人教A版高中數(shù)學選擇性必修三（選修三）教案全套

高中數(shù)學選擇性必修三教案全套第六章計數(shù)原理《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》教案第一課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課標要求素養(yǎng)要求1.通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.通過兩個計數(shù)原理的學習，提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng).【課前預習】新知探究2017年3月3日政協(xié)十二屆第5次會議在北京舉行，某政協(xié)委員3月2日要從泉城濟南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機，二是乘坐動車組，假如這天飛機有3個航班可乘，動車組有4個班次可乘．問題這個政協(xié)委員這一天從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選？提示該政協(xié)委員共有3＋4＝7(種)快捷途徑可選．1．分類加法計數(shù)原理正確運用分類加法計數(shù)原理的關鍵是明確分類的標準并做到不重不漏完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．拓展深化[微判斷]1．在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(×)提示在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同的方案中，每一種方法都不相同．2．在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．(√)3．在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(√)4．在分步乘法計數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成．(√)[微訓練]1．從3名女同學和2名男同學中選出一人主持本班一次班會，則不同的選法種數(shù)為()A．6 B．5C．3 D．2解析由分類加法計數(shù)原理知，共有3＋2＝5(種)不同的選法．答案B2．一個袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩個袋子里各取一個球，共有__________種不同的取法．解析由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×8＝48(種)不同的取法．答案48[微思考]用一個大寫的英文字母或0～9這10個阿拉伯數(shù)字中的一個給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？提示因為英文字母共有26個，阿拉伯數(shù)字0～9共有10個，所以總共可以編出26＋10＝36(種)不同的號碼.【課堂互動】題型一分類加法計數(shù)原理的應用【例1】在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為___．解析法一根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．法二分析個位數(shù)字，可分以下幾類：個位數(shù)字是9，則十位數(shù)字可以是1，2，3，…，8中的一個，故共有8個；個位數(shù)字是8，則十位數(shù)字可以是1，2，3，…，7中的一個，故共有7個；同理，個位數(shù)字是7的有6個；……個位數(shù)字是2的有1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．答案36【遷移1】(變條件)若本例條件變?yōu)閭€位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個．解當個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個．當個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個．當個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5，6，7，8，9，共5個．同理可知，當個位數(shù)字是2時，共7個，當個位數(shù)字是0時，共9個．由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個).【遷移2】(變條件，變設問)用1，2，3這3個數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字的整數(shù)__________個．解析分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個；第二類為兩位整數(shù)，有12，21，23，32，13，31，共6個；第三類為三位整數(shù)，有123，132，231，213，321，312，共6個，∴由分類加法計數(shù)原理知共可組成沒有重復數(shù)字的整數(shù)3＋6＋6＝15(個)．答案15規(guī)律方法利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程【訓練1】滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．10解析由關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解，得a＝0，b∈R或a≠0時，ab≤1.又a，b∈{－1，0，1，2}，故若a＝－1時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；若a＝0時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；若a＝1時，b＝－1，0，1，有3種可能；若a＝2時，b＝－1，0，有2種可能．∴由分類加法計數(shù)原理知共有(a，b)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.答案B題型二分步乘法計數(shù)原理【例2】在平面直角坐標系內(nèi)，若點P(x，y)的橫、縱坐標均在{0，1，2，3}內(nèi)取值，則可以組成多少個不同的點P?解確定點P的坐標必須分兩步，即分步確定點P的橫坐標與縱坐標．第一步，確定橫坐標，從0，1，2，3四個數(shù)字中選一個，有4種方法；第二步，確定縱坐標，從0，1，2，3四個數(shù)字中選一個，也有4種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所有不同的點P的個數(shù)為4×4＝16.故可以組成16個不同的點P.規(guī)律方法應用分步乘法計數(shù)原理應注意如下問題：(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，單獨用題目中所給的某種方法是不是能完成這件事，也就是說要經(jīng)過幾步才能完成這件事．(2)完成這件事要分若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少哪一步，這件事都不可能完成，即各步之間是關聯(lián)的，相互依存的，只有前步完成后步才能進行．(3)根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，即分步要做到步驟完整．【訓練2】用0，1，2，3，4，5，6這七個數(shù)字共能組成多少個兩位數(shù)？解第一步，確定十位數(shù)字，1，2，3，4，5，6六個數(shù)字都可以選擇，有6種方法；第二步，確定個位數(shù)字，0，1，2，3，4，5，6七個數(shù)字都可以選擇，有7種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的兩位數(shù)共有6×7＝42(個)．故可以組成42個兩位數(shù)．題型三兩個計數(shù)原理的簡單應用【例3】現(xiàn)有高一年級的四個班的學生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學課外小組．(1)選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？(3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解(1)分四類：第一類，從一班學生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學生中選1人，有10種選法．所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)．(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組長．所以，共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5040(種)．(3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學生中各選1人，有9×10種不同的選法．