2019考研高數(shù)模擬題目(含解析)

2019最新考研數(shù)學(xué)模擬試題(含答案)

學(xué)校：姓名:班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)—總分

得分

一、解答題

1.求不定積分，max(l,|九|)dx.

—X,X<—1

解：max(l,|x|)=<1,-1<x<1

x,x>1

12

一寸+q,x<-l

故原式=《

x+c2,

12,

x

2+，3'X>1

又由函數(shù)的連續(xù)性，可知:

1,

c2=—+C],c3=1+G,C]=c

12

---A+C,XV—1

2

1

所以Jmax(l,"|)dr=<X+—+C,

2

12,

—X+1+c,x>1

12

2.證明下列曲線積分與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值：

⑴￡：：；(*-田(必-W；

⑵J：，(6到2-力如+(6尤2y-3孫2)dy；

⑶『2)里二辿沿在右半平面的路徑；

(4)f6閭牛+濁沿不通過原點(diǎn)的路徑；

證：(l)P=A-y,Q=y-X.顯然P,。在xOy面內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且變=些=-1,

故積分與

dydx

路徑無關(guān).取L為從(0,0)到(1,1)的直線段，則4的方程為：產(chǎn)x,x：0-1.于是

lC(x-y)(*-dy)=J；Odx=0

AP

⑵「二GAy2-y3,。=6/廠3孫2.顯然p,Q在xOy面內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且一=12肛-3y之，

義=12xy-3/，有?=/，所以積分與路徑無關(guān).

dxdydx

取L為從(1,2)一(1,4)一(3,4)的折線，貝(J

￡：2；(6江一力dx+(6x'-3孫2)dy

=J；(6y-3y2)dy+J：(96x-64)cbc

=[3/-/J+[48X2-64X]I

=236

(3)P=g,Q=--,P,。在右半平面內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且理=4，絲=!，在右半

xxdyxdxx

平面內(nèi)恒有線=半，故在右半平面內(nèi)積分與路徑無關(guān).

dydx

取1為從(1,1)至U(l,2)的直線段,則

?r(i.L2)y[dr^-x~dy=[r(2T)d)'=T

(4)P=..X,Q=,y,且變=絲=在除原點(diǎn)外恒成立,故曲線積

F7F7/&歷77

分在不含原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，

取L為從(1,0)一(6,0)-(6,8)的折線，則

f(6.8)xdx4-ydyc6x,f8y1

=5+l[2J^T7]；

=9

3.設(shè)/(x)可導(dǎo)，求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)位：

dx

⑴y=/(一)

解：y=2礦，)

(2)y=/(sin2x)+/(cos2x)

解：yr=2sinxcosx/，r(sin2x)+2cosx(-sinx)/"(cos?x)

=sin2x[//(sin2x)-尸(cos?x)]

x=e{sint,兀dv

4.已知＜求當(dāng)，=上時(shí)空的值.

y=ercost,3dx

解:

dy

dy_由_e'cost-e'sint_cos/-sin?

dxd,e*sint+e'costsin/+cos/

dr

71.兀

cos——sin—

dy33y/3-2.

.71兀

dr3sin—+cos—

33

5.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)：

Y

⑴/u)=-==,^r(o)；

V1+X2

⑵f(x)=e2i,求尸(0),r(0)；

⑶f(x)=@+10)6,求/⑸(0),/⑹(0).

r.22x

V1+X-X,---]3

解：⑴/'(x)=---------------私土匚=(-2).

1+JT

3二

r?=-^(i-^2)2?2%

故f"(0)=0.

(2)f'(x)=2e2x-1

/(x)=4e2E

/w(x)=8e2jt",

48

故/〃(O)=M，r(o)=-.

ee

⑶/'(X)=6(X+10)5

/"(x)=30(x+10)4

/"'(X)=120(X+10)3

/(4)(X)=360(X+10)2

/⑸(x)=720(x+10)

/(6)(X)=720

故/(5)(0)=720x10=7200,/⑹(0)=720

6.求下列函數(shù)的微分：

(1)y=xe'；⑵)=

X

(3)y=cos&(4)y=5ln,anA'；

(5)y=8x*-6e2'；(6)y=Jarcsinx+(arctanx)2.

