人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二同步練習(xí)全套（基礎(chǔ)訓(xùn)練）

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二同步練習(xí)全套（基礎(chǔ)訓(xùn)練）《4.1數(shù)列的概念（第一課時(shí)）》同步練習(xí)一、選擇題1．?dāng)?shù)列3，5，7，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A．B．C．D．2．下列四個(gè)數(shù)中，哪個(gè)是數(shù)列中的一項(xiàng)（）A．55B．56C．57D．583．已知數(shù)列則是這個(gè)數(shù)列的（）A．第項(xiàng)B．第項(xiàng)C．第項(xiàng)D．第項(xiàng)4．在1，2，3，…，2020這2020個(gè)自然數(shù)中，將能被2除余1，且被3除余1的數(shù)按從小到大的次序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A．289B．295C．301D．3075．（多選題）已知數(shù)列，則前六項(xiàng)適合的通項(xiàng)公式為（）A．B．C．D．6．（多選題）下列四個(gè)命題中，正確的有（）A．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為B．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則-8是該數(shù)列的第7項(xiàng)C．?dāng)?shù)列3，5，9，17，33…的一個(gè)通項(xiàng)公式為D．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列是遞增數(shù)列二、填空題7．若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是，，，，則此數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．8．如圖關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的第20個(gè)圖案有______.9．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．10.天干地支紀(jì)看法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類(lèi)推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，以此類(lèi)推，已知2020年為庚子年，那么到建國(guó)100年時(shí)，即2049年以天干地支紀(jì)年法為_(kāi)_________.三、解答題11.寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）4，6，8，10，…；（2）…；（3）…；（4）5，55，555，5555，…．12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）問(wèn)0.25是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？如果是，為第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）計(jì)算，并判斷其符號(hào)；（3）求此數(shù)列的最小項(xiàng)，該數(shù)列是否存在最大項(xiàng)？《4.1數(shù)列的概念（第一課時(shí)）》答案解析一、選擇題1．?dāng)?shù)列3，5，7，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】因?yàn)樗?故選：A2．下列四個(gè)數(shù)中，哪個(gè)是數(shù)列中的一項(xiàng)（）A．55B．56C．57D．58【答案】B【詳解】由，有或（舍去）．所以正確；，，均無(wú)正整數(shù)解，則、、都不正確．故選：．3．已知數(shù)列則是這個(gè)數(shù)列的（）A．第項(xiàng)B．第項(xiàng)C．第項(xiàng)D．第項(xiàng)【答案】D【詳解】由數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得，所以，所以是第項(xiàng).故選：D.4．在1，2，3，…，2020這2020個(gè)自然數(shù)中，將能被2除余1，且被3除余1的數(shù)按從小到大的次序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A．289B．295C．301D．307【答案】B【詳解】由題意可知即是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，即是6的倍數(shù)，則，所以，所以.故選：B.5．（多選題）已知數(shù)列，則前六項(xiàng)適合的通項(xiàng)公式為（）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，取前六項(xiàng)得：，滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)B，取前六項(xiàng)得：，不滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)C，取前六項(xiàng)得：，滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)D，取前六項(xiàng)得：，不滿足條件；故選：AC6．（多選題）下列四個(gè)命題中，正確的有（）A．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為B．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則-8是該數(shù)列的第7項(xiàng)C．?dāng)?shù)列3，5，9，17，33…的一個(gè)通項(xiàng)公式為D．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】ABD【詳解】A，數(shù)列的第出項(xiàng)為，A正確；B，令，得或（舍去），B正確；C，將3，5，9，17，33，…的各項(xiàng)減去1，得2，4，8，16，32，…，設(shè)該數(shù)列為，則其通項(xiàng)公式為，因此數(shù)列3，5，9，17，33，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為C錯(cuò)誤；D，，則，因此數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確，故選：ABD．二、填空題7．若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是，，，，則此數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．【答案】【詳解】觀察數(shù)列得分母是2開(kāi)始，故分母為，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故有，∴通項(xiàng)為8．如圖關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的第20個(gè)圖案有______.【答案】【詳解】觀察數(shù)列中的星星構(gòu)成的規(guī)律：當(dāng)時(shí)，有個(gè)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，所以當(dāng)時(shí)，有個(gè)。9．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【詳解】由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，即（）恒成立，又?jǐn)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.10.天干地支紀(jì)看法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類(lèi)推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，以此類(lèi)推，已知2020年為庚子年，那么到建國(guó)100年時(shí)，即2049年以天干地支紀(jì)年法為_(kāi)_________.【答案】已巳【詳解】由題意可知數(shù)列天干是10個(gè)為一個(gè)循環(huán)的循環(huán)數(shù)列，地支是以12個(gè)一個(gè)循環(huán)的循環(huán)數(shù)列，從2020年到2049年一共有30年，且2020年為庚子年，則，2049年的天干為已，余6，2049年的地支為巳，故2049年為已巳年。三、解答題11.寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）4，6，8，10，…；（2）…；（3）…；（4）5，55，555，5555，…．【詳解】（1）易知該數(shù)列是首項(xiàng)從4開(kāi)始的偶數(shù)，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．（2）易知該數(shù)列中每一項(xiàng)分子比分母少1，且分母可寫(xiě)成，…，故所求數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫(xiě)為．（3）通過(guò)觀察可知，該數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故選擇．又第1項(xiàng)可改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，所以每一項(xiàng)的分母依次為3，5，7，9…，可寫(xiě)成的形式，分子為3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6……．可寫(xiě)成的形式．所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．（4）這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)榧醇此运囊粋€(gè)通項(xiàng)公式為．12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）問(wèn)0.25是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？如果是，為第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）計(jì)算，并判斷其符號(hào)；（3）求此數(shù)列的最小項(xiàng)，該數(shù)列是否存在最大項(xiàng)？【詳解】（1）是,令,即,解得,0.25是數(shù)列的項(xiàng),是第17項(xiàng)（2）由題,,,,即（3）由（2）可得數(shù)列是遞增數(shù)列,則最小項(xiàng)為首項(xiàng),即,無(wú)最大項(xiàng)《4.1數(shù)列的概念（第二課時(shí)）》同步練習(xí)一、選擇題1．?dāng)?shù)列…的遞推公式可以是（）A．B．C．D．2．已知數(shù)列滿足，，則（）A．B．C．D．3.數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）．A．B．C．D．4．九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開(kāi)為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一“.在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的移動(dòng)最少次數(shù)，若.