所以，共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．規(guī)律方法(1)在處理具體的應用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么，選擇合理的標準處理事件，關鍵是看能否獨立完成這件事，避免計數(shù)的重復或遺漏．(2)對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．【訓練3】某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教，有多少種不同的選法？解由題意，知有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語．法一分兩類．第一類：從只會英語的6人中選1人說英語，有6種選法，則說日語的有2＋1＝3(種)選法．此時共有6×3＝18(種)選法．第二類：從不只會英語的1人中選1人說英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時有1×2＝2(種)選法．所以由分類加法計算原理知，共有18＋2＝20(種)選法．法二設既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語．第一類：甲入選．(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理，有1×2＝2(種)選法；(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理，有1×6＝6(種)選法．故甲入選的不同選法共有2＋6＝8(種)．第二類：甲不入選．可分兩步．第一步，從只會英語的6人中選1人有6種選法：第二步，從只會日語的2人中選1人有2種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，有6×2＝12(種)不同的選法．綜上，共有8＋12＝20(種)不同選法.【素養(yǎng)達成】一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．應用兩個原理時，要仔細區(qū)分原理的不同，分類加法計數(shù)原理關鍵在于分類，不同類之間互相排斥，互相獨立；分步乘法計數(shù)原理關鍵在于分步，各步之間互相依存，互相聯(lián)系．3．通過對這兩個原理的學習，要進一步體會分類討論思想及等價轉(zhuǎn)化思想在解題中的應用．二、素養(yǎng)訓練1．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具從A地到B地的不同走法的種數(shù)為()A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不對解析分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，由分類加法計數(shù)原理知共有3＋4＋2＝9(種)不同的走法．答案B2．現(xiàn)有3名老師、8名男生和5名女生共16人．若需1名老師和1名學生參加評選會議，則不同的選法種數(shù)為()A．39 B．24C．15 D．16解析先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從13名學生中任選1名，有13種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3×13＝39.答案A3．如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．9解析由題意可知E→F共有6條最短路徑，F(xiàn)→G共有3條最短路徑，由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×3＝18(條)最短路徑，故選B.答案B4．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有__________個．解析第一步取b的數(shù)，有6種方法，第二步取a的數(shù)，也有6種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×6＝36(種)方法，即共組成36個虛數(shù)．答案365．從－1，0，1，2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的各項的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有__________個，其中不同的偶函數(shù)共有__________個．解析一個二次函數(shù)對應著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知，共有二次函數(shù)的個數(shù)為3×3×2＝18.其中不同的偶函數(shù)的個數(shù)為3×2＝6.答案186【課后作業(yè)】基礎達標一、選擇題1．某同學從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有()A．24種 B．9種C．3種 D．26種解析不同的雜志本數(shù)為4＋3＋2＝9，從其中任選一本閱讀，共有9種選法．答案B2．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，則(x，y)可表示不同的點的個數(shù)是()A．1 B．3C．6 D．9解析可分為兩步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一個值x有3種方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一個值y有3種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，有3×3＝9(個)不同的點．答案D3．某體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，小李到體育場看比賽，則他進、出門的方案有()A．12種 B．7種C．14種 D．49種解析完成進、出體育場門這件事，需要分兩步，第一步進體育場，第二步出體育場．第一步進門共有4＋3＝7(種)方法，第二步出門共有4＋3＝7(種)方法．由分步乘法計數(shù)原理知，進、出門的方案有7×7＝49(種)．答案D4．5名同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有()A．10種 B．20種C．25種 D．32種解析每位同學限報其中的一個小組，各有2種報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的報名方法共有25＝32(種)．答案D5．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24解析長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”有6×6＝36(個)，另外含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”有6×2＝12(個)，所以共有36＋12＝48(個)．答案B二、填空題6．已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，則能使logab>1的對數(shù)值有__________個．解析分四類，當a＝2時，b取3，5，7，9四種情況；當a＝4時，b取5，7，9三種情況；當a＝6時，b取7，9兩種情況；當a＝8時，b取9一種情況，所以總共有4＋3＋2＋1＝10種，又log23＝log49，所以對數(shù)值有9個．答案97．用0到9這十個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為__________．解析由題意知本題是一個分類計數(shù)問題．若個位數(shù)字為0，前兩位的排法種數(shù)為9×8＝72；若個位數(shù)字不為0，則確定個位數(shù)字有4種方法，確定百位數(shù)字有8種方法，確定十位數(shù)字有8種方法，所以排法種數(shù)為4×8×8＝256.所以可以組成256＋72＝328(個)沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)．答案3288．如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不通．今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有__________種．解析按照焊接點脫落的個數(shù)進行分類：第1類，脫落1個，有1，4，共2種；第2類，脫落2個，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6種；第3類，脫落3個，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4種；第4類，脫落4個，有(1，2，3，4)，共1種．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有2＋6＋4＋1＝13(種)焊接點脫落的情況．答案13三、解答題9．