解：

(1)dy=(xe')'dx=e'(l+x)dx；

1?

1--x-lnxii

小、，/n%、，，、，1-lnx,

(2)dy=(---)dx=(―zr----------)dx=----；—dx；

XXX

(3)dy=(cosVx)"dx=(-siny/x)--^=dx=---^=sinVxdx；

2Vx2y1x

(4)dy=(5ln,anA)'dx=(In5??——.sec2x)dx

tanx

=21n5-5ln,anx?—―dx；

sin2x

(5)dy=(8xv-6e2r),dx=[8x'(1+Inx)-12e2v]dx；

(6)dy=f，arcsinx+(arctanx)2丫dr=[-J—??—/1+2arctanx—^-y]dx.；

2jarcsinx>J\-x21+廣

7.利用麥克勞林公式，按x乘基展開函數(shù)/(X)=，-3X+1)3.

解：因?yàn)?(x)是x的6次多項(xiàng)式，所以

，/、，小、，，小尸⑼，/⑼；/<4)(0)4/⑸(0)s/(6>(0)6

/(x)=/(0)+/(0)x+Jx2+Jx3+-_—x4+-~—x5+-~~xb.

2!3!4!5!6!

計(jì)算出：/(0)=1J'(0)=—9J"(0)=60,尸(0)=-270,

/⑷(0)=720,/⑸(o)=-l080,/(6)(0)=720.

56

故/(x)=1_9x+30/-451+30/-9x+%.

e'+&-x

8.求函數(shù)y=---的2”階麥克勞林展開式.

解:

2

11x12〃+%傲+1.J+.

y=-[eA+e-']=—[l+x+—+???+---+-------+-------------]

222!(2〃)！(2〃+1)!2!(2?)!(2〃+1)!

]x2留ee

=-[2+2—+---+2----1--------A:2n+l]

22!(2〃)！(2〃+1)!

J+…+X2",efa-e-"

?)l+l(0<6<1).

2!(2〃)！2(2〃+1)!

60.設(shè)/(x)在/的某區(qū)間上，存在有界的二階導(dǎo)函數(shù).證明：當(dāng)x在/處的增量//很小

時(shí)，用增量比近似一階導(dǎo)數(shù)r(不)的近似公式

h

其絕對(duì)誤差的量級(jí)為0(〃)，即不超過h的常數(shù)倍.

證明：/(%+?在玉)處泰勒展開式為

2

f(x0+〃)=/(4)+f'(x0)h+h(0<^<1),

則/"(%)_/甕。+?―/甕。]=]/"(>；劭)/2)

又知|一(天+仍)|?加,故f叫■網(wǎng)，

即/'(%)a1二的絕對(duì)誤差為o(h).

9.球的半徑以速率v改變，球的體積與表面積以怎樣的速率改變？

〃43“2dr

解M：V=—nr',A=Tir,—=v.

3dr

dVdVdr」

-----------=4兀r?v

dtdrdr

dtdrdt

Y

10.一飛機(jī)沿拋物線路徑y(tǒng)=忐而(y軸鉛直向上，單位為m)做俯沖飛行，在坐標(biāo)原點(diǎn)

。處飛機(jī)速度v=200m?s",飛行員體重G=70kg,求飛機(jī)俯沖至最低點(diǎn)即原點(diǎn)O處時(shí)，座

椅對(duì)飛行員的反力.

解:y\()=0,>1=--—，

Jlx=0JIA=0CAAA

(l+y，2嚴(yán)

lx.一ft

y

飛行員在飛機(jī)俯沖時(shí)受到的向心力

mv2702002

=560（牛頓）

~R~~5000

故座椅對(duì)飛行員的反力

尸=560+70x9.8=1246（牛頓）.

11.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(1)y=2x3-6x2-18x-7；

解：所給函數(shù)在定義域(YO,+O。)內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且

y=6x2-12x-18=6(x+l)(x-3)

可得函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)：芯=-1,%=3,在(3,一1),(—1,3),(3,+8)內(nèi)，y'分別取+,+

號(hào)，故知函數(shù)在［3,4W)內(nèi)單調(diào)增加，在［-1,3］內(nèi)單調(diào)減少.

