福建省永安市三中2023學(xué)年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.為比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)(指標(biāo)值滿分為5分，分

值高者為優(yōu))，根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述正確的是()

敗學(xué)的象

數(shù)據(jù)分析適輯推理

”…甲

一乙

數(shù)學(xué)運(yùn)算業(yè)學(xué)建模

直觀忠象

A.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲

B.乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙

D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差

2.將一張邊長(zhǎng)為12的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)

有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()

3.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為尸直線＞=》-1與其相交于M,N兩點(diǎn)，若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

2

為一至，則此雙曲線的方程是

X2y2

T~~5

4.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物

不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)

的問題：將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,

則該數(shù)列各項(xiàng)之和為（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

5.已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車一次（假定費(fèi)用只可能為1、2、3元）.甲、乙租車費(fèi)用為1元的概率

分別是0.5、0.2,甲、乙租車費(fèi)用為2元的概率分別是0.2、0.4,則甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為（）

A.0.18B,0.3C,0.24D,0.36

1

6.下列與函數(shù)y=*定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（）

一D1

A.y=2iog2AB.c.y=logy=X4

2X

7.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費(fèi)馬

大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”產(chǎn)角谷猜想”的內(nèi)容是：對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果

它是奇數(shù)，則將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2；如此循環(huán)，最終都能夠得到1.下圖為研究“角谷猜想”

的一個(gè)程序框圖.若輸入〃的值為10,則輸出i的值為（）

/輸入正壑?jǐn)?shù)”/

A.5B.6C.7D.8

1,x>0

8.已知符號(hào)函數(shù)x=°/(x)是定義在K上的減函數(shù)，g(x)=/(x)-f(ax)(a>l),則()

一1,x<0

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

9.已知"InWMogyc-logj,則下列關(guān)系正確的是()

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

設(shè)等比數(shù)列｛。｝的前項(xiàng)和為S,若8a+aS

10.=0,則'的值為()

nn20192016

3

3179

B2C8D.

28

H.根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的工值為3時(shí)，輸出的y值等于()

I結(jié)束］

A.1B.?D.e-2

12.下列不等式成立的是()

i

sinl>cosl,1,1

A.B.hC.叫小叫]D.

22

23

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖，若四棱錐P-ABC。為

陽馬，側(cè)棱P4_L底面ABCD,且%=3,BC^AB=4,設(shè)該陽馬的外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為「，則

R_

r.

14.如圖是某幾何體的三視圖，俯視圖中圓的兩條半徑長(zhǎng)為2且互相垂直，則該幾何體的體積為.

正（主俄圖例佐）WCB

ffiWE

15.春天即將來臨，某學(xué)校開展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng).已知某種盆栽植物每株成

活的概率為P，各株是否成活相互獨(dú)立.該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株，設(shè)X為其中成活的株數(shù)，若X

的方差DX=2.1,P（X=3）<P（X=7）,則。=.

16.一個(gè)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從中任意摸取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性相等，

則取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率是

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，四棱錐P-ABC。中，四邊形43CD是矩形，AB=^-AD,△PAD為正三角形，且平面P4D_L

2

平面458,E、F分別為PC、心的中點(diǎn).

（1）證明：平面ADEF，平面P8C；

（2）求二面角B—DE-C的余弦值.

18.（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,點(diǎn)、E,F分別是線段DC,BC的中點(diǎn)，分別將XDAE沿AE

折起，△CEF沿EF折起，使得2c重合于點(diǎn)G,連結(jié)AF.

DECG

（I）求證：平面GM_L平面G4E；

（ID求直線GF與平面GAE所成角的正弦值.

19.（12分）已知橢圓C:5+），2=l的右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P在丁軸上，線段AP與橢圓。的交點(diǎn)B在第一象限，過點(diǎn)B

的直線/與橢圓。相切，且直線/交x軸于M.設(shè)過點(diǎn)A且平行于直線I的直線交V軸于點(diǎn)。.

（I）當(dāng)8為線段AP的中點(diǎn)時(shí)，求直線A8的方程；

（1［）記ABPQ的面積為S,\OMB的面積為S,求S+S的最小值.

1212

20.（12分）設(shè)橢圓C:券+齊=1的右焦點(diǎn)為尸，過尸的直線/與。交于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,0）.

（1）當(dāng)直線/的傾斜角為45。時(shí)，求線段45的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于％軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,求證：M,B,C三點(diǎn)共線；

（3）設(shè)過點(diǎn)M的直線交橢圓于G,H兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P,使得0匕+0笈=九0戶（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)

入的取值范圍.

