《5.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算》課后分層作業(yè)

《5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算》課后分層作業(yè)第一課時(shí)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知函數(shù)f(x)＝x3的切線的斜率等于3，則切線有()A．1條B．2條C．3條D．不確定2．曲線y＝ex在點(diǎn)A(0,1)處的切線斜率為()A．1B．2C．eD.eq\f(1,e)3．曲線y＝sinx在x＝0處的切線的傾斜角是()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,4)4．質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝eq\r(5,t)，則質(zhì)點(diǎn)在t＝4時(shí)的速度為()A.eq\f(1,2\r(5,23))B.eq\f(1,10\r(5,23))C.eq\f(2,5)eq\r(5,23)D.eq\f(1,10)eq\r(5,23)5．直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x＞0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln26．曲線y＝lnx在點(diǎn)M(e,1)處的切線的斜率是________，切線方程為_(kāi)___________．7．與直線2x－y－4＝0平行且與曲線y＝lnx相切的直線方程是________．8．設(shè)坐標(biāo)平面上的拋物線C：y＝x2，過(guò)第一象限的點(diǎn)(a，a2)作拋物線C的切線l，則直線l與y軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_______．9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝2；(2)y＝eq\r(4,x3)；(3)y＝10x；(4)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)．(1)求過(guò)點(diǎn)P，Q的曲線y＝x2的切線方程；(2)求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)在曲線f(x)＝eq\f(1,x)上切線的傾斜角為eq\f(3,4)π的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1,1)B．(－1，－1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))12．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1·x2·…·xn的值為()A.eq\f(1,n)B.eq\f(1,n＋1)C.eq\f(n,n＋1)D．113．若曲線y＝eq\r(x)在點(diǎn)P(a，eq\r(a))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值是________．14．已知曲線方程為y＝f(x)＝x2，求過(guò)點(diǎn)B(3,5)且與曲線相切的直線方程．[C級(jí)拓展探究]15．求證：雙曲線xy＝a2上任意一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于常數(shù)．答案解析[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知函數(shù)f(x)＝x3的切線的斜率等于3，則切線有()A．1條B．2條C．3條D．不確定解析：選B∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切點(diǎn)有兩個(gè)，即可得切線有2條．2．曲線y＝ex在點(diǎn)A(0,1)處的切線斜率為()A．1B．2C．eD.eq\f(1,e)解析：選A由條件得y′＝ex，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k＝y(tǒng)′|x＝0＝e0＝1.3．曲線y＝sinx在x＝0處的切線的傾斜角是()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,4)解析：選D由題意知，y′＝cosx，∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝0))＝cos0＝1.設(shè)此切線的傾斜角為α，則tanα＝1，∵α∈[0，π)，∴α＝eq\f(π,4).4．質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝eq\r(5,t)，則質(zhì)點(diǎn)在t＝4時(shí)的速度為()A.eq\f(1,2\r(5,23))B.eq\f(1,10\r(5,23))C.eq\f(2,5)eq\r(5,23)D.eq\f(1,10)eq\r(5,23)解析：選B∵s′＝eq\f(1,5)t.∴當(dāng)t＝4時(shí)，s′＝eq\f(1,5)×eq\f(1,\r(5,44))＝eq\f(1,10\r(5,23)).5．直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x＞0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2解析：選C∵y＝lnx的導(dǎo)數(shù)y′＝eq\f(1,x)，∴令eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)，得x＝2，∴切點(diǎn)為(2，ln2)．代入直線y＝eq\f(1,2)x＋b，得b＝ln2－1.6．曲線y＝lnx在點(diǎn)M(e,1)處的切線的斜率是________，切線方程為_(kāi)___________．解析：∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝e＝eq\f(1,e).∴切線方程為y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.答案：eq\f(1,e)x－ey＝07．與直線2x－y－4＝0平行且與曲線y＝lnx相切的直線方程是________．解析：∵直線2x－y－4＝0的斜率為k＝2，又∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴eq\f(1,x)＝2，解得x＝eq\f(1,2).∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－ln2)).故切線方程為y＋ln2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))).即2x－y－1－ln2＝0.答案：2x－y－1－ln2＝08．設(shè)坐標(biāo)平面上的拋物線C：y＝x2，過(guò)第一象限的點(diǎn)(a，a2)作拋物線C的切線l，則直線l與y軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：顯然點(diǎn)(a，a2)為拋物線C：y＝x2上的點(diǎn)，∵y′＝2x，∴直線l的方程為y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直線l與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－a2)．