《6.3 二項(xiàng)式定理》教案與分層同步練習(xí)

《6．3二項(xiàng)式定理》教案（第一課時(shí)二項(xiàng)式定理）課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.通過(guò)學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理的有關(guān)內(nèi)容，提升邏輯推理素養(yǎng)及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【課前預(yù)習(xí)】新知探究牛頓善于在日常生活中思考，他取得了科學(xué)史上一個(gè)又一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)，有一次，他在向一位姑娘求婚時(shí)思想又開(kāi)了小差，他腦海中只剩下了無(wú)窮量的二項(xiàng)式定理，他抓住了姑娘的手，錯(cuò)誤地把它當(dāng)成通煙斗的通條，硬往煙斗里塞，痛的姑娘大叫，離他而去．問(wèn)題什么是二項(xiàng)式定理？提示(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn即為二項(xiàng)式定理．二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念注意二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念二項(xiàng)式定理公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn，稱為二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，…，n)通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk二項(xiàng)式定理的特例(1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(k,n)xk＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn拓展深化[微判斷]1．(a＋b)n的展開(kāi)式中共有n項(xiàng)．(×)提示(a＋b)n的展開(kāi)式中共有n＋1項(xiàng)．2．在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒(méi)有影響．(×)提示交換a，b的順序各項(xiàng)都發(fā)生變化.3.Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開(kāi)式中的第k項(xiàng)．(×)提示Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開(kāi)式中的第k＋1項(xiàng)．4．(a－b)n與(a＋b)n的二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)相同．(√)[微訓(xùn)練]1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為()A．－10 B．10C．－5 D．5解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(5)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,5)x5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝(－1)kCeq\o\al(k,5)x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，∴含x3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(1,5)＝5.答案D2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))eq\s\up12(5)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．80 B．－80C．40 D．－40解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))eq\s\up12(5)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,5)(x2)5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x3)))eq\s\up12(k)＝(－2)kCeq\o\al(k,5)x10－5k，令10－5k＝0，得k＝2，∴常數(shù)項(xiàng)為(－2)2Ceq\o\al(2,5)＝40.答案C3．設(shè)S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，則S等于__________．解析S＝[(x－1)＋1]3＝x3.答案x3[微思考]1．二項(xiàng)式定理中，項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)有什么區(qū)別？提示二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念．二項(xiàng)式系數(shù)是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)，而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．2．二項(xiàng)式(a＋b)n與(b＋a)n展開(kāi)式中第k＋1項(xiàng)是否相同？提示不同．(a＋b)n展開(kāi)式中第k＋1項(xiàng)為Ceq\o\al(k,n)an－kbk，而(b＋a)n展開(kāi)式中第k＋1項(xiàng)為Ceq\o\al(k,n)bn－kak.【課堂互動(dòng)】題型一二項(xiàng)式定理的正用、逆用【例1】(1)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)的展開(kāi)式．(2)化簡(jiǎn)：Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n－Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)kCeq\o\al(k,n)(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n).解(1)法一eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(2)＋Ceq\o\al(3,4)(3eq\r(x))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).法二eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,x2)(1＋3x)4＝eq\f(1,x2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋Ceq\o\al(1,4)·3x＋Ceq\o\al(2,4)（3x）2＋Ceq\o\al(3,4)（3x）3＋Ceq\o\al(4,4)（3x）4))＝eq\f(1,x2)(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(12,x)＋54＋108x＋81x2.(2)原式＝Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ceq\o\al(k,n)(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Ceq\o\al(n,n)(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.【遷移】(變條件，變?cè)O(shè)問(wèn))若(1＋eq\r(3))4＝a＋beq\r(3)(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝__________．解析∵(1＋eq\r(3))4＝1＋Ceq\o\al(1,4)×(eq\r(3))1＋Ceq\o\al(2,4)×(eq\r(3))2＋Ceq\o\al(3,4)×(eq\r(3))3＋Ceq\o\al(4,4)×(eq\r(3))4＝1＋4eq\r(3)＋18＋12eq\r(3)＋9＝28＋16eq\r(3)，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.答案44規(guī)律方法(1)(a＋b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式有n＋1項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是：①各項(xiàng)的次數(shù)和等于n；②字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.(2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想．注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏．【訓(xùn)練1】化簡(jiǎn)：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.解原式＝Ceq\o\al(0,5)(2x＋1)5－Ceq\o\al(1,5)(2x＋1)4＋Ceq\o\al(2,5)(2x＋1)3－Ceq\o\al(3,5)(2x＋1)2＋Ceq\o\al(4,5)(2x＋1)－Ceq\o\al(5,5)(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.題型二二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用【例2】(1)求二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,x)))eq\s\up12(6)的展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù)；(2)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(9)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)．