高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)測(cè)評(píng)5-3平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)二十七平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a·b=1,則x= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選D.a·b=1×2+(1)×x=2x=1,所以x=1.2.(2020·十堰模擬)若夾角為θ的向量a與b滿足|b|=|ab|=1,且向量a為非零向量,則|a|= ()A.2cosθ B.2cosθC.cosθ D.cosθ【解析】選B.因?yàn)閨b|=|ab|=1,所以b2=a22a·b+b2,a2=2a·b,|a|2=2|a||b|cosθ,因?yàn)閍為非零向量,所以|a|=2|b|cosθ=2cosθ.3.(多選)在直角坐標(biāo)平面上,=(1,4),=(3,1),且與在直線l的方向向量上的投影的長(zhǎng)度相等,則直線l的斜率k的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選BC.設(shè)直線l的一個(gè)方向向量為v=(1,k),由題意可得=,所以|1+4k|=|3+k|,解得k=QUOTE或QUOTE.4.(2019·廣州模擬)已知非零向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|a2b|=2,則|b|等于 ()A.4 B.2 C.QUOTE D.1【解析】選D.因?yàn)閨a2b|=2,所以|a2b|2=4,a24a·b+4b2=4,44·2|b|cos60°+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b|=0舍去)5.(2020·山東新高考模擬)設(shè)向量a=(1,1),b=(1,3),c=(2,1),且(aλb)⊥c,則λ= ()A.3 B.2 C.2 D.3【解析】選A.由題,得aλb=(1+λ,13λ),由(aλb)⊥c,從而2×(1+λ)+1×(13λ)=0,解得λ=3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知△ABC的三邊長(zhǎng)均為1,且=c,=a,=b,則a·b+b·c+a·c=________.

【解析】因?yàn)?lt;a,b>=<b,c>=<a,c>=120°,|a|=|b|=|c|=1,所以a·b=b·c=a·c=1×1×cos120°=QUOTE,a·b+b·c+a·c=QUOTE.答案:QUOTE7.已知向量m與n滿足|m|=1,|n|=2,且m⊥(m+n),則向量m與n的夾角為_(kāi)_______. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】設(shè)m,n的夾角為θ,因?yàn)閙⊥(m+n),所以m·(m+n)=m2+m·n=1+1×2cosθ=0,所以cosθ=QUOTE,又θ∈QUOTE,所以θ=QUOTE.答案:QUOTE【變式備選】已知向量a,b滿足|a|=|b|=2且(a+2b)·(ab)=2,則向量a與b的夾角為_(kāi)_______.

【解析】設(shè)a與b的夾角為θ.由已知a22b2+a·b=2,48+4cosθ=2,cosθ=QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE,即a與b的夾角為QUOTE.答案:QUOTE8.設(shè)e1,e2為單位向量,其中a=2e1+e2,b=e2,且a在b上的投影為2,則a·b=________,e1與e2的夾角為_(kāi)_______.

【解析】設(shè)e1,e2的夾角為θ,因?yàn)閍在b上的投影為2,所以=2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cosθ+1=2,解得cosθ=QUOTE,則θ=QUOTE.a·b=(2e1+e2)·e2=2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cosθ+1=2.答案:2QUOTE【變式備選】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則·的值為_(kāi)_______;·的最大值為_(kāi)_______.

【解析】以射線AB,AD為x軸,y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設(shè)E(t,0),t∈[0,1],則=(t,1),=(0,1),所以·=(t,1)·(0,1)=1.因?yàn)?(1,0),所以·=(t,1)·(1,0)=t≤1,·的最大值為1.答案:11三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120°. 導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)計(jì)算:①|(zhì)a+b|,②|4a2b|.(2)當(dāng)k為何值時(shí),(a+2b)⊥(kab).【解析】由已知a·b=4×8×QUOTE=16.(1)①因?yàn)閨a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(16)+64=48,所以|a+b|=4QUOTE.②因?yàn)閨4a2b|2=16a216a·b+4b2=16×1616×(16)+4×64=768,所以|4a2b|=16QUOTE.(2)因?yàn)?a+2b)⊥(kab),所以(a+2b)·(kab)=0,ka2+(2k1)a·b2b2=0,即16k16(2k1)2×64=0,k=7,所以當(dāng)k=7時(shí),a+2b與kab垂直.10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(2,1).(1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng).(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)·=0,求t的值. 導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】(1)由已知=(3,5),=(1,1),則+=(2,6),=(4,4).所以|+|=2QUOTE,||=4QUOTE.所以所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為4QUOTE,2QUOTE.(2)由已知,=(2,1),t=(3+2t,5+t).由(t)·=0得(3+2t,5+t)·(2,1)=0,所以5t=11,所以t=QUOTE.(15分鐘35分)1.(5分)(2020·潮州模擬)已知向量a、b為單位向量,且a+b在a的方向上的投影為QUOTE+1,則向量a與b的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.設(shè)向量a與b的夾角為θ,因?yàn)橄蛄縜、b為單位向量,a+b在a的方向上的投影為QUOTE+1,所以(a+b)·a=|a|QUOTE,變形得1+a·b=QUOTE+1,即a·b=1×1×cosθ=cosθ=QUOTE,又由0≤θ≤π,則θ=QUOTE,故選A.2.(5分)(2019·開(kāi)封模擬)已知向量a=(m1,1),b=(m,2),則“m=2”是“a⊥b”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.當(dāng)m=2時(shí),a=(1,1),b=(2,2),所以a·b=22=0,所以充分性成立;當(dāng)a⊥b時(shí),a·b=m(m1)2=0,解得m=2或m=1,必要性不成立.綜上,“m=2”是“a⊥b”的充分不必要條件.3.(5分)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D為BC的中點(diǎn),E在斜邊AC上,若=2,則·=______.