答案：(0，－a2)9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝2；(2)y＝eq\r(4,x3)；(3)y＝10x；(4)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.解：(1)∵y′＝c′＝0，∴y′＝2′＝0.(2)∵y′＝(xα)′＝n·xα－1，∴y′＝(eq\r(4,x3))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))′＝eq\f(3,4)x＝eq\f(3,4)x＝eq\f(3,4\r(4,x)).(3)∵y′＝(ax)′＝ax·lna，∴y′＝(10x)′＝10x·ln10.(4)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)．(1)求過(guò)點(diǎn)P，Q的曲線y＝x2的切線方程；(2)求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．解：(1)因?yàn)閥′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲線y＝x2上的點(diǎn)．過(guò)P點(diǎn)的切線的斜率k1＝y(tǒng)′|x＝－1＝－2，過(guò)Q點(diǎn)的切線的斜率k2＝y(tǒng)′|x＝2＝4，過(guò)P點(diǎn)的切線方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.過(guò)Q點(diǎn)的切線方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因?yàn)閥′＝2x，直線PQ的斜率k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，所以切點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，與PQ平行的切線方程為：y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)在曲線f(x)＝eq\f(1,x)上切線的傾斜角為eq\f(3,4)π的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1,1)B．(－1，－1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))解析：選AB因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,x)，所以f′(x)＝－eq\f(1,x2)，因?yàn)榍芯€的傾斜角為eq\f(3,4)π，所以切線斜率為－1，即f′(x)＝－eq\f(1,x2)＝－1，所以x＝±1，則當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝1；當(dāng)x＝－1時(shí)，f(1)＝－1，則點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)或(－1，－1)．12．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1·x2·…·xn的值為()A.eq\f(1,n)B.eq\f(1,n＋1)C.eq\f(n,n＋1)D．1解析：選B對(duì)y＝xn＋1(n∈N*)求導(dǎo)得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率k＝n＋1，∴在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝eq\f(n,n＋1)，∴x1·x2·…·xn＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)×eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,n＋1)，故選B.13．若曲線y＝eq\r(x)在點(diǎn)P(a，eq\r(a))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值是________．解析：∵y′＝eq\f(1,2\r(x))，∴切線方程為y－eq\r(a)＝eq\f(1,2\r(a))(x－a)，令x＝0，得y＝eq\f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a，由題意知eq\f(1,2)·eq\f(\r(a),2)·a＝2，∴a＝4.答案：414．已知曲線方程為y＝f(x)＝x2，求過(guò)點(diǎn)B(3,5)且與曲線相切的直線方程．解：設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴切線方程為y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)．將點(diǎn)B(3,5)代入上式，得5－xeq\o\al(2,0)＝2x0(3－x0)，即xeq\o\al(2,0)－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，∴x0＝1或x0＝5，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)或(5,25)，故所求切線方程為y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.[C級(jí)拓展探究]15．求證：雙曲線xy＝a2上任意一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于常數(shù)．證明：設(shè)P(x0，y0)為雙曲線xy＝a2上任一點(diǎn)．∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)))′＝－eq\f(a2,x2).∴過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y－y0＝－eq\f(a2,x\o\al(2,0))(x－x0)．令x＝0，得y＝eq\f(2a2,x0)；令y＝0，得x＝2x0.則切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2a2,x0)))·|2x0|＝2a2.即雙曲線xy＝a2上任意一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為常數(shù)2a2.《5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算》課后分層作業(yè)第二課時(shí)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．02．函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋3)的導(dǎo)數(shù)是()A.eq\f(x2＋6x,x＋32)B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,x＋32)D.eq\f(3x2＋6x,x＋32)3．曲線f(x)＝xlnx在點(diǎn)x＝1處的切線方程為()A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝x－1D．y＝x＋14．設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝()A．0B．1C．2D．35．已知直線y＝3x＋1與曲線y＝ax3＋3相切，則a的值為()A．1B．±1C．－1D．－26．