解(1)由已知得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2eq\r(x))6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝26－kCeq\o\al(k,6)·(－1)k·x3－eq\f(3k,2)，∴T6＝26－5Ceq\o\al(5,6)·(－1)5·x3－eq\f(3,2)×5＝－12x－eq\f(9,2).∴第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(5,6)＝6，第6項(xiàng)的系數(shù)為－12.(2)設(shè)展開(kāi)式中的第k＋1項(xiàng)為含x3的項(xiàng)，則Tk＋1＝Ceq\o\al(k,9)x9－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝(－1)k·Ceq\o\al(k,9)·x9－2k，令9－2k＝3，得k＝3，即展開(kāi)式中第4項(xiàng)含x3，其系數(shù)為(－1)3·Ceq\o\al(3,9)＝－84.【遷移1】(變?cè)O(shè)問(wèn))本例問(wèn)題(1)條件不變，問(wèn)題改為“求第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第4項(xiàng)的系數(shù)”．解由通項(xiàng)Tk＋1＝(－1)k·Ceq\o\al(k,6)·26－k·x3－eq\f(3,2)k，知第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝20，第4項(xiàng)的系數(shù)為(－1)3·Ceq\o\al(3,6)·23＝－160.【遷移2】(變?cè)O(shè)問(wèn))本例問(wèn)題(2)條件不變，問(wèn)題改為“求展開(kāi)式中x5的系數(shù)”，該如何求解？解設(shè)展開(kāi)式中第k＋1項(xiàng)為含x5的項(xiàng)，則Tk＋1＝(－1)k·Ceq\o\al(k,9)·x9－2k，令9－2k＝5，得k＝2，即展開(kāi)式中的第3項(xiàng)含x5，且系數(shù)為(－1)2·Ceq\o\al(2,9)＝36.規(guī)律方法(1)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常見(jiàn)題型①求第k項(xiàng)，Tk＝Ceq\o\al(k－1,n)an－k＋1bk－1；②求含xk的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng))；③求常數(shù)項(xiàng)；④求有理項(xiàng)．(2)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常用方法①對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))；②對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫(xiě)出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這類問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解；③對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致．【訓(xùn)練2】已知二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))eq\s\up12(10).(1)求展開(kāi)式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(2)求展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開(kāi)式的第4項(xiàng)．解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))eq\s\up12(10)的展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)(3eq\r(x))10－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,10)310－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(k)·xeq\f(10－3k,2)(k＝0，1，2，…，10)．(1)展開(kāi)式的第4項(xiàng)(k＝3)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝120.(2)展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(3,10)37eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝－77760.(3)展開(kāi)式的第4項(xiàng)為T(mén)4＝T3＋1＝－77760eq\r(x).題型三與展開(kāi)式中的特定項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題角度1求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)【例3】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是()A．－eq\f(5,4) B.eq\f(5,4)C．－eq\f(15,16) D.eq\f(15,16)解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(x2)6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2x)))eq\s\up12(k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(k)Ceq\o\al(k,6)x12－3k，令12－3k＝0，解得k＝4.所以常數(shù)項(xiàng)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(4)Ceq\o\al(4,6)＝eq\f(15,16).答案D角度2由二項(xiàng)展開(kāi)式某項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)問(wèn)題【例4】若(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開(kāi)式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D．2解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)·x10－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,10)·x10－2k，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開(kāi)式中含x4(當(dāng)k＝3時(shí))、x6(當(dāng)k＝2時(shí))項(xiàng)的系數(shù)分別為Ceq\o\al(3,10)，Ceq\o\al(2,10).因?yàn)?x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展開(kāi)式中含x6的項(xiàng)由x2與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)的乘積以及－a與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)展開(kāi)式中含x6的項(xiàng)的乘積兩部分構(gòu)成，因此由題意得Ceq\o\al(3,10)－aCeq\o\al(2,10)＝120－45a＝30，由此解得a＝2.答案D規(guī)律方法求展開(kāi)式中特定項(xiàng)的方法求展開(kāi)式中特定項(xiàng)的關(guān)鍵是抓住其通項(xiàng)公式，求解時(shí)先準(zhǔn)確寫(xiě)出通項(xiàng)，再把系數(shù)和字母分離，根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理項(xiàng)問(wèn)題的解法，要保證字母的指數(shù)一定為整數(shù)．【訓(xùn)練3】(1)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))eq\s\up12(9)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是－84，則a＝__________．(2)已知n為等差數(shù)列－4，－2，0，…的第六項(xiàng)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))eq\s\up12(n)的二項(xiàng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是__________．解析(1)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,9)x9－k(－a)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,9)·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)．當(dāng)9－2k＝3時(shí)，解得k＝3，代入得x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,9)(－a)3＝－84，解得a＝1.(2)由題意得n＝6，∴Tk＋1＝2kCeq\o\al(k,6)x6－2k，令6－2k＝0得k＝3，∴常數(shù)項(xiàng)為23Ceq\o\al(3,6)＝160.答案(1)1(2)160【素養(yǎng)達(dá)成】一、素養(yǎng)落地1．