中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)幾何專項(xiàng)練習(xí)：相似模型-旋轉(zhuǎn)“手拉手”模型（含解析）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)練習(xí)：相似模型--旋轉(zhuǎn)“手拉手”模型（基礎(chǔ)+培優(yōu)）一、單選題1．如圖，在中，，以，為邊分別向外作正方形和正方形，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，由“”可證，可得，，利用勾股定理分別求出，的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

，，，設(shè)，，，，，，，，，在和中，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．如圖，與中，，，，交于D，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】通過證明，可判斷①；根據(jù)，，得出，即可判斷②；根據(jù)，得出，則，即可判斷③；根據(jù)，得出，進(jìn)而得出，即可判斷④．【詳解】解：∵，，，∴，∴，故①不正確；∵，，∴，故②正確；∵，∴，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，∵，∴，故④不正確，綜上：正確的有②③，共2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)定理，并熟練運(yùn)用．3．如圖，已知，添加一個(gè)條件后，仍不能判定與相似的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定逐項(xiàng)分析即可得到答案．【詳解】解：，，即，A、，，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，，故此選項(xiàng)不符合題意；C、由，不能得到，故此選項(xiàng)符合題意；D、，，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．4．如圖，在矩形中，，，將矩形繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得矩形，其中交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，求得，，，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，即可求得．【詳解】∵四邊形是矩形，，，∴，∵矩形繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得矩形，∴，∵，∴∴為等腰直角三角形∴同理為等腰直角三角形∴∴∴又∵，，，∴∴∴，∴∴在中，∴故故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．如圖，已知和有公共頂點(diǎn)，且，，，則度．

【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和求出，根據(jù)題意證明，得到，得到，從而證明，進(jìn)而得到．【詳解】解：，，，，，，，，即，，且，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合圖形找到相似三角形并證明是解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列）可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝2，連接AF，BD，在正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD+AD的最小值為．【答案】/【分析】在AC上截取一點(diǎn)M，使得CM=．利用相似三角形的性質(zhì)證明DM=AD，推出BD+AD=BD+DM，推出當(dāng)B，D，M共線時(shí)，BD+AD的值最小，即可解決問題；【詳解】解：如圖，在AC上截取一點(diǎn)M，使得CM=．連接DM，BM．∵CD=2，CM=，CA=3，∴CD2=CM?CA，∴，∵∠DCM=∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴，∴DM=AD，∴BD+AD=BD+DM，∴當(dāng)B，D，M共線時(shí)，BD+AD的值最小，∴最小值=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)由轉(zhuǎn)化的思想思考問題．7．如圖，在和中，，E為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，直線，交于點(diǎn)F，連接，則的最小值是．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，證明，進(jìn)而推出，進(jìn)而得到，根據(jù)三角形中位線定理以及斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出，進(jìn)而求出的最小值．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，則，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，∴的最小值為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，斜邊上的中線．熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．三、解答題8．若繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，則我們稱與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．

(1)知識(shí)理解：如圖①，與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．①若，，，則；②若，，，則；(2)知識(shí)運(yùn)用：如圖②，在四邊形中，，于點(diǎn)，，求證：與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；(3)拓展提高：如圖③，為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．若，，求．【答案】(1)①27°；②(2)見解析(3)【分析】（1）①依據(jù)和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，可得，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，即可得到；②依據(jù)，可得，根據(jù)，，，即可得出；（2）依據(jù)，即可得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)，，即可得到，進(jìn)而得出和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】（1）①和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，，，又，，；②，，，，，，，故答案為：；；（2），，，，即，又，，，又，，，，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)后與構(gòu)成位似圖形，和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）點(diǎn)為的中點(diǎn)，，由題意得：，，，，，由勾股定理可得，，．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用．在解答時(shí)添加輔助線等腰直角三角形，利用相似形的對(duì)應(yīng)邊成比例是關(guān)鍵．9．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接．求證：．(2)變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接．判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)解決問題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，Q是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為12，，求正方形的邊長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解答過程(2)和的數(shù)量關(guān)系為：；理由見解答過程(3)【分析】（1）證明，即可得到結(jié)論；（2）證明，則，由得到，則，即可證明結(jié)論；（3）連接，證明，得到，求出，設(shè)，則，在中，，則，求出，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵與都是等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：和的數(shù)量關(guān)系為：；理由如下：在等腰中，，∴，在等腰中，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：連接，如圖3所示：

∵四邊形是正方形，∴，，∵Q是正方形的中心，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：，∵，∴，∴正方形的邊長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖1，中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且，連接，．

(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的面積；【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）可證，從而可證，可得，可求，即可得證；（2）過作交于，可求，可證，可得，可求，即可求解．【詳解】（1）證明：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，在中：，，．（2）解：如圖，過作交于，

由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，由（1）同理可證，，，，，，在中：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，面積轉(zhuǎn)化，掌握性質(zhì)及判定方法是解題的關(guān)鍵．11．（1）問題發(fā)現(xiàn)，如圖1，在中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），，連接．

(1)①求的值；②求的度數(shù)．(2)拓展探究，如圖2，在中，．點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），，連接，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系以及與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①1；②(2)，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，于是得到；（2）根據(jù)已知條件得到，由相似三角形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；【詳解】（1），，，，，，，，在與中，，，，，，故答案為：1，；（2），；理由是：，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，點(diǎn)A在線段上，在的同側(cè)作等腰和等腰，與、分別交于點(diǎn)P、M．求證：