曲線y＝x3－x＋3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為_(kāi)_______．7．已知曲線y1＝2－eq\f(1,x)與y2＝x3－x2＋2x在x＝x0處切線的斜率的乘積為3，則x0＝_____.8．已知函數(shù)f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))cosx＋sinx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值為_(kāi)_______．9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\r(x)－lnx；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝eq\f(x2,sinx)；(4)y＝eq\f(x＋3,x2＋3).10．偶函數(shù)f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,1)，且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，求f(x)的解析式．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，則f′(e)＝()A．e－1B．－1C．－e－1D．－e12．若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)13．曲線y＝eq\f(x,2x－1)在點(diǎn)(1,1)處的切線為l，則l上的點(diǎn)到圓x2＋y2＋4x＋3＝0上的點(diǎn)的最近距離是________．14．已知曲線f(x)＝x3＋ax＋b在點(diǎn)P(2，－6)處的切線方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線l：y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程[C級(jí)拓展探究]15．設(shè)fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；(2)證明：fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an)，且0＜an－eq\f(1,2)＜eq\f(2n,3n＋1).答案解析[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0解析：選B∵f′(x)＝4ax3＋2bx為奇函數(shù)，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2．函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋3)的導(dǎo)數(shù)是()A.eq\f(x2＋6x,x＋32)B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,x＋32)D.eq\f(3x2＋6x,x＋32)解析：選Ay′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x＋3)))′＝eq\f(x2′x＋3－x2x＋3′,x＋32)＝eq\f(2xx＋3－x2,x＋32)＝eq\f(x2＋6x,x＋32).3．曲線f(x)＝xlnx在點(diǎn)x＝1處的切線方程為()A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝x－1D．y＝x＋1解析：選C∵f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴在點(diǎn)x＝1處曲線f(x)的切線方程為y＝x－1.4．設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝()A．0B．1C．2D．3解析：選Dy′＝a－eq\f(1,x＋1)，由題意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.5．已知直線y＝3x＋1與曲線y＝ax3＋3相切，則a的值為()A．1B．±1C．－1D．－2解析：選A設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則y0＝3x0＋1，且y0＝axeq\o\al(3,0)＋3，所以3x0＋1＝axeq\o\al(3,0)＋3①.對(duì)y＝ax3＋3求導(dǎo)得y′＝3ax2，則3axeq\o\al(2,0)＝3，axeq\o\al(2,0)＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.6．曲線y＝x3－x＋3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為_(kāi)_______．解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝07．已知曲線y1＝2－eq\f(1,x)與y2＝x3－x2＋2x在x＝x0處切線的斜率的乘積為3，則x0＝________.解析：由題知y′1＝eq\f(1,x2)，y′2＝3x2－2x＋2，所以兩曲線在x＝x0處切線的斜率分別為eq\f(1,x\o\al(2,0))，3xeq\o\al(2,0)－2x0＋2，所以eq\f(3x\o\al(2,0)－2x0＋2,x\o\al(2,0))＝3，所以x0＝1.答案：18．已知函數(shù)f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))cosx＋sinx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值為_(kāi)_______．解析：∵f′(x)＝－f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))sinx＋cosx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)，得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)－1.∴f(x)＝(eq\r(2)－1)cosx＋sinx.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1.答案：19．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝eq\r(x)－lnx；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝eq\f(x2,sinx)；(4)y＝eq\f(x＋3,x2＋3).解：(1)y′＝(eq\r(x)－lnx)′＝(eq\r(x))′－(lnx)′＝eq\f(1,2\r(x))－eq\f(1,x).(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.(3)y′＝eq\f(x2′·sinx－x2·sinx′,sin2x)＝eq\f(2xsinx－x2cosx,sin2x).(4)y′＝eq\f(1·x2＋3－x＋3·2x,x2＋32)＝eq\f(－x2－6x＋3,x2＋32).10．偶函數(shù)f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,1)，且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，求f(x)的解析式．