通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．注意區(qū)分項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念．要牢記Ceq\o\al(k,n)an－kbk是展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)，不要誤認(rèn)為是第k項(xiàng)．3．求解特定項(xiàng)時(shí)必須合并通項(xiàng)中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為特定值．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．1－2Ceq\o\al(1,n)＋4Ceq\o\al(2,n)－8Ceq\o\al(3,n)＋…＋(－2)nCeq\o\al(n,n)等于()A．1 B．－1C．(－1)n D．3n解析逆用二項(xiàng)式定理，將1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.答案C2．若(1＋eq\r(2))4＝a＋beq\r(2)(a，b為有理數(shù))，則a＋b等于()A．33 B．29C．23 D．19解析∵(1＋eq\r(2))4＝1＋4eq\r(2)＋12＋8eq\r(2)＋4＝17＋12eq\r(2)＝a＋beq\r(2)，又∵a，b為有理數(shù)，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29.答案B3．在(1－x)5－(1－x)6的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是()A．－5 B．5C．－10 D．10解析(1－x)5中x3的系數(shù)－Ceq\o\al(3,5)＝－10，－(1－x)6中x3的系數(shù)為－Ceq\o\al(3,6)·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為10.答案D4．二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x2)))eq\s\up12(6)的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是__________．解析二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x2)))eq\s\up12(6)的第k＋1項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2x)6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,6)·26－k·x6－3k，令6－3k＝0，解得k＝2，所以常數(shù)項(xiàng)是Ceq\o\al(2,6)·24＝240.答案2405.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))eq\s\up12(8)的展開(kāi)式中x7的系數(shù)為_(kāi)_________(用數(shù)字作答)．解析二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)(x2)8－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝(－1)kCeq\o\al(k,8)x16－3k，令16－3k＝7，得k＝3，故x7的系數(shù)為－Ceq\o\al(3,8)＝－56.答案－56【課后作業(yè)】基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．(x＋2)n的展開(kāi)式共有12項(xiàng)，則n等于()A．9 B．10C．11 D．8解析∵(a＋b)n的展開(kāi)式共有n＋1項(xiàng)，而(x＋2)n的展開(kāi)式共有12項(xiàng)，∴n＝11.答案C2．(1－i)10(i為虛數(shù)單位)的二項(xiàng)展開(kāi)式中第7項(xiàng)為()A．－210 B．210C．－120i D．－210i解析由通項(xiàng)得T7＝Ceq\o\al(6,10)·(－i)6＝－Ceq\o\al(6,10)＝－210.答案A3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))eq\s\up12(6)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．60 B．－60C．250 D．－250解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))eq\s\up12(6)展開(kāi)式的通項(xiàng)為Ceq\o\al(k,6)(eq\r(x))6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))eq\s\up12(k)＝(－2)kCeq\o\al(k,6)x3－eq\f(3,2)k.令3－eq\f(3,2)k＝0，得k＝2.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))eq\s\up12(6)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(－2)2·Ceq\o\al(2,6)＝60.答案A4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(9)展開(kāi)式中的第4項(xiàng)是()A．56x3 B．84x3C．56x4 D．84x4解析由通項(xiàng)公式有T4＝Ceq\o\al(3,9)x6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(3)＝84x3.答案B5．(2x＋eq\r(x))4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是()A．6 B．12C．24 D．48解析(2x＋eq\r(x))4展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,4)(2x)4－k(eq\r(x))k＝24－kCeq\o\al(k,4)x4－eq\f(k,2).令4－eq\f(k,2)＝3，解得k＝2，故展開(kāi)式中x3的系數(shù)是4·Ceq\o\al(2,4)＝24.答案C二、填空題6．若(x＋a)10的展開(kāi)式中x7的系數(shù)為15，則a＝________．解析二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,10)x10－kak，當(dāng)10－k＝7時(shí)，k＝3，T4＝Ceq\o\al(3,10)a3x7，則Ceq\o\al(3,10)a3＝15，故a＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))eq\s\up12(5)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為－40，則a＝__________．解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))eq\s\up12(5)展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,5)(2x)5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,5)25－kx5－2k.因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))eq\s\up12(5)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為－40，所以axCeq\o\al(3,5)22x－1＋eq\f(1,x)Ceq\o\al(2,5)23x＝－40，所以40a＋80＝－40，解得a＝－3.答案－38.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4＋\f(4,x)))eq\s\up12(6)(x＞0)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4＋\f(4,x)))eq\s\up12(6)(x＞0)可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,\r(x))))eq\s\up12(12)，因而Tk＋1＝Ceq\o\al(k,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)))eq\s\up12(12－k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－2)kCeq\o\al(k,12)·x6－k.令6－k＝0，得k＝6，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))eq\s\up12(6)·Ceq\o\al(6,12)＝59136.答案59136三、解答題9．若二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(6)(a＞0)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B，且B＝4A，求a的值．解∵Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－a)kCeq\o\al(k,6)x6－eq\f(3k,2)，令6－eq\f(3k,2)＝3，則k＝2，得A＝Ceq\o\al(2,6)·a2＝15a2；令6－eq\f(3k,2)＝0，則k＝4，得B＝Ceq\o\al(4,6)·a4＝15a4.由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，所以a＝2.10．已知(eq\r(x)＋eq\r(3,x))n(其中n<15)的展開(kāi)式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．(1)求n的值；(2)寫(xiě)出它展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)．