(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，，，即可證；（2）由可得，即可證，可得．【詳解】（1）證明：∵等腰和等腰，∴，，，∴，，，∴，∴，（2）∵，∴，且，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵．13．（1）如圖①在內(nèi)，，，D是內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C恰好與點(diǎn)A重合．D旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連接、，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．（2）在（1）的條件下，如圖②，當(dāng)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若，時(shí)，求的長(zhǎng)．（3）如圖③，在和中，，，連接、填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系是______________；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E到的距離的長(zhǎng)為2，則線段的長(zhǎng)為__________．【答案】（1），理由見解析（2）；（3）①；②【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，進(jìn)一步證明即可證明；（2）要求的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的判定定理可得四邊形是矩形，則，在中根據(jù)勾股定理可求得的長(zhǎng)，根據(jù)，，即可求解；（3）①要求線段與的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；②要求線段的長(zhǎng)，在中求出的長(zhǎng)，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：（1），理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∵，∴，∴．（2）解：設(shè)與交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∵，∴，即．∵，∴．∴，∴四邊形是矩形，∴，∵在中，，，，∴，∴；（3）①∵，，∴，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．②∵在中，，，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．在中，，．點(diǎn)是平面內(nèi)不與點(diǎn)，重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，．(1)【猜想觀察】如圖①，若，交于點(diǎn)，則的值是______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是______；(2)【類比探究】如圖②，若，與，分別相交于點(diǎn)，，求的值及的度數(shù)；(3)【解決問題】如圖③，當(dāng)時(shí)，若，，三點(diǎn)在同一直線上，且，交于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)；(3)【分析】（1）延長(zhǎng)交于，根據(jù)證，即可得出，然后根據(jù)角相等得出即可；（2）先證，根據(jù)線段比例關(guān)系得出的值，然后根據(jù)角的等量代換得出，即可，（3）設(shè)，則，證，根據(jù)比例關(guān)系得出方程求解即可．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)交于，，，，，，即，在和中，，，，在和中，且，，故答案為：，；（2）線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，是等腰直角三角形，，，，，，又，即，，，，；（3）設(shè)，則，，，，，，，又，，即，解得或（舍去），．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．已知和都是等腰三角形，，．

(1)當(dāng)時(shí)，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)不在邊上時(shí)，判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系：；(3)在（1）的條件下，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．【答案】(1)①；②，見解析(2)(3)或【分析】（1）①根據(jù)題意可得，，進(jìn)而得出答案；②運(yùn)用“”證明即可得出結(jié)論；（2）證明即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況進(jìn)行討論即可：①點(diǎn)D在的上方；②點(diǎn)D在的下方；進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：①∵和都是等邊三角形，∴，，∴．故答案為：；②．理由如下：∵和都是等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2），在等腰直角三角形中：，在等腰直角三角形中：，，∴，，∴，∴，∴，∴；（3）分兩種情況討論：①如圖（1），點(diǎn)D在的上方，

延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，∵，，∴為的中垂線，∴，∴，，∴，由（1）可知；②如圖（2），點(diǎn)D在的下方．

同理可得，∴．綜上所述，AD的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型是解本題的關(guān)鍵．16．某校數(shù)學(xué)興趣小組在一次學(xué)習(xí)活動(dòng)中，對(duì)一些特殊幾何圖形具有的性質(zhì)進(jìn)行了如下探究：

(1)發(fā)現(xiàn)問題∶如圖1，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為腰作等腰，使，，連接，求證：．(2)類比探究：如圖2，在等腰中，，，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)拓展應(yīng)用：如圖3，在正方形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，M是正方形的中心，連接，若正方形的邊長(zhǎng)為12，，求的面積．【答案】(1)詳見解析(2)存在最小值，5(3)【分析】（1）由，推證進(jìn)而證得，從而．（2）連接，易證，得，再證，從而

，得，確定點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑，即N在的邊上運(yùn)動(dòng)，由垂線段最短及直角三角形性質(zhì)知時(shí)，最小，的最小值==5；（3）連接，過點(diǎn)M作于點(diǎn)P，如圖，由正方形性質(zhì)可證得，，所以，于是，；設(shè)由勾股定理求得，在中，，進(jìn)一步求得三角形面積．【詳解】（1）解：∵∴∴

∵．∴．

∴．（2）存在最小值．理由：連接，在等腰與等腰中∴

∴∴∵∴∴

∴∴點(diǎn)N在的邊上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，最小，的最小值==5（3）連接，過點(diǎn)M作于點(diǎn)P如圖，∵M(jìn)為正方形的中心，∴．

∵四邊形為正方形∴．∴．∴∵∴∴，設(shè)∵由勾股定理得：解得：，(舍去)∴在中，，∴【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短、正方形性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等；能夠靈活根據(jù)題設(shè)條件求證三角形相似，進(jìn)而得到線段、角的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師提出了一個(gè)問題：在矩形中，，，在邊上取一點(diǎn)M使，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度到，以為邊作矩形（如圖1所示），，連接、交于點(diǎn)N．

(1)求證：．小明經(jīng)過思考后，很快得到了解題思路：先用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等”證明，然后根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”可證明，從而得到．請(qǐng)你按照他的思路完成證明過程．(2)連接，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)（如圖2），求的值．(3)連接（如圖3），當(dāng)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)是一個(gè)定值，請(qǐng)求出這個(gè)值．【答案】(1)見解析(2)；(3)是一個(gè)定值，定值為325．【分析】（1）利用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等”證明，推出，再利用“直角三角形兩銳角互余”可證明，即可證明；（2）分別過點(diǎn)B、D作直線的垂線，垂足分別為Q、P，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)有勾股定理求得、的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（3）由（1）得，利用勾股定理推出等于，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形和都是矩形，∴，∴，∵，，∴，∴；∴，∵，∴，∴；