且，則解下6個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A．13B．16C．31D．645．（多選題）符合遞推關(guān)系式an=2an-1的數(shù)列是()A.1,2,3,4,…B.1,2,2,22,…C.2,2,22,4,…D.0,2,2,22,…6．（多選題）已知數(shù)列滿足，且，則（）A．B．C．D．二、填空題7．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（），則_____________.8．已知數(shù)列滿足，則______.9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,第k項(xiàng)滿足5<ak<8,則k=.10．若數(shù)列滿足，，，則數(shù)列前項(xiàng)的積等于_____.三、解答題11．如圖，將正三角形的每一條邊三等分，并以每一條邊上居中的一條線段為邊向外作正三角形，便得到第1條“雪花曲線”（如圖（乙）的實(shí)線部分），對(duì)第1條“雪花曲線”的邊重復(fù)上述作法，便得到第2條“雪花曲線”（如圖（丙）），這樣一直繼續(xù)下去，得到一系列的“雪花曲線”.設(shè)第n條“雪花曲線”有條邊.（1）寫(xiě)出的值.（2）求出數(shù)列的遞推公式.12．根據(jù)下列數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫(xiě)出數(shù)列前項(xiàng)，并由此歸納出它的通項(xiàng)公式.（1），；（2），..《4.1數(shù)列的概念（第二課時(shí)）》答案解析一、選擇題1．?dāng)?shù)列…的遞推公式可以是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由題意可知，數(shù)列從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的，所以遞推公式為.故選：C.2．已知數(shù)列滿足，，則（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】，，，，，.故選：A.3.數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）．A．B．C．D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)滿足，故選：B．4．九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開(kāi)為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一“.在某種玩法中，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的移動(dòng)最少次數(shù)，若.且，則解下6個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A．13B．16C．31D．64【答案】C【詳解】，，，，，，，所以解下6個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為.故選：C.5．（多選題）符合遞推關(guān)系式an=2an-1的數(shù)列是()A.1,2,3,4,…B.1,2,2,22,…C.2,2,22,4,…D.0,2,2,22,…【答案】BC【詳解】B與C中從第2項(xiàng)起,后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍,符合遞推公式an=2an-1.6．（多選題）已知數(shù)列滿足，且，則（）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】由題意，，A正確，，C正確；，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3．，B錯(cuò)；，D正確．故選：ACD．二、填空題7．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（），則_____________.【答案】17【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，又時(shí)，也適合上式，所以，所以.8．已知數(shù)列滿足，則______.【答案】10【詳解】由題得時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,第k項(xiàng)滿足5<ak<8,則k=.【答案】8【詳解】∵an=S1(n=1),Sn-Sn-10．若數(shù)列滿足，，，則數(shù)列前項(xiàng)的積等于_____.【答案】【詳解】，則，所以，，，則，所以，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，且，所以，的前項(xiàng)的積為.三、解答題11．如圖，將正三角形的每一條邊三等分，并以每一條邊上居中的一條線段為邊向外作正三角形，便得到第1條“雪花曲線”（如圖（乙）的實(shí)線部分），對(duì)第1條“雪花曲線”的邊重復(fù)上述作法，便得到第2條“雪花曲線”（如圖（丙）），這樣一直繼續(xù)下去，得到一系列的“雪花曲線”.設(shè)第n條“雪花曲線”有條邊.（1）寫(xiě)出的值.（2）求出數(shù)列的遞推公式.【詳解】（1）.（2）由“雪花曲線”的作法可知，第n條“雪花曲線”的每條邊都可得到第條“雪花曲線”的四條邊.∴.∴數(shù)列的遞推公式為.12．根據(jù)下列數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫(xiě)出數(shù)列前項(xiàng)，并由此歸納出它的通項(xiàng)公式.（1），；（2），.【詳解】（1），，，，，，，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），.，，，，.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.《4.2.1等差數(shù)列的概念（第一課時(shí)）》同步練習(xí)一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}中，，則公差d的值為（）A．B．1C．D．2．等差數(shù)列中，已知，，當(dāng)時(shí)，則序號(hào)等于（）A．90B．96C．98D．1003．等差數(shù)列的第項(xiàng)是（）A．B．C．D．4．《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書(shū)中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長(zhǎng)的和是37.5尺，芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺，則立夏的日影子長(zhǎng)為：（）A．15.5尺B．12.5尺C．9.5尺D．6.5尺5．（多選題）下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的是（）A．1，4，7，10B．C．D．10，8，6，4，26．（多選題）已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（）A．（d為常數(shù)）B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．是與的等差中項(xiàng)二、填空題7．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則公差_____.8．在下面的數(shù)表中，已知每行?每列中的數(shù)都成等差數(shù)列.第1列第2列第3列…第1列123…第2列246…第3列369………………那么位于表中的第n行第列的數(shù)是__________.9．在數(shù)列中，，，則的值為_(kāi)_________.10．在等差數(shù)列中，，（、），則的值為_(kāi)_________.三、解答題11．在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）2022是否為數(shù)列中的項(xiàng)？若是，則為第幾項(xiàng)？12．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是．（1）求證：是等差數(shù)列，并求出其公差；（2）判斷、是否是數(shù)列中的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？《4.2.1等差數(shù)列的概念（第一課時(shí)）》答案解析一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}中，，則公差d的值為（）A．B．1C．D．【答案】C【詳解】等差數(shù)列{an}中，，則即3=9+6d,解得d=-12．等差數(shù)列中，已知，，當(dāng)時(shí)，則序號(hào)等于（）A．90B．96C．98D．100【答案】D【詳解】由題意，解得．故選：D．3．等差數(shù)列的第項(xiàng)是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題,等差數(shù)列,,,，，故選A4．《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書(shū)中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長(zhǎng)的和是37.5尺，芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺，則立夏的日影子長(zhǎng)為：（）A．15.5尺B．12.5尺C．9.5尺D．6.5尺【答案】D【詳解】因?yàn)閺亩林掌穑『?、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，故可設(shè)該等差數(shù)列為，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種的日影子長(zhǎng)分別計(jì)為，，，，，公差為，由題可得：，即，解之得：，所以立夏的日影子長(zhǎng)為：（尺）.故選：D.5．（多選題）下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的是（）A．1，4，7，10B．C．D．10，8，6，4，2【答案】ABC【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得：A中，滿足（常數(shù)），所以是等差數(shù)列；B中，（常數(shù)），所以是等差數(shù)列；C中，因?yàn)?，不滿足等差數(shù)列的定義，所以不是等差數(shù)列；D中，滿足（常數(shù)），所以是等差數(shù)列.6．（多選題）已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（）A．（d為常數(shù)）B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．是與的等差中項(xiàng)【答案】ABD【詳解】A.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以A正確；B.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，那么，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；C.，不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；D.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以是與的等差中項(xiàng)，故D正確.故選：ABD二、填空題7．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則公差_____.【答案】【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列設(shè)公差為，若，，解得．