類型二圖形規(guī)律

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁類型二圖形邏輯1．操作：將一個邊長為1的等邊三角形（如圖1）的每一邊三等分，以居中那條線段為底邊向外作等邊三角形，并去掉所作的等邊三角形的一條邊，得到一個六角星（如圖2），稱為第一次分形．接著對每個等邊三角形凸出的部分繼續(xù)上述過程，即在每條邊三等分后的中段向外畫等邊三角形，得到一個新的圖形（如圖3），稱為第二次分形．不斷重復(fù)這樣的過程，就能得到雪花曲線．問題：（1）從圖形的對稱性看見，圖4是圖形（軸對稱或中央對稱圖形）（2）圖2的周長為；（3）試預(yù)測第n次分形后所得圖形的周長為．【答案】中央對稱圖形又是軸對稱圖形，4，3×（）n．【點(diǎn)撥】（1）按照圖形變化邏輯，圖4依然關(guān)于原三角形的對稱軸成軸對稱，關(guān)于對稱中央成中央對稱；（2）分形后，三角形的邊長增強(qiáng)，變?yōu)楸緛淼?，再乘?就是周長；（3）每一次分形后，邊長都變?yōu)楸緛淼模趎次分形后邊長就變?yōu)楸緛淼模ǎ﹏倍，再乘以3就是周長．【解析】解：（1）圖4是中央對稱圖形又是軸對稱圖形．（2）按照題意，邊長為×4=，周長為×3=4；（3）n次分形，邊長變?yōu)楸緛淼模ǎ﹏倍，周長為3×（）n×1=3×（）n．故答案為：中央對稱圖形又是軸對稱圖形，4，3×（）n．2．如圖是一個裝點(diǎn)延續(xù)旋轉(zhuǎn)閃耀所成的四個圖形，照此邏輯閃耀，第2012次閃耀展示出來的圖形是（）A． B． C． D．【答案】B【點(diǎn)撥】從所給四個圖形中可以得出每旋轉(zhuǎn)一次的度數(shù)，按照陰影所處的位置的邏輯即可算出2012次之后的圖形．【解析】解：易得每旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)角為90°，即每4次旋轉(zhuǎn)一周，∵2012÷4=503，即第2012次與第4次的圖案相同．故選B．3.將一些相同的“”按如圖所示擺放，看見每個圖形中的“”的個數(shù)，若第n個圖形中“”的個數(shù)是78，則n的值是()第1題圖A．11B．12C．13D．14【答案】B【解析】由每個圖形中小圓的個數(shù)邏輯可得第n個圖形中，小圓的個數(shù)為eq\f(n（n＋1）,2)，由此可得方程eq\f(n（n＋1）,2)＝78，解得n＝12，故選B.4.如圖，在第1個△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延伸CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延伸A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個△A2A3E，…，按此做法繼續(xù)下去，則第n個三角形中以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是()A.(eq\f(1,2))n·75°B.(eq\f(1,2))n－1·65°C.(eq\f(1,2))n－1·75°D.(eq\f(1,2))n·85°【答案】C【解析】在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝eq\f(180°－∠B,2)＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝eq\f(1,2)∠BA1C＝eq\f(1,2)×75°；同理可得，∠EA3A2＝(eq\f(1,2))2×75°，∠FA4A3＝(eq\f(1,2))3×75°，∴第n個三角形中以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是(eq\f(1,2))n－1×75.下列圖形都是由相同大小的按一定邏輯組成的，其中第①個圖形中一共有4顆，第②個圖形中一共有11顆，第③個圖形中一共有21顆，…，按此邏輯羅列下去，第⑨個圖形中的顆數(shù)為()116B.144C.145D.150【答案】B【解析】將圖中下半部分組成的梯形放到矩形上方，第n個組合圖形可看作是由下半部分為n行n列方陣和上半部分的梯形成，第n個圖中方陣中的為(n＋1)2，梯形中為eq\f(2＋n,2)·(n－1)＝eq\f(n2＋n－2,2)，∴第n個圖中的的個數(shù)為(n＋1)2＋eq\f(n2＋n－2,2)＝eq\f(3n2,2)＋eq\f(5n,2)，令n＝9，解得第9個中個數(shù)為144個．6.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1，O2，O3，…，組成一條平滑的曲線．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿這條曲線向右運(yùn)動，速度為每秒eq\f(π,2)個單位長度，則第2017秒時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A.(2014，0)B.(2015，－1)C.(2017，1)D.