（2）解：分別過點(diǎn)B、D作直線的垂線，垂足分別為Q、P，

∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴；（3）解：連接，

∵，，，，∴，，由（1）得，∴，∴是一個(gè)定值，定值為325．【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及三角形相似的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)有勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．18．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊、旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究與角的度數(shù)、線段長(zhǎng)度有關(guān)的問題．對(duì)直角三角形紙片進(jìn)行如下操作：

【初步探究】如圖1，折疊三角形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕，然后展開鋪平，則與位置關(guān)系為_______，與的數(shù)量關(guān)系為_______；【再次探究】如圖2，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，若，求的值；【拓展提升】在（2）的條件下，在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）先由折疊的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，進(jìn)一步證明，即可得到；（2）由勾股定理得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，則，證明，即可得到；（3）分如圖3-1和圖3-2兩種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）∵折疊三角形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）在中，由勾股定理得，由（1）可得，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴，∵，∴，∴；（3）如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于T，∵，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，在中，由勾股定理得：；

如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)M作于H，∵，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，在中，由勾股定理得：，

綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在中，，，點(diǎn)D在射線上，連接，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．

(1)當(dāng)點(diǎn)D落在線段上時(shí)，①如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系是______，______°；②如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；(2)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)N，若，猜想與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)①，；②，理由見解析(2)，理由見解析【分析】（1）①首先根據(jù)題意證明和是等邊三角形，然后證明出，最后利用全等三角形的性質(zhì)求解即可；②首先證明出和是等腰直角三角形，然后證明出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)，則，，然后根據(jù)勾股定理求出，然后利用等面積法求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）①∵將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，，∴，故答案為：，；②∵，∴，∵，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）如圖所示，

∵，∴，設(shè)，∴，∴，∴在中，，∴，∴，即，∴解得，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．20．如圖，在和中，．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由，可得出，結(jié)合，可證出；（2）由，利用相似三角形的性質(zhì)可得出，結(jié)合，可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，，，又，；（2）解：，，，.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”；（2）牢記“相似三角形面積的比等于相似比的平方”．21．問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，求；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，，，，請(qǐng)直接寫出的值．

【答案】問題背景：見解析嘗試應(yīng)用：3拓展創(chuàng)新：4【分析】問題背景：由題意得出，，則，可證得結(jié)論；嘗試應(yīng)用：連接，證明，由（1）知，由相似三角形的性質(zhì)得出，，可證明，得出，則可求出答案；拓展創(chuàng)新：過點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接，由直角三角形的性質(zhì)求得，由勾股定理求得，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明，得出，求出，再根據(jù)勾股定理即可求得．【詳解】問題背景：證明：，，，，，；嘗試應(yīng)用：解：如圖1，連接，

，，，由（1）知，，，在中，，，，，，，；拓展創(chuàng)新：解：如圖2，過點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接，

，，，，，，，，，又，，即，，，，，在中，．【點(diǎn)睛】此題考查相似形的綜合應(yīng)用，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.22．已知正方形，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作射線于點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，在上取一點(diǎn)，使，連接，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，求證：；(3)如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請(qǐng)猜想和的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不必證明．【答案】(1)證明過程見詳解(2)證明過程見詳解(3)，理由見詳解【分析】（1）先判斷出，利用等角的余角相等判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）利用四邊形的內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角的定義判，進(jìn)而判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，同（1）的方法得，，得出，得出比例式，進(jìn)而得出，再用勾股定理得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，且，∴，∴．（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∴，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）解：，理由如下，如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，同（1）的證明方法得，，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形、矩形、直角三角形的綜合，掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．23．原題再現(xiàn)：小百合特別喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天萬老師給她這樣一個(gè)幾何問題：和都是等邊三角形，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置，求證：小百合很快就通過≌，論證了．

(1)請(qǐng)你幫助小百合寫出證明過程；遷移應(yīng)用：小百合想，把等邊和等邊都換成等腰直角三角形，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置，其中，那么和有什么數(shù)量關(guān)系呢？(2)請(qǐng)你幫助小百合寫出結(jié)論，并給出證明；(3)如圖，如果把等腰直角三角形換成正方形，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析(3)或【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出；（2）證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（3）分兩種情況畫出圖形，證明，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得出答案．【詳解】（1）證明：和分別是等邊三角形，，，，，即，在和中，，≌，；（2），證明：，都是等腰直角三角形，，，，，，∽，，；（3）如圖，連接，

由知∽，，，四邊形是正方形，，，四邊形是正方形，，，，，三點(diǎn)共線．，，；如圖，連接，

由知∽，，，四邊形是正方形，，，四邊形是正方形，，，，，三點(diǎn)共線．，，；綜上，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度為或．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．24．問題情境：如圖①，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在對(duì)角線上，，過點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，．

數(shù)學(xué)思考：(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)將圖一中的四邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖②連接，，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)四邊形是正方形，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，根據(jù)已知條件證明四邊形是矩形，是等腰直角三角形，進(jìn)而即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，然后得出，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）四邊形是正方形，理由如下，∵四邊形是正方形，∴，，∵∴，∴是等腰直角三角形，四邊形是矩形，∴，∴四邊形是正方形；（2）∵四邊形是正方形，四邊形是正方形；∴，，∴，∵∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．25．綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1，在中，，，．點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接

(1)特例分析：在圖1中，的長(zhǎng)為，的值為．(2)拓展探究：將圖1中的繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)分別在和的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值為；②當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的外部時(shí)，得到圖2，判斷此時(shí)的值是否變化，請(qǐng)說明理由；(3)問題解決：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，，三點(diǎn)在同一直線時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)①；②見解析(3)或【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．（2）①證明，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得出，則，進(jìn)而可得，代入數(shù)據(jù)即可求解；②證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，，．∴，分別是邊，的中點(diǎn)，；∴∴，；故答案為：，．（2）①如圖所示，