【解析】如圖,以B為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,BC所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則B(0,0),A(1,0),C(0,2),=(1,2).因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以D(0,1),因?yàn)?2,所以EQUOTE,=QUOTE,所以·=QUOTE·(1,2)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.(10分)(2020·鄭州模擬)已知向量m=(2sinωx,cos2ωxsin2ωx),n=(QUOTEcosωx,1),其中ω>0,x∈R.若函數(shù)f(x)=m·n的最小正周期為π.(1)求ω的值.(2)在△ABC中,若f(B)=2,BC=QUOTE,sinB=QUOTEsinA,求·的值. 導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】(1)f(x)=m·n=2QUOTEsinωxcosωx+cos2ωxsin2ωx=QUOTEsin2ωx+cos2ωx=2sinQUOTE.因?yàn)閒(x)的最小正周期為π,所以T=QUOTE=π,又ω>0,所以ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sinQUOTE.設(shè)△ABC中角A,B,C所對(duì)邊分別是a,b,c.因?yàn)閒(B)=2,所以2sinQUOTE=2,即sinQUOTE=1,又0<B<π,解得B=QUOTE.因?yàn)锽C=QUOTE,即a=QUOTE,又sinB=QUOTEsinA,所以b=QUOTEa,b=3.由正弦定理得,QUOTE=QUOTE,解得sinA=QUOTE.又0<A<QUOTE,解得A=QUOTE,所以C=QUOTE,c=a=QUOTE,所以·=cacosB=QUOTE×QUOTE×cosQUOTE=QUOTE.5.(10分)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(1,0),||=1,且∠AOC=x,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若x=QUOTE,設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn),求|+|的最小值.(2)若x∈QUOTE,向量m=,n=(1cosx,sinx2cosx),求m·n的最小值及對(duì)應(yīng)的x值. 導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】(1)設(shè)D(t,0)(0≤t≤1),當(dāng)x=QUOTE時(shí),可得CQUOTE,所以+=QUOTE,所以|+|2=QUOTE+QUOTE(0≤t≤1),所以當(dāng)t=QUOTE時(shí),|+|2取得最小值為QUOTE,故|+|的最小值為QUOTE.(2)由題意得C(cosx,sinx),m==(cosx+1,sinx),則m·n=1cos2x+sin2x2sinxcosx=1cos2xsin2x=1QUOTEsinQUOTE.因?yàn)閤∈QUOTE,所以QUOTE≤2x+QUOTE≤QUOTE.所以當(dāng)2x+QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE時(shí),m·n=1QUOTEsinQUOTE取得最小值1QUOTE,所以m·n的最小值為1QUOTE,此時(shí)x=QUOTE.1.已知向量a,b,c共面,且均為單位向量,a·b=0,則|a+bc|的取值范圍是 ()A.[QUOTE1,QUOTE+1] B.[1,QUOTE]C.[QUOTE,QUOTE] D.[QUOTE1,1]【解析】選A.因?yàn)閍·b=0,所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=2,所以|a+b|=QUOTE.所以|a+bc|2=a2+b2+c2+2a·b2(a+b)·c=32(a+b)·c當(dāng)c與(a+b)同向時(shí),(a+b)·c最大,|a+bc|2最小,此時(shí)(a+b)·c=|a+b|·|c|cos0°=QUOTE,|a+bc|2=32QUOTE=(QUOTE1)2,所以|a+bc|min=QUOTE1;當(dāng)c與(a+b)反向時(shí),(a+b)·c最小,|a+bc|2最大,此時(shí)(a+b)·c=|a+b|·|c|cosπ=QUOTE,|a+bc|2=3+2QUOTE=(QUOTE+1)2,所以|a+bc|max=QUOTE+1.所以|a+bc|的取值范圍為[QUOTE1,QUOTE+1].2.已知坐標(biāo)平面上的凸四邊形ABCD滿足=(1,QUOTE),=(QUOTE,1),則