2024年高三數(shù)學(xué)練習(xí)題及答案（三）

一、單項(xiàng)選擇題：1．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】D【解析】由}，得，若，則故答案為D．2．“C＝5”是“點(diǎn)(2，1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題意知點(diǎn)到直線的距離為等價(jià)于，解得或，所以“”是“點(diǎn)到直線的距離為”的充分不必要條件，故選B.3．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是，,若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974．，所以，所以,故選C．4．一個(gè)物體的位移(米)與時(shí)間(秒)的關(guān)系為，則該物體在3秒末的瞬時(shí)速度是（）A．6米/秒 B．5米/秒 C．4米/秒 D．3米/秒【答案】C【解析】由題意，物體的位移(米)與時(shí)間(秒)的關(guān)系為，則，當(dāng)時(shí)，，即3秒末的瞬時(shí)速度為4米/秒，故選C．5．將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的值可以是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后的解析式是，若函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，.故選：C6．已知函數(shù).若沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，令則恒成立，無(wú)解，即無(wú)零點(diǎn)。故選：A。7．若點(diǎn)P是曲線y＝x2－lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為()A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P是曲線y＝x2－lnx上任意一點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)P處的切線和直線y＝x－2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y＝x－2的距離最?。?yàn)橹本€y＝x－2的斜率等于1，曲線y＝x2－lnx的導(dǎo)數(shù)y′＝2x－，令y′＝1，可得x＝1或x＝－(舍去)，所以在曲線y＝x2－lnx上與直線y＝x－2平行的切線經(jīng)過(guò)的切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，所以點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為，故選：C.8．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且.所以函數(shù)在上為減函數(shù).由得.解得.故選A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。9．四邊形內(nèi)接于圓，，下列結(jié)論正確的有（）A．四邊形為梯形 B．圓的直徑為7C．四邊形的面積為 D．的三邊長(zhǎng)度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列【答案】ACD【解析】可證顯然不平行即四邊形為梯形，故正確；在中由余弦定理可得圓的直徑不可能是，故錯(cuò)誤；在中由余弦定理可得解得或（舍去）故正確；在中，，，，滿足的三邊長(zhǎng)度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，故正確；故選：10．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓，為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（）A．為等比數(shù)列B．C．軸，且D．四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)【答案】BD【解析】，對(duì)于：為等比數(shù)列則不滿足條件，故錯(cuò)誤；對(duì)于：即解得或（舍去）滿足條件故正確；對(duì)于：軸，且即解得不滿足題意，故錯(cuò)誤；對(duì)于：四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)即四邊形的內(nèi)切圓的半徑為，解得（舍去）或故正確故選：11．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（）A．直線平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,連接,由正方體可得,且平面,則,所以平面,故；同理,連接,易證得,則平面,故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,,因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),所以,面積為定值,且到平面的距離即為到平面的距離,也為定值,故體積為定值,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)點(diǎn)與線段的端點(diǎn)重合時(shí),與所成角取得最小值為,故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)橹本€平面,所以若直線與平面所成角的正弦值最大,則直線與直線所成角的余弦值最大,則運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)處,即所成角為,設(shè)棱長(zhǎng)為1,在中,,故D正確故選：ABD12．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，若，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．10是函數(shù)的一個(gè)周期C．對(duì)任意的，都有D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BCD【解析】∵函數(shù)是偶函數(shù)，且，∴，∴，即，∴10是函數(shù)的一個(gè)周期，B對(duì)；又∵是偶函數(shù)，且，∴，∴函數(shù)是奇函數(shù)，A錯(cuò)；∵，，又，∴，故C對(duì)；∵是偶函數(shù)，且，∴，，∴，又，∴，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，D對(duì)；故選：BCD．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．在三角形中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，則______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，化?jiǎn)得到，故為直角三角形且為斜邊.又，故，因?yàn)闉樾边吷系闹芯€，故.故答案為：.14．已知數(shù)列滿足，則＝________.【答案】4【解析】因?yàn)?，所以，即?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：4.15．在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB上的點(diǎn)，且滿足，設(shè)，則，滿足的相等關(guān)系式是____________；三角形ABC面積的最小值是______．【答案】，2【解析】作，面積最小值為216．如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來(lái)，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的表面積為_(kāi)_________；若該六面體內(nèi)有一小球，則小球的最大體積為_(kāi)__________．【答案】【解析】（1）因?yàn)?，所以該六面體的表面積為.（2）由圖形的對(duì)稱性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個(gè)面都相切時(shí)，每個(gè)三角形面積是，六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是.由于圖像的對(duì)稱性，內(nèi)部的小球要是體積最大，就是球要和六個(gè)面相切，連接球心和五個(gè)頂點(diǎn)，把六面體分成了六個(gè)三棱錐，設(shè)球的半徑為，所以，所以球的體積.故答案為：；.解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列滿足：，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足，所以的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得①．②由①減去②得所以的前n項(xiàng)和．18．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，點(diǎn)、分別在線段、上，且，其中，連接，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若時(shí)，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求值．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）在線段上取一點(diǎn)，使得，，且，，，且，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，，1，，，0，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，令，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，令，，，，，，二面角的正弦值為．（Ⅲ）令，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，令，，由題意可得：，，，．19．（本小題滿分12分）甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為12,a,a（1）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）在概率P(ξ=i)(i=0，1，2，3)中,若P(【答案】（1）4a+12ξ

0

1

2

3

P

12(1－a)212(1－a2)12(2a－a2)a（2）(0,【解析】(1)P(ξ)是“ξ個(gè)人命中，3－ξ個(gè)人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ＝0)＝C10(1-12)C20(1－a)2P(ξ＝1)＝C11·12C20(1－a)2＋C10(1-12)C2P(ξ＝2)＝C11·12C21a(1－a)＋C10(1-12)CP(ξ＝3)＝C11·12C22所以ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

12(1－a)212(1－a2)12(2a－a2)aξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a2)＋2×12(2a－a2)＋3×a(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a2)－(2a－a2)]＝1-2P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a2)－a2]＝1-2由a(1-a)≥0,1-2a2≥0,1-2a22≥0和0＜a20．（本小題滿分12分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．求A和B的大小；若M，N是邊AB上的點(diǎn)，，求的面積的最小值．【答案】（1），（2）【解析】，由正弦定理得：，，，可得，即;,,由．由余弦定理可得：，，．如圖所示:設(shè)，,在中由正弦定理,得,由可知,,所以:,同理,由于,故，此時(shí)．故的面積的最小值為．21．（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線（＞0）交與M,N兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在【解析】（Ⅰ）由題設(shè)可得，，或，.∵，故在=處的導(dǎo)數(shù)值為，C在處的切線方程為，即.故在=-處的導(dǎo)數(shù)值為-，C在處的切線方程為，即.故所求切線方程為或.（Ⅱ）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點(diǎn)，，，直線PM，PN的斜率分別為.將代入C得方程整理得.∴.∴==.當(dāng)時(shí)，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故∠OPM=∠OPN，所以符合題意.22．（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若在定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）設(shè)分別是的極大值和極小值，