8

(2)y=2x+—(x>0)；

x

Q

解：函數(shù)有一個(gè)間斷點(diǎn)x=0在定義域外，在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，且y'=2-二，則函數(shù)

有駐點(diǎn)x=2,在部分區(qū)間(0,2］內(nèi)，y<0；在［2,+8)內(nèi)y'>0,故知函數(shù)在［2,+8)內(nèi)單

調(diào)增加，而在(0,2］內(nèi)單調(diào)減少.

(3)y=ln(x+yjI+x2)；

解：函數(shù)定義域?yàn)?-oo,+oo),y'=—j=L=>0,故函數(shù)在(-oo,+oo)上單調(diào)增加.

Vl+x2

(4)y=(x-l)(x+l)3；

解：函數(shù)定義域?yàn)?-00,+8),9=2(%+1)2(2%—1),則函數(shù)有駐點(diǎn)：x=—l,x=g,在

(―8,白內(nèi)，y<o,函數(shù)單調(diào)減少；在七,+8)內(nèi)，y>o,函數(shù)單調(diào)增加.

⑸y=xnoTx(n>0,x>0)；

解：函數(shù)定義域?yàn)椋?,+oo),y'=nx'-'e-'-x"e-x=e^x"-1(〃-x)

函數(shù)的駐點(diǎn)為x=0,x=〃,在［0,網(wǎng)上y'>0,函數(shù)單調(diào)增加；在上y'<0,函數(shù)單

調(diào)減少.

(6)y=x+卜in2:t|；

解：函數(shù)定義域?yàn)?-8,+00),

.兀

x+sin2x,xe+—1,

2

y=\

,71

x-sin2x,XG［/?7U—，〃兀］,/?GZ.

2

TT

1)當(dāng)〃兀+1］時(shí)，y=l+2cos2x,則

yr>0<^>cos2x之一g<=>x￡］〃兀，〃兀+；

JT717T

V<00COS2x<--<=>%€［mt+—,/?7T+—］.

兀

2)當(dāng)1￡［〃兀一］,〃兀］時(shí)，y=l-2cos2x,則

?__1兀兀r

y>0ocos2x<—<?xGr［rm——，〃?！?/p>

226

y<0<=>cos2x>—<=>xG［mt---,〃兀］.

26

綜上所述，函數(shù)單調(diào)增加區(qū)間為［日,弓+'］(kez),

函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間為［當(dāng)+］,今+5］供wz).

⑺y=(x-2)5(2x+l)4.

解：函數(shù)定義域?yàn)?-8,+00).

y=5(x-2)4(2x+1)4+4(x-2)5(2尤+1)3.2

=(2x+1)3(18%-11)0-2)4

函數(shù)駐點(diǎn)為玉=-pX2=2,工3=2,

在(+00,—g］內(nèi)，y'>0,函數(shù)單調(diào)增加，

在［-士曰］上，y'<0,函數(shù)單調(diào)減少，

218

在［U,2］上，y'>0,函數(shù)單調(diào)增加，

18

在［2,+oo)內(nèi)，y>o,函數(shù)單調(diào)增加.

故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為：(-8,-L］,f—,+00).

221818

12.怎樣選取。，匕的值，使./(X)在(一8,+8)上連續(xù)？

,兀

OT+1,X<—,

⑴/(尤)=<e'*<：⑵/(%)=2

。+尤，x>0;.,、兀

sinx+/?,x>—.

2

解：/(x)在(-oo,0),(0,+oo)上顯然連續(xù),而lim/(%)=lim(a+x)=。，

XTO+X->0+

limf(x)=lime"=1,且/(0)=a,

Xf(T,V-?O-

???當(dāng)￡(0)=以(0)=/(0),即Q=1時(shí)，/(%)在尤=0處連續(xù)，所以，當(dāng)0=1時(shí)，f(x)

在(^0,+00)上連續(xù).