(2016，0)【答案】C【解析】由圖象可知，半圓的周長為π，∴運(yùn)動一秒后的坐標(biāo)為(1，1)，兩秒后的坐標(biāo)為(2，0)，三秒后的坐標(biāo)為(3，－1)，四秒后的坐標(biāo)為(4，0)，…，其中縱坐標(biāo)以1，0，－1，0循環(huán)變化，∵2017÷4＝504……1，∴第2017秒時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2017，1)．7.如圖所示，將形狀、大小徹低相同的“”和線段按照一定邏輯擺成下列圖形．第1幅圖形中“”的個數(shù)為a1，第2幅圖形中“”的個數(shù)為a2，第3幅圖形中“”的個數(shù)為a3，…，以此類推，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a19)的值為()eq\f(20,21)B.eq\f(61,84)C.eq\f(589,840)D.eq\f(431,760)【答案】C【解析】由所給圖形可知，a1＝3＝22－1＝(1＋1)2－1，a2＝8＝32－1＝(2＋1)2－1，a3＝15＝42－1＝(3＋1)2－1，a4＝24＝52－1＝(4＋1)2－1，由此預(yù)測an＝(n＋1)2－1＝n(n＋2)，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a19)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,15)＋…＋eq\f(1,19×21)＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,18)－eq\f(1,20)＋eq\f(1,19)－eq\f(1,21))＝eq\f(1,2)×(1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,20)－eq\f(1,21))＝eq\f(589,840).8.如圖，將矩形ABCD繞其右下角的頂點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，繼續(xù)繞右下角的頂點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，依此類推，這樣延續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次．若AB＝4，AD＝3，則頂點(diǎn)A在囫圇旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為()A.2017πB.2034πC.3024πD.3026π【答案】D【解析】∵AB＝4，AD＝3，∴AC＝BD＝5，轉(zhuǎn)動一次A的路線長是eq\f(90·π·4,180)＝2π，轉(zhuǎn)動第二次A的路線長是eq\f(90·π·5,180)＝eq\f(5,2)π，轉(zhuǎn)動第三次A的路線長是eq\f(90·π·3,180)＝eq\f(3,2)π，轉(zhuǎn)動第四次A的路線長是0，以此類推，每四次一個循環(huán)，且頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動一個循環(huán)的路線長為：eq\f(5,2)π＋eq\f(3,2)π＋2π＝6π，∵2017÷4＝504……1，∴頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動2017次經(jīng)過的路線長為：6π×504＋2π＝3026π.9.如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O(0，0)，B(2，2)，若菱形繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時，菱形的對角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為()(1，－1)B.(－1，－1)C.(eq\r(2)，0)D.(0，eq\r(2))【答案】B【解析】∵菱形OABC的頂點(diǎn)O(0，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，2)，∴BO與x軸的夾角為45°，∵菱形的對角線互相垂直平分，∴點(diǎn)D是線段OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1，1)，∵菱形繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，360°÷45°＝8，∴每旋轉(zhuǎn)8秒，菱形的對角線交點(diǎn)就回到本來的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒時是把菱形繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)了7周回到本來位置后，又旋轉(zhuǎn)了4秒，即又旋轉(zhuǎn)了4×45°＝180°，∴點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)落在第三象限，且對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O成中央對稱，∴第60秒時，菱形的對角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，－1)．