解(1)(eq\r(x)＋eq\r(3,x))n(其中n<15)的展開(kāi)式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是Ceq\o\al(8,n)，Ceq\o\al(9,n)，Ceq\o\al(10,n).依題意得eq\f(n！,8?。╪－8）！)＋eq\f(n！,10?。╪－10）！)＝2·eq\f(n！,9?。╪－9）！)，化簡(jiǎn)得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23，因?yàn)閚<15，所以n＝14.(2)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,14)xeq\f(14－k,2)·xeq\f(k,3)＝Ceq\o\al(k,14)·xeq\f(42－k,6)，展開(kāi)式中的有理項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)k是6的倍數(shù)，又0≤k≤14，所以展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共3項(xiàng)，分別是：k＝0，T1＝Ceq\o\al(0,14)x7＝x7；k＝6，T7＝Ceq\o\al(6,14)x6＝3003x6；k＝12，T13＝Ceq\o\al(12,14)x5＝91x5.能力提升11．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝__________．解析a＝Ceq\o\al(n－3,n)，b＝Ceq\o\al(n－2,n).∵a∶b＝3∶1，∴eq\f(Ceq\o\al(n－3,n),Ceq\o\al(n－2,n))＝eq\f(Ceq\o\al(3,n),Ceq\o\al(2,n))＝eq\f(3,1)，即eq\f(n（n－1）（n－2）×2,6n（n－1）)＝3，解得n＝11.答案1112．已知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開(kāi)式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求：(1)n的值；(2)展開(kāi)式中x5的系數(shù)；(3)含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．解已知二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2))eq\s\up12(n－k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－1)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－k)Ceq\o\al(k,n)x2n－eq\f(5,2)k.(1)因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即當(dāng)k＝8時(shí)，2n－eq\f(5,2)k＝0，解得n＝10.(2)令2×10－eq\f(5,2)k＝5，得k＝eq\f(2,5)(20－5)＝6.所以x5的系數(shù)為(－1)6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)Ceq\o\al(6,10)＝eq\f(105,8).(3)要使2n－eq\f(5,2)k，即eq\f(40－5k,2)為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6項(xiàng)，分別為展開(kāi)式的第1，3，5，7，9，11項(xiàng)．創(chuàng)新猜想13．(多選題)對(duì)于二項(xiàng)式(eq\f(1,x)＋x3)n(n∈N*)，以下判斷正確的是()A．存在n∈N*，使展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)B．對(duì)任意n∈N*，展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)C．對(duì)任意n∈N*，展開(kāi)式中沒(méi)有x的一次項(xiàng)D．存在n∈N*，使展開(kāi)式中有x的一次項(xiàng)解析二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))eq\s\up12(n)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,n)x4k－n，可知，當(dāng)n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)時(shí)，展開(kāi)式中分別存在常數(shù)項(xiàng)和x的一次項(xiàng)．答案AD14．(多空題)在二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)＋\f(1,2x\f(1,4))))eq\s\up12(n)的展開(kāi)式中，若前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則n＝________，此時(shí)二項(xiàng)式展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_____．解析二項(xiàng)展開(kāi)式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，Ceq\o\al(1,n)·eq\f(1,2)，Ceq\o\al(2,n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)，由其成等差數(shù)列，可得2Ceq\o\al(1,n)·eq\f(1,2)＝1＋Ceq\o\al(2,n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)，即n＝1＋eq\f(n（n－1）,8)，所以n＝8(n＝1舍去)．所以展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)x4－eq\f(3k,4).若為有理項(xiàng)，則有4－eq\f(3k,4)∈Z，又0≤k≤8，k∈N，所以k可取0，4，8，所以展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為3.答案83《6．3二項(xiàng)式定理》教案（第二課時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)）課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.2.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【課前預(yù)習(xí)】新知探究同學(xué)們根據(jù)二項(xiàng)式定理寫(xiě)出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二項(xiàng)式系數(shù)．可以寫(xiě)成如下形式：這個(gè)表在我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里就出現(xiàn)了，所不同的只是這里的表是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示，在那本書(shū)里用漢字表示的，這個(gè)表稱為“楊輝三角”．在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡發(fā)現(xiàn)的，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早500年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代在數(shù)學(xué)方面的成就．問(wèn)題你能利用上述規(guī)律寫(xiě)出下一行的數(shù)值嗎？提示根據(jù)規(guī)律下一行的數(shù)值分別是：172135352171.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值時(shí)，要注意討論n的奇偶性．對(duì)稱性在(a＋b)n的展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(Ceq\o\al(n－m,n))增減性與最大值增減性：當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增大而增大；由對(duì)稱性可知，當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)時(shí)，Ceq\o\al(k,n)隨k的增大而減小.最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)，相等，且同時(shí)取得最大值各二項(xiàng)式系數(shù)的和①2n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)②Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1即在(a＋b)n的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和拓展深化[微判斷]1．二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)是中間一項(xiàng)(共奇數(shù)項(xiàng))或中間兩項(xiàng)(共偶數(shù)項(xiàng))．(×)提示二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是中間一項(xiàng)(共奇數(shù)項(xiàng))或中間兩項(xiàng)(共偶數(shù)項(xiàng))，但是項(xiàng)的系數(shù)的最大值與項(xiàng)其他數(shù)字因數(shù)的大小有關(guān)．2．二項(xiàng)展開(kāi)式的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．(×)提示在二項(xiàng)式(a＋b)n中只有當(dāng)a，b的系數(shù)都為1時(shí)，展開(kāi)式的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和才等于奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．