解：∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函數(shù)f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x－2，∴切點(diǎn)為(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝eq\f(5,2)，c＝－eq\f(9,2).∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\f(5,2)x4－eq\f(9,2)x2＋1.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，則f′(e)＝()A．e－1B．－1C．－e－1D．－e解析：選C∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，∴f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，解得f′(e)＝－eq\f(1,e)，故選C.12．若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)＞0的解集為()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：選C∵f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＞0，整理得eq\f(x＋1x－2,x)＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又∵f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴x＞2.13．曲線y＝eq\f(x,2x－1)在點(diǎn)(1,1)處的切線為l，則l上的點(diǎn)到圓x2＋y2＋4x＋3＝0上的點(diǎn)的最近距離是________．解析：y′＝－eq\f(1,2x－12)，則y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,x＝1))＝－1，∴切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圓心(－2,0)到直線的距離d＝2eq\r(2)，圓的半徑r＝1，∴所求最近距離為2eq\r(2)－1.答案：2eq\r(2)－114．已知曲線f(x)＝x3＋ax＋b在點(diǎn)P(2，－6)處的切線方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線l：y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3x2＋a，由題意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.(2)∵切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，∴切線的斜率k＝4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.則切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.[C級(jí)拓展探究]15．設(shè)fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；(2)證明：fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an)，且0＜an－eq\f(1,2)＜eq\f(2n,3n＋1).解：(1)由題設(shè)fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①則2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝eq\f(1－2n,1－2)－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1.(2)證明：因?yàn)閒(0)＝－1＜0，x≥0，n≥2.fneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(\f(2,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n)),1－\f(2,3))－1＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≥1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＞0，所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1為增函數(shù)，所以fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))內(nèi)單調(diào)遞增，因此fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)an.由于fn(x)＝eq\f(x－xn＋1,1－x)－1，所以0＝fn(an)＝eq\f(an－a\o\al(n＋1,n),1－an)－1，由此可得an＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)aeq\o\al(n＋1,n)＞eq\f(1,2)，故eq\f(1,2)＜an＜eq\f(2,3).所以0＜an－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)aeq\o\al(n＋1,n)＜eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＋1＝eq\f(2n,3n＋1).《5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算》課后分層作業(yè)第三課時(shí)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))5的導(dǎo)數(shù)為()A．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4B．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))C．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x2)))D．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2．函數(shù)y＝xln(2x＋5)的導(dǎo)數(shù)為()A．ln(2x＋5)－eq\f(x,2x＋5)B．ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5)C．2xln(2x＋5)D.eq\f(x,2x＋5)3．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為()A．1B．2C．－1D．－24．曲線y＝e－2x＋1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．15．已知點(diǎn)P在曲線y＝eq\f(4,ex＋1)上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))6．函數(shù)y＝sin2xcos3x的導(dǎo)數(shù)是________．7．曲線y＝xex－1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率為_(kāi)_______．8．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，則a＝________.9．