8．在下面的數(shù)表中，已知每行?每列中的數(shù)都成等差數(shù)列.第1列第2列第3列…第1列123…第2列246…第3列369………………那么位于表中的第n行第列的數(shù)是__________.【答案】【詳解】由題意可得，第行的第一個(gè)數(shù)是，第行的數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，其中第項(xiàng)為.所以題表中的第行第列的數(shù)是.9．在數(shù)列中，，，則的值為_(kāi)_________.【答案】52【詳解】由題意，數(shù)列滿足，即，又由，所以數(shù)列首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，所以．10．在等差數(shù)列中，，（、），則的值為_(kāi)_______.【答案】0【詳解】由題,,三、解答題11．在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）2022是否為數(shù)列中的項(xiàng)？若是，則為第幾項(xiàng)？【詳解】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，，即，解得，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得.（3）令，解得，所以，是數(shù)列中的第項(xiàng).12．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是．（1）求證：是等差數(shù)列，并求出其公差；（2）判斷、是否是數(shù)列中的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？【詳解】（1），則，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為；（2）令，即，解得；令，即，解得.所以，是該數(shù)列的第項(xiàng)，不是該數(shù)列中的項(xiàng).《4.2.1等差數(shù)列的概念（第二課時(shí)）》同步練習(xí)一、選擇題1．已知等差數(shù)列中，，則（）A．7B．11C．9D．182．等差數(shù)列中，，，則公差d=（）A．B．C．D．23．單分?jǐn)?shù)（分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)）的廣泛使用成為埃及數(shù)學(xué)重要而有趣的特色，埃及人將所有的真分?jǐn)?shù)都表示為一些單分?jǐn)?shù)的和．例如，，……，現(xiàn)已知可以表示成4個(gè)單分?jǐn)?shù)的和，記，其中，，是以101為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則的值為（）A．505B．404C．303D．2024．若，，，成等差數(shù)列，，，，，也成等差數(shù)列，其中，則（）A．B．C．D．35．（多選題）在等差數(shù)列中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.若是數(shù)列的項(xiàng)，則k的值可能為（）A．1B．3C．5D．76．（多選題）已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，則下列各式一定成立的有（）A．B．C．D．二、填空題7．若數(shù)列是等差數(shù)列，且，則______.8．在等差數(shù)列中，，那么等于______.9．等差數(shù)列中，，若從第項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，則公差的取值范圍是______．10．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤.問(wèn)次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金錘，長(zhǎng)五尺，一頭粗一頭細(xì).在粗的一端截下一尺，重四斤;在細(xì)的一端截下一尺，重二斤.問(wèn)依次每一尺各重幾斤?”根據(jù)已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，中間三尺的重量為_(kāi)_____斤.三、解答題11．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為d.（1）若a15＝8，a60＝20，求a105的值；（2）若a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，求公差d.12．在等差數(shù)列中，若，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的值．《4.2.1等差數(shù)列的概念（第二課時(shí)）》答案解析一、選擇題1．已知等差數(shù)列中，，則（）A．7B．11C．9D．18【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，所以.故選：C.2．等差數(shù)列中，，，則公差d=（）A．B．C．D．2【答案】B【詳解】等差數(shù)列中，，則，，所以，則，故選：B3．單分?jǐn)?shù)（分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)）的廣泛使用成為埃及數(shù)學(xué)重要而有趣的特色，埃及人將所有的真分?jǐn)?shù)都表示為一些單分?jǐn)?shù)的和．例如，，……，現(xiàn)已知可以表示成4個(gè)單分?jǐn)?shù)的和，記，其中，，是以101為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則的值為（）A．505B．404C．303D．202【答案】A【詳解】依題意，拆分后的分?jǐn)?shù)，分子都是1，分母依次變大，又中含，故可分解如下：，又，，是以101為首項(xiàng)的等差數(shù)列，故.故.故選：A.4．若，，，成等差數(shù)列，，，，，也成等差數(shù)列，其中，則（）A．B．C．D．3【答案】B【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，所以，，即.故選：B．5．（多選題）在等差數(shù)列中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.若是數(shù)列的項(xiàng)，則k的值可能為（）A．1B．3C．5D．7【答案】ABD【詳解】由題意得：插入個(gè)數(shù)，則，，，所以等差數(shù)列中的項(xiàng)在新的等差數(shù)列中間隔排列，且角標(biāo)是以1為首項(xiàng)，k+1為公差的等差數(shù)列，所以，因?yàn)槭菙?shù)列的項(xiàng)，所以令，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，故k的值可能為1,3,7，故選：ABD6．（多選題）已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，則下列各式一定成立的有（）A．B．C．D．【答案】BD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，易知，∵等差數(shù)列滿足，且，，，故B，D正確，A錯(cuò)誤.又，，,，故C錯(cuò)誤.故選：BD.二、填空題7．若數(shù)列是等差數(shù)列，且，則______.【答案】【詳解】是等差數(shù)列，，，.8．在等差數(shù)列中，，那么等于______.【答案】14【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，解答，又由.9．等差數(shù)列中，，若從第項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，則公差的取值范圍是____．【答案】【詳解】∵等差數(shù)列從第項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，即，∴，解得．10．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤.問(wèn)次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金錘，長(zhǎng)五尺，一頭粗一頭細(xì).在粗的一端截下一尺，重四斤;在細(xì)的一端截下一尺，重二斤.問(wèn)依次每一尺各重幾斤?”根據(jù)已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，中間三尺的重量為_(kāi)_____斤.【答案】9【詳解】由題意可知金錘每尺的重量成等差數(shù)列，設(shè)細(xì)的一端的重量為，粗的一端的重量為，可知，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，中間三尺為.三、解答題11．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為d.（1）若a15＝8，a60＝20，求a105的值；（2）若a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，求公差d.【詳解】（1）等差數(shù)列{an}中，∵a15＝8，a60＝20，∴，解得，∴a105＝.（2）∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為d，且a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，∴a2+a5＝17，a2a5＝52，∴解得a2＝4，a5＝13.或a2＝13，a5＝4.∵a5＝a2+3d，∴13＝4+3d，或4＝13+3d，解得d＝3，或﹣3.12．在等差數(shù)列中，若，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的值．【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，則，則，又由，則有，解可得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（2）由（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，則或．《4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第一課時(shí)）》同步練習(xí)一、選擇題1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2+a4=6,則S5等于()A．10B．12C．15D．302．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，則S7的值等于（）A．21B．1C．﹣42D．03．如圖，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中點(diǎn)的總數(shù)記為，則等于（）A．B．C．D．4．含項(xiàng)的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為（）A．B．C．D．5．（多選題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則（）A．B．C．D．6．（多選題）已知遞減的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A．B．當(dāng)時(shí)，最大C．D．二、填空題7．已知數(shù)列為等差數(shù)列且a5=2，則其前9項(xiàng)和S9=___________.8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，.則__________.9．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則=__________.10．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，若，，則________.