高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)

二次函數(shù)〔一〕1.二次函數(shù)的定義與解析式①一般式：__________________.②頂點(diǎn)式：__________________,頂點(diǎn)為_(kāi)_____.③零點(diǎn)式：____________________,其中_______是方程ax2+bx+c=0的兩根.y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-m)2+n(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(m,n)憶一憶知識(shí)要點(diǎn)(1)二次函數(shù)的定義

形如:f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).(2)二次函數(shù)解析式的三種形式x1,x2①對(duì)稱軸:______②頂點(diǎn):_________2．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象函數(shù)性質(zhì)定義域x∈R(個(gè)別題目有限制的,由解析式確定)值域a>0a<0奇偶性b＝0時(shí)為偶函數(shù)，b≠0時(shí)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)單調(diào)性a>0a<0圖象特點(diǎn)上遞減上遞增上遞增上遞減憶一憶知識(shí)要點(diǎn)3.與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)①與y軸的交點(diǎn)是________;②當(dāng)Δ>0時(shí)，與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2分別是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根．且|x1-x2|=______;

③當(dāng)Δ＝0時(shí),與x軸切于一點(diǎn)________;

④當(dāng)Δ<0時(shí)，與x軸_______．不相交(0,c)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)憶一憶知識(shí)要點(diǎn)4.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值(2)假設(shè)[m,n],那么①當(dāng)

x0<m

時(shí),f(x)min=f(m);②當(dāng)

x0>n

時(shí),f(x)min=f(n).(1)假設(shè)∈[m,n],那么f(x)min=f(x0)=③當(dāng)

x0<時(shí),f(x)max=f(n);④當(dāng)

x0>時(shí),f(x)max=f(m);求二次函數(shù)的解析式【例1】二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)．二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)；(3)兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．函數(shù)的類型(模型),求其解析式,用待定系數(shù)法,根據(jù)題設(shè)恰中選用二次函數(shù)解析式的形式,可使解法簡(jiǎn)捷．題型二二次函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題題型三二次函數(shù)最值問(wèn)題小結(jié)：一般分以下四種情況討論：二次函數(shù)〔二〕Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有兩不等實(shí)根x1,x2{x|x<x1,x>x2}有兩相等實(shí)根x1=x2無(wú)實(shí)根{x|x≠x1}R1.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的關(guān)系{x|x1<x<x2}??2.不等式

ax2+bx+c>0

恒成立問(wèn)題①

ax2+bx+c>0在R上恒成立

③

f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

f(x)min>0(x∈[m,n])②

ax2+bx+c<0在R上恒成立

④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

f(x)max<0(x∈[m,n])要點(diǎn)梳理那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在區(qū)間［2，3］上恒成立，〔1〕參變別離法例1.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.不等式恒成立問(wèn)題【評(píng)注】對(duì)于一些含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，如果能夠?qū)⒉坏仁街械淖兞亢蛥?shù)進(jìn)行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過(guò)求函數(shù)的值域的方法將問(wèn)題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問(wèn)題．問(wèn)題等價(jià)于f(x)max≤0,解：構(gòu)造函數(shù)23y..xo〔2〕轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值例1.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.不等式恒成立問(wèn)題那么解：構(gòu)造函數(shù)23y..xo例1.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.〔３〕數(shù)形結(jié)合思想不等式恒成立問(wèn)題練習(xí)二：與直線y=k有交點(diǎn),xy-11Y=k例2.假設(shè)方程x2-2x=k在區(qū)間[-1,1]上有解,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)____________.-1≤k≤3由圖象，得例4.設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對(duì)于滿足|m|≤2的一切值都恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：設(shè)f(m)=mx2-2x-m+1,【點(diǎn)評(píng)】解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù).一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是變量，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).那么f(m)是一個(gè)以m為自變量的一次函數(shù)，其圖象是直線，由題意知該直線當(dāng)-2≤m≤2時(shí)，線段在x軸下方,所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例2】函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a＝1時(shí),求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間．應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在區(qū)間[0,1]內(nèi)有一個(gè)最大值－5，求a的值．①方程

f(x)=0

有兩正根

②方程

f(x)=0

有兩負(fù)根

③方程

f(x)=0

有一正根一負(fù)根

記

f(x)=ax2+bx+c(a>0)1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)實(shí)根分布問(wèn)題二次方程的根的分布問(wèn)題根的分布圖象等價(jià)條件根的分布圖象等價(jià)條件根的分布圖象等價(jià)條件兩個(gè)實(shí)根有且僅有一根在區(qū)間內(nèi)二次方程的根的分布問(wèn)題的解題過(guò)程如下：1、作與二次方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象2、根據(jù)圖象列不等式組，主要包括以下三個(gè)方面：①判別式；②對(duì)稱軸；③區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)〔這三方面是否全寫(xiě)視具體題目而定〕3、根據(jù)所列不等式組再畫(huà)圖，與前一次所作圖象