10.某廣場用同一種如下圖所示的地磚拼圖案，第一次拼成形如圖①所示的圖案，第二次拼成形如圖②所示的圖案，第三次拼成形如圖③所示的圖案，第四次拼成形如圖④所示的圖案…按照這樣的邏輯舉行下去，第n次拼成的圖案共用地磚________塊．【答案】2n2＋2n【解析】①4，②4＋2×4，③4＋2×4＋2×6，…，故第n個圖形共有4＋2×4＋2×6＋…＋2×2n＝4＋4×2＋4×3＋…＋4n＝4(1＋2＋3＋…＋n)＝4×eq\f(n（n＋1）,2)＝2n2＋2n.11.下列圖形都是由大小相同的小正方形按一定邏輯組成的，其中第1個圖形的周長為4，第2個圖形的周長為10，第3個圖形的周長為18，…，按此邏輯羅列，第5個圖形的周長為________．【答案】40【解析】第一個圖形周長1×2＋1×2；第二個圖形周長(2＋1)×2＋2×2；第三個圖形周長(3＋2＋1)×2＋2×3；第四個圖形周長(4＋3＋2＋1)×2＋2×4；第五個圖形周長(5＋4＋3＋2＋1)×2＋2×5＝40.12.如圖，在△ABC中，BC＝1，點(diǎn)P1、M1分離是AB、AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P2、M2分離是AP1、AM1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3、M3分離是AP2、AM2的中點(diǎn)，按這樣的邏輯下去，PnMn的長為________(n為正整數(shù))．【答案】eq\f(1,2n)【解析】在△ABC中，BC＝1，P1、M1分離是AB、ACnnnn的中點(diǎn)，∴P1M1＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，按照題設(shè)給定的邏輯，列表如下：圖形序號PnMnPnMn的長度①P1M1eq\f(1,2)②P2M2eq\f(1,4)＝eq\f(1,22)③P3M3eq\f(1,8)＝eq\f(1,23)………nPnMneq\f(1,2n)13.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如圖所示放置，點(diǎn)A1、A2、A3…在直線y＝x＋1上，點(diǎn)C1、C2、C3…在x軸上，則An的坐標(biāo)是________．【答案】(2n－1－1，2n－1)【解析】∵點(diǎn)A1、A2、A3…在直線y＝x＋1上，∴A1的坐標(biāo)是(0，1)，即OA1＝1，∵四邊形A1B1C1O為正方形，∴OC1＝1，即點(diǎn)A2的橫坐標(biāo)為1，∴A2的坐標(biāo)是(1，2)，A2C1＝2，∵四邊形A2B2C2C1為正方形，∴C1C2＝2，∴OC2＝1＋2＝3，即點(diǎn)A3的橫坐標(biāo)為3，∴A3的坐標(biāo)是(3，4)，…，看見可以發(fā)現(xiàn)：A1的橫坐標(biāo)是：0＝20－1，A1的縱坐標(biāo)是：1＝20；A2的橫坐標(biāo)是：1＝21－1，A2的縱坐標(biāo)是：2＝21；A3的橫坐標(biāo)是：3＝22－1，A3的縱坐標(biāo)是：4＝22；…據(jù)此可以得到An的橫坐標(biāo)是：2n－1－1，縱坐標(biāo)是：2n－1.所以點(diǎn)An的坐標(biāo)是(2n－1－1，2n－1)．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝2x和y＝－x的圖象分離為直線l1，l2，過點(diǎn)(1，0)作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A3，過點(diǎn)A3作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A4，…，依次舉行下去，則點(diǎn)A2017的坐標(biāo)為________．【答案】(21008，21009)【解析】看見，發(fā)現(xiàn)邏輯：A1(1，2)，A2(－2，2)，A3(－2，－4)，A4(4，－4)，A5(4，8)，…，∴A2n＋1((－2)n，2(－2)n)，A2n＋2(－2)n＋1，2(－2)n，(n為天然數(shù))，∵2017＝1008×2＋1，∴A2017的坐標(biāo)為((－2)1008，2(－2)1008)＝(21008，21009)．15.如圖，∠MON＝60°，作邊長為1的正六邊形A1B1C1D1E1F1，邊A1B1、F1E1分離在射線OM、ON上，邊C1D1所在的直線分離交OM、ON于點(diǎn)A2、F2，以A2F2為邊作正六邊形A2B2C2D2E2F2，邊C2D2所在的直線分離交OM、ON于點(diǎn)A3、F3，再以A3F3為邊作正六邊形A3B3C3D3E3F3，…，依此邏輯，經(jīng)第n次作圖后，點(diǎn)Bn到ON的距離是________．