三、解答題11．在①，；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題，已知等差數(shù)列滿足________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，以及使得取得最大值時(shí)的值.12．設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.《4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第一課時(shí)）》答案解析一、選擇題1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2+a4=6,則S5等于()A．10B．12C．15D．30【答案】C【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5===15.故選C.2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，則S7的值等于（）A．21B．1C．﹣42D．0【答案】D【詳解】解：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，∴2（﹣3+3d）+3（﹣3+6d）＝9，解得d＝1，∴S7＝7×（﹣3）+＝0．故選：D．3．如圖，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中點(diǎn)的總數(shù)記為，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由題圖可知，，，，，依此類(lèi)推，每增加，圖案中的點(diǎn)數(shù)增加，所以相應(yīng)圖案中的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，．故選：C．4．含項(xiàng)的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，則，，，．故選：B5．（多選題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則（）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】，，，則．故選：AC.6．（多選題）已知遞減的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A．B．當(dāng)時(shí)，最大C．D．【答案】BC【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，由，則，，又因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，所以，，故A錯(cuò)誤、B正確.，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：BC二、填空題7．已知數(shù)列為等差數(shù)列且a5=2，則其前9項(xiàng)和S9=___________.【答案】18【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以.8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，.則__________.【答案】9【詳解】若，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差d＝2，由S5＝25，可得5+10×2＝25，所以＝1，則＝9．9．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則=__________.【答案】【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得：.10．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，若，，則________.【答案】144【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，.三、解答題11．在①，；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題，已知等差數(shù)列滿足________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，以及使得取得最大值時(shí)的值.【詳解】（1）選條件①，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，由解得：，所以，選條件②，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，解得：所以，選條件③，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由即，解得，所以（2）由（1）知，，令，可得，令，可得，所以前項(xiàng)都是正值，從第項(xiàng)起是負(fù)值，故當(dāng)時(shí)，最大..12．設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意得，解得，所以；（2）由（1）得，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.《4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第二課時(shí)）》同步練習(xí)一、選擇題1．為了參加學(xué)校的長(zhǎng)跑比賽，省錫中高二年級(jí)小李同學(xué)制定了一個(gè)為期15天的訓(xùn)練計(jì)劃.已知后一天的跑步距離都是在前一天的基礎(chǔ)上增加相同距離.若小李同學(xué)前三天共跑了米，最后三天共跑了米，則這15天小李同學(xué)總共跑的路程為（）A．米B．米C．米D．米2．世界上最古老的數(shù)學(xué)著作《萊茵德紙草書(shū)》中有一道這樣的題目：把60磅面包分給6個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且較少的三份之和是較多的三份之和的，則最少的一份為（）A．磅B．6磅C．磅D．磅3．已知等差數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A．無(wú)最大值，有最小值B．有最大值，無(wú)最小值C．有最大值，有最小值D．無(wú)最大值，無(wú)最小值4．某中學(xué)的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動(dòng)，共收到捐款1200元.他們第一天只得到10元，之后采取了積極措施，從第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行的天數(shù)為（）A．15天B．16天C．17天D．18天5．（多選題）已知遞減的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A．B．最大C．D．6．（多選題）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則下列各值中可以為的值的是（）A．3B．4C．5D．6二、填空題7．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，當(dāng)_____時(shí)，最大.8．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為與，且，則____．9．我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：如圖，將1，2，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)填入個(gè)方格中，使得每行，每列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，這個(gè)正方形叫做階幻方.記階幻方的對(duì)角線上的數(shù)字之和為，如圖三階幻方的，那么的值為_(kāi)_________.10．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，則的取值范圍是_______三、解答題11．如圖，某報(bào)告廳的座位是這樣排列的：第一排有9個(gè)座位，從第二排起每一排都比前一排多2個(gè)座位，共有10排座位．（1）求第六排的座位數(shù)；（2）某會(huì)議根據(jù)疫情防控的需要，要求：同排的兩個(gè)人至少要間隔一個(gè)座位就坐，且前后排要錯(cuò)位就坐．那么該報(bào)告廳里最多可安排多少人同時(shí)參加會(huì)議？（提示：每一排從左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保證安排的參會(huì)人數(shù)最多）12.新能源汽車(chē)環(huán)保?節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國(guó)的國(guó)情，也代表了世界汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.工業(yè)部表示，到2025年中國(guó)的汽車(chē)總銷(xiāo)量將達(dá)到3500萬(wàn)輛，并希望新能源汽車(chē)至少占總銷(xiāo)量的五分之一.福建某新能源公司年初購(gòu)入一批新能源汽車(chē)充電樁，每臺(tái)12800元，第一年每臺(tái)設(shè)備的維修保養(yǎng)費(fèi)用為1000元，以后每年增加400元，每臺(tái)充電樁每年可給公司收益6400元.（1）每臺(tái)充電樁第幾年開(kāi)始獲利？(參考數(shù)據(jù)：)（2）每臺(tái)充電樁前幾年的年平均利潤(rùn)最大(前年的年平均利潤(rùn)=).《4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第二課時(shí)）》答案解析一、選擇題1．為了參加學(xué)校的長(zhǎng)跑比賽，省錫中高二年級(jí)小李同學(xué)制定了一個(gè)為期15天的訓(xùn)練計(jì)劃.已知后一天的跑步距離都是在前一天的基礎(chǔ)上增加相同距離.若小李同學(xué)前三天共跑了米，最后三天共跑了米，則這15天小李同學(xué)總共跑的路程為（）A．米B．米C．米D．米【答案】B【詳解】根據(jù)題意：小李同學(xué)每天跑步距離為等差數(shù)列，設(shè)為，則，故，，故，則.故選：B.2．世界上最古老的數(shù)學(xué)著作《萊茵德紙草書(shū)》中有一道這樣的題目：把60磅面包分給6個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且較少的三份之和是較多的三份之和的，則最少的一份為（）A．磅B．6磅C．磅D．磅【答案】C【詳解】由題意，設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)為，則，解得，所以，故選：C3．已知等差數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A．無(wú)最大值，有最小值B．有最大值，無(wú)最小值C．有最大值，有最小值D．無(wú)最大值，無(wú)最小值【答案】A【詳解】由數(shù)列為等差數(shù)列，且，得，故數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以有最小值，無(wú)最大值，故選：A.4．某中學(xué)的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動(dòng)，共收到捐款1200元.他們第一天只得到10元，之后采取了積極措施，從第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行的天數(shù)為（）A．15天B．16天C．17天D．18天【答案】A【詳解】設(shè)他們每天收到的捐款形成數(shù)列，則由題可得是首項(xiàng)為10，公差為10的等差數(shù)列，，解得（舍去）或，所以這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行的天數(shù)為15天.