3．二項(xiàng)展開(kāi)式項(xiàng)的系數(shù)是先增后減的．(×)提示二項(xiàng)式系數(shù)是隨n的增加先增后減的，二項(xiàng)展開(kāi)式項(xiàng)的系數(shù)和a，b的系數(shù)有關(guān)．[微訓(xùn)練]1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展開(kāi)式中第8項(xiàng)是常數(shù)，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()A．第8項(xiàng) B．第9項(xiàng)C．第8項(xiàng)和第9項(xiàng) D．第11項(xiàng)和第12項(xiàng)答案D2．在(x＋y)n的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()A．第6項(xiàng) B．第5項(xiàng)C．第5，6項(xiàng) D．第6，7項(xiàng)解析由題意，得第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則其二項(xiàng)式系數(shù)也相等，∴Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，由組合數(shù)的性質(zhì)，得n＝10.∴展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)，它也是系數(shù)最大的項(xiàng)．答案A3．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a8＝________．解析由題意可知a8是x8的系數(shù)，所以a8＝Ceq\o\al(8,10)·22＝180.答案180[微思考]怎樣求二項(xiàng)式系數(shù)和？提示利用賦值法，在(a＋b)n的展開(kāi)式中，令a＝b＝1，可得Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.【課堂互動(dòng)】題型一二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例1】(1)試求199510除以8的余數(shù)；(2)求證：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解199510＝(8×249＋3)10.∵其展開(kāi)式中除末項(xiàng)為310外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴199510除以8的余數(shù)與310除以8的余數(shù)相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展開(kāi)式中除末項(xiàng)為1外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴310除以8的余數(shù)為1，即199510除以8的余數(shù)也為1.(2)證明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝Ceq\o\al(0,n＋1)8n＋1＋Ceq\o\al(1,n＋1)8n＋…＋Ceq\o\al(n＋1,n＋1)－8n－9＝Ceq\o\al(0,n＋1)8n＋1＋Ceq\o\al(1,n＋1)8n＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)82＋(n＋1)×8＋1－8n－9＝Ceq\o\al(0,n＋1)8n＋1＋Ceq\o\al(1,n＋1)8n＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)82①.①式中的每一項(xiàng)都含有82這個(gè)因數(shù)，故原式能被64整除．規(guī)律方法利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問(wèn)題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系．【訓(xùn)練1】已知n∈N*，求證：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．證明1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝eq\f(1－25n,1－2)＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋Ceq\o\al(1,n)×31n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)×31＋1－1＝31×(31n－1＋Ceq\o\al(1,n)×31n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n))，顯然括號(hào)內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除．題型二二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)的和問(wèn)題【例2】已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.解令x＝1，得：(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.【遷移1】(變換所求)例2條件不變，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.解∵(2x－1)5的展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.令x＝－1，得：[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.【遷移2】(變換所求)例2條件不變，求a1＋a3＋a5的值．解由上題得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，,a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝243，))兩式相減得a1＋a3＋a5＝eq\f(1,2)×(1－243)＝－121.規(guī)律方法(1)賦值法是求二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)和及有關(guān)問(wèn)題的常用方法，注意取值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解決問(wèn)題時(shí)要避免漏項(xiàng)．(2)一般地，對(duì)于多項(xiàng)式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各項(xiàng)系數(shù)和為f(1)，奇次項(xiàng)系數(shù)和為eq\f(1,2)[f(1)－f(－1)]，偶次項(xiàng)系數(shù)和為eq\f(1,2)[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0)．【訓(xùn)練2】已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求：(1)a0＋a1＋…＋a8；(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.解(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.②①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，∴a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(1,2)×(28＋48)＝32896.(3)由于(1－3x)8＝Ceq\o\al(0,8)＋Ceq\o\al(1,8)×(－3x)＋Ceq\o\al(2,8)×(－3x)2＋…＋Ceq\o\al(8,8)×(－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65536.題型三二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例3】已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)n展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．解令x＝1，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5為奇數(shù)，∴展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的兩項(xiàng)，它們分別為T(mén)3＝Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)))3·(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(2,3)))2·(3x2)3＝270xeq\f(22,3).(2)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,5)·3k·xeq\f(2,3)(5＋2k)，假設(shè)Tk＋1項(xiàng)系數(shù)最大，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,5)3k≥Ceq\o\al(k－1,5)3k－1，,Ceq\o\al(k,5)3k≥Ceq\o\al(k＋1,5)3k＋1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5！,（5－k）！k！)×3≥\f(5！,（6－k）?。╧－1）！)，,\f(5！,（5－k）！k！)≥\f(5！,（4－k）?。╧＋1）！)×3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)≥\f(1,6－k)，,\f(1,5－k)≥\f(3,k＋1)，))∴eq\f(7,2)≤k≤eq\f(9,2).