當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)分別在和的延長(zhǎng)線上時(shí)，的大小沒有變化，∵，∴∴，則，∴故答案為：②如圖2，

當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的外部時(shí)，的大小沒有變化，，，又，，．（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∵，

在中，，則，∵∴又∵，∴∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖所示，

同理可得，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．26．已知：四邊形和都是正方形．

(1)如圖1，若點(diǎn)C在對(duì)角線上，則的值為；（直接寫結(jié)果）(2)將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，連接．的值是否改變？若不改變，寫出理由；若改變，寫出新的值及理由；②當(dāng)，時(shí)，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①不變，理由見解析；②【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，由勾股定理得到，，則，又由，即可得到的值；（2）①正方形的性質(zhì)得到，又由即可，則，即可得到解答；②當(dāng)時(shí),即，可證明B、A、F三點(diǎn)在同一直線上，C、A、G三點(diǎn)在同一直線上．證明，得到，得到，則．連接，過點(diǎn)G作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)O．則，可證是等腰直角三角形，證明，則，，則，可證明是等腰直角三角形，則．則，得到．則,由勾股定理即可得到的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：∵四邊形和都是正方形，∴，∴，,∴，∵，∴，故答案為：（2）①不變．理由如下：∵四邊形和都是正方形，∴，∴，∴，即，由（1）可知，,∴，∴，∴，即的值不改變；②如圖：當(dāng)時(shí),即，

∵四邊形和都是正方形，∴，，，∴，，∵，∴B、A、F三點(diǎn)在同一直線上，C、A、G三點(diǎn)在同一直線上．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．連接，過點(diǎn)G作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)O．則，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，，∴．∴．，∴．∴，∵，∴,∴是等腰直角三角形，．∴．∴．∴．∴,在中，．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．如圖①，正方形和正方形，連接，．

(1)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖②，①線段與之間的數(shù)量關(guān)系是________；②直線與直線之間的位置關(guān)系是________．(2)探究：如圖③，若四邊形與四邊形都為矩形，且，，證明：直線．(3)應(yīng)用：在（2）情況下，連接（點(diǎn)在上方），若，且，，則線段是多少？（直接寫出結(jié)論）【答案】(1)，(2)見解析(3)【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而得出，，再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；（2）先利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等判斷出，得出，再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；（3）先求出，進(jìn)而得出，即可得出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得出，求出，借助（2）得出的相似，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵四邊形和四邊形是正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴；②如圖2，延長(zhǎng)交于M，交于H，

由①知，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴（2）∵四邊形和四邊形都為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）如圖4，（為了說明點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條線上，特意畫的圖形）

∵，∴在中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條直線上如圖5，

∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，由（2）知，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出三角形全等和相似是解本題的關(guān)鍵．28．如圖，已知中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）可證，，從而可得，即可得證；（2）可得，，從而可證，即可得證．【詳解】（1）證明：，∴，，，，，．（2）證明：，，由（1）知：，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．如圖，在和中，，．

(1)求證：．(2)若點(diǎn)H、G分別是的中點(diǎn)，且，連接，求的值．(3)若在和中，，點(diǎn)H、G分別是的中點(diǎn)，且，連接，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）先利用等式的性質(zhì)得到，再證明，得到，再利用兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似即可求證．（2）利用兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明，利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．（3）先證明，再證明都是等腰直角三角形，接著得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵在和中，，，∴，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴都是等邊三角形，∴它們的每個(gè)內(nèi)角都是，∵點(diǎn)H、G分別是的中點(diǎn)，∴，，，∴，，∵，∴，即，∴，∴．（3）∵在和中，，∴，∴，∵，，∴∴都是等腰直角三角形，∴，∵點(diǎn)H、G分別是的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，∵，∴，即又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確判定相似三角形．30．【問題提出】某數(shù)學(xué)興趣小組展示項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的研究主題：已知四邊形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，探究與的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】探究一：若四邊形為正方形（1）如圖1，正方形中，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)．則的值為______；（2）如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，試求的值；探究二：若四邊形為矩形如圖3，矩形中，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)，．（3）將圖3中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，請(qǐng)?jiān)趫D4中補(bǔ)全圖形，并探究此時(shí)的值；【聯(lián)系拓廣】（4）如圖3，矩形中，若，其它條件都不變，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，請(qǐng)直接寫出的值．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，，，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可知進(jìn)而可知，，最后利用線段的和差關(guān)系即可解答；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，，，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可知進(jìn)而可得，最后利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可解答；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可解答；（4）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可解答．【詳解】解：（1）∵是正方形的對(duì)角線，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，故答案為；（2）∵是正方形的對(duì)角線，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，∴，∴，即；（3）補(bǔ)全圖形后如圖，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，即，即；（4）∵四邊形是矩形，∴，∵,∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，∴，∴，∴，即．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．31．【初步感知】如圖①，和都是等邊三角形，連結(jié)，．易知：（不用證朋）；

【深入探究】如圖②，和是形狀相同，大小不同的兩個(gè)直角三角尺，其中，，連結(jié)、．(1)求的值；(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則______°；(3)【拓展提升】如圖③，和都是直角三角形，，且，連結(jié)，．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則______．（用含的式子表示）【答案】(1)(2)60(3)【分析】（1）證明，即可得出結(jié)論；（2）由可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（3）先證可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在中，，，即，同理，，，又，，即，，；（2）解：，，，，；故答案為：60；（3）解：，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．32．如圖，正方形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，以為對(duì)角線作正方形，邊與正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)H，連結(jié)．