21.（12分）已知拋物線C：>2=2px（p>0）,直線y=x-l與。交于A,8兩點(diǎn)，且

（1）求。的值；

（2）如圖，過原點(diǎn)。的直線/與拋物線。交于點(diǎn)M,與直線x=-1交于點(diǎn)H,過點(diǎn)〃作丁軸的垂線交拋物線，于

點(diǎn)N,證明：直線MN過定點(diǎn).

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知￡：心+丁2-2丁=0,

C：?+y=6,C：=>0）.

（1）求q與c,的極坐標(biāo)方程

⑵若q與Q交于點(diǎn)A,與Q交于點(diǎn)5,|。臼=九|04，求入的最大值.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【答案解析】

根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項(xiàng).

【題目詳解】

根據(jù)雷達(dá)圖得到如下數(shù)據(jù)：

數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析

甲454545

乙343354

由數(shù)據(jù)可知選C.

【答案點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).

2、B

【答案解析】

設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為〃，則〃=/a,故由題設(shè)可得1a+a-12x2^=>a-4->/2J所以

222

四棱錐的體積丫=；(4/)2乂44/=粵￡巾，應(yīng)選答案B.

3、D

【答案解析】

25

根據(jù)點(diǎn)差法得一==，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得。2+柩=7,解方程組得。2=2,6=5,即得結(jié)果.

42b2

【題目詳解】

Y2竺=1(。>0,6>0),由題意可得以+6=7,設(shè)〃G,y),N(x,y),則MN的中點(diǎn)為

設(shè)雙曲線的方程為一一

成。21122

51X2V2-X2V21za(x+x)G-X)(y+y)(y-y)2x(-)2x(-)

Q,由且4一%=1,得^_2_I_2_=_I——_I——2_,3_3

5)Q2Z?2Q2h2。2/?2---------------------；------

Q2Z?2

25%2V2

即獲=而，聯(lián)立—，解得〃”2,拉=5,故所求雙曲線的方程為rbL故選D.

【答案點(diǎn)睛】

本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.

4、C

【答案解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，可得結(jié)果.

【題目詳解】

被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,

公差為5x7=35的等差數(shù)列，記數(shù)列L)

n

則。=23+35(n—1)=35/?—12

n

2

令〃=35〃—1242020,解得幾458—.

〃35

58x57

故該數(shù)列各項(xiàng)之和為58x23+2x35=59189.

故選：C.

【答案點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。

5、B

【答案解析】

甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.

【題目詳解】

由題意甲、乙租車費(fèi)用為3元的概率分別是03,04,

???甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為

P=0.5x0.2+0.2x0.4+0.3x0.4=0.3.

故選:B.

【答案點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性事件的概率.掌握獨(dú)立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ).

6、C

【答案解析】

1

分析函數(shù)、=了的定義域和單調(diào)性，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項(xiàng).

【題目詳解】

函數(shù)y=二的定義域?yàn)椋ā悖?8）,在（（）,口）上為減函數(shù).

yjX

A選項(xiàng)，y=2i%x的定義域?yàn)椋ǎǎ?”），在（0,鐘）上為增函數(shù)，不符合.

r1V

B選項(xiàng)，y=logI_的定義域?yàn)镽,不符合.

2

c選項(xiàng)，y=log1的定義域?yàn)椋?,沖），在（0,討）上為減函數(shù)，符合.

2X

D選項(xiàng)，）,=工：的定義域?yàn)椋邸悖保?，不符?

故選：C

【答案點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【答案解析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結(jié)果.

【題目詳解】

輸入〃=10,〃=1不成立，"是偶數(shù)成立，則〃=號(hào)=5,i=0+l=l；

〃=1不成立，〃是偶數(shù)不成立，則“=3x5+1=16,i=l+l=2；

〃=1不成立，”是偶數(shù)成立，則〃=2=8,'=2+1=3；

8

〃=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則"=2=4,j=3+l=4；

4

〃=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=2=2,i=4+l=5；

2

〃=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=2=1,i=5+l=6；

〃=1成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為6.

故選：B.

【答案點(diǎn)睛】

本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【答案解析】

根據(jù)符號(hào)函數(shù)的解析式，結(jié)合/(x)的單調(diào)性分析即可得解.