∵k∈N，∴k＝4，∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)5＝Ceq\o\al(4,5)xeq\f(2,3)(3x2)4＝405xeq\f(26,3).規(guī)律方法(1)二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)(a＋b)n中的n進(jìn)行討論．①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．(2)展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法，設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A0，A1，A2，…，An，且第k＋1項(xiàng)最大，應(yīng)用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))解出k，即得出系數(shù)的最大項(xiàng)．【訓(xùn)練3】求出(x－y)11的展開(kāi)式中：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；(3)項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)；(4)二項(xiàng)式系數(shù)的和；(5)各項(xiàng)系數(shù)的和．解(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)：T6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5，T7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6.(2)(x－y)11展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,11)x11－k(－y)k＝Ceq\o\al(k,11)(－1)kx11－kyk，∴項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值為|Ceq\o\al(k,11)·(－1)k|＝Ceq\o\al(k,11)，∴項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值等于該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，其最大的項(xiàng)也是中間兩項(xiàng)，T6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5，T7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6.(3)由(2)知中間兩項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值相等，又∵第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)系數(shù)為正，故項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)7＝Ceq\o\al(6,11)x5y6，項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)為T(mén)6＝－Ceq\o\al(5,11)x6y5.(4)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,11)＋Ceq\o\al(1,11)＋Ceq\o\al(2,11)＋…＋Ceq\o\al(11,11)＝211.(5)令x＝y(tǒng)＝1，得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,11)－Ceq\o\al(1,11)＋Ceq\o\al(2,11)－…－Ceq\o\al(11,11)＝(1－1)11＝0.【素養(yǎng)達(dá)成】一、素養(yǎng)落地1．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．求展開(kāi)式中的系數(shù)或展開(kāi)式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開(kāi)式系數(shù)和特征來(lái)確定．一般地對(duì)字母賦的值為0，1或－1，但在解決具體問(wèn)題時(shí)要靈活掌握．3．注意以下兩點(diǎn)：(1)區(qū)分開(kāi)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)．(2)求解有關(guān)系數(shù)最大時(shí)的不等式組時(shí)，注意其中k∈{0，1，2，…，n}.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．(1＋x)2n＋1的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是()A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3解析2n＋1為奇數(shù)，展開(kāi)式中中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，分別為第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋1－1,2)＋1))項(xiàng)，第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋1＋1,2)＋1))項(xiàng)，即第(n＋1)項(xiàng)與第(n＋2)項(xiàng)．故選C.答案C2．設(shè)(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2解析令x＝－1，則原式化為[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.答案A3．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為_(kāi)_________．解析(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)＝35.答案354．設(shè)(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，則eq\f(a1＋a3＋a5,a0＋a2＋a4＋a6)＝__________．解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2＋…＋a6＝64，兩式相減，得2(a1＋a3＋a5)＝－63，兩式相加，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故eq\f(a1＋a3＋a5,a0＋a2＋a4＋a6)＝－eq\f(63,65).答案－eq\f(63,65)5．已知(2x－1)n的展開(kāi)式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小38，求Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)的值．解設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B.則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n.即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得：Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n－Ceq\o\al(0,n)＝28－1＝255.【課后作業(yè)】基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x2)))eq\s\up12(n)(n∈N*)的展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．210 B．252C．462 D．10解析由于展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，且其系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)，所以展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)為11，從而n＝10，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,10)x30－5k.令30－5k＝0，得k＝6，于是得其常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(6,10)＝210.答案A2．已知關(guān)于x的二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(n)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為()A．1 B．±1C．2 D．±2解析由條件知2n＝32，即n＝5，在通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(eq\r(x))5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,5)akxeq\f(15－5k,6)中，令15－5k＝0，得k＝3.所以常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(3,5)a3＝80，解得a＝2.答案C3．(x－1)11的展開(kāi)式中，x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和是()A．2048 B．－1023C．－1024 D．1024解析(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，令x＝－1，則－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，①令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，②eq\f(②－①,2)＝a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1024，即為所求系數(shù)之和．