IT7T

⑵???/(X)在(-00,—,+8)內(nèi)顯然連續(xù).而

lim/(x)=lim(sinx+b)=l+b,

jtit

r->-X->一

22

7T

lim/(x)=lim(ax+1)=—a+1,

TTTTTT

...當(dāng)l+8=,a+l,即》=,a時(shí)，/(x)在x=］處連續(xù)，因而/(x)在(-oo,+oo)上連續(xù).

13.作出下列函數(shù)的圖形:

x

(D/U)1+x2

解：函數(shù)的定義域?yàn)?-8,+8),且為奇函數(shù),

,l+x2-2x21-X2

v=-----------=--------

■(1+x2)2(1+X2)2

〃2X(J?一3)

=(1+x2)3

令y，=0,可得X=±l,

令y"=0,得x=0,±6,

列表討論如下：

X0(0,1)1（1.石）柩(5+8)

y'+0一一一

y"0一一一0+

y0極大、拐點(diǎn)1

當(dāng)Xf8時(shí)，y—0,故產(chǎn)0是一條水平漸近線.

函數(shù)有極大值/XD=；，極小值=有3個(gè)拐點(diǎn)，分別為（一

,(0,

0),

，作圖如上所示.

（2）y（x）=x_2arctaru

解：函數(shù)定義域?yàn)椋?8,+8）,且為奇函數(shù),

y=1一^~~r

\+x

〃4x

令y'=0,可得戶±1,

令y"=0,可得x=0.

列表討論如下:

X0(0,1)1(1,°°)

y'一04-

y"0+4-

Y0極小

又

/(%)].八2、1

lim------=lim(l——arctanx)=1

x-xx>x.r->ocx

且lim[f(x)-x]=lim(-2arctanx)=一兀

xf+oo

7T

故y=x—兀是斜漸近線，由對(duì)稱性知y=》+兀亦是漸近線.函數(shù)有極小值y(l)=l—],極

7T

大值六-1)=3-1.(0,0)為拐點(diǎn).作圖如上所示.

X"2

⑶f(x)=--;

1+X

解：函數(shù)的定義域?yàn)閤eR,xx-l.

,_2x(l+x)-x2_x(x+2)

)一—(1+x)2—-(1+x)2(九~1)

，，2

令y'=0得尸0,x=~2

當(dāng)xe(y),—2]時(shí)，y'>0J(x)單調(diào)增加；

當(dāng)XG[—2,—1)時(shí)，y'<0,/(x)單調(diào)減少；

當(dāng)xe(-l,0]時(shí)，y'<0,/(x)單調(diào)減少；

當(dāng)xe[0,+8)時(shí)，y'>0,/(x)單調(diào)增加，

故函數(shù)有極大值八-2)=-4,有極小值10)=0

2

又lim/(x)=lim工=8,故后一1為無窮型間斷點(diǎn)且為鉛直漸近線.

XT-1X+11+X

/(X)]曰1?「X21

又vr因arhm------=1,且hm(/(x)-x)=lim---------x=-1，

x-?00Xx—>ooX—>oc]+X

故曲線另有一斜漸近線y=x-1.

綜上所述，曲線圖形為：

(4)y=eg)l

解：函數(shù)定義域?yàn)?一8,+8).

y=-2(x-l)e-u-1)2

y〃=e-g)2-2(2X2—4X+1)

令;/=0,得x=l.

令y"=0,得x=l±注.

.2

當(dāng)x￡(-oo,i］時(shí)，y>o,函數(shù)單調(diào)增加；

當(dāng)X￡［l,+oo)時(shí)，yf<0,函數(shù)單調(diào)減少；

萬x/2

當(dāng)了￡(—8,1鼠］U［1+5-,+8)時(shí)，y”>0,曲線是凹的;

萬/?

當(dāng)工￡［1一］,1+芋］時(shí)，/<0,曲線是凸的，

故函數(shù)有極大值41)=1,兩個(gè)拐點(diǎn)：A(l-^-,e2),B(l+^-,e2),

又lim/(x)=O,故曲線有水平漸近線y=0.