故選：A.5．（多選題）已知遞減的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A．B．最大C．D．【答案】ABD【詳解】因?yàn)?，故，所以，因?yàn)榈炔顢?shù)列為遞減數(shù)列，故公差，所以，故AB正確.又，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.6．（多選題）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則下列各值中可以為的值的是（）A．3B．4C．5D．6【答案】CD【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，所以可設(shè)，因?yàn)?，，所以，即，解得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以等號(hào)不能取得，因此，故CD正確，AB錯(cuò).故選：CD.二、填空題7．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，當(dāng)________時(shí)，最大.【答案】6或7【詳解】解：因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，因?yàn)?，所以，所以，它的圖像是開(kāi)口向下的拋物線，其對(duì)稱(chēng)軸為，因?yàn)椋援?dāng)或時(shí)，取得最大值，故答案為：6或78．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為與，且，則______．【答案】【詳解】解：由，設(shè)，，則，，.故答案為：9．我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：如圖，將1，2，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)填入個(gè)方格中，使得每行，每列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，這個(gè)正方形叫做階幻方.記階幻方的對(duì)角線上的數(shù)字之和為，如圖三階幻方的，那么的值為_(kāi)_________.【答案】369【詳解】根據(jù)題意可知，幻方對(duì)角線上的數(shù)成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知對(duì)角上的兩個(gè)數(shù)相加正好等于，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.10．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，則的取值范圍是________【答案】【詳解】由，得即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，則則，即，得到由，可得故答案為：三、解答題11．如圖，某報(bào)告廳的座位是這樣排列的：第一排有9個(gè)座位，從第二排起每一排都比前一排多2個(gè)座位，共有10排座位．（1）求第六排的座位數(shù)；（2）某會(huì)議根據(jù)疫情防控的需要，要求：同排的兩個(gè)人至少要間隔一個(gè)座位就坐，且前后排要錯(cuò)位就坐．那么該報(bào)告廳里最多可安排多少人同時(shí)參加會(huì)議？（提示：每一排從左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保證安排的參會(huì)人數(shù)最多）【詳解】解：（1）依題意，得每排的座位數(shù)會(huì)構(gòu)成等差數(shù)列，其中首項(xiàng)，公差，所以第六排的座位數(shù)．（2）因?yàn)槊颗诺淖粩?shù)是奇數(shù)，為保證同時(shí)參會(huì)的人數(shù)最多，第一排應(yīng)坐5人，第二排應(yīng)坐6人，第三排應(yīng)坐7人，……，這樣，每排就坐的人數(shù)就構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以數(shù)列前10項(xiàng)和．故該報(bào)告廳里最多可安排95人同時(shí)參加會(huì)議．12.新能源汽車(chē)環(huán)保?節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國(guó)的國(guó)情，也代表了世界汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.工業(yè)部表示，到2025年中國(guó)的汽車(chē)總銷(xiāo)量將達(dá)到3500萬(wàn)輛，并希望新能源汽車(chē)至少占總銷(xiāo)量的五分之一.福建某新能源公司年初購(gòu)入一批新能源汽車(chē)充電樁，每臺(tái)12800元，第一年每臺(tái)設(shè)備的維修保養(yǎng)費(fèi)用為1000元，以后每年增加400元，每臺(tái)充電樁每年可給公司收益6400元.（1）每臺(tái)充電樁第幾年開(kāi)始獲利？(參考數(shù)據(jù)：)（2）每臺(tái)充電樁前幾年的年平均利潤(rùn)最大(前年的年平均利潤(rùn)=).【詳解】（1）每臺(tái)充電樁第年總利潤(rùn)為所以每臺(tái)充電樁第3年開(kāi)始獲利（2）每臺(tái)充電樁前年的年平均利潤(rùn)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以每臺(tái)充電樁前8年的年平均利潤(rùn)最大《4.3.1等比數(shù)列的概念（第一課時(shí)）》同步練習(xí)一、選擇題1．以下條件中，能判定數(shù)列是等比數(shù)列的有（）①數(shù)列1，2，6，18，…；②數(shù)列中，已知，；③常數(shù)列，，…，，…；④數(shù)列中，，其中.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．與的等比中項(xiàng)是（）A．1B．C．2D．或13．已知中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A．B．C．D．4．已知公差的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列，若正整數(shù)，滿足，則（）A．B．C．D．或5．（多選題）下列選項(xiàng)中，不是成等比數(shù)列的充要條件是（）．A．（為常數(shù)）B．（為常數(shù)）C．D．6．（多選題）關(guān)于遞增等比數(shù)列，下列說(shuō)法不正確的是（）A．B．C．D．當(dāng)時(shí)，二、填空題7．在等比數(shù)列中，，公比，則.8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，則.9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列中能構(gòu)成等比數(shù)列的三項(xiàng)可以為_(kāi)_______.(只需寫(xiě)出一組)10．已知是1，2的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則等于．三、解答題11．已知正項(xiàng)等比數(shù)列，首項(xiàng)，且成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.12．已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．《4.3.1等比數(shù)列的概念(第一課時(shí))》答案解析一、選擇題1．以下條件中，能判定數(shù)列是等比數(shù)列的有（）①數(shù)列1，2，6，18，…；②數(shù)列中，已知，；③常數(shù)列，，…，，…；④數(shù)列中，，其中.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】A【詳解】①中，數(shù)列不符合等比數(shù)列的定義，故不是等比數(shù)列；②中，前3項(xiàng)是等比數(shù)列，多于3項(xiàng)時(shí)，無(wú)法判定，故不能判定是等比數(shù)列；③中，當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列；④中，數(shù)列符合等比數(shù)列的定義，是等比數(shù)列.故選：A.2．與的等比中項(xiàng)是（）A．1B．C．2D．或1【答案】D【詳解】由題意可設(shè)與的等比中項(xiàng)是，則，解得或.故選：D.3．已知中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】解:因?yàn)橹?，?所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比的等比數(shù)列,設(shè)通項(xiàng)公式為:,所以.故選:C4．已知公差的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列，若正整數(shù)，滿足，則（）A．B．C．D．或【答案】C【詳解】由題知，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，又，則，從而.故選：C．5．（多選題）下列選項(xiàng)中，不是成等比數(shù)列的充要條件是（）．A．（為常數(shù)）B．（為常數(shù)）C．D．【答案】ABD【詳解】解：對(duì)于A.當(dāng)時(shí)，等式成立，此時(shí)不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)于B.當(dāng)時(shí)，等式成立，此時(shí)不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)于C.根據(jù)等比數(shù)列等比中項(xiàng)可以判定此數(shù)列為等比數(shù)列，故正確；對(duì)于D.當(dāng)時(shí)，等式成立，此時(shí)不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；故選：ABD.6．（多選題）關(guān)于遞增等比數(shù)列，下列說(shuō)法不正確的是（）A．B．C．D．當(dāng)時(shí)，【答案】ABC【詳解】由題意，設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故不正確的是ABC.故選：ABC.二、填空題7．在等比數(shù)列中，，公比，則.【答案】【詳解】由題知.8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，則.【答案】【詳解】由韋達(dá)定理可知，，則，，從而，且.9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列中能構(gòu)成等比數(shù)列的三項(xiàng)可以為_(kāi)_______.(只需寫(xiě)出一組)【答案】，，（答案不唯一）【詳解】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列中的項(xiàng)依次為，，，，，，，，，，，，……，顯然，所以，，能構(gòu)成等比數(shù)列.故答案為：，，10．已知是1，2的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則等于．【答案】【詳解】由題意，，，∴．三、解答題11．已知正項(xiàng)等比數(shù)列，首項(xiàng)，且成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意得：，即，即，所以或（舍），所以．12．已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，；（2），，則公比為，.《4.3.1等比數(shù)列的概念（第二課時(shí)）》同步練習(xí)一、選擇題1．已知等比數(shù)列中，，，則公比q=（）A．B．C．D．22．