【答案】3n－1eq\r(3)【解析】由題可知，∠MON＝60°，不妨設(shè)Bn到ON的距離為hn，∵正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為1，則A1B1＝1，易知△A1OF1為等邊三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，則h1＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，則h2＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，同理可求：OB3＝18，則h3＝18×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3)，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，則hn＝2×3n－1×eq\f(\r(3),2)＝3n－1eq\r(3)，∴Bn到ON的距離hn＝3n－1eq\r(3).16.如圖，Rt△OA0A1在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以O(shè)A1為直角邊向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90，∠A1OA2＝30°，以O(shè)A2為直角邊向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此主意舉行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2016A2017，若點(diǎn)A0(1，0)，則點(diǎn)A2017的橫坐標(biāo)為________．【答案】(eq\f(4,3))1008【解析】由題意可知，經(jīng)過12次變換后，點(diǎn)A13落在射線OA1上，∵2017÷12＝168……1，∴點(diǎn)A2017落在射線OA1上，其橫坐標(biāo)與點(diǎn)A2016相同，∵OA0＝1，經(jīng)過12次變換后，OA12＝(eq\f(2\r(3),3))12，再經(jīng)過12次變換后，OA24＝(eq\f(2\r(3),3))24，綜上可預(yù)測，OA2016＝(eq\f(2\r(3),3))2016＝(eq\f(4,3))1008，∴點(diǎn)A2017的橫坐標(biāo)為(eq\f(4,3))1008.17.如圖，直線y＝eq\f(\r(3),3)x上有點(diǎn)A1，A2，A3，…，An＋1，且OA1＝1，A1A2＝2，A2A3＝4，…，AnAn＋1＝2n，分離過點(diǎn)A1，A2，A3，…，An＋1作直線y＝eq\f(\r(3),3)x的垂線，交y軸于點(diǎn)B1，B2，B3，…，Bn＋1，依次銜接A1B2，A2B3，A3B4，…，AnBn＋1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn＋1，則△AnBnBn＋1的面積為________(用含正整數(shù)n的式子表示)．【答案】eq\f(\r(3),2)×22n－eq\f(\r(3),2)×2n【解析】如解圖，作A1C1⊥x軸于C1，A2C2⊥x軸于C2，AnCn⊥x軸于Cn，∵點(diǎn)An在直線上y＝eq\f(\r(3),3)x，∴eq\f(A1C1,OC1)＝eq\f(A2C2,OC2)＝eq\f(AnCn,OCn)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠AnOCn＝30°，∴OCn＝eq\f(\r(3),2)OAn＝eq\f(\r(3),2)(1＋2＋22＋…＋2n－1)，∠AnOBn＝60°，∵BnAn⊥OAn，∴OBn＝2OAn，∴BnBn＋1＝2OAn＋1－2OAn＝2AnAn＋1＝2×2n＝2n＋1.S△AnBnBn＋1＝eq\f(1,2)BnBn＋1×OCn＝eq\f(1,2)×2n＋1·eq\f(\r(3),2)(1＋2＋22＋…＋2n－1)，設(shè)S＝1＋2＋4＋…＋2n－1，則2S＝2＋4＋…＋2n＋1＋2n，∴S＝2S－S＝(2＋4＋…＋2n－1＋2n)－(1＋2＋4＋…＋2n－1)＝2n－1，綜上可知S△AnBnBn＋1＝eq\f(1,2)×2n＋1×eq\f(\r(3),2)(2n－1)＝eq\f(\r(3),2)×22n－eq\f(\r(3),2)×2n.18.如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)O1是∠AOB平分線上一點(diǎn)，OO1＝2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分離為A1，B1，以A1B1為邊作等邊三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分離為A2，B2，以A2B2為邊作等邊三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分離為A3，B3，以A3B3為邊作等邊三角形A3B3O4；…，按這樣的主意繼續(xù)下去，則△AnBnOn的面積為________(用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示)．