求函數(shù)y＝asineq\f(x,3)＋bcos22x(a，b是實(shí)常數(shù))的導(dǎo)數(shù)．10．曲線y＝e2xcos3x在(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為eq\r(5)，求直線l的方程．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．函數(shù)f(x)＝eq\f(e2x,x)的導(dǎo)函數(shù)是()A．f′(x)＝2e2xB．f′(x)＝eq\f(2e2x,x)C．f′(x)＝eq\f(2x－1e2x,x2)D．f′(x)＝eq\f(x－1e2x,x2)12．(多選)下列函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的是()A．y＝－x3－eq\f(1,x)＋1B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))C．y＝eq\f(1,lnx)D．y＝(2x＋3)413．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是________．14．設(shè)曲線y＝e－x(x≥0)在點(diǎn)M(t，e－t)處的切線l與x軸，y軸圍成的三角形面積為S(t)．(1)求切線l的方程；(2)求S(t)的解析式．[C級(jí)拓展探究]15．求曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線l：2x－y＋3＝0的最短距離．答案解析[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))5的導(dǎo)數(shù)為()A．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4B．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))C．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x2)))D．y′＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))解析：選C函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))5是函數(shù)y＝u5與u＝x＋eq\f(1,x)的復(fù)合函數(shù)，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x2))).2．函數(shù)y＝xln(2x＋5)的導(dǎo)數(shù)為()A．ln(2x＋5)－eq\f(x,2x＋5)B．ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5)C．2xln(2x＋5)D.eq\f(x,2x＋5)解析：選By′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x·eq\f(1,2x＋5)·(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5).3．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為()A．1B．2C．－1D．－2解析：選B設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是(x0，x0＋1)，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝lnx0＋a，))由此得x0＝－1，a＝2.4．曲線y＝e－2x＋1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．1解析：選Ay′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0))＝－2e－2×0＝－2，∴曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y＝－2x＋2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋2，,y＝x))得x＝y(tǒng)＝eq\f(2,3)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，則圍成的三角形的面積為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×1＝eq\f(1,3).5．已知點(diǎn)P在曲線y＝eq\f(4,ex＋1)上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))解析：選Dy′＝eq\f(－4ex,ex＋12)＝eq\f(－4ex,ex2＋2ex＋1)＝eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2).∵ex＋eq\f(1,ex)≥2，∴ex＋eq\f(1,ex)＋2≥4，∴y′∈[－1,0)，即tanα∈[－1,0)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).6．函數(shù)y＝sin2xcos3x的導(dǎo)數(shù)是________．解析：∵y＝sin2xcos3x，∴y′＝(sin2x)′cos3x＋sin2x(cos3x)′＝2cos2xcos3x－3sin2xsin3x.答案：2cos2xcos3x－3sin2xsin3x7．曲線y＝xex－1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率為_(kāi)_______．解析：yx′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲線在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率為2.答案：28．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，則a＝________.解析：令u＝2x＋a，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)，則f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1.答案：19．求函數(shù)y＝asineq\f(x,3)＋bcos22x(a，b是實(shí)常數(shù))的導(dǎo)數(shù)．解：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(asin\f(x,3)))′＝acoseq\f(x,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))′＝eq\f(a,3)coseq\f(x,3)，又∵(cos22x)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)cos4x))′＝eq\f(1,2)(－sin4x)×4＝－2sin4x，∴y＝asineq\f(x,3)＋bcos22x的導(dǎo)數(shù)為y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(asin\f(x,3)))′＋b(cos22x)′＝eq\f(a,3)coseq\f(x,3)－2bsin4x.10．曲線y＝e2xcos3x在(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為eq\r(5)，求直線l的方程．