答案D4．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，則a8的值為()A．10 B．45C．－9 D．－45解析x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，∴a8＝Ceq\o\al(8,10)＝Ceq\o\al(2,10)＝45.答案B5．設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為M，二項(xiàng)式系數(shù)和為N，若M－N＝240，則展開(kāi)式中x的系數(shù)為()A．－150 B．150C．300 D．－300解析由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,4)(5x)4－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－1)k54－kCeq\o\al(k,4)x4－eq\f(3,2)k，令4－eq\f(3k,2)＝1，得k＝2，所以展開(kāi)式中x的系數(shù)為(－1)2×52Ceq\o\al(2,4)＝150.答案B二、填空題6．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若數(shù)列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是__________．解析(1＋x)n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)為其二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n＝10時(shí)，展開(kāi)式的中間項(xiàng)第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故k的最大值為6.答案67．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,x))＋\r(3,\f(1,x5))))eq\s\up12(n)的展開(kāi)式中，所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則中間項(xiàng)系數(shù)是__________．解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,x))＋\r(3,\f(1,x5))))eq\s\up12(n)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)為其二項(xiàng)式系數(shù)．∵二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，而所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，故由題意得2n－1＝1024，∴n＝11，∴展開(kāi)式共12項(xiàng)，中間項(xiàng)為第六項(xiàng)、第七項(xiàng)，其系數(shù)為Ceq\o\al(5,11)＝Ceq\o\al(6,11)＝462.答案4628．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，則log2(a1＋a3＋…＋a11)＝__________．解析令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴l(xiāng)og2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.答案7三、解答題9．設(shè)(2－eq\r(3)x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．(1)求a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解(1)令x＝0，則a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100，①所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r(3))100.②與①式聯(lián)立相減得a1＋a3＋…＋a99＝eq\f(（2－\r(3)）100－（2＋\r(3)）100,2).(4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－eq\r(3))100·(2＋eq\r(3))100＝1.(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋eq\r(3)x)100的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和，在(2＋eq\r(3)x)100的展開(kāi)式中，令x＝1，可得各項(xiàng)系數(shù)的和為(2＋eq\r(3))100，即|a0|＋|a1|＋…＋|a100|＝(2＋eq\r(3))100.10．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\s\up12(n)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256.(1)求n；(2)若展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為eq\f(35,8)，求m的值；(3)若(x＋m)n展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，求m的取值情況．解(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n＝256，可得n＝8.(2)設(shè)常數(shù)項(xiàng)為第k＋1項(xiàng)，則Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)x8－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,8)mkx8－2k，故8－2k＝0，即k＝4，則Ceq\o\al(4,8)m4＝eq\f(35,8)，解得m＝±eq\f(1,2).(3)易知m>0，設(shè)第k＋1項(xiàng)系數(shù)最大．則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,8)mk≥Ceq\o\al(k－1,8)mk－1，,Ceq\o\al(k,8)mk≥Ceq\o\al(k＋1,8)mk＋1，))，化簡(jiǎn)可求得eq\f(8m－1,m＋1)≤k≤eq\f(9m,m＋1).由于只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)最大，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＜\f(8m－1,m＋1)≤5，,6≤\f(9m,m＋1)＜7，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)＜m≤2，,2≤m＜\f(7,2).))所以m只能等于2.能力提升11．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為()A．10 B．20C．30 D．120解析由2n＝64，得n＝6，∴展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,6)x6－2k(0≤k≤6，k∈N)．由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.答案B12．在(2x－3y)10的展開(kāi)式中，求：(1)各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；(3)各項(xiàng)系數(shù)之和；(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和．解在(2x－3y)10的展開(kāi)式中：(1)各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210＝1024.(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝29＝512.偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(3,10)＋…＋Ceq\o\al(9,10)＝29＝512.(3)設(shè)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各項(xiàng)系數(shù)之和即為a0＋a1＋a2＋…＋a10.令(*)中x＝y(tǒng)＝1，得各項(xiàng)系數(shù)之和為(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.①令(*)中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.②①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為eq\f(1＋510,2)；①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為eq\f(1－510,2).創(chuàng)新猜想13．(多選題)下列關(guān)于(a－b)10的說(shuō)法，正確的是()A．展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和是1024B．展開(kāi)式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C．展開(kāi)式的第5項(xiàng)或第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最小解析由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知二項(xiàng)式系數(shù)之和Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210＝1024，故A正確；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為Ceq\o\al(5,10)，是展開(kāi)式的第6項(xiàng)，故B正確；由展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,10)a10－k(－b)k＝(－1)kCeq\o\al(k,10)a10－kbk知，第6項(xiàng)的系數(shù)－Ceq\o\al(5,10)最小，故D正確．