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為，則第六個(gè)單音的頻率為（）A．B．C．D．3．若數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，則數(shù)列是（）A．公差為2的等差數(shù)列B．公差為的等差數(shù)列C．公比為2的等比數(shù)列D．公比為的等比數(shù)列4．在等比數(shù)列中，，，則（）A．B．C．D．5．（多選題）據(jù)美國(guó)學(xué)者詹姆斯·馬丁的測(cè)算，近十年，人類(lèi)知識(shí)總量已達(dá)到每三年翻一番，到2020年甚至要達(dá)到每73天翻一番的空前速度．因此，基礎(chǔ)教育的任務(wù)已不是教會(huì)一切人一切知識(shí)，而是讓一切人學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．已知2000年底，人類(lèi)知識(shí)總量為，假如從2000年底到2009年底是每三年翻一番，從2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天計(jì)算）是每73天翻一番，則下列說(shuō)法正確的是（）．A．2006年底人類(lèi)知識(shí)總量是B．2009年底人類(lèi)知識(shí)總量是C．2019年底人類(lèi)知識(shí)總量是D．2020年底人類(lèi)知識(shí)總量是6．（多選題）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中是正確的命題有（）A．是公比為的等比數(shù)列B．是公比為的等比數(shù)列C．是公比為的等比數(shù)列D．是公比為的等比數(shù)列二、填空題7．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，且，則數(shù)列的公比___________.8．有一改形塔幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為8，如果改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)等于1，那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)是___________.9．在等比數(shù)列中，，，則值為_(kāi)_____．10．已知數(shù)列滿足，.設(shè)，，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.三、解答題11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）證明：是等比數(shù)列．（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．12．諾貝爾獎(jiǎng)每年發(fā)放一次，把獎(jiǎng)金總金額平均分成6份，獎(jiǎng)勵(lì)在6項(xiàng)(物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平)為人類(lèi)做出最有貢獻(xiàn)人．每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息用于增加基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年遞增．資料顯示：1998年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后的基金總額(即1999年的初始基金總額)已達(dá)19516萬(wàn)美元，基金平均年利率為．（1）求1999年每項(xiàng)諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放獎(jiǎng)金為多少萬(wàn)美元(精確到0.01)；（2）設(shè)表示年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后的基金總額，其中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并因此判斷“2020年每項(xiàng)諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放獎(jiǎng)金將高達(dá)193.46萬(wàn)美元”的推測(cè)是否具有可信度．《4.3.1等比數(shù)列的概念(第二課時(shí))》答案解析一、選擇題1．已知等比數(shù)列中，，，則公比q=（）A．B．C．D．2【答案】B【詳解】，即，解得.故選：B.2．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為，則第六個(gè)單音的頻率為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由題意知，十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成等比數(shù)列，公比為，第六個(gè)單音的頻率.故選：B.3．若數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，則數(shù)列是（）A．公差為2的等差數(shù)列B．公差為的等差數(shù)列C．公比為2的等比數(shù)列D．公比為的等比數(shù)列【答案】A【詳解】因?yàn)閿?shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，所以，，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，故選A.4．在等比數(shù)列中，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：．∵在等比數(shù)列中，，所以．故選：B．5．（多選題）據(jù)美國(guó)學(xué)者詹姆斯·馬丁的測(cè)算，近十年，人類(lèi)知識(shí)總量已達(dá)到每三年翻一番，到2020年甚至要達(dá)到每73天翻一番的空前速度．因此，基礎(chǔ)教育的任務(wù)已不是教會(huì)一切人一切知識(shí)，而是讓一切人學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．已知2000年底，人類(lèi)知識(shí)總量為，假如從2000年底到2009年底是每三年翻一番，從2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天計(jì)算）是每73天翻一番，則下列說(shuō)法正確的是（）．A．2006年底人類(lèi)知識(shí)總量是B．2009年底人類(lèi)知識(shí)總量是C．2019年底人類(lèi)知識(shí)總量是D．2020年底人類(lèi)知識(shí)總量是【答案】BCD【詳解】2000年到2006年每三年翻一番，則總共翻了番.2000年底，人類(lèi)知識(shí)總量為a，則2006年底，人類(lèi)知識(shí)總量為，故A錯(cuò).2000年到2009年每三年翻一番，則總共翻了番.則2009年底，人類(lèi)知識(shí)總量為，故B正確，2009年到2009年每一年翻一番，則總共翻了番則2019年底，人類(lèi)知識(shí)總量為，故C正確.2020年是每73天翻一番，則總共翻了番，則2020年底，人類(lèi)知識(shí)總量為，故D正確.故選：BCD.6．（多選題）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中是正確的命題有（）A．是公比為的等比數(shù)列B．是公比為的等比數(shù)列C．是公比為的等比數(shù)列D．是公比為的等比數(shù)列【答案】AB【詳解】由于數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對(duì)任意的，，且公比為.對(duì)于A選項(xiàng)，，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.二、填空題7．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，且，則數(shù)列的公比___________.【答案】2【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，則，所以，而，，所以公比.8．有一改形塔幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為8，如果改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)等于1，那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)是___________.【答案】7【詳解】設(shè)從最底層開(kāi)始的第層的正方體棱長(zhǎng)為，則為以8為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以其通項(xiàng)公式為，令可得，.9．在等比數(shù)列中，，，則值為_(kāi)_________．【答案】6【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，所以．10．已知數(shù)列滿足，.設(shè)，，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【詳解】由可得，數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，所以，則，又因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，所以，所以.三、解答題11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）證明：是等比數(shù)列．（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)．，，又，所以的通項(xiàng)公式為．因?yàn)?，所以是首?xiàng)為9，公比為3的等比數(shù)列．（2）因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前n項(xiàng)和：.12．諾貝爾獎(jiǎng)每年發(fā)放一次，把獎(jiǎng)金總金額平均分成6份，獎(jiǎng)勵(lì)在6項(xiàng)(物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平)為人類(lèi)做出最有貢獻(xiàn)人．每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息用于增加基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年遞增．資料顯示：1998年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后的基金總額(即1999年的初始基金總額)已達(dá)19516萬(wàn)美元，基金平均年利率為．（1）求1999年每項(xiàng)諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放獎(jiǎng)金為多少萬(wàn)美元(精確到0.01)；（2）設(shè)表示年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后的基金總額，其中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并因此判斷“2020年每項(xiàng)諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放獎(jiǎng)金將高達(dá)193.46萬(wàn)美元”的推測(cè)是否具有可信度．