<x2，得x2-x1＞0于是f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)所以，函數(shù)f(x)=-3x+2在R上是減函數(shù)。取值作差變形定號(hào)下結(jié)論三．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：1取值：x1，x2∈D，且x1<x2；2作差：f(x1)－f(x2)；3變形：通常是因式分解和配方；4定號(hào)：即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)；5下結(jié)論：即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性．x1,x2[0，+∞〕,且x1<x2，那么：由0≤x1<x2得且于是f(x1)-f(x2)＜0。即f(x1)＜f(x2)所以函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)。取值作差變形定號(hào)下結(jié)論證明:例4證明函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)。練一練試用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)。返回是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且的圖象過點(diǎn)A（0，2）和B（3，0）（1）解方程（2）解不等式（3）求適合的的取值范圍思考成果運(yùn)用若二次函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，則a的取值情況是（）

變式1變式2請(qǐng)你說出一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是的二次函數(shù)變式3請(qǐng)你說出一個(gè)在上單調(diào)遞減的函數(shù)若二次函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。

A.B.C.D.(2)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)的是（）(3)函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間為________成果運(yùn)用若二次函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。

解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,由圖象可知只要，即即可.

oxy1xy1o

小結(jié)1.函數(shù)單調(diào)性的定義中有哪些關(guān)鍵點(diǎn)？2.判斷函數(shù)單調(diào)性有哪些常用方法？3.你學(xué)會(huì)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？作業(yè)2、證明函數(shù)f（x）=-x2在上是減函數(shù)。3、證明函數(shù)f（x）=在上是單調(diào)遞增的。(選做)1、教材p391，2，3，44，0，9，32，72，134，〔〕思考題225數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛;數(shù)無形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休;切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.

——華羅庚判斷題：〔1〕f(x)=，因?yàn)閒(-1)<f(2),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)?！?〕假設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(2)<f(3),那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)?！?〕假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2]和(2，3)上均為增函數(shù)，那么函數(shù)f(x)在(1，3)上為增函數(shù)。〔4〕因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=在區(qū)間〔-∞，0〕和〔0，+∞〕上都是減函數(shù)，所以f(x)=在〔-∞，0〕∪〔0，+∞〕上是減函數(shù)。例5：證明函數(shù)上是增函數(shù)。例6：證明函數(shù)在R上是增函數(shù)。證明：任取例7：證明函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)。例7：證明函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)。思考例1〔1〕如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。問：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍為增函數(shù)？為什么？所以函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上仍為增函數(shù)是〔2〕如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。問：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍為減函數(shù)？為什么？〔3〕如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。問：能否確定函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)性？反例：f(x)=x在R上是增函數(shù)，g(x)=-x在R上是減函數(shù)此時(shí)F(x)=f(x)+g(x)=x-x=0為常函數(shù)，不具有單調(diào)性不能是例2如果是[m,n]上的減函數(shù)，且，是[a,b]上的增函數(shù)，求證在[m,n]上也是減函數(shù)。復(fù)合函數(shù):判斷：一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值，作為另一個(gè)函數(shù)的自變量。定義域：1、假設(shè)的定義域?yàn)閇a,b],那么復(fù)合函數(shù)的定義域由