(1)寫出和的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)求證：(3)連接，若正方形的邊長(zhǎng)為6，求出的最小值．【答案】(1)，詳見解析(2)詳見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，可證明，即可；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再證明，可得，即可；（3）證明，可得，從而得到A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，連接交于點(diǎn)O，當(dāng)E與C重合時(shí)，F(xiàn)與O重合，此時(shí)最小，再由勾股定理求出，即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：，證明：∵四邊形，四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵四邊形，四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：∵四邊形，四邊形是正方形，∴，，，∴，，∴，

∴，∴，∴A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，連接交于點(diǎn)O，當(dāng)E與C重合時(shí)，F(xiàn)與O重合，此時(shí)最小，

∵正方形的邊長(zhǎng)為6，∴，∴最小值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．矩形中，，是邊上一點(diǎn)，以為邊在矩形在內(nèi)部構(gòu)造矩形．

(1)特例發(fā)現(xiàn)如圖，當(dāng)時(shí)，；(2)類比探究如圖，如圖，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，連接，當(dāng)時(shí)，求的值；(3)拓展運(yùn)用如圖，矩形在旋轉(zhuǎn)的過程中，落在邊上時(shí)，若、、三點(diǎn)共線，時(shí)，當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)為．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，由矩形的性質(zhì)可得，，由線段和差關(guān)系可求，即可求解；（2）通過證明，可得；（3）由相似三角形的性質(zhì)可求，的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)，通過證明，可求解．【詳解】（1）解：如圖，延長(zhǎng)交于，

，，，矩形和矩形是正方形，，四邊形是矩形，，，，，，，故答案為：；（2）解：如圖，連接，，

，，，矩形和矩形是正方形，，，，，，∴；（3）解：，，設(shè)，，，，，，，又，，，，，，，，，，又，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．34．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得∠ACD=∠AFG=45°，進(jìn)而根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得∠CFM=∠ACM，再結(jié)合公共角，根據(jù)相似三角形的判定得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，再證明其夾角相等，便可證明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)果；（3）由已知條件求得正方形ABCD的邊長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理求得AM的長(zhǎng)度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，進(jìn)而求得正方形AEFG的對(duì)角線長(zhǎng)，便可求得其邊長(zhǎng)．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴∠ACD=∠AFG=45°，∵∠CFM=∠AFG，∴∠CFM=∠ACM=45°，∵∠CMF=∠AMC，∴△MFC∽△MCA；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，∴AC=AB，同理可得AF=，∴，∵∠EAF=∠BAC=45°，∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°，∴∠CAF=∠BAE，∴△ACF∽△ABE，∴；（3）∵DM=1，CM=2，∴AD=CD=1+2=3，∴AM=，∵△MFC∽△MCA，∴，即，∴FM=，∴AF=AM﹣FM=，∴AF=，即正方形AEFG的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用這些知識(shí)解決問題．35．如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長(zhǎng)；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．【分析】（1）①先利用平行線分線段成比例定理得，進(jìn)而得出結(jié)論；②利用①得出的比例式求出CE，再判斷出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出，即可得出結(jié)論；【詳解】解：（1）①∵DE∥BC，∴，由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，②在Rt△ABC中，AC=BC，∴，由①知，△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，∵△ABD∽△ACE，，∴，∵∴在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2，在Rt△ADE中，AE=DE，∴（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，，∴△ABD∽△ACE，∵AD=4，BD=3，∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，∴1+9k2=16-16k2，∴或（舍），（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，∵AD=p，BD=n，∴，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，，∵，，∴4p2=9m2+4n2．【點(diǎn)睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°和利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等來判斷兩三角形相似的方法應(yīng)用．36．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A，D，P三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G，CD交AB于點(diǎn)H.若CD＝2＋，求BD的長(zhǎng)．【答案】（1）1，60；（2），直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）BD＝．【分析】（1）根據(jù)α＝60°時(shí)，△ABC是等邊三角形，再證明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直線CD與AP所成的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△PBA∽△DBC，再得到=，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直線CD與AP所成的度數(shù)；（3）延長(zhǎng)CA，BD相交于點(diǎn)K，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及中位線定理證得∠BCD＝∠KCD，由（2）的結(jié)論求出AP的長(zhǎng)，再利用在Rt△PBD中，設(shè)PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=CB∵將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，∴△BDP是等邊三角形，∴BP=BD∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，∴∠PBA=∠DBC∴△PBA≌△DBC，∴AP=CD∴=1如圖，延長(zhǎng)CD交AB，AP分別于點(diǎn)G，H，則∠AHC為直線CD與AP所成的較小角，∵△PBA≌△DBC∴∠PAB=∠DCB∵∠HGA=∠BGC∴∠AHC＝∠ABC＝60°故答案為：1，60；（2）解：如圖，延長(zhǎng)CD交AB，AP分別于點(diǎn)M，N，則∠ANC為直線CD與AP所成的較小角，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝.∵PB＝PD，∠BPD＝90°，∴∠PBD＝∠PDB＝45°.在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝.∴＝，∠ABC＝∠PBD.

∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.即∠PBA＝∠DBC.∴△PBA∽△DBC.∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.

∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.

即＝，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°.(3)延長(zhǎng)CA，BD相交于點(diǎn)K，如圖.∵∠APB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，∴EP＝EA＝EB.∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.∵點(diǎn)E，F(xiàn)為AB，AC的中點(diǎn)，∴PFBC.∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.