答案ABD14．(多空題)(2x－1)6展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為_(kāi)_______；各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為_(kāi)_________．解析令展開(kāi)式左、右兩邊x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)的和為1；各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為26＝64.答案164《6.3二項(xiàng)式定理》分層同步練習(xí)（第一課時(shí)二項(xiàng)式定理）【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練】1.(x+2)6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是()A.20 B.40 C.80 D.160解析(方法一)設(shè)含x3的項(xiàng)為第k+1項(xiàng),則Tk+1=C6kx6-k·2k,令6-k=3,得k=3,故展開(kāi)式中x3的系數(shù)為C6(方法二)根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)的特點(diǎn),二項(xiàng)展開(kāi)式每一項(xiàng)中所含的x與2分得的次數(shù)和為6,則根據(jù)題意滿足條件x3的項(xiàng)按3與3分配即可,則展開(kāi)式中x3的系數(shù)為C63×2答案D2.(多選)對(duì)于二項(xiàng)式(1x+x3A.存在n∈N*,展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)B.對(duì)任意n∈N*,展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)C.對(duì)任意n∈N*,展開(kāi)式中沒(méi)有含x的項(xiàng)D.存在n∈N*,展開(kāi)式中有含x的項(xiàng)解析設(shè)二項(xiàng)式(1x+x3)n(n∈N*)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1不妨令n=4,則當(dāng)k=1時(shí),展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng),故A正確,B錯(cuò)誤;令n=3,則當(dāng)k=1時(shí),展開(kāi)式中有含x的項(xiàng),故C錯(cuò)誤,D正確.故選AD.答案AD3.(x-2y)10的展開(kāi)式中x6y4的系數(shù)是()A.840 B.-840 C.210 D.-210解析在通項(xiàng)Tk+1=C10kx10-k(-2y)k中,令k=4,即得(x-2y)10的展開(kāi)式中x6y4的系數(shù)為C104·(-答案A4.使得3x+1xxn(nA.4 B.5 C.6 D.7解析3x+1xxn展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng)為Cnk(3x)n-kx-32k=Cn答案B5.若(a-3x)x-12x10的展開(kāi)式中含x12A.2 B.-2 C.1 D.-1解析因?yàn)?a-3x)x-12x10=a(x-12xTk+1=C10令5-3k2=12,解得k=3;令5-3k2故選A.答案A6.若x>0,設(shè)x2+1x5的展開(kāi)式中的第三項(xiàng)為M,第四項(xiàng)為N,則M+N的最小值為解析T3=C52·x231x2=54x,T4=C53·x22·1x3=52x,故M+N=5x4+52x≥2258=答案57.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,則實(shí)數(shù)a的值為.解析根據(jù)題意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式可知,2×(11-1)10被11除的余數(shù)為2,從而可知2+a能被11整除,可知a=9.答案98.已知x+解∵Cn8=Cn9,∴n=17,Tk+1=令17-∴T10=C179·x4·29·x-3=C17故x的系數(shù)為29C179.已知在x+2x解T5=Cn4(x)n-4·24x-8=16Cn4xn-202,T3由題意知,16CTk+1=C10k(x)10-k·2kx-2k令10-所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C102×210.求證:1+2+22+…+25n-1(n證明∵1+2+22+…+25n-=(31+1)n-1=Cn0·31n+Cn1·31n-1+…+=31(Cn0·31n-1+Cn1·31n-2+…+Cnn-1),顯然Cn0·31【能力提升練】1.在(1-x3)(1+x)10的展開(kāi)式中,x5的系數(shù)是()A.-297 B.-252 C.297 D.207解析(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系數(shù)為C10答案D2.(1+x)3(1-2x)的展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為()A.-5 B.-4 C.6 D.7解析因?yàn)?1+x)3(1-2x)=(1+x)3-2x(1+x)3,所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為C33-2答案A3.(x2+2)1xA.-3 B.-2 C.2 D.3解析1x2-15展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C5令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.故(x2+2)·1x(-1)4×C54+2×(-1)5×答案D4.設(shè)二項(xiàng)式x-ax6(a>0)的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)為A,常數(shù)項(xiàng)為B,若B=4A,則a的值是.解析A=C62(-a)2,B=C64(-a)4,由B=4A知,4C62(-a)∵a>0,∴a=2.答案25.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展開(kāi)式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)是.解析展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)答案-1216.已知(xcosθ+1)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)與x+544的展開(kāi)式中x3的系數(shù)相等,則cosθ=.解析(xcosθ+1)5展開(kāi)式中x2的系數(shù)為C53cosx+544展開(kāi)式中x3的系數(shù)為54·C41.由題意可知C53cos2θ=54·C41答案±27.已知x-(1)證明:展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng);(2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).(1)證明由題意得2Cn1·即n2-9n+8=0,∴n=8(n=1舍去).∴Tk+1=C8k(x=-=(-1)kC8k2k若Tk+1是常數(shù)項(xiàng),則16-即16-3k=0,∵k∈Z,這不可能,∴展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng).(2)解由(1)知,若Tk+1是有理項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng)16-3k4為整數(shù).∵0≤k≤8,k∈Z即展開(kāi)式中有三項(xiàng)有理項(xiàng),分別是T1=x4,T5=358x,T9=1256x【素養(yǎng)培優(yōu)練】求x+1x-15的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).解(方法一)因?yàn)閤+1x-15=x+1x-15,所以二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k1+1=C5k1·x+1x

當(dāng)k1=5時(shí),T6=C55·(-1)當(dāng)0≤k1<5時(shí),x+1x

5-k1的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k2+1因?yàn)?≤k1<5,且k1∈Z,k1+2k2=5,所以k1只能取1或3,此時(shí)相應(yīng)的k2值分別為2或1,即k所以常數(shù)項(xiàng)為C51·C42·(-1)(方法二)因?yàn)閤+1x-15=x+1x-1·x+1x-1·…·x+1x-1,所以常數(shù)項(xiàng)為C51x·C411x·(-1)3+C52x第六章計(jì)數(shù)原理6.3二項(xiàng)式定理（第二課時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)）【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練】1.在(a-b)20的展開(kāi)式中,與第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是()A.第15項(xiàng)B.第16項(xiàng)C.第17項(xiàng)D.第18項(xiàng)解析第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C20答案B2.(xA.-15 B.-20C.15 D.20解析因?yàn)橹挥械?