【詳解】（1）由題意得1999年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基金總額為萬(wàn)美元，每項(xiàng)諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放獎(jiǎng)金為萬(wàn)美元；（2）由題意得，，…所以，年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基本總額為，年每項(xiàng)諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放獎(jiǎng)金為萬(wàn)美元，故該推測(cè)具有可信度．《4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第一課時(shí)）》同步練習(xí)一、選擇題1．已知數(shù)列滿足，且，則（）A．B．C．D．2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)論著中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四，請(qǐng)問(wèn)底層幾盞燈？意思是：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的底層共有燈（）A．32盞B．64盞C．128盞D．196盞3．等比數(shù)列1，，，，…的前項(xiàng)和（）A．B．C．D．4．記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A．2B．－21C．32D．635．（多選題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，則（）A．B．C．D．6．（多選題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，，則二、填空題7．對(duì)于數(shù)列，若點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的前4項(xiàng)和___________.8．在等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________.9．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，那么數(shù)列的前15項(xiàng)和為_(kāi)________.10．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，，則_________．三、解答題11．已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.12．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．《4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(第一課時(shí))》答案解析一、選擇題1．已知數(shù)列滿足，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由可得數(shù)列為等比數(shù)列，所以，故選：A2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)論著中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四，請(qǐng)問(wèn)底層幾盞燈？意思是：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的底層共有燈（）A．32盞B．64盞C．128盞D．196盞【答案】C【詳解】設(shè)最底層的燈數(shù)為，公比，，解得：.3．等比數(shù)列1，，，，…的前項(xiàng)和（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，.∴，故選：C4．記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A．2B．－21C．32D．63【答案】D【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，即，解得，所?故選：D.5．（多選題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，則（）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】由，，成等差數(shù)列，得.設(shè)的公比為，則，解得或（舍去），所以，解得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，故選：AC.6．（多選題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，，則【答案】BC【詳解】若，當(dāng)時(shí)，，不滿足，故A錯(cuò)誤.若，則，滿足，所以是等比數(shù)列，故B正確.若是等差數(shù)列，則，故C正確.，故D錯(cuò)誤.故選：BC二、填空題7．對(duì)于數(shù)列，若點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的前4項(xiàng)和___________.【答案】30【詳解】由題設(shè)可得，故，故為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公比為2，故.8．在等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________.【答案】6【詳解】設(shè)的公比為q，則．9．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，那么數(shù)列的前15項(xiàng)和為_(kāi)________.【答案】120【詳解】因?yàn)槿?，則，不成立，所以，則，解得，所以，所以，所以數(shù)列的前15項(xiàng)和為.10．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，，則_________．【答案】155【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，，是等比數(shù)列，由條件可知，，則此等比數(shù)列的公比，又，所以，，所以.三、解答題11．已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以，解得，所以；?）由（1）可得，，即數(shù)列為等比數(shù)列，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.12．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，兩式相減得：，所以，即，又，，則不滿足上式，所以數(shù)列是從第2項(xiàng)開(kāi)始，以3為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（Ⅰ）可得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上：《4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第二課時(shí)）》同步練習(xí)一、選擇題1．如圖，已知面積為4，連接三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類(lèi)推，第2020個(gè)三角形面積為（）A．B．C．D．2．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)R0是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).初始感染者傳染R0個(gè)人，為第一輪傳染，這R0個(gè)人中每人再傳染R0個(gè)人，為第二輪傳染，…….R0一般由疾病的感染周期?感染者與其他人的接觸頻率?每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定.假設(shè)新冠肺炎的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，設(shè)某一輪新增加的感染人數(shù)為M，則當(dāng)M>1000時(shí)需要的天數(shù)至少為（）參考數(shù)據(jù)：lg38≈1.58A．34B．35C．36D．373．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前5項(xiàng)和等于（）A．B．C．D．4．某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建五個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi).設(shè)備費(fèi)從第一到第五實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第三實(shí)驗(yàn)室比第一實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高9萬(wàn)元，第五實(shí)驗(yàn)室比第三實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高36萬(wàn)元.則該研究所改建這五個(gè)實(shí)驗(yàn)室投人的設(shè)備費(fèi)用為（）A．93萬(wàn)元B．45萬(wàn)元C．189萬(wàn)元D．96萬(wàn)元5．（多選題）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān)”．則下列說(shuō)法正確的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的還多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍6．（多選題）計(jì)算機(jī)病毒危害很大，一直是計(jì)算機(jī)學(xué)家研究的對(duì)象.當(dāng)計(jì)算機(jī)內(nèi)某文件被病毒感染后，該病毒文件就不斷地感染其他未被感染文件.計(jì)算機(jī)學(xué)家們研究的一個(gè)數(shù)字為計(jì)算機(jī)病毒傳染指數(shù)即一個(gè)病毒文件在一分鐘內(nèi)平均所傳染的文件數(shù)，某計(jì)算機(jī)病毒的傳染指數(shù)若一臺(tái)計(jì)算機(jī)有個(gè)可能被感染的文件，如果該臺(tái)計(jì)算機(jī)有一半以上文件被感染，則該計(jì)算機(jī)將處于癱疾狀態(tài).該計(jì)算機(jī)現(xiàn)只有一個(gè)病毒文件，如果未經(jīng)防毒和殺毒處理，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．在第3分鐘內(nèi)，該計(jì)算機(jī)新感染了18個(gè)文件B．經(jīng)過(guò)5分鐘，該計(jì)算機(jī)共有243個(gè)病毒文件C．10分鐘后，該計(jì)算機(jī)處于癱瘓狀態(tài)D．該計(jì)算機(jī)癱瘓前，每分鐘內(nèi)新被感染的文件數(shù)成公比為2的等比數(shù)列二、填空題7．某同學(xué)讓一彈性球從128米高處下落，每次著地后又跳回原來(lái)高度的一半再落下，則第8次著地時(shí)球所運(yùn)動(dòng)的路程的和為_(kāi)_______m.8．《萊茵德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書(shū)中有這樣一道題目：把個(gè)面包分給個(gè)人，使每個(gè)人所得面包個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最小的一份為_(kāi)_______.9．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___10．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為，，公比為正數(shù)，且，，則使成立的n的最大值為（）三、解答題11．有一個(gè)細(xì)胞集團(tuán)最初有細(xì)胞10個(gè)，每小時(shí)內(nèi)先消亡3個(gè)，余下的每個(gè)再分裂成2個(gè)，設(shè)小時(shí)后細(xì)胞個(gè)數(shù)為.