用0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，若把每位數(shù)字比其左鄰的數(shù)字小的數(shù)叫做“漸降數(shù)”，求上述四位數(shù)中“漸降數(shù)”的個數(shù)．解分三類：第一類，千位數(shù)字為3時，要使四位數(shù)為“漸降數(shù)”，則四位數(shù)只有3210，共1個；第二類，千位數(shù)字為4時，“漸降數(shù)”有4321，4320，4310，4210，共4個；第三類，千位數(shù)字為5時，“漸降數(shù)”有5432，5431，5430，5421，5420，5410，5321，5320，5310，5210，共10個．由分類加法計數(shù)原理，得共有1＋4＋10＝15個“漸降數(shù)”．10．王華同學有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀．(1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有多少種不同的帶法？(2)若帶外語、數(shù)學、物理參考書各1本，則有多少種不同的帶法？(3)若從這些參考書中選2本不同學科的參考書帶到圖書館，則有多少種不同的帶法？解(1)完成的事情是帶一本書，無論帶外語書，還是數(shù)學書、物理書，事情都已完成，從而確定應用分類加法計數(shù)原理，共有5＋4＋3＝12(種)不同的帶法．(2)完成的事情是帶3本不同學科的參考書，只有從外語、數(shù)學、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此應用分步乘法計數(shù)原理，共有5×4×3＝60(種)不同的帶法．(3)選1本外語書和選1本數(shù)學書應用分步乘法計數(shù)原理，有5×4＝20種選法；同樣，選外語書、物理書各1本，有5×3＝15種選法；選數(shù)學書、物理書各1本，有4×3＝12種選法．即有三類情況，應用分類加法計數(shù)原理，共有20＋15＋12＝47(種)不同的帶法．能力提升11．如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有__________個．解析滿足條件的有兩類：第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有m1＝8(個)；第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有m2＝8×4＝32(個)，所以滿足條件的三角形共有8＋32＝40(個)．答案4012．已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，組成數(shù)對(m，n)，問：(1)有多少個不同的數(shù)對？(2)其中所取兩數(shù)滿足m＞n的數(shù)對有多少個？解(1)∵集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，組成數(shù)對(m，n)，先選出m有5種結(jié)果，再選出n有5種結(jié)果，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有5×5＝25(個)不同的數(shù)對．(2)在(1)中的25個數(shù)對中所取兩數(shù)滿足m＞n的數(shù)對可以分類來解，當m＝2時，n＝1，有1種結(jié)果；當m＝4時，n＝1，3有2種結(jié)果；當m＝6時，n＝1，3，5有3種結(jié)果；當m＝8時，n＝1，3，5，7有4種結(jié)果；當m＝10時，n＝1，3，5，7，9有5種結(jié)果．綜上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15(個)不同的數(shù)對．創(chuàng)新猜想13．(多空題)在如圖1的電路中，只合上一個開關可以接通電路，有__________種不同的方法；在如圖2的電路中，合上兩個開關可以接通電路，有__________種不同的方法．解析對于圖1，按要求接通電路，只要在A中的兩個開關或B中的三個開關中合上一個即可，故有2＋3＝5(種)不同的方法．對于圖2，按要求接通電路必須分兩步進行：第一步，合上A中的一個開關；第二步，合上B中的一個開關，故有2×3＝6(種)不同的方法．答案5614．(多空題)一個科技小組中有4名女同學、5名男同學，從中任選1名同學參加學科競賽，共有不同的選派方法__________種；若從中任選1名女同學和1名男同學參加學科競賽，共有不同的選派方法__________種．解析根據(jù)分類加法計數(shù)原理，從中任選1名同學參加學科競賽共有5＋4＝9(種)選派方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從中任選1名女同學和1名男同學參加學科競賽共有4×5＝20(種)選派方法．答案920第二課時兩個計數(shù)原理的綜合應用課標要求素養(yǎng)要求1.進一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別.2.會正確應用這兩個計數(shù)原理計數(shù).通過進一步應用兩個計數(shù)原理，提升數(shù)學抽象及數(shù)學運算素養(yǎng).【課前預習】新知探究青島是一座美麗的濱海城市，空氣良好，城市生活也很悠閑，海水清澈漂亮，能看到美麗的海岸線，青島的海鮮很便宜，海濱城市邊吃海鮮邊吹海風很愜意，小新決定“五一”期間從棗莊乘火車到濟南辦事，再于次日從濟南乘汽車到青島旅游，一天中火車有3班，汽車有2班，他將如何安排行程？問題上述情境中，小新從棗莊到濟南共有多少種不同的走法？提示因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以從棗莊到青島需乘一次火車再接著乘1次汽車就可以了，因此共有3×2＝6(種)不同的走法．兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系用兩個計數(shù)原理解決問題時，要明確是需要分類還是需要分步，有時，可能既要分類又要分步分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點用來計算完成一件事的方法種類不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整拓展深化[微判斷]1．分類計數(shù)是指將完成這件事的所有方式進行分類，每一類都能獨立完成該事件．(√)2.分步計數(shù)是指將完成這件事分解成若干步驟，當完成所有的步驟時，這個事件才算完成．(√)3．當一個事件既需要分步又需要分類時，分步和分類沒有先后之分．(×)提示當一個事件既需要分步又需要分類時，通常要明確是先分類后分步還是先分步后分類，并且要明確分類的標準和分步的程序問題．[微訓練]1．有A，B兩種類型的車床各一臺，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會操作兩種車床，丙只會操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有()A．6種 B．5種C．4種 D．3種解析不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，有1種方法；若選乙、丙，有1種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，不同的選派方法有2＋1＋1＝4(種)．答案C2．某班有3名學生準備參加校運會的100米、200米、跳高、跳遠四項比賽，如果每班每項限報1人，則這3名學生的參賽的不同方法有()A．24種 B．48種C．64種 D．81種解析由于每班每項限報1人，故當前面的學生選了某項之后，后面的學生不能再報，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)不同的參賽方法．答案A[微思考]用前6個大寫英文字母和1～9九個阿拉伯數(shù)字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？提示編寫一個號碼要先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數(shù)字，我們可以用樹形圖列出所有可能的號碼．如圖：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6×9＝54(個)不同的號碼.【課堂互動】題型一兩個計數(shù)原理在排數(shù)中的應用【例1】用0，1，2，3，4五個數(shù)字，(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)？解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種)，即可以排成125個三位數(shù)字的電話號碼．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種)，即可以排成100個三位數(shù)．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法，即可以排成30個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)．【遷移】(變設問)由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的四位奇數(shù)？