XT8

圖形如下：

X2+1.(1—fit)%2—(<7++(1—/?)

14.解:因?yàn)?------ax-b=-——-------------------——-

X4-1X+1

由己知lim(片土1—以一/=,知，分式的分子與分母的次數(shù)相同，且x項(xiàng)的系數(shù)之比為

*T8(x+i)2

L于是

2

i-?=o且—-)△

12

3

解得a=\,b=~-.

2

15.用定義判斷下列廣義積分的斂散性，若收斂，則求其值：

f+<O1|

(1)|2—sin-dx;

。廠x

11limcos-L

解：原式二一lim，2sin-d=limcos-=l.

力->+ooJ-V〃T+ooy〃T+<?

n人2b

⑵

JeX+2x+2

r°d(x+l)產(chǎn)d(x+l)/,、°

解：原式=|——————I-——~-——=arctan(x+l)+arctan(zx+l)

J-(x+l)2+lJ。(x+l)2+l…

TIcIt'S71n

=-------H-------=兀

4I2j24

(3)J；x"e-'dx(〃為正整數(shù))

p+30Er+oo.

解：原式xnde-x=-xne-x+n\x"-le-vdx

JooJ。

,+oo

0+〃廣―口=???=〃!°加=〃!

⑷3

a<,；

解：原式=limf-/#：X71

limarcsin—limarcsin1--二

￡->0+ao(a)2

dx

解：原式=1呼『d（lnx）吧\e-￡7T

arcsin(ln再=limarcsin(ln(e-￡)]=—

*、72

⑹I：舟T

dxidx

解:7<1-X)J)

crddyfxd石

…"Jl-(五>Q+OJ］Jl—(?)2

=2limarcsinyfx\2+2limarcsinVx'

L,b。1

16.求下列函數(shù)在［一。，a］上的平均值：

(l)/(X)=Va2-X2;

解：7=^-f7?2-x2dr=-Va2-x2dr=--arcsin-+-xyja2-x2=~7'-

。

2a&aJa12a2Jo4

(2)f(x)=x2.

2

Q

解:T

17.某企業(yè)投資800萬元，年利率5%,按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，求投資后20年中企業(yè)均勻收入

率為200萬元/年的收入總現(xiàn)值及該投資的投資回收期.

解：投資20年中總收入的現(xiàn)值為

y=f2°800e-5%/d?=—(l-e-5%2°)

?J。5%

=400(1—eT)=2528.4(萬元)

純收入現(xiàn)值為

7?=廠800=2528.4—800=1728.4(萬元)

收回投資，即為總收入的現(xiàn)值等于投資，故有

-(l-e-5%r)=800

5%

200

r=—In=201n-=4.46(年).

5%200-800x5%4

1

18.解:4--------2--+???

(/?+!)!

2(〃+1)

---------?(一)

加(2〃+1)2

從而R“+i<--------?(一)

加(2〃+1)2

19.若lim"u"存在，證明：級(jí)數(shù)收斂.

〃一>8f

證：：lim〃2u“存在，.?TM>0,使斤

n—>oo

M

即〃2|[/"|WM,\U?\^—

n~

而*￡與M收斂，故s“絕對(duì)收斂.

20.證明，若收斂，則￡以絕對(duì)收斂.

n=\n=\〃

]u；

+-4為2+」

2c"2cn2

而由fu；收斂，￡4收斂，知

”=1n=l〃

收斂,故￡4?收斂,

因而絕對(duì)收斂.

〃=in

21.將函數(shù)/(x)=J7展開成(尸1)的事級(jí)數(shù).

解：因?yàn)?/p>

(1+x)=1+—x+-------x+■■?+-----------；---------x+…(-1<%<1)

1!2!〃！

所以

/(%)=>/?

3

=[1+(%-1)]2

)(X-D”+?1"

3騙一i]疆一茶㈤

1!2!n\

(-1<X-1<1)

即

r/、i,3/,、，3-1八2,3-l-(-l),、3,34?(一1>(-3)…(-2〃+5)/八"，

/(x)=l+-(x-D+^(x(-l)+^^-(xf-l)+----------------------------I)+-

------不~~；-----(D(°<x<2)

n=l2*ft.

