高二數(shù)學(xué)選擇性必修二同步練習(xí)與答案解析（提高訓(xùn)練）

高二數(shù)學(xué)選擇性必修二同步練習(xí)《4.1數(shù)列的概念》同步練習(xí)（提高練）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．若數(shù)列的通項公式為，則（）A．27B．21C．15D．132．在數(shù)列中，，（，），則A．B．C．2D．63.數(shù)列的通項公式，其前項和為，則A．B．C．D．4．德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1．猜想的數(shù)列形式為：為正整數(shù)，當(dāng)時，，則數(shù)列中必存在值為1的項．若，則的值為（）A．1B．2C．3D．45．?dāng)?shù)學(xué)上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指對于任意一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1．如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1．對任意正整數(shù)，記按照上述規(guī)則實施第次運算的結(jié)果為，則使的所有可能取值的個數(shù)為（）A．3B．4C．5D．66．觀察數(shù)列21，，，24，，，27，，，…，則該數(shù)列的第20項等于（）A．230B．20C．D．7．已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．8．已知數(shù)列的通項公式為（），若為單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．9．已知數(shù)列的前項和，且，，則數(shù)列的最小項為（）A．第3項B．第4項C．第5項D．第6項10．已知數(shù)列滿足，，，則（）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知數(shù)列的前項和為，，，則________.12.數(shù)列中，已知，，若，則數(shù)列的前6項和為______．13．觀察下列數(shù)表：設(shè)1025是該表第m行的第n個數(shù)，則______.14．已知數(shù)列對任意的滿足，且，則_______，_______.15．設(shè)數(shù)列的前n項和為，滿足，則_________；_________.16．已知在數(shù)列中，且，設(shè)，，則________，數(shù)列前n項和________．17．已知數(shù)列{}對任意的n∈N*，都有∈N*，且=①當(dāng)=8時，_______②若存在m∈N*，當(dāng)n>m且為奇數(shù)時，恒為常數(shù)P，則P=_______三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．?dāng)?shù)列的通項，試問該數(shù)列有沒有最大項？若有，求出最大項；若沒有，說明理由.19．?dāng)?shù)列滿足：，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的最小正整數(shù).20．?dāng)?shù)列滿足，且，.規(guī)定的通項公式只能用的形式表示.（1）求的值；（2）證明3為數(shù)列的一個周期，并用正整數(shù)表示；（3）求的通項公式.21．?dāng)?shù)列中，，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項公式是，，中的一個，設(shè)數(shù)列的前項和為，的前項和為，若，求的取值范圍．22．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列可以是無窮數(shù)列，也可以是有窮數(shù)列，如取時，可得無窮數(shù)列：1，2，，，...；取時，可得有窮數(shù)列：，，0.（1）若，求的值；（2）若對任意，恒成立.求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)數(shù)列滿足，，求證：取數(shù)列中的任何一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．若數(shù)列的通項公式為，則（）A．27B．21C．15D．13【答案】A【解析】因為，所以，故選：A.2．在數(shù)列中，，（，），則A．B．C．2D．6【答案】D【解析】，（，），，，則.3.數(shù)列的通項公式，其前項和為，則A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性可，同理得，可知周期為4，．4．德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1．猜想的數(shù)列形式為：為正整數(shù)，當(dāng)時，，則數(shù)列中必存在值為1的項．若，則的值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因為，，所以，，，，，故選：B5．?dāng)?shù)學(xué)上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指對于任意一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1．如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1．對任意正整數(shù)，記按照上述規(guī)則實施第次運算的結(jié)果為，則使的所有可能取值的個數(shù)為（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】由題意知，，由，得，，或．①當(dāng)時，，，或，或．②若，則，或，當(dāng)時，，此時，或，當(dāng)時，，此時，或，綜上，滿足條件的的值共有6個．故選：D．6．觀察數(shù)列21，，，24，，，27，，，…，則該數(shù)列的第20項等于（）A．230B．20C．D．【答案】C【解析】觀察數(shù)列得出規(guī)律，數(shù)列中的項中，指數(shù)、真數(shù)、弧度數(shù)是按正整數(shù)順序排列，且指數(shù)、對數(shù)、余弦值以3為循環(huán)，，可得第20項為.故選：C.7．已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是遞增數(shù)列，必有，據(jù)此有：，綜上可得2<a<3.本題選擇D選項.8．已知數(shù)列的通項公式為（），若為單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，因為為遞增數(shù)列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故選：A.9．已知數(shù)列的前項和，且，，則數(shù)列的最小項為（）A．第3項B．第4項C．第5項D．第6項【答案】A【解析】∵,∴,則,即,∴.易知,∵,當(dāng)時,,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,又,∴當(dāng)時,有最小值.故選：A10．已知數(shù)列滿足，，，則（）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，【答案】C【解析】因為，所以遞增，從而，當(dāng)時，，所以，排除A.當(dāng)時，因為，所以，所以，所以，從而，故有.故選：C.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知數(shù)列的前項和為，，，則________.【答案】【解析】由得，所以數(shù)列以為周期，又，，所以.故答案為：.12.數(shù)列中，已知，，若，則數(shù)列的前6項和為_____．【答案】32【解析】∵數(shù)列中，，，，∴，，，，，，解得，∴數(shù)列的前6項和為：，故答案為：32.13．觀察下列數(shù)表：設(shè)1025是該表第m行的第n個數(shù)，則______.【答案】12【解析】根據(jù)上面數(shù)表的數(shù)的排列規(guī)律，1、3、5、7、9、…都是連續(xù)奇數(shù)，第一行1個數(shù)；第二行個數(shù)，且第一個數(shù)是；第三行個數(shù)，且第一個數(shù)是；第四行個數(shù)，且第一個數(shù)是；…第10行有個數(shù)，且第一個數(shù)是，第二個數(shù)是1025，所以1025是該表第10行的第2個數(shù)，所以，，則故答案為：12.14．已知數(shù)列對任意的滿足，且，則_______，_______.【答案】【解析】由題意，根據(jù)條件得，則，而，所以，…，由此可知，從而問題可得解.15．設(shè)數(shù)列的前n項和為，滿足，則_________；_________.【答案】；【解析】（1）當(dāng)時，，解得.（2）當(dāng)時，令可得，，即，令可得，,解得：，則.16．已知在數(shù)列中，且，設(shè)，，則________，數(shù)列前n項和________．【答案】【解析】，為常數(shù)列，，，適合上式．∴，，，∴．故答案為：；．17．已知數(shù)列{}對任意的n∈N*，都有∈N*，且=①當(dāng)=8時，_______②若存在m∈N*，當(dāng)n>m且為奇數(shù)時，恒為常數(shù)P，則P=_______【答案】【解析】，則故從第二項開始形成周期為的數(shù)列，故當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，故若為奇數(shù)，則，故，不滿足；若為偶數(shù)，則，直到為奇數(shù)，即故，當(dāng)時滿足條件，此時，即故答案為：①；②三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．?dāng)?shù)列的通項，試問該數(shù)列有沒有最大項？