【題目詳解】

根據(jù)題意，g(x)=f(x)-f(ax),而/(x)是R上的減函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，x<ax,則有/(x)>/(ax),則g(x)—f(x)-f(ar)>0,此時(shí)sg"[g(x)]=1,

當(dāng)x=0時(shí)，x=ax,則有/(x)=/(ax),則g(x)=/(x)-f(ax)=0,此時(shí)sg〃匡(x)]=0,

當(dāng)x<0時(shí)，x>ax,則有f(x)<f(ax),貝ijg(x)=f(x)-f(ax')<0,此時(shí)sg〃[g(x)]=-1,

綜合有：sg”[g(x)]=sgn(x)；

故選：A.

【答案點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)新定義問題，涉及函數(shù)單調(diào)性辨析，關(guān)鍵在于讀懂定義，根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.

9、A

【答案解析】

首先判斷a/，c和1的大小關(guān)系，再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)y=Inx的單調(diào)性判斷6,c的大小即可.

【題目詳解】

因?yàn)閍=ln3>Ine>1,b=loge--~~—,c=loge=----,1<ln3<In,所以c<b<l,綜上可得c<b<a.

3In3"InK

故選：A

【答案點(diǎn)睛】

本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【答案解析】

求得等比數(shù)列｛*｝的公比，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得｝的值.

3

【題目詳解】

設(shè)等比數(shù)歹U｛。｝的公比為4,v8aa11

「+〃=0,=-2ow-=-:.q=--

20192016a82

2016

S1—伏，7

因止匕，-^=------=1+^3=-.

S1-^38

3

故選：c.

【答案點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【答案解析】

根據(jù)程序圖，當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)X的計(jì)算，可得y值.

【題目詳解】

由題x=3,x=x-2=3-l,此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行,x=l-2=-l<0,程序運(yùn)行結(jié)束，得y=6-1,故選C.

【答案點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題.

12、D

【答案解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【題目詳解】

c1兀.11

對(duì)于A,?.?0<k<-r，‘sinK<coSk，A錯(cuò)誤；

2422

對(duì)于3,在R上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,vlogl=log3>1,logl=log2<1..-.log1>log1。錯(cuò)誤；

3/，乙J

2323

對(duì)于O,...ynx；在R上單調(diào)遞增，.?.（；）>（；），O正確.

故選：D.

【答案點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題；關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的

單調(diào)性.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、叵

2

【答案解析】

該陽馬補(bǔ)形所得到的長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球的直徑，由此能求出R=與，內(nèi)切球Q在側(cè)面24。內(nèi)的正視圖是

R

的內(nèi)切圓，從而內(nèi)切球半徑為r=1，由此能求出：.

【題目詳解】

???四棱錐P-ABCD為陽馬，側(cè)棱PA，底面ABCD,

且小=3,BC=AB=4,設(shè)該陽馬的外接球半徑為R,

該陽馬補(bǔ)形所得到的長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球的直徑，

（2R>=AB2+A02+AP2=16+16+9=41,

5呼

?.?側(cè)棱PA,底面ABCD,且底面為正方形,

???內(nèi)切球?在側(cè)面Q4。內(nèi)的正視圖是△以￡>的內(nèi)切圓,

,內(nèi)切球半徑為「=7皿=1,

/SPAD

【答案點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問題，補(bǔ)形法的運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)文化，考查了空間想象能力，是中檔題.解

決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵是能夠確定球心位置，以及選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有

很多，主要有兩種：（1）補(bǔ)形法（構(gòu)造法），通過補(bǔ)形為長(zhǎng)方體（正方體），球心位置即為體對(duì)角線的中點(diǎn)；（2）外心

垂線法，先找出幾何體中不共線三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外心，再找出過外心且與不共線三點(diǎn)確定的平面垂直的垂線，則

球心一定在垂線上.

14、2071

【答案解析】

由三視圖知該幾何體是一個(gè)圓柱與一個(gè)半球的四分之三的組合，利用球體體積公式、圓柱體積公式計(jì)算即可.

【題目詳解】

由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)半徑為2的半球的四分之三和一個(gè)底面半徑2、高為4的圓

34

柱組合而成，其體積為兀X22X4+X兀x23=2071.

OJ

故答案為：20兀.

【答案點(diǎn)睛】

本題考查三視圖以及幾何體體積，考查學(xué)生空間想象能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.

15、0.7

【答案解析】

/\10p(l-p)=2.1

由題意可知：X~BU0,〃，且%儀=3)<P(X=7)'從而可得「值.

【題目詳解】

由題意可知：X~B(10,p)

10p(l-p)=2.1[100/72-100p+21=0

??「P(X=3)<P(X=7>即jp>0.5'

：.P=0.7

故答案為：。.7

【答案點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

3

16、W

【答案解析】

由題，得滿足題目要求的情況有，①有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選和②有兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字

從1,2,3里面選，由此即可得到本題答案.