18.利用函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式，求下列各數(shù)的近似值：

(l)ln3(誤差不超過0.0001)；(2)cos2。(誤差不超過0.0001)

35

14.Y(RR丫2〃-1、

解：(l)ln----=2x+—+—+?-■+------+?■->xG(-i,i)

1-xI352n-l)

令31-L-Y=3,可得]=1上￡(-1,1),

\-x2

-in---——z1Rit…t

,123"5.25

2

■11

_(2〃+l)"向(2n+3)-22fl+3'_

2F(2?+1)-22H+I(2n+l)-22n+l,'

p

故cos2°B1-出乙?1-0.0006?0.9994

2!

22.將下列各周期函數(shù)展開成為傅里葉級(jí)數(shù)，它們?cè)谝粋€(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式分別為:

(1)/(%>1-x2

；

,、f2x+l,-3<x<0,

⑵〃x)=1

1，0<x<3.

解：(1)/(幻在(-8,+8)上連續(xù)，故其傅里葉級(jí)數(shù)在每一點(diǎn)都收斂于/(X),由于/⑴為偶

函數(shù)，有瓦尸0。?=1,2,3,…)

2

4=2j1/(^)dr=4.(1一/)dx=2,

~20

2

%=2「/(x)cos2rutxdx=4「(1一f)cos2nmix

~2,

(〃=1,2,…)

所以

一、一111("

cos2mu:(-8<X<+8)

4=；J：〃x)cos等也

3

1「°小八i1rnnx,

二-I(2x+1)cos---dxH—Icos---ix

3%)33Jo3

”[UHsin等小

1r°/,.niuc,1.3.nnx,

——I(2x+17)sin---AvH—Isin---dx

3433J。3

=￡(T)"T,(〃=1,2,…)

〃兀

而函數(shù)fix)在x=3(2Z+l),^=0,±1,±2,...處間斷，故

/(力=-；+力｛盤[l-(T)[cos等+(-1)”彳sin等｝(xW3(2k+l),

乙〃=]I〃"J-*DrutDJ

A?=0,il,i2,...)

23.計(jì)算i(x+y)dx+(y-x)dy,其中L是

(1)拋物線V=x上從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)的一段?。?/p>

(2)從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)的直線段；

(3)先沿直線從(1,1)到點(diǎn)(1,2),然后再沿直線到點(diǎn)(4,2)的折線;

(4)曲線x=2p+f+l,y=?+1上從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)的一段弧.

解：(1)L：,,y：1—>2,故

j(x+y)dx+(y_x)dy

=Jl'[(/+y)-2>'+(y-y)-i]d3<-

=J：(2y'+y2+y)dy

I11

y4+y3+y

2-3-2-

一

34

3

(2)從(1,1)到(4,2)的直線段方程為43廠2,y：1-2

故￡(x+y)dx+(y-x)dy

=J：[(3y~2+y)-3+(y-3y+2)]dy

=J'(10y-4)dy

=[5r-4>-J

=11

(3)設(shè)從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(1,2)的線段為Li，從點(diǎn)(1,2)到(4,2)的線段為攵，則乙=心+乙2.且

[x=l(x=x

L\：〈ty：1—?2；Li*〈,x：1―>4；

[y=y'〔y=2

故￡(x4-y)(k+(y-x)dv

=f[(l+y)-O+(y-l)]dy

2

=「(y-i)dy=

L,(x+y)dx+(y-x)dy

=j[(x+2)+(2_x).O]dx

=J：(x+2)dx=；(x+2『

27

2

從而［(x+y)s+(y一天川〉

=(J/L)(工+，)出+(y_“)d)，

127一

=一十—=14

22

(4)易得起點(diǎn)(1,1)對(duì)應(yīng)的參數(shù)九=0,終點(diǎn)(4,2)對(duì)應(yīng)的參數(shù)汝=1，故