若有，求出最大項；若沒有，說明理由.【答案】最大項為【解析】設(shè)是該數(shù)列的最大項，則∴解得∵，∴，∴最大項為點睛：求數(shù)列最大項或最小項的方法（1）可以利用不等式組找到數(shù)列的最大項；利用不等式找到數(shù)列的最小項．（2）從函數(shù)的角度認(rèn)識數(shù)列，注意數(shù)列的函數(shù)特征，利用函數(shù)的方法研究數(shù)列的最大項或最小項．19．?dāng)?shù)列滿足：，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的最小正整數(shù).【答案】（1）；（2）10.【解析】（1）∵．n=1時，可得a1＝4，n≥2時，．與．兩式相減可得＝（2n﹣1）+1=2n，∴．n=1時，也滿足，∴.（2）=∴Sn，又，可得n>9，可得最小正整數(shù)n為10．20．?dāng)?shù)列滿足，且，.規(guī)定的通項公式只能用的形式表示.（1）求的值；（2）證明3為數(shù)列的一個周期，并用正整數(shù)表示；（3）求的通項公式.【答案】（1）（2）證明見解析；.（3）【解析】（1）當(dāng)a1＝1，a2＝2，a1a2a3＝a1+a2+a3，解得a3＝3；（2）當(dāng)n＝2時，6a4＝2+3+a4，解得a4＝1，當(dāng)n＝3時，3a5＝1+3+a5，解得a5＝2，…，可得an+3＝an，當(dāng)a1＝1，a2＝2，a3＝3；故3為數(shù)列{an}的一個周期，則＝3，k∈N*，則；（3）由（2）可得an＝Asin（n+φ）+c，則1＝Asin（+φ）+c，2＝﹣Asin（+φ）+c，3＝Asinφ+c，即1＝A?cosφ﹣A?sinφ+c，①2＝﹣A?cosφ﹣A?sinφ+c，②由①+②，可得3＝﹣Asinφ+2c，∴c＝2，Asinφ＝1，①﹣②，可得﹣1＝A?cosφ，則tanφ＝﹣，∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴A＝﹣，故．21．?dāng)?shù)列中，，.（1）求，的值；（2）已知數(shù)列的通項公式是，，中的一個，設(shè)數(shù)列的前項和為，的前項和為，若，求的取值范圍．【答案】（1），（2），且是正整數(shù)【解析】（1）∵，∴∴（2）由數(shù)列的通項公式是，，中的一個，和得數(shù)列的通項公式是由可得∴∴∵，∴即由，得，解得或∵是正整數(shù)，∴所求的取值范圍為，且是正整數(shù)22．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列可以是無窮數(shù)列，也可以是有窮數(shù)列，如取時，可得無窮數(shù)列：1，2，，，...；取時，可得有窮數(shù)列：，，0.（1）若，求的值；（2）若對任意，恒成立.求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)數(shù)列滿足，，求證：取數(shù)列中的任何一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）由得，∴，，，；（2）若，則，，即，故只要即可，因為，所以，∴，解得；（3）由得，設(shè)，，則，，，故有項，為有窮數(shù)列.即取數(shù)列中的任何一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列.《4.2等差數(shù)列》同步練習(xí)（提高練）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．在等差數(shù)列中，首項，公差，是其前項和，若，則（）A．15B．16C．17D．182．已知遞減的等差數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和取最大值時n=（）A．4或5B．5或6C．4D．53.已知數(shù)列中，，，若為等差數(shù)列，則（）A．0B．C．D．24．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，前項和為，則“，”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．已知數(shù)列滿足且，設(shè)的n項和為，則使得取得最大值的序號n的值為（）A．5B．6C．5或6D．6或76．已知是公差為2的等差數(shù)列，為的前n項和，若，則（）A．10B．12C．15D．167．在等差數(shù)列中，，，則（）A．12B．22C．24D．348.中國古代詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．題意是：把996斤綿分給8個兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第8個兒子分到的綿是（）A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤9.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則取最大值時的值為（）A．6B．7C．8D．1310．已知等差數(shù)列，的前項和分別為和，且，則（）A．B．C．D．二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知數(shù)列是公差的等差數(shù)列，的前項和為，，，則______________.12．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，已知，，若對任意都有成立，則的值為__________．13．已知等差數(shù)列的前n項和為，若1≤≤3，3≤≤6，則的取值范圍是_______．14．?dāng)?shù)列的前項和為，定義的“優(yōu)值”為，現(xiàn)已知的“優(yōu)值”，則______，______．15．已知數(shù)列的前項的和為，，則數(shù)列的通項公式為______；數(shù)列的前項和為______.16.已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，則的通項公式為_________；若表示不超過的最大整數(shù)，如，，則數(shù)列的前項的和為_________．17．等差數(shù)列中，且，則______；若集合中有2個元素，則實數(shù)的取值范圍是_____.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．在項數(shù)為的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項之和為75，各偶數(shù)項之和為90，末項與首項之差為27，求n．19．等差數(shù)列中，且，求數(shù)列的前10項的和．20．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，，，其中，求通項公式以及前項和.21．已知公差小于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a3a4＝117，a2+a5＝22．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求Sn的最大值．22．在數(shù)列中，，.（1）證明，數(shù)列是等差數(shù)列.（2）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得對任意，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．在等差數(shù)列中，首項，公差，是其前項和，若，則（）A．15B．16C．17D．18【答案】B【解析】由得，將代入得，因為，所以，得.故選：B2．已知遞減的等差數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和取最大值時n=（）A．4或5B．5或6C．4D．5【答案】A【解析】設(shè)遞減的等差數(shù)列的公差為（），因為，所以，化簡得，所以，對稱軸為，因為，，所以當(dāng)或時，取最大值，故選：A3.已知數(shù)列中，，，若為等差數(shù)列，則（）A．0B．C．D．2【答案】A【解析】因為，，，故所以，故.故選：A.4．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，前項和為，則“，”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵恒成立，∴，∴遞增；反之，可取，則遞增，但，所以“，”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.5．已知數(shù)列滿足且，設(shè)的n項和為，則使得取得最大值的序號n的值為（）A．5B．6C．5或6D．6或7【答案】C【解析】由已知得，，故是公差為得等差數(shù)列，又，所以，令，故或6時，取得最大值．故選:C6．已知是公差為2的等差數(shù)列，為的前n項和，若，則（）A．10B．12C．15D．16【答案】D【解析】由題意得：，且，∴，將代入得：，所以.故選：D.7．在等差數(shù)列中，，，則（）A．12B．22C．24D．34【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列的公差為則故.故選：B8.中國古代詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．