解完成“組成無重復數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個)．規(guī)律方法對于組數(shù)問題，應掌握以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解．(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位．【訓練1】從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6解析由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況；奇偶奇，偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共有12＋6＝18(種)情況．故選B.答案B題型二分配問題【例2】高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A．360種 B．420種C．369種 D．396種解析法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類，有一個班級去甲工廠，其他班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種)．綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種)．法二(間接法)先計算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案．答案C規(guī)律方法選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行．②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．【訓練2】(1)有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是()A．11 B．10C．9 D．8(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有()A．280種 B．240種C．180種 D．96種解析(1)法一設四個班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設a監(jiān)考的是B，則剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當a監(jiān)考C，D時，剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級也各有3種不同的方法．這樣，由分類加法計數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法．法二讓a先選，可從B，C，D中選一個，即有3種選法．若選的是B，則b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有3×3×1×1＝9(種)不同安排方法．(2)由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法．后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案．答案(1)C(2)B題型三涂色問題【例3】如圖所示，要給“創(chuàng)”、“新”、“設”、“計”四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？解創(chuàng)、新、設、計四個區(qū)域依次涂色，分四步．第1步，涂“創(chuàng)”區(qū)域，有3種選擇．第2步，涂“新”區(qū)域，有2種選擇．第3步，涂“設”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”、“新”區(qū)域顏色不同，有1種選擇．第4步，涂“計”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”“設”區(qū)域顏色不同，有1種選擇．所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(種)．規(guī)律方法求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；(2)以顏色(種植作物)為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理分析；(3)對于涂色(立方體)問題將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題.【訓練3】如圖所示，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有四種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法種數(shù)為()A．96 B．84C．60 D．48解析依次種A，B，C，D4塊，當C與A種同一種花時，有4×3×1×3＝36(種)種法；當C與A所種的花不同時，有4×3×2×2＝48(種)種法．由分類加法計數(shù)原理知，不同的種法種數(shù)為36＋48＝84.答案B【素養(yǎng)達成】一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學習重點提升數(shù)學抽象及數(shù)學運算素養(yǎng)．2．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是兩個最基本，也是最重要的原理，是解答排列、組合問題，尤其是較復雜的排列、組合問題的基礎．3．應用分類加法計數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事件獨立完成；應用分步乘法計數(shù)原理要求各步均是完成事件必須經(jīng)過的若干彼此獨立的步驟．一般是先分類再分步，分類時要設計好標準，設計好分類方案，防止重復和遺漏．若正面分類種類比較多，而問題的反面種類比較少時，則使用間接法會簡單一些．二、素養(yǎng)訓練1．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，則不同的二次函數(shù)的個數(shù)為()A．125 B．15C．100 D．10解析若y＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，則a≠0，要完成該事件，需分步進行：第一步，對于系數(shù)a有4種不同的選法；第二步，對于系數(shù)b有5種不同的選法；第三步，對于系數(shù)c有5種不同的選法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有4×5×5＝100(個)．答案C2．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24解析剩余的3個座位共有4個空隙供3人(不妨記為甲、乙、丙)選擇就座，因此，可分三步：甲從4個空隙中任選一個空隙，有4種不同的選擇；乙從余下的3個空隙中任選一個空隙，有3種不同的選擇；丙從余下的2個空隙中任選一個空隙，有2種不同的選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為4×3×2＝24.故選D.答案D3．兩人進行乒乓球比賽，采取五局三勝制，即先贏三局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()A．10種 B．15種C．20種 D．30種解析由題意知，比賽局數(shù)最少為3局，至多為5局．當比賽局數(shù)為3局時，情形為甲或乙連贏3局，共2種；當比賽局數(shù)為4局時，若甲贏，則前3局中甲贏2局，最后一局甲贏，共有3種情形；同理，若乙贏，則也有3種情形，所以共有6種情形；當比賽局數(shù)為5局時，前4局，甲、乙雙方各贏2局，最后一局勝出的人贏，若甲前4局贏2局，共有贏取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六種情形，所以比賽局數(shù)為5局時共有2×6＝12(種)，綜上可知，共有2＋6＋12＝20(種)．故選C.答案C4．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展開式中有__________項．解析要得到項數(shù)分三步：第一步，從第一個因式中取一個因子，有2種取法；第二步，從第二個因式中取一個因子，有3種取法；第三步，從第三個因式中取一個因子，有4種取法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有2×3×4＝24(項)．答案245．將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有__________種．解析分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設放入a，再安排第二塊田，有2種方法b或c，不妨設放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法．