【題目詳解】

滿足題目要求的情況可以分成2大類：①有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選，一共有。種情況；②有

26

兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選，一共有種情況，又從中任意摸取3個(gè)小球，有。3種情況，所以

2610

八CQ+C2cl3

取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率P=2626=—.

。310

故答案為:

【答案點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型與組合的綜合問題，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析；(2)正

4

【答案解析】

(1)取AO中點(diǎn)。，BC中點(diǎn)H,連接P。，OH,設(shè)￡尸交尸”于G,則G為尸”的中點(diǎn)，連接OG.

通過證明OGLPH,OGLEF,證得OG，平面PBC,由此證得平面ADEFI平面PBC.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面OEC和平面8OE的法向量，計(jì)算出二面角6-OE-C的余弦值.

【題目詳解】

(1)取AD中點(diǎn)。，BC中點(diǎn)H,連接尸。，OH,PH.

設(shè)EF交PH于G,則G為PH的中點(diǎn)，連接OG.

設(shè)AD=2,則A5=VT,PO=j3,：.OG±PH.

由已知40_LP。，.?.?!￡>_L平面.?./!￡>JLOG.

■：EF//LBC//-AD,：.EFLOG,

=2=2

EFnPH-G,：.OG_L平面PBC,

'：OGu平面ADEF，二平面ADEF1平面PBC.

一盯Z,設(shè)4)=2,則PQ,0,J5),

(2)由(1)及已知可得PO_L平面ABC。，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系。

C\/3,l,0)D(0,l,0),B(/3,-1,0)E4，麻=［乎,一白加=6,0,0),8力=1/2,0),

y/3X=0

w得后=Q,/i).

設(shè)平面DEC的法向量為質(zhì)=(x,y,z),1，令y=

X—五一一y+±-z=0

222

一/\立x-Ly+^-z=0

%=2得八=(,0,-1),

設(shè)平面8￡應(yīng)的法向量為〃=lx,y,z2。2。2。，令

000

-J3x+2y=0

l00

：.cos/m,n\=—」==4，.?.二面角B—OE—C的余弦值為旦.

\!2x27244

B

【答案點(diǎn)睛】

本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

4

18、(I)詳見解析；(II)」一

9

【答案解析】

(I)根據(jù)GE，G4,GE1GF,可得GE1平面G4/7,故而平面GE尸±平面G4/7.

(II)過尸作出/，AG于，，則可證FH1平面GAE,故NFGH為所求角，在MGF中利用余弦定理計(jì)算

cosZFGH,再計(jì)算sinZFGH.

【題目詳解】

解：(1)因?yàn)?七_(dá)164,GEIGF,GEQGF=G,GEu平面G4F,GF<zGAF

所以GE_L平面G4E,

又GEu平面GEF,

所以平面GEF±平面GAF.

(H)過尸作人"LAG于"，則由GE,平面G477,且FHu平面GAF知

GEVFH,所以FH_L平面GAE,從而ZFGH是直線GF與平面GAE所成角.

3

因?yàn)锳G=3,FG=-,AF=

2

973

9+_--

GA2+GF2-AF^7

所以cosNAGF=44

-2-GAGF-9

從而sinZFGH=sinNAGF=y/l-cos2ZAGF=整.

G

H

【答案點(diǎn)睛】

本題考查了面面垂直的判定，考查直線與平面所成角的計(jì)算，屬于中檔題.

19、（I）直線48的方程為y（II）72

【答案解析】

（1）設(shè)點(diǎn)「（0，%）（%>0），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)5,并代入橢圓方程解得七，從而求出直線AB的方程；（2）

設(shè)直線/的方程為：y=kx+m（k<0,m^0）,表示點(diǎn)M

,0，然后聯(lián)立方程，利用相切得出“2=2公+1,然

后求出切點(diǎn)B,再設(shè)出設(shè)直線A。的方程，求出點(diǎn)。利用48兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方

程，從而求出尸荷）最后利用以上已求點(diǎn)的坐標(biāo)表示面積，根據(jù)基本不等式求最值即可.

【題目詳解】

解：（1）由橢圓C:上+產(chǎn)=1,可得：A

2'

由題意：設(shè)，成（0，4電>0）,當(dāng)5為孫的中點(diǎn)時(shí)，可得「「乎

一所以：B

代入橢圓方程，可得:

所以勺5=方—匚半.故直線A8的方程為y

（II）由題意，直線/的斜率存在且不為0,

故設(shè)直線/的方程為：y=kx+m（k<0,m^0）

—YYI

令y=o,得：x=—所以:

k

y=kx-vm，消丁，整理得：Q左2+1）尢2+4Z7HX+2m2—2=°

聯(lián)立：＜

X2+2y2—2=0

（2h+1）嬴-2）=

因?yàn)橹本€/與橢圓相切，所以△=16%2m2—40.