【答案】eq\f(32n－2,4n)eq\r(3)【解析】∵∠AOB＝60°，OOn平分∠AOB，∴∠AOOn＝30°，∵A1O1⊥AO，OO1＝2，∴A1O1＝1，OA1＝eq\r(3).∵O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，∴O1A1＝O1B1，∵O1O＝O1O，∴Rt△O1A1O≌Rt△O1B1O(HL)，∴OA1＝OB1，∵∠A1OB1＝60°，∴△A1OB1是等邊三角形，∴A1B1＝OA1＝eq\r(3)，∵△A1O2B1是等邊三角形，∴A1O2＝A1B1＝eq\r(3)，在Rt△A1O2A2中，∠O2A1A2＝60°，A1O2＝eq\r(3)，∴A2O2＝eq\f(\r(3),2)A1O2＝eq\f(3,2)O1A1，同理A3O3＝eq\f(\r(3),2)A2O3＝(eq\f(3,2))2A1O1，∴AnOn＝(eq\f(3,2))n－1A1O1.又S△O1A1B1＝2S△O1A1O－S△A1B1O＝2×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)－eq\f(\r(3),4)·(eq\r(3))2＝eq\f(\r(3),4).易得∠AnOnBn＝∠A1O1B1＝120°，AnOn＝BnOn，∴eq\f(AnOn,A1O1)＝eq\f(BnOn,B1O1)，∴△A1O1B1∽△AnOnBn，∴eq\f(S△AnBnOn,S△A1B1O1)＝(eq\f(AnOn,A1O1))2＝(eq\f(3,2))2n－2.∴S△AnBnOn＝eq\f(32n－2,4n)eq\r(3).19．課題：兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞著某一頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題．實(shí)驗(yàn)與論證設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A1A0B1＝α(α＜∠A1A0A2)，，，，所表示的角如圖所示．(1)用含α的式子表示角的度數(shù)：________，________，________；(2)如上圖①～圖④中，連結(jié)A0H時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請?zhí)暨x其中的一個圖給出證實(shí)；若不存在，請說明理由；歸納與預(yù)測設(shè)正n邊形A0A1A2…與正n邊形A0B1B2…重合(其中，A1與B1重合)，現(xiàn)將正n邊形A0B1B2…繞頂點(diǎn)A0逆時針旋轉(zhuǎn)．(3)設(shè)與上述“，，…”的意義—樣，請直接寫出的度數(shù)；(4)試預(yù)測在正n邊形的情形下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應(yīng)的頂點(diǎn)字母表示出來(不要求證實(shí))；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，．(2)存在．下面就所選圖形的不同分離給出證實(shí)(3)當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，．(4)存在．當(dāng)n為奇數(shù)時，直線A0H垂直平分；當(dāng)n為偶數(shù)時，直線A0H垂直平分．【點(diǎn)撥】（1）要求的度數(shù)，應(yīng)從旋轉(zhuǎn)中有關(guān)角度的變與不變上突破；（2）結(jié)合圖形比較容易得到被A0H垂直平分的線段，在證實(shí)時要充足利用背景中正多邊形及旋轉(zhuǎn)中的角度；（3）要探索的度數(shù)，要注重區(qū)別正偶數(shù)邊形及正奇數(shù)邊形兩種情形去思量與求解度數(shù)的表達(dá)式；（4）要探索正n邊形中被A0H垂直平分的線段，也應(yīng)注重區(qū)別正偶數(shù)邊形及正奇數(shù)邊形兩種情形去思量與突破.【解析】解：(1)，，．(2)存在．下面就所選圖形的不同分離給出證實(shí)：選圖①．圖①中有直線A0H垂直平分A2B1(如圖所示)，證實(shí)如下：證法一：證實(shí)：∵△A0A1A2與△A0B1B2是全等的等邊三角形，∴A0A2＝A0B1，∴∠A0A2Bl＝∠A0B1A2．又∠A0A2H＝∠A0B1H＝60°，∴∠HA2Bl＝∠HB1A2，∴A2H＝B1H，∴點(diǎn)H在線段A2B1的垂直平分線上．又∵A0A2＝A0B1，∴點(diǎn)A0在線段A2B1的垂直平分線上．∴直線A0H垂直平分A2B1．證法二：證實(shí)：∵△A0A1A2與△A0B1B2是全等的等邊三角形，∴A0A2＝A0B1，∴∠A0A2B1＝∠A0BlA2．又∠A0A2H＝∠A0B1H，∴∠HA2Bl＝∠H