（1）求出、，并寫(xiě)出與的遞推公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，問(wèn)：至少多少小時(shí)后細(xì)胞個(gè)數(shù)超過(guò)10000個(gè)？12．某工廠2019年初有資金1000萬(wàn)元，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到20％，但每年年底要扣除萬(wàn)元用于獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀職工，剩余資金投入再生產(chǎn)．（1）以第2019年為第一年，設(shè)第年初有資金萬(wàn)元，用和表示，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）為實(shí)現(xiàn)2029年初資金翻再現(xiàn)兩番的目標(biāo)，求的最大值（精確到萬(wàn)元）．（參考數(shù)據(jù)：，，）《4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(第二課時(shí))》答案解析一、選擇題1．如圖，已知面積為4，連接三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類(lèi)推，第2020個(gè)三角形面積為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】觀察圖形可知后一個(gè)三角形的面積是前一個(gè)的，設(shè)第n個(gè)三角形的面積為，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，第2020個(gè)三角形面積為.故選：B.2．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)R0是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).初始感染者傳染R0個(gè)人，為第一輪傳染，這R0個(gè)人中每人再傳染R0個(gè)人，為第二輪傳染，…….R0一般由疾病的感染周期?感染者與其他人的接觸頻率?每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定.假設(shè)新冠肺炎的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，設(shè)某一輪新增加的感染人數(shù)為M，則當(dāng)M>1000時(shí)需要的天數(shù)至少為（）參考數(shù)據(jù)：lg38≈1.58A．34B．35C．36D．37【答案】D【詳解】設(shè)第輪感染人數(shù)為，則數(shù)列為等比數(shù)列，其中，公比為，所以，解得，而每輪感染周期為7天，所以需要的天數(shù)至少為．3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前5項(xiàng)和等于（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以則數(shù)列的前5項(xiàng)和.4．某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建五個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi).設(shè)備費(fèi)從第一到第五實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第三實(shí)驗(yàn)室比第一實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高9萬(wàn)元，第五實(shí)驗(yàn)室比第三實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用高36萬(wàn)元.則該研究所改建這五個(gè)實(shí)驗(yàn)室投人的設(shè)備費(fèi)用為（）A．93萬(wàn)元B．45萬(wàn)元C．189萬(wàn)元D．96萬(wàn)元【答案】A【詳解】設(shè)第一到第五實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)用分別為；則由題意成等比數(shù)列，設(shè)公比為，且，；，解得或（舍）；由得.所以.5．（多選題）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān)”．則下列說(shuō)法正確的是（）A．此人第六天只走了5里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C．此人第二天走的路程比全程的還多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】BCD【詳解】解：根據(jù)題意此人每天行走的路程成等比數(shù)列，設(shè)此人第天走里路，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以，解得．選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B：由，則，又，故B正確．選項(xiàng)C：，而，，故C正確．選項(xiàng)D：，則后3天走的路程為，而且，D正確．故選：BCD．6．（多選題）計(jì)算機(jī)病毒危害很大，一直是計(jì)算機(jī)學(xué)家研究的對(duì)象.當(dāng)計(jì)算機(jī)內(nèi)某文件被病毒感染后，該病毒文件就不斷地感染其他未被感染文件.計(jì)算機(jī)學(xué)家們研究的一個(gè)數(shù)字為計(jì)算機(jī)病毒傳染指數(shù)即一個(gè)病毒文件在一分鐘內(nèi)平均所傳染的文件數(shù)，某計(jì)算機(jī)病毒的傳染指數(shù)若一臺(tái)計(jì)算機(jī)有個(gè)可能被感染的文件，如果該臺(tái)計(jì)算機(jī)有一半以上文件被感染，則該計(jì)算機(jī)將處于癱疾狀態(tài).該計(jì)算機(jī)現(xiàn)只有一個(gè)病毒文件，如果未經(jīng)防毒和殺毒處理，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．在第3分鐘內(nèi)，該計(jì)算機(jī)新感染了18個(gè)文件B．經(jīng)過(guò)5分鐘，該計(jì)算機(jī)共有243個(gè)病毒文件C．10分鐘后，該計(jì)算機(jī)處于癱瘓狀態(tài)D．該計(jì)算機(jī)癱瘓前，每分鐘內(nèi)新被感染的文件數(shù)成公比為2的等比數(shù)列【答案】ABC【詳解】設(shè)第分鐘之內(nèi)新感染的文件數(shù)為，前分鐘內(nèi)新感染的病毒文件數(shù)之和為，則，且，由可得，兩式相減得：，所以，所以每分鐘內(nèi)新感染的病毒構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，在第3分鐘內(nèi)，該計(jì)算機(jī)新感染了個(gè)文件，故選項(xiàng)A正確；經(jīng)過(guò)5分鐘，該計(jì)算機(jī)共有個(gè)病毒文件，故選項(xiàng)B正確；10分鐘后，計(jì)算機(jī)感染病毒的總數(shù)為，所以計(jì)算機(jī)處于癱瘓狀態(tài)，故選項(xiàng)C正確；該計(jì)算機(jī)癱瘓前，每分鐘內(nèi)新被感染的文件數(shù)成公比為3的等比數(shù)列，故選項(xiàng)D不正確；故選：ABC二、填空題7．某同學(xué)讓一彈性球從128米高處下落，每次著地后又跳回原來(lái)高度的一半再落下，則第8次著地時(shí)球所運(yùn)動(dòng)的路程的和為_(kāi)_______m.【答案】382【詳解】記第次落地到第次落地之間球運(yùn)動(dòng)的路程為，則是首項(xiàng)米，公比為的等比數(shù)列，所以第8次著地時(shí)球所運(yùn)動(dòng)的路程的和為米.8．《萊茵德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書(shū)中有這樣一道題目：把個(gè)面包分給個(gè)人，使每個(gè)人所得面包個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最小的一份為_(kāi)_______.【答案】3【詳解】設(shè)等比數(shù)列為，其公比為，由題意知，，可得，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），?dāng)時(shí)，可得，解得.9．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，并且數(shù)列是等比數(shù)列，所以，，，當(dāng)時(shí)，，解得.10．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為，，公比為正數(shù)，且，，則使成立的n的最大值為（）【答案】12【詳解】解：因?yàn)?，，公比為正?shù)顯然不為1，所以，解得，，所以，則，要使，則，解得，故n的最大值為12.三、解答題11．有一個(gè)細(xì)胞集團(tuán)最初有細(xì)胞10個(gè)，每小時(shí)內(nèi)先消亡3個(gè)，余下的每個(gè)再分裂成2個(gè)，設(shè)小時(shí)后細(xì)胞個(gè)數(shù)為.（1）求出、，并寫(xiě)出與的遞推公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，問(wèn)：至少多少小時(shí)后細(xì)胞個(gè)數(shù)超過(guò)10000個(gè)？【詳解】（1）由題意，，；（2）由（1），所以，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，，由，由于，所以，，所以至少12個(gè)小時(shí)后細(xì)胞個(gè)數(shù)超過(guò)10000個(gè)．12．某工廠2019年初有資金1000萬(wàn)元，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到20％，但每年年底要扣除萬(wàn)元用于獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀職工，剩余資金投入再生產(chǎn)．（1）以第2019年為第一年，設(shè)第年初有資金萬(wàn)元，用和表示，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）為實(shí)現(xiàn)2029年初資金翻再現(xiàn)兩番的目標(biāo)，求的最大值（精確到萬(wàn)元）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【詳解】（1）依題意，，整理得：，，又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，∴2029年初資金翻再現(xiàn)兩番∴，解得，所以的最大值是84．《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步練習(xí)一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是（）A．B．C．D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式（n∈N*）的過(guò)程中，第二步假設(shè)n=k時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)得到（）A．B．C．D．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（）A．第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立B．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是C．從“到”左邊需要增加項(xiàng)D．以上說(shuō)法都不對(duì)