(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c2種方法：①若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；②若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法．綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法．答案42【課后作業(yè)】基礎達標一、選擇題1．由數(shù)字1，2，3組成的無重復數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為()A．15 B．12C．10 D．5解析分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個；第三類組成3位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個．由分類加法計數(shù)原理知共有偶數(shù)1＋2＋2＝5(個)．答案D2．甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下．由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種 B．5種C．6種 D．12種解析若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有3＋3＝6(種)不同的傳法．答案C3．若三角形的三邊長均為正整數(shù)，其中一邊長為4，另外兩邊長分別為b，c，且滿足b≤4≤c，則這樣的三角形有()A．10個 B．14個C．15個 D．21個解析當b＝1時，c＝4；當b＝2時，c＝4，5；當b＝3時，c＝4，5，6；當b＝4時，c＝4，5，6，7.故共有1＋2＋3＋4＝10(個)這樣的三角形．答案A4．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中，第一、二象限不同點的個數(shù)為()A．18 B．16C．14 D．10解析分兩類：一是以集合M中的元素為橫坐標，以集合N中的元素為縱坐標，有3×2＝6(個)不同的點，二是以集合N中的元素為橫坐標，以集合M中的元素為縱坐標，有4×2＝8(個)不同的點，故由分類加法計數(shù)原理得共有6＋8＝14(個)不同的點．答案C5．有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有()A．4320種 B．2880種C．1440種 D．720種解析第1個區(qū)域有6種不同的涂色方法，第2個區(qū)域有5種不同的涂色方法，第3個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第4個區(qū)域有3種不同的涂色方法，第5個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第6個區(qū)域有3種不同的涂色方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×5×4×3×4×3＝4320(種)不同的涂色方法．答案A二、填空題6．如圖所示為一電路圖，則從A到B共有__________條不同的單支線路可通電．解析按上、中、下三條線路可分為三類：上線路中有3條，中線路中有1條，下線路中有2×2＝4(條)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3＋1＋4＝8(條)．答案87．古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成__________組．解析分兩類：第一類，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30(組)不同的結(jié)果；同理，第二類也有30組不同的結(jié)果，共可得到30＋30＝60(組)．答案608．4名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，則不同的報法有__________種．解析由于每個同學報哪個運動隊沒有限制，因此，每個同學都有3種報名方法，4個同學全部報完，才算完成這件事，故共有3×3×3×3＝81(種)不同的報法．答案81三、解答題9．將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中．求：(1)1號盒中無球的不同方法種數(shù)；(2)1號盒中有球的不同放法種數(shù)．解(1)1號盒中無球即A，B，C三球只能放入2，3，4號盒子中，有33＝27(種)放法；(2)1號盒中有球可分三類：一類是1號盒中有一個球，共有3×32＝27(種)放法，一類是1號盒中有兩個球，共有3×3＝9(種)放法，一類是1號盒中有三個球，有1種放法．共有27＋9＋1＝37(種)放法．10．若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0，1，2，3，5這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？解分兩類完成．第1類，當A或B中有一個為0時，表示的直線為x＝0或y＝0，共2條．第2類，當A，B都不為0時，直線Ax＋By＝0被確定需分兩步完成．第1步，確定A的值，有4種不同的方法；第2步，確定B的值，有3種不同的方法．由分步乘法計數(shù)原理知，共可確定4×3＝12(條)直線．由分類加法計數(shù)原理知，方程所表示的不同直線共有2＋12＝14(條)．能力提升11．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同．在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有()A．60條 B．62條C．71條 D．80條解析利用兩個計數(shù)原理結(jié)合分類討論思想求解．當a＝1時：若c＝0，則b2有2個取值，共2條拋物線；若c≠0，則c有4個取值，b2有2個取值，共有2×4＝8(條)拋物線．當a＝2時：若c＝0，則b2有3個取值，共有3條拋物線；若c≠0，當c取1時，b2有2個取值，共有2條拋物線；當c?。?時，b2有2個取值，共有2條拋物線；當c取3時，b2有3個取值，共有3條拋物線；當c?。?時，b2有3個取值，共有3條拋物線．∴a＝2時共有3＋2＋2＋3＋3＝13(條)拋物線．同理，a＝－2，－3，3時，共有拋物線3×13＝39(條)．由分類加法計數(shù)原理知，共有拋物線39＋13＋8＋2＝62(條)．答案B12．某中學調(diào)查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230(1)從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選出1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．解(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，知既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人，故至少參加上述一個社團的共有45－30＝15(人)，所以從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個社團的概率P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選出1人，其所有可能的結(jié)果有5×3＝15(種)．根據(jù)題意，知這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2個．因此A1被選中且B1未被選中的概率P＝eq\f(2,15).創(chuàng)新猜想13．(多空題)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則不同的選取種數(shù)為______，m，n都取到奇數(shù)的概率為__________．解析因為正整數(shù)m，n滿足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值有7×9＝63(種)，其中m，n都取到奇數(shù)的情況有4×5＝20(種)，因此所求概率為eq\f(20,63).答案63eq\f(20,63)14．(多空題)用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成無重復的三位數(shù)的個數(shù)為______，有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為________．解析用0，1，…，9共能組成9×10×10＝900(個)三位數(shù)，其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個)，所以有重復數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個)．答案648252《6.2.1排列與排列數(shù)》教案（第一課時排列）課標要求素養(yǎng)要求1.通過實例理解排列的概念.2.能應用排列知識解決簡單的實際問題.通過學習排列的概念，進一步提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng).【課前預習】新知探究“排列三”是中國福利彩票的一種，它是使用搖獎機、搖獎球進行搖獎的，“排列三”，“排列五”共同搖獎，一次搖出5個號碼，“排列三”的中獎號碼為當期搖出的全部中獎號碼的前3位，“排列五”的中獎號碼為當期搖出的全部中獎號碼，每日進行開獎．問題福彩3D即“排列三”搖出的號碼的總的結(jié)果數(shù)是多少？提示以第1位數(shù)為例，第1位的獎號是從0到9這10個數(shù)字中搖出一個，每個數(shù)字都有相同概率搖出，所以第1位上就有10種可能，同理第2位、第3位都各有10種可能，前3位總共就有1000種組合方法．排列的定義排列定義中兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定的順序”一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．拓展深化[微判斷]1．在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發(fā)生變化．(×)提示在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列與原來的排列不同．2．在一個排列中，同一個元素不能重復出現(xiàn)．(√)3．從1，2，3，4中任選兩個元素，就組成一個排列．(×)提示從1，2，3，4中任選兩個元素并按照一定的順序排成一列，才能組成一個排列．4．從5個同學中任選2個同學分別參加數(shù)學和物理競賽的所有不同的選法是一個排列問題．(√)[微訓練]1．有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，則送法共有()A．5種 B．3種C．60種 D．15種解析從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學的一種送法，對應于從5個不同元素中取出3個元素的一個排列，因此，共有送法5×4×3＝60(種)．答案C2．從5名同學中選出正、副組長各1名，有__________種不同的選法(用數(shù)字作答)．解析從5名同學中選出正、副組長各1名，即從5個不同元素中選出2個元素進行排列，不同的選法種數(shù)為5×4＝20.答案20[微思考]用1，2，3這三個數(shù)字共可以排成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？123與321是不是相同的排列？提示共可以得到6個三位數(shù)，123與321是不同的排列，只有兩個排列元素相同，順序也相同時，才是同一個排列.【課堂互動】題型一排列的概念【例1】判斷下列問題是否為排列問題．(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學習小組；(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；(6)某班40名學生在假期相互通信．解(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(3)，(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．(5)中每個人的職務不同，例如甲當班長與當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(2)，(5)，(6)屬于排列問題.規(guī)律方法判斷一個具體問題是否為排列問題的方法【訓練1】下列問題是排列問題嗎？(1)從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，其結(jié)果有多少種不同的可能？(2)從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個做除法，其結(jié)果有多少種不同的可能？(3)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排3位客人入座，又有多少種方法？解(1)不是；(2)是；(3)第一問不是，第二問是．理由：由于加法運算滿足交換律，所以選出的兩個元素做加法求結(jié)果時，與兩個元素的位置無關，但列除法算式時，兩個元素誰作除數(shù)，誰作被除數(shù)不一樣，此時與位置有關．選出3個座位與順序無關，“入座”問題同“排隊”，與順序有關，故選3個座位安排3位客人入座是排列問題．題型二排列的列舉問題【例2】(1)從1，2，3，4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成無重復數(shù)字的兩位數(shù)，一共可以組成多少個？(2)寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列．解(1)由題意作“樹狀圖”，如下．故組成的所有兩位數(shù)為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個．(2)由題意作“樹狀圖”，如下．故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.規(guī)律方法利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個數(shù)不多的問題時，是一種比較有效的表示方式．(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列．【訓練2】寫出A，B，C，D四名同學站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法．解由題意作“樹狀圖”，如下，故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.題型三排列的簡單應用【例3】用具體數(shù)字表示下列問題．(1)從100個兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個數(shù)，其商的個數(shù)；(2)由0，1，2，3組成的能被5整除且沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)；(3)有4名大學生可以到5家單位實習，若每家單位至多招1名實習生，每名大學生至多到1家單位實習，且這4名大學生全部被分配完畢，其分配方案的個數(shù)．解(1)從100個兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個數(shù)，分別作為商的分子和分母，其商共有100×99＝9900(個)．(2)因為組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)能被5整除，所以這個四位數(shù)的個位數(shù)字一定是“0”，故確定此四位數(shù)，只需確定千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字即可，共有3×2×1＝6(個)．(3)可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學生安排到4家單位，共有5×4×3×2＝120(個)分配方案．規(guī)律方法要想正確地表示排列問題的排列個數(shù)，應弄清這件事中誰是分步的主體，分清m個元素和n(m≤n)個不同的位置各是什么.【訓練3】(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？解(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學，相當于從7個不同元素中任取3個元素的一個排列，所以共有7×6×5＝210(種)不同的送法．(2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有7×7×7＝343(種)不同的送法.【素養(yǎng)達成】一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學抽象素養(yǎng)及數(shù)學運算素養(yǎng)．2．排列有兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定順序排成一列”．這里“一定的順序”是指每次取出的元素與它所排的“位置”有關，所以，取出的元素與“順序”有無關系就成為判斷問題是否為排列問題的標準．二、素養(yǎng)訓練1．從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個數(shù)做加、減、乘、除運算，分別計算它們的結(jié)果，在這些問題中，有幾種運算可以看作排列問題()A．1 B．3C．2 D．4解析因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數(shù)做加法和乘法時，結(jié)果與兩數(shù)字位置無關，故不是排列問題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關，故是排列問題．答案C2．從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為()A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙解析選出兩人，兩人的不同順序都要考慮．答案C3．