L(x+y)dr+(y-x)dy

=J；［(3/+/+2)(4z+l)+(-r2-z)-2rjdr

=j'(10/3+5/2+9/+2)dr

1045392c

=—t+-r+-r+2t

_4320

=32

-T

24.應(yīng)用格林公式計(jì)算下列積分：

⑴。(2x—y+4)dx+(3x+5y—6)dy,其中L為三頂點(diǎn)分別為(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形

正向邊界；

⑵(x2ycosx+2xysinx-y2ex)dx+(%2sinx-2yex)dy,其中L為正向星形線

222

X3+'3MJ〉。)；

(3)￡(2xyy-y2cosx)dv+(1-2ysinx+3x2y2)dy,其中L為拋物線2%=兀)2上由點(diǎn)(0,0)到(］』)

的一段??；

(4)依-加-(X+sin2y)dy,L是圓周y=」2x—/上由點(diǎn)(0,0)到(1,1)的一段弧;

(5)￡(evsiny-+(evcosy-m)dy,其中m為常數(shù)，L為由點(diǎn)(a,0)到(0,0)經(jīng)過圓

^+產(chǎn)/氏上半部分的路線(〃為正數(shù)).

解:(1)L所圍區(qū)域Q如圖11-4所示,P=2x-y+4,

Q=3x+5y-6,—=3,—=-1,由格林公式得

dxdy

.(21-y+4)dr+(3x+5y-6)dy

=乩償與酬

=JJ,,4dxd)，

=4jj,dxdy

=4x—x3x2

2

=12

(2)P=x2ycosx+2xysin%-y2ev,Q=x1sinx-2yex,

QP?

貝lj-=x1cosx+2xsinx-2yev,

6

8Q2C.o

三―二x~cosx+2xsinx-2)ev?

從而名=/，由格林公式得.

dydx

心(爐ycosx+2xysinx-y2ev)dx+(x2sinx-2yex)dy

dxdy

(3)如圖11-5所示，記。4,

P=2xy^-y2cosx，Q=1-Zysinx+Sx2^2

HP」、SQn2c

——=bxy~-2ycosx,—=oxy-2ycosx

dydx

由格林公式有：

L叩J^+Qdydxdy=0

故]/口+2切=[〃/也+。由,

=jPdr+Qdy+jPdx+Qdy

<..兀c/2L

LW+J。1-2ysin—+3?—?yMy

}-2y+^n2y2^dy

Jo1

2

7-T---

4

(4)L、AB.30及。如圖11-6所示.

由格林公式有

pdx

LAS+B。+Qdy=力償-菅眄

而P=^-y,(^-(x+sin237)-

8P.8Q加dQBP

——=—1,—=—｝1,即,-------=0

dydxdxdy

Pdxed0

于是1…產(chǎn)+純,=(L+L+L,)+>=

從而

JPdr+Qdy=/(x2-y)dx-(^+sin2y)dy

=L(x2-，孫一g+.？y)dy+J。4，-y)cU-(x+sin2y)dy

=J：-(l+sin2)，)dy+J：x&

31..TT13T

=——y+—sin2v+—x

L24o3Jo

71?c

=——+—sin2

64

(5)3OA如圖11-7所示.

x

P=esinyf-myf

2=eAcosy-/n,

dPdQ

——=excosy-m,——=excosy

由格林公式得:

dP

L/w+Qdy』。drdy

Sy

=JJ,嚴(yán)drdy

=叫戶均

i(“Y

2⑴

_mjicT

8

于是：jRk+Qdy="^——fPdx+Qdy

JL8J0，

x

—Jo[(e?sinO-〃2O)+(e，?cosO-m)。]口

frma~2u

=---------Odx

8J。

_rmta2

8

25.在半徑為廠的球中內(nèi)接一正圓柱體，使其體積為最大，求此圓柱體的高.

解：設(shè)圓柱體的高為九則圓柱體底圓半徑為』產(chǎn)此

~4

丫=兀-h=nr2h--h3

4

令V'=o,得力=氈幾

3

即圓柱體的高為亭r時(shí)，其體積為最大.

3

26.求下列各函數(shù)的定義域:

(l)z=ln(y2-2x+l);

⑶"1ST(4)M

(5)z=Jx-&(6)z=ln(y-x)+

(7)w=arccos—j=

解：(l)D={(x,j)|/-2x+l>0}.