題意是：把996斤綿分給8個兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第8個兒子分到的綿是（）A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤【答案】B【解析】用表示8個兒按照年齡從大到小得到的綿數(shù)，由題意得數(shù)列是公差為17的等差數(shù)列，且這8項的和為996，∴，解得．∴．選B．9.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則取最大值時的值為（）A．6B．7C．8D．13【答案】B【解析】根據(jù)，，可以確定，所以可以得到，所以則取最大值時的值為7，故選B.10．已知等差數(shù)列，的前項和分別為和，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為等差數(shù)列，的前項和分別為和，且，所以可設(shè)，，所以，，所以.故選：A二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知數(shù)列是公差的等差數(shù)列，的前項和為，，，則______________.【答案】【解析】已知數(shù)列是公差的等差數(shù)列，則，由等差數(shù)列的求和公式可得，所以，，則有，解得，，，因此，.故答案為：.12．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，已知，，若對任意都有成立，則的值為__________．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，.所以，當(dāng)時，取得最大值，對任意都有成立，則為數(shù)列的最大值，因此，.故答案為：.13．已知等差數(shù)列的前n項和為，若1≤≤3，3≤≤6，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】在等差數(shù)列中，，∴，又，∴．由得．∴，即，∴．即的取值范圍是．故答案為．14．?dāng)?shù)列的前項和為，定義的“優(yōu)值”為，現(xiàn)已知的“優(yōu)值”，則______，______．【答案】【解析】由題意，∴時，，兩式相減得：，，又，滿足，∴，．故答案為：；．15．已知數(shù)列的前項的和為，，則數(shù)列的通項公式為______；數(shù)列的前項和為______.【答案】【解析】由于數(shù)列的前項的和為.當(dāng)時，；當(dāng)時，.不適合，因此，.當(dāng)時，，設(shè)數(shù)列的前項和為.當(dāng)且，則，因此，數(shù)列的前項的和為.故答案為：；.16.已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，則的通項公式為_________；若表示不超過的最大整數(shù)，如，，則數(shù)列的前項的和為_________．【答案】【解析】∵數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，∴，得到，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，∴，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，、、…、，當(dāng)時，、、…、，當(dāng)時，、、…、，當(dāng)時，，故數(shù)列的前項的和為：．故答案為：，.17．等差數(shù)列中，且，則______；若集合中有2個元素，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】12【解析】空1：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，且，所以有：，因此；空2：由（1）知：由，設(shè)，，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此從第2項起，數(shù)列是遞減數(shù)列，，所以數(shù)列的最大項為，因為中有2個元素，所以不等式只有兩個不同正整數(shù)根，而數(shù)列的最大項為，因此一定是不等式的解，因此一定有：.故答案為：三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．在項數(shù)為的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項之和為75，各偶數(shù)項之和為90，末項與首項之差為27，求n．【答案】【解析】在等差數(shù)列中，項數(shù)為.偶-奇，由題意可知，偶-奇，又，，解得：，故的值為5.19．等差數(shù)列中，且，求數(shù)列的前10項的和．【答案】或.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為且，所以，即，解得或，當(dāng)時數(shù)列的前10項的和，當(dāng)時數(shù)列的前10項的和.20．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，，，其中，求通項公式以及前項和.【答案】當(dāng)時，，；當(dāng)時，，.【解析】，，，數(shù)列是等差數(shù)列，，即，解得或，當(dāng)時，，數(shù)列的通項公式為，；當(dāng)時，，數(shù)列的通項公式為，.綜上所述，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，.21．已知公差小于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a3a4＝117，a2+a5＝22．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求Sn的最大值．【答案】（1）an＝-4n＋25；（2）66.【解析】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，解得或，又?jǐn)?shù)列的公差，所以，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，，所以，所以當(dāng)時，最大，最大值為．22．在數(shù)列中，，.（1）證明，數(shù)列是等差數(shù)列.（2）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得對任意，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，1.【解析】（1）因為，所以，因為，所以，故數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）得，則.因為，所以，所以，則，即數(shù)列是遞減數(shù)列.故要使恒成立，只需，因為，所以，解得.故存在最小正整數(shù)，使得對任意，恒成立.《4.3等比數(shù)列》同步練習(xí)（提高練）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．正項等比數(shù)列中，，，則的值是（）A．2B．4C．8D．162．已知等比數(shù)列的前項和，則（）A．1B．C．D．3．在正項等比數(shù)列中，若，則（）．A．5B．6C．10D．114．已知等比數(shù)列的前n項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．由實數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列的前項和為，，且成等差數(shù)列，則（）A．62B．124C．126D．1546.已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且、、成等差數(shù)列，則（）A．B．C．D．7．已知等比數(shù)列的前n項和與前n項積分別為，，公比為正數(shù)，且，，則使成立的n的最大值為（）A．8B．9C．12D．138．著名物理學(xué)家李政道說：“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法確定的.我國明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中表示這些半音的頻率，它們滿足.若某一半音與的頻率之比為，則該半音為（）頻率半音CDEFGABC（八度）A．B．GC．D．A9．在等比數(shù)列中，，則能使不等式成立的最大正整數(shù)是（）A．5B．6C．7D．810．已知等差數(shù)列的前n項和為，記的最大值為S，，正項等比數(shù)列的公比為q，滿足，且，則使，成立的n的最小值為（）A．6B．5C．4D．3二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，，則數(shù)列的前10項和為_______．12．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_______________．13．已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項和．若數(shù)列的前項和對于都成立，則實數(shù)的最小值等于_____．14．在數(shù)列中，是方程的兩根，表示數(shù)列的前n項和.（1）若是等比數(shù)列，則_______；（2）若是等差數(shù)列，則_________.15．已知是等差數(shù)列，是公比為c的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前10項和為__________，數(shù)列的前10項和為__________（用c表示）．16．一個正方形被等分成九個相等的小正方形，將中間的一個小正方形挖掉(如圖（1）)；再將剩余的每個小正方形都分成九個相等的小正方形，并將中間的一個小正方形挖掉得圖（2）；如此繼續(xù)下去……．