即m2=2k2+1.

八/、-2km—2k,m1

設(shè)則無——-=——y=kx+m=———-=—

11、12%2+lmi12k2+1m

所以8

7

又直線A。//直線/,所以設(shè)直線A。的方程為:

令x=0,得y=一回,所以:

1

因?yàn)?=￡*=—2k—3m，

m

所以直線A3的方程為:

1‘所以：小'京J

令x=°,得、=歷7

所以闋=1—+碼訓(xùn).

11一2“

又因?yàn)閟「爹|P0同=2網(wǎng)向=15

S=M==

22PW2Vm2fq-

所以工+?=|勺+、對(duì)（當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)=而，即&=-咚時(shí)等號(hào)成立）

所以（S+S）=JT.

12min

【答案點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程以及求橢圓中的最值問題，最值問題一般是把目標(biāo)式求出，結(jié)

合目標(biāo)式特點(diǎn)選用合適的方法求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，本題利用了基本不等式求最小值的方法，運(yùn)算量

較大，屬于難題.

2

20、（1）45的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為可；（2）證明見解析；（3）（-2,2）

【答案解析】

設(shè)),8(x,y).

II22

y=x-\

（1）因?yàn)橹本€/的傾斜角為45。，/（1,0）,所以直線A8的方程為＞=x-l,聯(lián)立方程組■

X2，消去y并整理,

y+r=1

4x+x2

得3x2—4x=0,則X+X=-,T-■4=一，

12323

2

故線段A5的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-.

（2）根據(jù)題意得點(diǎn)C（7）,

若直線AB的斜率為0,則直線AB的方程為y=0,A、C兩點(diǎn)重合，顯然/，B,C三點(diǎn)共線;

若直線A5的斜率不為0,設(shè)直線A5的方程為

x=my+1

聯(lián)立方程組1X2,消去X并整理得(加2+2)y2+2加y-l=0,

——+V2=1

12

2m1

則）;+力=一嬴n'）？2=一加1，設(shè)直線的曲的斜率分別為&iJ

則

—)]_-2)+);(x,-2)=y,(嗎_1)+);(”7)2，%)；-();+)；)

k-k

BMCM2-x2-x(x「2)(x「2)（嗎-IX嗎-1）l-m(y4-y)+機(jī)2yy

I2I2

-2m2m

+

團(tuán)2+2"22+2

=0,即&=k,即"，B,C三點(diǎn)共線.

(2/%2m2BMCM

1+-------------

m2+27712+2

（3）根據(jù)題意，得直線G4的斜率存在,設(shè)該直線的方程為y=k（x-2）,

設(shè)叫'八）'叱山,"巴'匕）,

y=k(x-2)

聯(lián)立方程組X2?,消去y并整理,得(1+2攵2)X2—822工+842-2=0,

12

由A=6424-*1+2攵2)(8%2-2)>0,整理得左2<一,又%+%=-—x-—~-

2341+2攵2341+2%2

4人

所以々+/4=仆+廠4）=-同

結(jié)合0G+0//=入。P,得入x=x,+x,Ny=v+y,

034034

當(dāng)九=0時(shí)，該直線為X軸，即y=o,

此時(shí)橢圓上任意一點(diǎn)尸都滿足0。+0方=九0戶，此時(shí)符合題意：

18k2

X——--------

當(dāng)九工0時(shí)，由Od+由=入。戶，得。C"于2,代入橢圓c的方程，得—/1+⑹；],整理，

1-4k入2（1+222）2人2（1+2公）2

V---------

I0X1+2左2

）162216

得l+2k21+2，

女2

再結(jié)合上<；,得到O<X2<4，即入e（-2,0）U（0,2）,

綜上，得到實(shí)數(shù)入的取值范圍是（-2,2）.

21、（1）P=2；（2）見解析

【答案解析】

（1）聯(lián)立直線和拋物線（，，消去x可得尸-2。），-2P=0,求出>+y,=2p,yy=-2p,再代入弦長(zhǎng)

y=x-11212

公式計(jì)算即可.

144

（2）由（1）可得y2=4x,設(shè)“（4%，％），計(jì)算直線OM的方程為^=下》，代入x=T求出匕=一一，即可

4