某電視臺一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個廣告，其中2個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，且2個商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有()A．8種 B．16種C．18種 D．24種解析可分三步：第一步，排最后一個商業(yè)廣告，有2種；第二步，在前兩個位置選一個排第二個商業(yè)廣告，有2種；第三步，余下的兩個排公益宣傳廣告，有2種．根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的播放方式共有2×2×2＝8(種)．故選A.答案A4．8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地上，有__________種不同的種法(用數(shù)字作答)．解析本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題，所以不同的種法共有8×7×6×5＝1680(種)．答案16805．某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，則一共可以表示______種不同的信號．解析第1類，掛1面旗表示信號，有3種不同方法；第2類，掛2面旗表示信號，有3×2＝6(種)不同方法；第3類，掛3面旗表示信號，有3×2×1＝6(種)不同方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可以表示的信號共有3＋6＋6＝15(種)．答案15【課后作業(yè)】基礎達標一、選擇題1．(多選題)下面問題中，不是排列問題的是()A．由1，2，3三個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合解析選項A中組成的三位數(shù)與數(shù)字的排列順序有關，選項B，C，D只需取出元素即可，與元素的排列順序無關．答案BCD2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為()A．6 B．4C．8 D．10解析列“樹狀圖”如下：故共有丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲4種排列方法．答案B3．從2，3，5，7四個數(shù)中任選兩個分別相除，則得到的不同結(jié)果有()A．6個 B．10個C．12個 D．16個解析不同結(jié)果有4×3＝12(個)．答案C4．從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是()A．9 B．10C．18 D．20解析lga－lgb＝lgeq\f(a,b)，從1，3，5，7，9中任取兩個數(shù)分別記為a，b，共有5×4＝20(種)，其中l(wèi)geq\f(1,3)＝lgeq\f(3,9)，lgeq\f(3,1)＝lgeq\f(9,3)，故其可得到18種結(jié)果．答案C5．四張卡片上分別標有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為()A．6 B．9C．12 D．24解析組成的四位數(shù)列舉如下：1012，1021，1102，1120，1201，1210，2011，2101，2110，共9個．答案B二、填空題6．某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了__________條畢業(yè)留言(用數(shù)字作答)．解析根據(jù)題意，得40×39＝1560，故全班共寫了1560條畢業(yè)留言．答案15607．2020北京車展期間，某調(diào)研機構(gòu)準備從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù)，不同的安排方法種數(shù)為__________．解析由題意可知，問題為從5個元素中選3個元素的排列問題，所以安排方法有5×4×3＝60(種)．答案608．有3名大學畢業(yè)生，到5家招聘員工的公司應聘，若每家公司至多招聘一名新員工，且3名大學畢業(yè)生全部被聘用，若不允許兼職，則共有__________種不同的招聘方案(用數(shù)字作答)．解析將5家招聘員工的公司看作5個不同的位置，從中任選3個位置給3名大學畢業(yè)生，則本題即為從5個不同元素中任取3個元素的排列問題．所以不同的招聘方案共有5×4×3＝60(種)．答案60三、解答題9．判斷下列問題是否為排列問題：(1)從1到10十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成直角坐標平面內(nèi)的點的坐標，可得多少個不同的點的坐標？(2)從10名同學中任抽兩名同學去學校開座談會，有多少種不同的抽取方法？(3)某商場有四個大門，若從一個門進去，購買物品后再從另一個門出來，不同的出入方式共有多少種？(4)從集合M＝{1，2，…，9}中，任取兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1？可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?解(1)由于取出的兩數(shù)組成點的坐標與哪一數(shù)作橫坐標，哪一數(shù)作縱坐標的順序有關，所以這是一個排列問題．(2)因為任何一種從10名同學抽取兩人去學校開座談會的方式不用考慮兩人的順序，所以這不是排列問題．(3)因為從一門進，從另一門出是有順序的，所以是排列問題．(4)第一問不是排列問題，第二問是排列問題．若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a＞b，a，b的大小關系一定；在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，不管a＞b還是a＜b，方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題．10．京滬高速鐵路自北京南站至上海虹橋站，雙線鐵路全長1318公里，途經(jīng)北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個省市，設立包括北京南、天津西、濟南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內(nèi)的21個車站，計算鐵路部門要為這21個車站準備多少種不同的火車票？解對于兩個火車站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張票對應一個起點站和一個終點站，因此，結(jié)果應為從21個不同元素中，每次取出2個不同元素的排列的個數(shù)為21×20＝420.所以一共需要為這21個車站準備420種不同的火車票．能力提升11．將4張相同的博物館的參觀票分給5名同學，每名同學至多1張，并且票必須分完，那么不同的分法的種數(shù)為()A．54 B．45C．5×4×3×2 D．5解析由于參觀票只有4張，而人數(shù)為5人，且每名同學至多1張，故一定有1名同學沒有票．因此從5名同學中選出1名沒有票的同學，有5種選法．又因為4張參觀票是相同的，不加以區(qū)分，所以不同的分法有5種．答案D12．將A，B，C，D四名同學按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，試用樹狀圖列出所有可能的排法．解由題意作“樹狀圖”，如下：故所有排法為BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9種．創(chuàng)新猜想13．(多選題)下列問題中是排列問題的是()A．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數(shù)學、物理興趣小組B．從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動C．從a，b，c，d中選出3個字母D．從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)解析由排列的定義知AD是排列問題．答案AD14．(多空題)從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成____________個以b為首的不同的排列，它們分別是_________________．解析畫出樹狀圖如下：可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.答案12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed第二課時排列數(shù)課標要求素養(yǎng)要求1.能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式.2.掌握幾種有限制條件的排列，能應用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題.通過排列數(shù)公式的學習，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)及邏輯推理素養(yǎng).【課前預習】新知探究在上海交通大學建校120年周年之際，有29位曾是交大學子的名人大家，要在慶祝會上逐一介紹，那么這29位大家的排列順序有多少種？這樣的排列順序問題能否用一個公式來表示呢？問題上述情景中的問題能否用一個公式來表示？