設(shè)原正方形的邊長為1，則第3個圖中共挖掉____個正方形，第n個圖中所有挖掉的正方形的面積和為_____．17．已知正項等比數(shù)列中，，則______，又?jǐn)?shù)列滿足；若為數(shù)列的前n項和，那么_______.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式.（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項和.19．已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且.（1）若，求的通項公式；（2）若，，求數(shù)列的前10項和的取值范圍.20．已知在等比數(shù)列中，，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，若任意，恒成立，求的取值范圍.21．設(shè)數(shù)列的前項和為，若．（Ⅰ）證明為等比數(shù)列并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求；（Ⅲ）求證：．22．已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項，（2）設(shè)，，求證：.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．正項等比數(shù)列中，，，則的值是（）A．2B．4C．8D．16【答案】A【解析】，，，，.故選：A.2．已知等比數(shù)列的前項和，則（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列的前項和，則，，，則有，解得，故選：.3．在正項等比數(shù)列中，若，則（）．A．5B．6C．10D．11【答案】D【解析】因為，且為等比數(shù)列，所以，所以.故選：D.4．已知等比數(shù)列的前n項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以，由于，所以，所以“”是“”的充要條件.故選：C5．由實數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列的前項和為，，且成等差數(shù)列，則（）A．62B．124C．126D．154【答案】C【解析】由題意知，，設(shè)的公比為，則解得，則.故選C.6.已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且、、成等差數(shù)列，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由于、、成等差數(shù)列，則，即，整理得，，解得，因此，.故選：D.7．已知等比數(shù)列的前n項和與前n項積分別為，，公比為正數(shù)，且，，則使成立的n的最大值為（）A．8B．9C．12D．13【答案】C【解析】因為，，公比為正數(shù)顯然不為1，所以，解得，，所以，則，要使，則，解得，故n的最大值為12.故選：C.8．著名物理學(xué)家李政道說：“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法確定的.我國明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中表示這些半音的頻率，它們滿足.若某一半音與的頻率之比為，則該半音為（）頻率半音CDEFGABC（八度）A．B．GC．D．A【答案】B【解析】依題意可知.由于滿足，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比，對應(yīng)的頻率為，題目所求半音與的頻率之比為，所以所求半音對應(yīng)的頻率為.即對應(yīng)的半音為.故選：B9．在等比數(shù)列中，，則能使不等式成立的最大正整數(shù)是（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】∵在等比數(shù)列中，，∴公比，∴時，；時，.∵，∴，，，∴，又當(dāng)時，，∴使不等式成立的的最大值為.故選：C10．已知等差數(shù)列的前n項和為，記的最大值為S，，正項等比數(shù)列的公比為q，滿足，且，則使，成立的n的最小值為（）A．6B．5C．4D．3【答案】D【解析】由題可設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，∴，，；當(dāng)時，有最大值，∴，，，∵，∴，，要使成立，即，且，∴，則n的最小值為3.故選：D.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，，則數(shù)列的前10項和為_______．【答案】60【解析】設(shè)數(shù)列公比為q，由，則，解得或，因為，所以．則，，得，，數(shù)列的前10項和．故答案為：6012．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_______________．【答案】107【解析】由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因為，易知，又因為，，所以，，故答案為：107.13．已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項和．若數(shù)列的前項和對于都成立，則實數(shù)的最小值等于_____．【答案】4【解析】由數(shù)列的前項和得，當(dāng)時，有，當(dāng)時，有也適合上式，故，，，，，由得：，即.又對于都成立，所以,故實數(shù)的最小值等于.故答案為：4.14．在數(shù)列中，是方程的兩根，表示數(shù)列的前n項和.（1）若是等比數(shù)列，則_____；（2）若是等差數(shù)列，則_____.【答案】【解析】∵是方程的兩根，∴，∴若是等比數(shù)列，則；若是等差數(shù)列，則，故答案為：，15．已知是等差數(shù)列，是公比為c的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前10項和為__________，數(shù)列的前10項和為__________（用c表示）．【答案】100【解析】因為是等差數(shù)列，，所以，解得，所以，所以因為是公比為c的等比數(shù)列，且，所以，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上,故答案為：100；16．一個正方形被等分成九個相等的小正方形，將中間的一個小正方形挖掉(如圖（1）)；再將剩余的每個小正方形都分成九個相等的小正方形，并將中間的一個小正方形挖掉得圖（2）；如此繼續(xù)下去……．設(shè)原正方形的邊長為1，則第3個圖中共挖掉____個正方形，第n個圖中所有挖掉的正方形的面積和為_____．【答案】73【解析】記第個圖形中共挖掉個正方形，則，所以，個，，記第個圖形中共挖掉的正方形的面積為，則，，，，，將以上個等式相加得.故答案為：73；.17．已知正項等比數(shù)列中，，則________，又?jǐn)?shù)列滿足；若為數(shù)列的前n項和，那么__________.【答案】【解析】因為，所以.因為，所以，即，解得或.當(dāng)時，代入，解得（舍去）當(dāng)時，代入，解得，所以.因為，，所以，，，，……，所以是以周期為的循環(huán)數(shù)列.因為為數(shù)列的前n項和，所以，設(shè)，，所以是以首項，公比為的等比數(shù)列.所以.故答案為：；三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式.（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】()∵是等差數(shù)列，，∴解出，，∴.()∵，，是等比數(shù)列，，∴b1=419．已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且.（1）若，求的通項公式；（2）若，，求數(shù)列的前10項和的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，則或.當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則.（2）因為，所以，所以.因為，所以.因為，所以的取值范圍為.20．已知在等比數(shù)列中，，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，若任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)設(shè)公比為，，則，解得，.，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即.∴；（2），，兩式相減得：.∴，有，，記，則，∴，∴數(shù)列遞增，其最小值為.故.21．設(shè)數(shù)列的前項和為，若．（Ⅰ）證明為等比數(shù)列并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求；（Ⅲ）求證：．【答案】（Ⅰ）證明見解析；；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）由得，當(dāng)時，兩式作差得：，即，即，令得，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列．所以，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，兩式作差得：所以．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，則，恒成立，，即所以，所以．22．