∵∠BGP＝∠FGK，∴∠BPE＝∠K.∴∠K＝∠EBP，∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，∴∠K＝∠CBD.∴CB＝CK.∴∠BCD＝∠KCD.由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，∴∠PAB＝∠DCB.∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.∵∠BHD＝∠CHA，∴∠DBA＝∠DCA.∴∠DBA＝∠PAB.∴AD＝BD.由(2)知DC＝AP，∴AP＝.在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.∴x＝1.∴BD＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的方法．37．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝6，BP＝，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D到CP的距離．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【分析】（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，△ABC和△PBD為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；（2）過點(diǎn)作，求得，根據(jù)題意可得，可得，再根據(jù)，判定，得到，即可求解；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)在線段或當(dāng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，∵AB＝AC∴△ABC為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴△PBD為等邊三角形∴，∴在和中∴∴（2）過點(diǎn)作，如下圖：∵當(dāng)α＝120°時(shí)，∴，∴由勾股定理得∴∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，又∵∴又∵，∴∴∴∴（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)D到CP的距離就是的長(zhǎng)度當(dāng)在線段上時(shí)，如下圖：由題意可得：∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則當(dāng)在線段延長(zhǎng)線上，如下圖：則，由（2）得，設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則綜上所述：點(diǎn)D到CP的距離為或【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．38．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)．△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；(2)當(dāng)0°＜α≤360°時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE(2)結(jié)論仍然成立，證明見解析(3)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度是π；P點(diǎn)到直線BC距離的最大值是【分析】（1）分別求出AD、BE的長(zhǎng)即可解答；（2）先證明△BCE∽△ACD，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長(zhǎng)公式可求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點(diǎn)到直線BC距離的最大值即可．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=∴AD＝BE．故答案為：AD＝BE，AD⊥BE．（2）解：結(jié)論仍然成立，理由如下：∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，∴，＝，∴，∵△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE，∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD．（3）解：∵∠APB＝90°，

∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，如圖3，取AB的中點(diǎn)G，作⊙G，以點(diǎn)C為圓心，CE為半徑作⊙C，當(dāng)BE是⊙C切線時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，過點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，連接GP，∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，∵＝，∴∠EBC＝30°，

∴∠GBP＝30°，

∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°，

∴∠BGP＝120°，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為點(diǎn)C→點(diǎn)P→點(diǎn)C→點(diǎn)B→點(diǎn)C，∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度＝×2＝π，∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．

∴P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．39．已知，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且，過點(diǎn)作的垂線，并在垂線上矩形外側(cè)截取點(diǎn)F,使，連接，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．．

(1)如圖（1），當(dāng)，求的值．(2)如圖2，若，求m關(guān)于n的數(shù)量關(guān)系．(3)若旋轉(zhuǎn)至A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求m的值．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）如圖1，過作，交的延長(zhǎng)線于，先證明四邊形是矩形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理分別求出m、n的值，即可求解；（2）如圖2，連接，先后利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等證明、，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，分別畫出圖形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，過作，交的延長(zhǎng)線于，

四邊形是矩形，，，，，四邊形是矩形，，，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，故答案為：；（2）如圖2，連接，

在中，由勾股定理得：，在中，，，，，，，，，，，，，，即；（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)共線時(shí)，存在兩種情況：①如圖3，連接，

在中，由勾股定理得：，在中，，，，，，，，，，，，，，在中，，，；②如圖4，連接，

同理得：，，，，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、證明三角形相似是解題關(guān)鍵．40．綜合與實(shí)踐問題情境在綜合實(shí)踐課上，老師組織興趣小組開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究正方形的旋轉(zhuǎn)問題．在正方形和正方形中，點(diǎn)G，A，B在一條直線上，連接，（如圖1）．

操作發(fā)現(xiàn)（1）圖1中線段和的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形繞著點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)僅就圖2的情況說明理由．類比探究（3）如圖3，若將圖2中的正方形和正方形中都變?yōu)榫匦?，且，，?qǐng)僅就圖3的情況探究與之間的數(shù)量關(guān)系．拓展探索（4）在（3）的條件下，若，，矩形在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】（1）；；（2）成立；理由見解析；（3）；（4）或【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，證明，得出，，求出，即可證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)T，證明，得出，，求出，即可證明結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)T，證明，得出，求出即可；（4）分兩種情況討論，當(dāng)在線段上時(shí)，當(dāng)在線段上時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理，求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，如圖所示：

∵四邊形和都是正方形，∴，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案為：；．（2）成立；理由如下：延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)T，如圖所示：

∵四邊形和都是正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故答案為：；．（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)T，如圖所示：

∵四邊形和都是矩形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即．（4）當(dāng)在線段上時(shí)，如圖所示：

∵四邊形為矩形，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，根據(jù)解析（3）可知，，∴；當(dāng)在線段上時(shí)，如圖所示：

∵四邊形為矩形，∴，，，∴，∴，∴，∴，根據(jù)解析（3）可知，，∴；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等和三角形相似的判定方法，注意進(jìn)行分類討論．41．轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法之一，它可以在數(shù)與數(shù)、數(shù)與形、形與形之間靈活應(yīng)用．如圖1，已知在中，，，．請(qǐng)解答下面的問題：

(1)基礎(chǔ)鞏固如圖1，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則與之間的數(shù)量關(guān)系是__________；(2)拓展探究如圖2，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．①求證：；②用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題解決點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)，，在同一直線上時(shí)的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①見解析；②，理由見解析(3)的長(zhǎng)為或．【分析】（1）證明是等邊三角形，即可得到結(jié)論；（2）①利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，可證明；②證明是等邊三角形，在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）分兩種情況分析，A、Ｍ、Ｎ三點(diǎn)所在直線與不相交和與相交，然后利用勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)分別求解即可求得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∴是等邊三角形，∴；故答案為：；（2）①證明：點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，，，．．；②解：．理由如下：如圖，連接，