提示上述問題情景中的問題可以用公式Aeq\o\al(29,29)來表示．1．排列數(shù)的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示.2．排列數(shù)公式注意排列數(shù)公式的特征：m個連續(xù)自然數(shù)之積；最大的因數(shù)是n，最小的因數(shù)是n－m＋1Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝eq\f(n！,（n－m）！).3．全排列將n個不同的元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n！表示，于是n個元素的全排列數(shù)公式可以寫成：Aeq\o\al(n,n)＝n!，另外規(guī)定，0！＝1.拓展深化[微判斷]1．排列與排列數(shù)的含義相同．(×)提示“排列”和“排列數(shù)”是兩個不同的概念，一個排列是指完成的具體的一件事，其過程要先取后排，它不是一個數(shù)；而排列數(shù)是指完成具體的一件事的所有方法的種數(shù)，即所有排列的個數(shù)，它是一個數(shù)．2．從4個不同元素中任取3個元素的排列數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝24.(√)[微訓練]1．Aeq\o\al(3,9)等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3答案C2．若Aeq\o\al(m,10)＝10×9×…×5，則m＝__________．答案6[微思考]1．排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)公式的特點是什么？提示第一個因數(shù)是n，后面一個因數(shù)比它前面的一個少1，最后一個因數(shù)是n－m＋1，共m個因數(shù)相乘．2．從1，2，3，4這4個數(shù)字中選出3個能構(gòu)成多少個無重復數(shù)字的3位數(shù)？提示4×3×2＝24(個).【課堂互動】題型一排列數(shù)公式及應用【例1】(1)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)；(2)計算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9)).(3)證明Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).(1)解因為55－n，56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(個)元素，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)解eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1.(3)證明法一因為Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1－m）！)－eq\f(n！,（n－m）！)＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,（n＋1－m）！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，所以Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).法二Aeq\o\al(m,n＋1)表示從n＋1個元素中取出m個元素的排列個數(shù)，其中不含元素a1的有Aeq\o\al(m,n)個．含有a1的可這樣進行排列：先排a1，有m種排法，再從另外n個元素中取出m－1個元素排在剩下的m－1個位置上，有Aeq\o\al(m－1,n)種排法．故Aeq\o\al(m,n＋1)＝mAeq\o\al(m－1,n)＋Aeq\o\al(m,n)，所以mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n).規(guī)律方法排列數(shù)公式的形式及選擇方法排列數(shù)公式有兩種形式，一種是連乘積的形式，另一種是階乘的形式，若要計算含有數(shù)字的排列數(shù)的值，常用連乘積的形式進行計算，而要對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形或作有關的論證時，一般用階乘式．【訓練1】不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)的解集為()A．[2，8] B．[2，6]C．(7，12) D．{8}解析由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,（8－x）！)<6×eq\f(8！,（10－x）！)，化簡得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，①又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②由①②及x∈N*，得x＝8.答案D題型二排隊問題【例2】三個女生和五個男生排成一排．(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解(1)(捆綁法)因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)種不同的排法．對于其中的每一種排法，三個女生之間又有Aeq\o\al(3,3)種不同的排法，因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320(種)不同的排法．(2)(插空法)要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空位，這樣共有四個空位，加上兩邊男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰．由于五個男生排成一排有Aeq\o\al(5,5)種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個讓三個女生插入都有Aeq\o\al(3,6)種排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400(種)不同的排法．(3)法一(位置分析法)因為兩端都不能排女生，所以兩端只能挑選五個男生中的兩個，有Aeq\o\al(2,5)種不同的排法，對于其中的任意一種不同的排法，其余六個位置都有Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，所以共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(種)不同的排法．法二(間接法)三個女生和五個男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)種不同的排法，從中扣除女生排在首位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)種排法和女生排在末位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)種排法，但兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在末位的情況時又被扣去一次，所以還需加回來一次，由于兩端都是女生有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，所以共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(種)不同的排法．法三(元素分析法)從中間六個位置挑選三個讓三個女生排入，有Aeq\o\al(3,6)種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余五個位置又都有Aeq\o\al(5,5)種不同的排法，所以共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400(種)不同的排法．(4)法一(位置分析法)因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受條件限制了，這樣可有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)種不同的排法；如果首位排女生，有Aeq\o\al(1,3)種排法，那么末位就只能排男生，這樣可有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，因此共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(種)不同的排法．法二(間接法)三個女生和五個男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)種不同的排法，從中扣除兩端都是女生的排法Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)種，就得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．因此共有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(種)不同的排