已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項，（2）設(shè)，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由得，兩式相除得，所以，都是公比為2的等比數(shù)列，由及得，又，所以，所以n為奇數(shù)時，n為偶數(shù)時，所以；（2），，設(shè)，則，兩式相減得，所以，，因為所以所以所以所以單調(diào)遞增所以成立所以.《4.3數(shù)列的求和》同步練習(xí)（提高練）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．設(shè)數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的前n項和為（）A．B．C．D．2．已知函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前項和的公式的方法，可求得（）.A．25B．26C．13D．3．已知函數(shù)且，則等于（）A．0B．100C．-100D．102004．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名數(shù)學(xué)家）以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等學(xué)科都有著十分廣泛的應(yīng)用。若將此數(shù)列的各項除以2后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項的和為；若數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項的和為，則（）A．1348B．1347C．674D．6735．定義表示不超過的最大整數(shù)，如，．若數(shù)列的通項公式為，為數(shù)列的前項和，則（）A．B．C．D．6．已知數(shù)列的前項和為，且，現(xiàn)有如下說法：①；②；③.則正確的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．37．已知數(shù)列的前n項和為，，當(dāng)時，，，則S2019的值為（）A．1008B．1009C．1010D．10118．已知的前項和為，，當(dāng)時，，則的值為（）A．1008B．1009C．1010D．10119．已知數(shù)列滿足：，，用表示不超過的最大整數(shù)，則的值等于（）A．1B．2C．3D．410．若數(shù)列的通項公式為，在一個行列的數(shù)表中，第行第列的元素為，則滿足的的最大值是（）A．B．C．D．二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．?dāng)?shù)列的通項公式為，其前2020項的和為______.12．已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和為，則使得的最小正整數(shù)n的值為______．13．已知公比大于的等比數(shù)列滿足，記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，的前項和為，則__________.14．已知是等差數(shù)列，是公比為c的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前10項和為________，數(shù)列的前10項和為_______（用c表示）．15．已知數(shù)列的前項和為，滿足，則數(shù)列的通項公式______.設(shè)，則數(shù)列的前項和______.16．已知數(shù)列的前項和為，且，，則______；若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______.17．“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個著名數(shù)列，從第三項開始每一項都是數(shù)列中前兩項之和.這個數(shù)列是斐波那契在他的《算盤書》的“兔子問題”中提出的.在問題中他假設(shè)如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔在它出生后的第三個月，又能開始生小兔，如果沒有死亡，由一對剛出生的小兔開始，一年后一共會有多少對兔子？即斐波那契數(shù)列中，，,，則______；若，則數(shù)列的前項和是_______（用表示）.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，且.（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.19．設(shè)數(shù)列的前n項和為，從條件①，②，③中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前n項和為，，____.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n和.20．設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，，.（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．已知數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）若數(shù)列滿足且對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．已知各項都是正數(shù)的數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前項和.求證：.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．設(shè)數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的前n項和為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，，因此，所以.故選:D2．已知函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前項和的公式的方法，可求得（）.A．25B．26C．13D．【答案】C【解析】，，即，設(shè)，①則，②則①＋②得：，故.故選：C.3．已知函數(shù)且，則等于（）A．0B．100C．-100D．10200【答案】B【解析】由已知條件知，即是奇數(shù)）故選：B．4．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名數(shù)學(xué)家）以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等學(xué)科都有著十分廣泛的應(yīng)用。若將此數(shù)列的各項除以2后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項的和為；若數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項的和為，則（）A．1348B．1347C．674D．673【答案】B【解析】“兔子數(shù)列”的各項為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，此數(shù)列被2除后的余數(shù)依次為：1，1，0，1，1，0，1，1，0，，即，，，，，，，數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，，由題意知，由于，所以，所以．則．故選：B5．定義表示不超過的最大整數(shù)，如，．若數(shù)列的通項公式為，為數(shù)列的前項和，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，當(dāng)時，，即（共1項）；當(dāng)時，，即（共2項）；當(dāng)時，，即（共4項）；…當(dāng)時，，即（共項），由，得．即，所以．所以，則，兩式相減得，．故選：D．6．已知數(shù)列的前項和為，且，現(xiàn)有如下說法：①；②；③.則正確的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】因為，所以，所以，，聯(lián)立得：，所以，故，從而，，，則，故，，，故①②③正確.故選：D7．已知數(shù)列的前n項和為，，當(dāng)時，，，則S2019的值為（）A．1008B．1009C．1010D．1011【答案】C【解析】當(dāng)時，，①可得，②由②－①得，，整理得，又由所以.故選：C.8．已知的前項和為，，當(dāng)時，，則的值為（）A．1008B．1009C．1010D．1011【答案】C【解析】由題意，當(dāng)時，可得，因為，所以，即，當(dāng)時，兩式相減，可得，即，所以，所以.故選：C.9．已知數(shù)列滿足：，，用表示不超過的最大整數(shù)，則的值等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由，得，∴，，，由，得，，知從以后都大于1，∴，∴，則，故選：A.10．若數(shù)列的通項公式為，在一個行列的數(shù)表中，第行第列的元素為，則滿足的的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】數(shù)列的通項公式為，在一個行列的數(shù)表中，第行第列的元素為，所以．令，則，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時，所有的元素之和為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的最大值為，故選：B．二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．?dāng)?shù)列的通項公式為，其前2020項的和為______.