，，．，是等邊三角形．，．．．在中，由勾股定理得．．由①得，．．；（3）解：①如圖所示，

∵，，，∴，，，，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴；②如圖所示，

同理，，∴，∴；綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何變換綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．42．綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展教學(xué)活動(dòng)．【操作判斷】

如圖①，在矩形中，，點(diǎn)M，P分別在邊，上（均不與端點(diǎn)重合）且，以和為鄰邊作矩形，連接，．（1）如圖②，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為，與的數(shù)量關(guān)系為．【遷移探究】（2）如圖③，當(dāng)時(shí)，天天先將矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再連接，則CN與之間的數(shù)量關(guān)系是．【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，已知，，當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點(diǎn)共線時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1），；（2）；（3）線段的長(zhǎng)為或【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，所以，再證明，，三點(diǎn)在同一條直線上，由勾股定理得，，所以，于是得到問題的答案；（2）先證明，得，，則，，即可證明，再根據(jù)勾股定理求得，則，所以；（3）分兩種情況，一是，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，由勾股定理求得，則；二是，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，由勾股定理求得，則．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，四邊形和四邊形都是正方形，，，，，，，，，三點(diǎn)在同一條直線上，，，，，，故答案為：，；（2）發(fā)生變化，，理由：如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，則，，

，，，，，，，，，，，，；（3），，，，，，如圖4，，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，

，，，如圖5，，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，

，，綜上所述，線段的長(zhǎng)是或．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，本題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題關(guān)鍵．43．在中，，，點(diǎn)是平面內(nèi)不與點(diǎn)，重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、、．

(1)當(dāng)時(shí)，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的邊上時(shí)，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則與的數(shù)量關(guān)系是_______________；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，①中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明結(jié)論，若不成立，說明理由；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖3，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若點(diǎn)，，在一條直線上，且，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，求的值．【答案】(1)①；②成立，證明見解析；(2)①，理由見解析；②或【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定，易證和是等邊三角形，得到，，，再利用“”證明，即可得到與的數(shù)量關(guān)系；②由①可知，和是等邊三角形，進(jìn)而證明，得到，即可證明結(jié)論；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定，易證和是等腰直角三角形，得到，，，進(jìn)而得到，，易證，從而得到，即可得到與的數(shù)量關(guān)系；②設(shè)，則，根據(jù)等腰直角的性質(zhì)，得到，，分兩種情況討論：點(diǎn)在上和點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求解，即可求出，的值．【詳解】（1）解：①，，是等邊三角形，，，線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，故答案為：；②成立，理由如下：由①可知，和是等邊三角形，，，，，，在和中，，，；（2）解：①，理由如下：，，是等腰直角三角形，，，線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，；②，設(shè)，則，，，是等腰直角三角形，，，如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，是等腰直角三角形，，，，，由勾股定理得：，；如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)，

同理可知，，，由勾股定理得：，，綜上可知，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用分類討論的思想，熟練掌握手拉手—旋轉(zhuǎn)型全等是解題關(guān)鍵．44．【問題呈現(xiàn)】（1）如圖1，和都是等邊三角形，連接．求證：．

【類比探究】（2）如圖2，和都是等腰直角三角形，，連接．請(qǐng)直接寫出的值．

【拓展提升】（3）如圖3，和都是直角三角形，，且．連接．

①求的值；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）；【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到，由證明，即可得到；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，證明，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到答案；（3）由是直角三角形，可得，通過證明得到，從而得到，即可推出，最后由相似三角形的性質(zhì)即可得到答案；由得，，，得到，由三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等可得，從而得到．【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，，，，在和中，，，；（2）解：和都是等腰直角三角形，，，，，，，（3）是直角三角形，，令，則，，和都是直角三角形，，且，，，，，，，由得，，，，，，，，，即，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理，是解題的關(guān)鍵．45．【感受與猜想】

(1)如圖，四邊形和四邊形均為正方形，點(diǎn)正好落在對(duì)角線上．試猜想與的數(shù)量關(guān)系：__．【探究與證明】(2)如圖，四邊形和四邊形均為正方形，正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角()，連結(jié)，．()中的結(jié)論是否還成立，若成立，請(qǐng)給出證明．【拓展與延伸】(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，以為底邊向下作等腰直角三角形．①若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．②若點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，已知，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)成立，證明見解析；(3)①；②【分析】（1）由四邊形和四邊形均為正方形，得，，即可得；（2）連接，，由四邊形和四邊形均為正方形，可得，，，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（3）①連接，過作軸于，求出，，知是等腰直角三角形，而是等腰直角三角形，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)的等腰直角三角形，可得，即可求解；②連接，過作軸于，同①得出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線函數(shù)表達(dá)式，把即可求解．【詳解】解：（1）四邊形和四邊形均為正方形，，，，即；故答案為：；（2）（1）中的結(jié)論還成立，證明如下：連接，，如圖：

四邊形和四邊形均為正方形，，，，，，（3）①連接，過作軸于，如圖：

在中，令得，令得，，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，的等腰直角三角形，，，②連接，過作軸于，如圖：

