平面向量及其運(yùn)算及平面向量及其加減運(yùn)算課后訓(xùn)練

、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小。②零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行。③單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量。④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量。⑤平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。向量加減法：①求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。②向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即：=+()；可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)。③實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，，方向是任意的。④兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。3、平面向量的坐標(biāo)表示（1）平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量可表示成，記作=(x,y)。（2）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2).①若，則②若，則③若，則④若，則；若，則注意：與軸、軸方向相同兩個(gè)單位向量、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；由定理可將任一向量ａ在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被，、唯一確定的數(shù)量。⑤向量運(yùn)算運(yùn)算律：；；；4、平面向量的數(shù)量積：（1）“投影”的概念：||cos叫做向量在方向上的投影（2）；規(guī)定；幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上投影||cos的乘積（3）設(shè)和都是非零向量，則=1\*GB3①．=2\*GB3②當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或．=3\*GB3③．（4）運(yùn)算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③（5）坐標(biāo)運(yùn)算：若，則，或；設(shè)非零向量，，則；．1.已知，其中。⑴求證：與互相垂直；⑵若與（）的長(zhǎng)度相等，求。2.(2013·江蘇)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．3.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(A,2)，cos2A))，且m·n＝eq\f(7,2).(1)求角A的大??；(2)若a＝eq\r(3)，試判斷bc取得最大值時(shí)△ABC的形狀。4.設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，eq\r(3)sin2x)，x∈R.(1)若f(x)＝1－eq\r(3)且x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]，求x；(2)若y＝2sin2x的圖象按向量c＝(m，n)(|m|<eq\f(π,2))平移后得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，求實(shí)數(shù)m、n的值。5.已知向量=3i－4j，=6i－3j，=（5－m）i－（4＋m）j，其中i、j分別是直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量。（1）若A、B、C能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件；（2）若ΔABC為直角三角形，且∠A為直角，求實(shí)數(shù)m的值。1．下列命題中正確的是（）A．B．C．D．2．設(shè)點(diǎn)，,若點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．或D．無數(shù)多個(gè)3．若平面向量與向量的夾角是，且，則()A．B．C．D．4．向量，，若與平行，則等于

A．B．C．D．5．若是非零向量且滿足，，則與的夾角是（）A．B．C．D．6．設(shè)，，且，則銳角為（）A．B．C．D．7．若，且，則向量與的夾角為．8．已知向量，，，若用和表示，則=____。9．若,，與的夾角為，若，則的值為．10．若菱形的邊長(zhǎng)為，則__________。11．若=，=，則在上的投影為________________。12．已知，，其中．

(1)求證：與互相垂直；(2)若與的長(zhǎng)度相等，求的值(為非零的常數(shù))．?dāng)?shù)學(xué)《平面向量》復(fù)習(xí)卷一、填空題1、向量的兩個(gè)要素是：和。2、A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，則向量、、的關(guān)系是.3、下列命題：①若兩個(gè)向量相等則起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若=，則ABCD是平行四邊形；③若ABCD是平行四邊形，則=；④=，=則=；其中正確的序號(hào)是.4、如圖所示，四邊形ABCD與ABDE都是平行四邊形，則①與向量平行的向量有；EDCAB②若｜｜=1.5,則｜｜=EDCAB5、如圖，四邊形ABCD與ABDE都是平行四邊形①與向量相等的向量有；②若||=3，則向量的模等于。6、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，=,=,=,則｜++｜為7、在四邊形ABCD中，=+，則ABCD是形。8、化簡(jiǎn)(-)+(-)的結(jié)果是。9、化簡(jiǎn)：-+.10、一架飛機(jī)向西飛行100km,然后改變方向向南飛行100km,飛機(jī)兩次位移的和為。二、選擇題1、在四邊形ABCD中，＝，且｜｜＝｜｜，那么四邊形ABCD為()A．平行四邊形B．菱形C．長(zhǎng)方形D．正方形2、等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在兩腰AD、BC上，EF過點(diǎn)P且EF∥AB，則下列等式正確的是（）A.=B.=C.=D.=3.四邊形ABCD中，若向量與是平行向量，則四邊形ABCD()A.是平行四邊形 B.是梯形C.是平行四邊形或梯形 D.不是平行四邊形，也不是梯形4、D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則下列等式不成立的是()A.+＝ B.++＝0C.+＝ D.+＝5、設(shè)是的相反向量，則下列說法錯(cuò)誤的是()A.與的長(zhǎng)度必相等 B.∥C.與一定不相等 D.是的相反向量6、下列四式不能化簡(jiǎn)為的是()A.(+)+ B.(+)+(+)C.+- D.-+7、□ABCD中，-+等于()A.B. C. D.8、已知一點(diǎn)O到平行四邊形ABCD的3個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量分別為、、，則向量等于（）A.++B.-+C.+-D.--9、已知平行四邊形ABCD，O為平面上任意一點(diǎn).設(shè)=，=，=，=，則（）A.+++=B.-+-=C.+--=D.--+=10、化簡(jiǎn)下列各式：①++；②-+-；③-+；④++-.結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.411、下列說法不正確的是（）A.零向量是沒有方向的向量B.零向量的方向是任意的C.零向量與任一向量平行D.零向量只能與零向量相等三、解答題1.如圖：1已知a、b、c、d，求作向量ab、cd。aabbccd2已知a、b、c，求作aaabbccd 2.如圖△ABC中M、N、P分別是AB、AC、BC邊的中點(diǎn)，在圖中畫出：+－。3.如圖，D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，(1)寫出圖中與、、相等的向量，(2)寫出向量的相反向量.(3)設(shè)＝，＝，用、表示4.作圖題：已知向量，求作。5.如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，設(shè)，，（1）試用向量，表示下列向量：=▲；=▲；（2）求作：、．(保留作圖痕跡,寫出結(jié)果，不要求寫作法)．BBCADO6.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，DE＝AD，設(shè)，。（1）試用向量，表示下列向量：____________，____________。（2）求作：、。（保留作圖痕跡，寫出結(jié)果）7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（2,0）、（-1,3）、（-2，-2）.（1）在圖中作向量；（2）在圖中作向量；（3）填空：.8.如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC，點(diǎn)E在邊BC上，聯(lián)結(jié)DE，AC．（1）填空：___________；____________；（2）如果把圖中線段都畫成有向線段，那么在這些有向線段所表示的向量中，試寫出四個(gè)與向量平行的向量是；ACEBACEBD答案：填空題1、大小方向2、3、③④4、①②35、①②66、7、平行四邊形8、9、10、二、選擇題1、B2、D3、C4、C5、C6、C7、A8、B9、B10、C11、A三、解答題1、aaaabbcccddaba+cba+c3、4、略5、(1)(2)(3)6、略7、解：因?yàn)槊總€(gè)小孩所用的力有各自的方向，所以每個(gè)小孩所用的力都可看作為一個(gè)向量。又因?yàn)樗麄兪褂玫拇笮∫粯?，所以這三個(gè)力向量的長(zhǎng)度相等。設(shè)三個(gè)小孩所用拉力分別為、、，且兩兩夾角為120°、以、為鄰邊作平行四邊形OBDC?！遼|=||∴四邊形OBDC是菱形。O∠BOD=∠BOC=60°，∴||=||.O∵∠AOB+∠BOD=180°，∴=-.∴++=+（+）=+=+（-）=.∵三個(gè)小孩的拉力的合力為,