【答案】【解析】，∴，，，，，，，，由上可知，數(shù)列的奇數(shù)項為-1，偶數(shù)項，，.故答案為：．12．已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和為，則使得的最小正整數(shù)n的值為______．【答案】13【解析】當(dāng)時，的所有非空子集為：，，，所以.當(dāng)時，.當(dāng)時，當(dāng)最小值為時，每個元素都有或無兩種情況，共有個元素，共有個非空子集，.當(dāng)最小值為時，不含，含，共有個元素，有個非空子集，.……所以…….因為，，即.所以使得的最小正整數(shù)的值為.故答案為：.13．已知公比大于的等比數(shù)列滿足，記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，的前項和為，則__________.【答案】【解析】設(shè)的公比為，由得或（舍去）所以在區(qū)間上，，在區(qū)間上上，個1在區(qū)間上，，個2在區(qū)間上，，個3，…歸納得當(dāng)時，所以令則兩式相減，整理得所以故答案為：14．已知是等差數(shù)列，是公比為c的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前10項和為__________，數(shù)列的前10項和為__________（用c表示）．【答案】100【解析】因為是等差數(shù)列，，所以，解得，所以，所以因為是公比為c的等比數(shù)列，且，所以，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上,故答案為：100；15．已知數(shù)列的前項和為，滿足，則數(shù)列的通項公式______.設(shè)，則數(shù)列的前項和______.【答案】【解析】因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合的情況，所以；因為，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，綜上可知.故答案為：；.16．已知數(shù)列的前項和為，且，，則______；若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】由，，得，，所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，，.又，所以恒成立，即，恒成立.令，則，所以是遞減數(shù)列，所以，，即，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.17．“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個著名數(shù)列，從第三項開始每一項都是數(shù)列中前兩項之和.這個數(shù)列是斐波那契在他的《算盤書》的“兔子問題”中提出的.在問題中他假設(shè)如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔在它出生后的第三個月，又能開始生小兔，如果沒有死亡，由一對剛出生的小兔開始，一年后一共會有多少對兔子？即斐波那契數(shù)列中，，,，則______；若，則數(shù)列的前項和是_______（用表示）.【答案】144【解析】由，,，依次可求出的值，利用用累加法可求出數(shù)列的前項和【詳解】解：因為，,，所以，同理，因為，,，所以……以上累加得，，所以，故答案為：144；三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，且.（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又，所以，由，解得，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，，，兩式相減得，，所以.19．設(shè)數(shù)列的前n項和為，從條件①，②，③中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前n項和為，，____.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n和.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】選條件①時，（1）時，整理得，所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件②時，（1）由于，所以①，當(dāng)時，②，①②得：，，整理得，所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件③時，由于，①②①②時，，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.20．設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，，.（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2），，.【解析】（1）由題意得，則，又當(dāng)時，由，得，且，所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，所以，數(shù)列的通項公式為，.（2）設(shè)，，，.當(dāng)時，由于，故，.設(shè)數(shù)列的前項和為，則，.當(dāng)時，，所以，，，.21．已知數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）若數(shù)列滿足且對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）本題首先可根據(jù)得出，然后兩式相減，得出，（1）因為，，所以，則，即，，因為，，所以數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，，因為，所以，即，則.（2），令，則，因為對任意恒成立，所以對任意恒成立，即，令，，則，當(dāng)時，即當(dāng)時取到最小值，故，實數(shù)的取值范圍為.22．已知各項都是正數(shù)的數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前項和.求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）①當(dāng)時，得，∴或0（舍去）；②當(dāng)時，，∴.又∵各項為正，∴，∴為首項是，公差是的等差數(shù)列，∴.（2）由題得，┇，所有式子相加，得.又∵，∴，∴，∴.又∵，∴.《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步練習(xí)（提高練）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知，則（）A．中共有項，當(dāng)n=2時，B．中共有項，當(dāng)n=2時，C．中共有項，當(dāng)n=2時，D．中共有項，當(dāng)n=2時，2．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+…+=2時，若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證（）A．n=k+1時等式成立B．n=k+2時等式成立C．n=2k+2時等式成立D．n=2(k+2)時等式成立3．平面內(nèi)有個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都無公共點，用表示這個圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關(guān)系為（）A．B．C．D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的正整數(shù)成立”時，第一步證明中的起始值應(yīng)取（）A．B．C．D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項B．增加兩項、C．增加，且減少一項D．增加、，且減少一項6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由的假設(shè)證明時，不等式左邊需增加的項數(shù)為（）A．B．C．D．7．已知，證明不等式時，比多的項數(shù)是（）A．項B．項C．項D．以上都不對8．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數(shù)是（）A．項B．項C．項D．項9．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被9整除”，在假設(shè)時命題成立之后，需證明時命題也成立，這時除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項（）能被9整除.A．B．C．D．10．?dāng)?shù)列滿足：，，數(shù)列前項和為，則以下說法正確個數(shù)是（）①；②；③；④.A．1B．2C．3D．4二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，_________．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時，從到添加的項數(shù)共有__________________項（填多少項即可）．13．已知數(shù)列的前項和為，滿足，，則___________.14．在證明是的倍數(shù)時，時驗證的表達(dá)式是_______；到增加的表達(dá)式是______________．15．若，用數(shù)學(xué)歸納法驗證關(guān)于的命題時，第一步計算________；第二步“從到時”，________．