為的中點(diǎn)，，，同①可得，，，，，，的等腰直角三角形，，，設(shè)的解析式為，，解得：，直線表達(dá)式為，

把，代入得，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形三邊的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．46．如圖1所示，矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線，相交于點(diǎn)P．（1）若，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋至如圖2所示的位置上，則線段與的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______．（2）若將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)就圖3所示的情況加以證明；若不成立，請(qǐng)寫出正確結(jié)論，并說明理由．（3）若，，將旋轉(zhuǎn)至?xí)r，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）BE＝DF，BE⊥DF；（2）結(jié)論：DF＝nBE，BE⊥DF，證明見祥解；（3）滿足條件的PD的值為6﹣5或6＋5．【分析】（1）如圖2中，結(jié)論：BE＝DF，BE⊥DF．證明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）結(jié)論：DF＝nBE，BE⊥DF，證明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）分兩種情形畫出圖形，利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可.【詳解】解：（1）如圖2中，結(jié)論：BE＝DF，BE⊥DF，理由：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形，AE＝AB，AF＝AD，∴AE＝AF，∵∠DAB＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，∴∠ADF＋∠PHD＝90°，∴∠DPH＝90°，∴BE⊥DF，故答案為：BE＝DF，BE⊥DF；（2）如圖3中，結(jié)論不成立，結(jié)論：DF＝nBE，BE⊥DF，∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，∴AD＝nAB，即AF＝nAE，∴AF∶AE=AD∶AB，∴AF∶AE＝AD∶AB，∵∠DAB＝∠EAF＝90°，∴∴∠BAE＝∠DAF，∴△BAE∽△DAF，∴DF∶BE＝AF∶AE＝n：1，∠ABE＝∠ADF，∴DF＝nBE，∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，∴∠ADF＋∠PHD＝90°，∴∠DPH＝90°，∴BE⊥DF；（3）如圖4﹣1中，當(dāng)點(diǎn)P在BE的延長(zhǎng)線上時(shí)，在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝10，AE＝5，∴BE＝＝5，∵△ABE∽△ADF，∴＝，∴＝，∴DF＝6，∵四邊形AEPF是矩形，∴AE＝PF＝5，∴PD＝DF﹣PF＝6﹣5；如圖4﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝10，AE＝5，∴BE＝＝5，∵△ABE∽△ADF，∴＝，∴＝，∴DF＝6，PF＝AE＝5，∴PD＝DF＋PF＝6＋5，綜上所述，滿足條件的PD的值為6﹣5或6＋5.【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，注意應(yīng)用分類思想解決問題，是一道較難的幾何綜合題.47．如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E、F分別是邊、上一點(diǎn)，且四邊形為邊長(zhǎng)為2的正方形，連接．（1）在圖1中，求的值；（2）將圖1中的正方形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，探究的值是否變化？若不變，請(qǐng)利用圖2求出該值；若變化請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）不變，；（3）或【分析】（1）延長(zhǎng)EG交AD于H，解直角三角形求出DH，GD即可解決問題；（2）連接BD，BG，證明△CBE∽△DBG即可求解；（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)G落在DE的延長(zhǎng)線上時(shí)，利用勾股定理及（2）的結(jié)論即可解答，②當(dāng)點(diǎn)G落在DE上時(shí)，同法可求解．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H；∵四邊形ABCD，四邊形BEGF為正方形，∴AB=BC=CD=AD=5，BE=EG=GF=FB=2，AB∥EG，AD∥BC∥FG，∴AH=BE=2，DH=CE=BC=BE=3，GH=AF=AB=BF=3，GH⊥AD，在Rt△DGH中，；∴；∴（2）連接，；∵四邊形ABCD，四邊形BEGF為正方形，∴∠DBC=∠DBA=45°，∠GBE=45°，；∴∠DBC+∠EBD=∠GBE+∠EBD，即∠CBE=∠DBG，∵BC=5，BE=2，∴，；∴；∴∴∴，∴即的值不變，（3）①當(dāng)點(diǎn)G在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，（如圖1）由（2）知：，∴．在中，，，∴，∴②當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，（如圖2）由（2）知：∴，∴．在中，，，∴，∴綜上：或【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．48．如圖，在中，，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，連接AD．(1)如圖1，點(diǎn)E恰好落在線段AB上．①求證：；②猜想和的關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線BE交線段AC于點(diǎn)F，若，，求CF的長(zhǎng)．【答案】(1)①見解析；②，理由見解析(2)3或【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，根據(jù)相似的判定定理即可得證；②由旋轉(zhuǎn)和相似三角形的性質(zhì)得，由得，故，代換即可得出結(jié)果；（2）設(shè)，作于H，射線BE交線段AC于點(diǎn)F，則，由旋轉(zhuǎn)可證，由相似三角形的性質(zhì)得，即，由此可證，故，求得，分情況討論：①當(dāng)線段BE交AC于F時(shí)、當(dāng)射線BE交AC于F時(shí)，根據(jù)相似比求出x的值，再根據(jù)勾股定理即可求出CF的長(zhǎng)．【詳解】（1）①∵將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，，∴；②，理由如下：∵將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）設(shè)，作于H，射線BE交線段AC于點(diǎn)F，則，∵將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，，∴，∴，，即，∵，∴，∴，∵，，∴①當(dāng)線段BE交AC于F時(shí)，解得，（舍），∴，②當(dāng)射線BE交AC于F時(shí)，解得（舍），，∴，綜上，CF的長(zhǎng)為3或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．49．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC上，BDBC，將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至DE，連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側(cè)作等腰直角三角形CEF，連接AF．(1)如圖1，當(dāng)α＝180°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，①如圖2，（1）中線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；②如圖3，當(dāng)BC＝10，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，求線段AF的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)①仍然成立，理由見解析；②2．【分析】（1）根據(jù)題意得BD=DE=EC=BC，進(jìn)而可得△ABC∽△FEC，得出，由BC=AC，推出，即可得出答案；（2）①可證得△ACF∽△BCE，從而得出結(jié)果；②作DG⊥BF于G，可推出△BDG∽△BCF，進(jìn)而得出BG=BF，DG=CF，進(jìn)一步得出DG=BG，進(jìn)而在Rt△BDG中根據(jù)勾股定理求得BG，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】（1）當(dāng)α=1