(2)D={(x,y)|x+y>0,無一y>0}.

(3)D={(x,y)|4x-y2>0,l-x2-y2>O,x2+y2^0}.

(4)。={(x,y,z)|x>0,y>0,z>0}.

⑸。={(x,y)|x",”0,x2N),}.

(6)。={(x,y)|y-x>(),xN0,》2+y2<1}.

(7)。={(x,y,z)|x2+y20,x2+y2-z2>0}.

27.一向量的起點(diǎn)是Pi(4,0,5),終點(diǎn)是尸2(7,1,3),試求:

(1)*在各坐標(biāo)軸上的投影；(2)鶴的模；

(3)強(qiáng)的方向余弦；(4)蔗方向的單位向量.

解：(1)ar=PrJ/￡=3,

%=Prj,質(zhì)=L

az=Pr工耳8=-2.

⑵質(zhì)卜J(7-4>+(JO)?+(3-5)2=9

c、a3

(3)cosa=卜x：=j=y—

I網(wǎng)內(nèi)

COSB=尸』=—j=

附IA/14

28.三個(gè)力Q=(1,2,3),尸2=(-2,3,-4),尸3=(3,-4,5)同時(shí)作用于一點(diǎn).求合力R的大小和方向余

弦.

解：R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)

|/f|=V22+l2+42=V21

2cl4

cosa=―,—,cosp-—y—,cosy=-.—.

V21V21V21

O<jr

29.已知a*的夾角夕=子，且問=3,網(wǎng)=4,計(jì)算：

⑴〃?b;(2)(3a-2b)*(a+2b).

解：(1)a?Z?=cos^-|?|-|ft|=cos—x3x4=--x3x4=-6

(2)(3a-2b)?(a+2b)=3aa+6ab-2ba-4bb

2

=3|a|+4Q/_4M|2

=3x32+4x(-6)-4x16

=-61.

30.若向量a+3b垂直于向量7。-5仇向量a-4b垂直于向量7a-2b；求和b的夾角.

解：(a+3b)?(7〃-5份=7|a『+16a-6-151612=0①

(。一4份?(7a-2b)=71a|2-30a?8+8|力『=0②

abab1(a。)21

由①及②可得:____———~s—

"|2一|曠2\a\2\b\2~4

1t1

又。?方=!|b|2>(),所以cos8=——=-

2\a\\b\2

故。=2皿05，=工.

23

31.已知a-3i+2j~k,b=仃+2￡求:

(l)aXb;(2)2aXlb-,

⑶76X2%(4)aXa.

2-1-1332

解:(1)axb-i+/Ik=3i-7j-5k

-122-1

(2)2ax7b=14(axb)=42i-98j-70左

(3)7)x2a=14(〃*a)=-14(ax》)=-42i+98j+70A

(4)axa-Q.

32.求過（1,1,T）,（-2,-2,2）和（1,-1,2）三點(diǎn)的平面方程.

解：由平面的三點(diǎn)式方程知

X-Xy>一)|z-z.

必-,Z2—1=0

七一%Z3—4

x-1y-lz+1

代入三已知點(diǎn)，有-2-1-2-12+10

1-1-1-]2+1

化簡得x-3廠2z=0即為所求平面方程.

33.通過兩點(diǎn)（1,1,1,）和（2,2,2）作垂直于平面x+廠z=0的平面.

解：設(shè)平面方程為Ar+B)，+Cz+￡>=0

則其法向量為"={A,B,C}

已知平面法向量為〃I={1,1,-1}

過已知兩點(diǎn)的向量上{1,1,1}

由題知n,77i=O,n,1=0

A+8—C=0

即4=>C=0,A=—B.

A+B+C=0

所求平面方程變?yōu)锳x~Ay+D=0

又點(diǎn)(1,1,1)在平面上，所以有￡>=0

故平面方程為x-y=0.

34.確定下列方程中的/和〃?：

(1)平面2x+ly+3z-5=0和平面,nr-6y-z+2=0平行;

(