16．探索表達(dá)式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N*)的結(jié)果時,第一步當(dāng)n=____時,A=____.17．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的自然數(shù)都成立”時，第一步證明中的起始值應(yīng)取________________；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，在驗證成立時，左邊應(yīng)該是________________．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知數(shù)列的通項公式為，求證：對任意的，不等式都成立．19．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個等式，并猜想第個等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個等式成立．20．設(shè)數(shù)列滿足，.（1）計算，.猜想的通項公式并利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（2）記，求數(shù)列的前n項和.21．已知正項數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為，求證：．22．已知函數(shù).（1）當(dāng)，時，若存在，，使得，求實數(shù)c的取值范圍；（2）若二次函數(shù)對一切恒有成立，且，求)的值；（3）是否存在一個二次函數(shù)，使得對任意正整數(shù)k，當(dāng)時，都有成立，請給出結(jié)論，并加以證明.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知，則（）A．中共有項，當(dāng)n=2時，B．中共有項，當(dāng)n=2時，C．中共有項，當(dāng)n=2時，D．中共有項，當(dāng)n=2時，【答案】C【解析】中共有項，當(dāng)n=2時，.故選：C2．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+…+=2時，若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證（）A．n=k+1時等式成立B．n=k+2時等式成立C．n=2k+2時等式成立D．n=2(k+2)時等式成立【答案】B【解析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知，假設(shè)為偶數(shù)）時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證下一個偶數(shù)，即時等式成立，不是，因為是偶數(shù)，是奇數(shù)，故選：．3．平面內(nèi)有個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都無公共點，用表示這個圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意得，由個圓增加到個圓，增加了個交點，這個交點將新增的圓分成段弧，而每一段弧都將原來的一塊區(qū)域分成了2塊，故增加了塊區(qū)域，因此．故選：B．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的正整數(shù)成立”時，第一步證明中的起始值應(yīng)取（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，首先要驗證當(dāng)取第一個值時命題成立，結(jié)合本題，當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，成立.因此當(dāng)時，命題成立．所以第一步證明中的起始值應(yīng)?。蔬x：D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項B．增加兩項、C．增加，且減少一項D．增加、，且減少一項【答案】D【解析】由數(shù)學(xué)歸納法知：若時，不等式成立，則有：成立，那么時，有：，∴，綜上知：不等式左邊需要增加、，且減少一項故選：D6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由的假設(shè)證明時，不等式左邊需增加的項數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時，左邊，當(dāng)時，左邊，所以左邊增加分母是連續(xù)的正整數(shù)，所以共增加了項，所以的假設(shè)證明時，不等式左邊需增加的項數(shù)為，故選：C7．已知，證明不等式時，比多的項數(shù)是（）A．項B．項C．項D．以上都不對【答案】C【解析】因為，，所以，所以比多的項數(shù)是.故選：C.8．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數(shù)是（）A．項B．項C．項D．項【答案】D【解析】當(dāng)時，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項；當(dāng)時，左邊，共有項；所以從“到”左邊增加的項數(shù)是項.故選D9.用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被9整除”，在假設(shè)時命題成立之后，需證明時命題也成立，這時除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項（）能被9整除.A．B．C．D．【答案】B【解析】假設(shè)時命題成立，即能被9整除，當(dāng)時，能被9整除要證上式能被9整除，還需證明也能被9整除故選：10．?dāng)?shù)列滿足：，，數(shù)列前項和為，則以下說法正確個數(shù)是（）①；②；③；④.A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】在①中，用數(shù)學(xué)歸納法求證：當(dāng)時，，成立，假設(shè)，則一方面，另一方面由于時，，∴，∴，故①正確；在②中，由于當(dāng)時，令，則，由于時，，故，在單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即，則，∴，故②正確；在③中，由于，∴，∴，∴，∴，故③正確；在④中，，，故④正確.故選：.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，_________．【答案】【解析】因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．故答案為：．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時，從到添加的項數(shù)共有_________項（填多少項即可）．【答案】5【解析】當(dāng)時，原式為：，當(dāng)時，原式為，比較后可知多了，共5項.故答案為：513．已知數(shù)列的前項和為，滿足，，則___________.【答案】【解析】因為當(dāng)時，有，因此由，可得，化簡得：，因為,所以，，由此猜想數(shù)列的通項公式為：，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時成立，即，當(dāng)時，，綜上所述：.故答案為：14．在證明是的倍數(shù)時，時驗證的表達(dá)式是_______；到增加的表達(dá)式是______________．【答案】【解析】當(dāng)時，原式，當(dāng)時，原式，當(dāng)時，原式.則從到增加的表達(dá)式是.故答案為：；.15．若，用數(shù)學(xué)歸納法驗證關(guān)于的命題時，第一步計算______；第二步“從到時”，_____．【答案】【解析】，；，故答案為：；.16．探索表達(dá)式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N*)的結(jié)果時,第一步當(dāng)n=____時,A=____.【答案】21【解析】∵n>1,且n∈N*∴n=2,時，A=(2-1)(2-1)!=1故答案為2,117．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的自然數(shù)都成立”時，第一步證明中的起始值應(yīng)取________________；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，在驗證成立時，左邊應(yīng)該是________________．【答案】5【解析】（1）由于時，；時，；時，；時，；時，，所以當(dāng)時，成立．故第一步證明中的起始值應(yīng)取5．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明“()”時，在驗證成立時，將代入，左邊以1即開始、以結(jié)束，所以左邊應(yīng)該是．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知數(shù)列的通項公式為，求證：對任意的，不等式都成立．【答案】證明見解析.【解析】由，得，所以,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，證明如下：①當(dāng)時，左邊，右邊，因為，所以不等式成立．②假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即成立，則當(dāng)時，左邊,,右邊．所以當(dāng)時，不等式也成立．由①②可得不等式對任意的都成立，即原不等式成立．19．