解：由y′＝(e2xcos3x)′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x)＝e2x(2cos3x－3sin3x)，得y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0))＝2.則切線方程為y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.若直線l與切線平行，可設(shè)直線l的方程為2x－y＋c＝0，兩平行線間的距離d＝eq\f(|c－1|,\r(5))＝eq\r(5)，解得c＝6或c＝－4.故直線l的方程為2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．函數(shù)f(x)＝eq\f(e2x,x)的導(dǎo)函數(shù)是()A．f′(x)＝2e2xB．f′(x)＝eq\f(2e2x,x)C．f′(x)＝eq\f(2x－1e2x,x2)D．f′(x)＝eq\f(x－1e2x,x2)解析：選C對(duì)于函數(shù)f(x)＝eq\f(e2x,x)，對(duì)其求導(dǎo)可得：f′(x)＝eq\f(e2x′·x－e2x·x′,x2)＝eq\f(2x·e2x－e2x,x2)＝eq\f(2x－1e2x,x2).故選C.12．(多選)下列函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的是()A．y＝－x3－eq\f(1,x)＋1B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))C．y＝eq\f(1,lnx)D．y＝(2x＋3)4解析：選BCDA中的函數(shù)是一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，B中的函數(shù)可看作函數(shù)u＝x＋eq\f(π,4)，y＝cosu的復(fù)合函數(shù)，C中的函數(shù)可看作函數(shù)u＝lnx，y＝eq\f(1,u)的復(fù)合函數(shù)，D中的函數(shù)可看作函數(shù)u＝2x＋3，y＝u4的復(fù)合函數(shù)，故選B、C、D.13．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是________．解析：設(shè)x>0，則－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，即所求的切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：2x－y＝014．設(shè)曲線y＝e－x(x≥0)在點(diǎn)M(t，e－t)處的切線l與x軸，y軸圍成的三角形面積為S(t)．(1)求切線l的方程；(2)求S(t)的解析式．解：(1)∵y＝e－x，∴yx′＝(e－x)′＝－e－x，當(dāng)x＝t時(shí)，yx′＝－e－t.故切線方程為y－e－t＝－e－t(x－t)，即x＋ety－(t＋1)＝0.(2)令y＝0，得x＝t＋1.令x＝0，得y＝e－t(t＋1)．∴S(t)＝eq\f(1,2)(t＋1)·e－t(t＋1)＝eq\f(1,2)(t＋1)2e－t(t≥0)．[C級(jí)拓展探究]15．求曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線l：2x－y＋3＝0的最短距離．解：作出直線l：2x－y＋3＝0和曲線y＝ln(2x－1)的圖象(圖略)，可知它們無(wú)公共點(diǎn)，所以平移直線l，當(dāng)l與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線l的距離就是曲線上的點(diǎn)到直線l的最短距離，y′＝eq\f(1,2x－1)(2x－1)′＝eq\f(2,2x－1).設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，所以eq\f(2,2x0－1)＝2，所以x0＝1，所以y0＝ln(2×1－1)＝0，P(1,0)．所以曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線l：2x－y＋3＝0的最短距離為P(1,0)到直線l：2x－y＋3＝0的距離，最短距離d＝eq\f(|2×1－0＋3|,\r(22＋12))＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5).《5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算》同步檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．對(duì)于函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則（）A． B． C． D．5．已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)），若，則的解集為（）A． B． C． D．6．函數(shù)，滿足，且，則（）A．1 B．2 C．3 D．47．等比數(shù)列中，，，函數(shù)，則（）A．26 B．29 C．212 D．2158．設(shè)函數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題9．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，可在全球范圍內(nèi)為各類用戶提供全天候、全天時(shí)、高精度、高定位、導(dǎo)航、授時(shí)服務(wù)，2020年7月31日上午，北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)正式開(kāi)通，北斗導(dǎo)航能實(shí)現(xiàn)“天地互通”的關(guān)鍵是信號(hào)處理，其中某語(yǔ)言通訊的傳遞可以用函數(shù)近似模擬其信號(hào)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．對(duì)任意，都有D．函數(shù)的最小值為-310．（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，若存在，使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列函數(shù)中，有“巧值點(diǎn)”的是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則（）A． B． C． D．12．以下函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題13．在許多實(shí)際問(wèn)題中，一個(gè)因變量往往與幾個(gè)自變量有關(guān)，即因變量的值依賴于幾個(gè)自變量，這樣的函數(shù)稱為多元函數(shù).例如，某種商品的市場(chǎng)需求量不僅僅與其市場(chǎng)價(jià)格有關(guān)，而且與消費(fèi)者的收入以及這種商品的其他代用品的價(jià)格等因素有關(guān)，即決定該商品需求量的因素不止一個(gè)而是多個(gè).我們常常用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)研究多元函數(shù).以下是計(jì)算二元函數(shù)在處偏導(dǎo)數(shù)的全過(guò)程：，，所以，，由上述過(guò)程，二元函數(shù)，則______.14．給出下列四個(gè)命題：①命題“，”的否定是“，”；②函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，分別是一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)，