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個等式，并猜想第個等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個等式成立．【答案】（1）；，；（2）證明見解析.【解析】（1）第5個等式為．第個等式為，．（2）證明：①當(dāng)時，等式左邊，等式右邊，所以等式成立．②假設(shè)時，命題成立，即，則當(dāng)時，，即時等式成立．根據(jù)①和②，可知對任意等式都成立．20．設(shè)數(shù)列滿足，.（1）計算，.猜想的通項公式并利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（2）記，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1），，；證明見解析；（2）.【解析】（1）由題意可得，，由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時，成立；假設(shè)時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；（2）因為.∴，①，②①-②得：.∴.21．已知正項數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，，，，從而猜想．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時，有，猜想成立；②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，猜想也成立．由①②可知，對任意都成立．∴數(shù)列的通項公式為，．（2）證明：，由基本不等式可得，所以，所以．22．已知函數(shù).（1）當(dāng)，時，若存在，，使得，求實數(shù)c的取值范圍；（2）若二次函數(shù)對一切恒有成立，且，求)的值；（3）是否存在一個二次函數(shù)，使得對任意正整數(shù)k，當(dāng)時，都有成立，請給出結(jié)論，并加以證明.【答案】（1）；（2）；（3）存在，；證明見解析.【解析】（1）當(dāng)，時，由題意可知，在，上有兩個不等實根，或在，上有兩個不等實根，則或，解得或即實數(shù)的取值范圍是或．（2）二次函數(shù)對一切恒有成立，可得，解得，（1），函數(shù)的對稱軸為，設(shè)函數(shù)，由（1），（5），可得，，解得，，，．（3）存在符合條件的二次函數(shù)．設(shè)，則當(dāng)，2，3時有：（5）①；②；③．聯(lián)立①、②、③，解得，，．于是，．下面證明二次函數(shù)符合條件．因為，同理：；，所求的二次函數(shù)符合條件．《5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算》同步練習(xí)（提高練）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值為（）A．2B．1C．D．2.已知函數(shù)，則（）A．B．C．D．3．已知，則（）A．1B．2C．4D．84.近兩年為抑制房價過快上漲，政府出臺了一系列以“限購、限外、限貸限價”為主題的房地產(chǎn)調(diào)控政策.各地房產(chǎn)部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定房價，提出多種方案，其中之一就是在規(guī)定的時間內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù).已知房產(chǎn)供應(yīng)量與時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，供應(yīng)效率（單位時間的供應(yīng)量）逐步提高的是（）A．B．C．D．5．已知曲線在點處的切線方程為，則（）A．B．C．D．6．點P在曲線上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為，則角的范圍是（）A．B．C．D．7．若曲線在處的切線與直線互相垂直，則實數(shù)等于（）A．-2B．-1C．1D．28．已知過點P作曲線y＝x3的切線有且僅有兩條，則點P的坐標(biāo)可能是()A．(0,1)B．(0,0)C．(1,1)D．(－2，－1)9．已知M為拋物線上一點，C在點M處的切線交C的準(zhǔn)線于點P，過點P向C再作另一條切線，則的方程為（）A．B．C．D．10．直線是曲線和曲線的公切線，則（）A．B．C．D．二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線平行，則______.12.已知函數(shù)，則在曲線的所有切線中，斜率的最大值為______.13．已知曲線在點處的切線方程為，則______．14．過原點作曲線的切線，則切點的坐標(biāo)為______，切線的斜率為______．15.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象恒過定點，（1）則點的坐標(biāo)為__________；（2）若在點處的切線方程，則__________.16．設(shè)曲線在點處的切線與曲線上點處的切線垂直，則直線的方程為________，的坐標(biāo)為________.17．已知曲線：，曲線：，（1）若曲線在處的切線與在處的切線平行，則實數(shù)________；（2）若曲線上任意一點處的切線為，總存在上一點處的切線，使得，則實數(shù)的取值范圍為________.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18.已知函數(shù)（Ⅰ）求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（Ⅱ）求這個函數(shù)在處的切線方程.19．函數(shù)在點處的切線為．（1）若與直線平行，求實數(shù)的值；（2）若與直線垂直，求實數(shù)的值．20．比較函數(shù)與在區(qū)間上的平均變化率的大小.21．已知，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）求的值．22．已知函數(shù)．（1）求；（2）求曲線過點的切線的方程．答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值為（）A．2B．1C．D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，則，又由，即，解可得；故選：A.2.已知函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，因此，.故選：A.3．已知，則（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】函數(shù)，則，令代入上式可得，則，所以，則，故選：A.4.近兩年為抑制房價過快上漲，政府出臺了一系列以“限購、限外、限貸限價”為主題的房地產(chǎn)調(diào)控政策.各地房產(chǎn)部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定房價，提出多種方案，其中之一就是在規(guī)定的時間內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù).已知房產(chǎn)供應(yīng)量與時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，供應(yīng)效率（單位時間的供應(yīng)量）逐步提高的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】單位時間的供應(yīng)量逐步提高時，供應(yīng)量的增長速度越來越快，圖象上切線的斜率隨著自變量的增加會越來越大，則曲線是上升的，且越來越陡，故函數(shù)的圖象應(yīng)一直下凹的.故選B.5．已知曲線在點處的切線方程為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】詳解：，將代入得，故選D．6．點P在曲線上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為，則角的范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，則，則，又，所以，故選：D.7．若曲線在處的切線與直線互相垂直，則實數(shù)等于（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】由題可得：，，曲線在處的切線的斜率為1，曲線在處的切線與直線互相垂直，且直線的斜率為，，解得：；故答案選D.8．已知過點P作曲線y＝x3的切線有且僅有兩條，則點P的坐標(biāo)可能是()A．(0,1)B．(0,0)C．(1,1)D．(－2，－1)【答案】C【解析】的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點為，可得切線的斜率為，切線的方程為，若，則，解得，只有一解；若，則，可得，只有一解；若，則，可得，即為，解得或，有兩解；若，則，可得，由當(dāng)時，遞減；當(dāng)或時，遞增．可得為極小值，為極大值，則有3個不等實數(shù)解．故選：C．9．已知M為拋物線上一點，C在點M處的切線交C的準(zhǔn)線于點P，過點P向C再作另一條切線，則的方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，由題意知，，則，C在點M處的切線，所以所以，則，將代入的方程可得，即拋物線的準(zhǔn)線方程為：則.設(shè)與曲線C的切點為，則，解得或（舍去），則，所以的方程為.故選：D10．直線是曲線和曲線的公切線，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)直線與曲線相切于點，直線與曲線相切于點，，則，由，可得，則