建筑電氣與弱電工程制圖課件：正投影法基礎(chǔ)

正投影法基礎(chǔ)2.1投影法2.2正投影圖的形成及其投影規(guī)律2.3點(diǎn)、直線、平面的投影

2.1投影法

一、投影的方法和分類1．投影法

日常生活中，太陽(yáng)光或燈光照射到物體，物體就會(huì)在墻面或地上出現(xiàn)影子。影子是一種自然現(xiàn)象，將影子進(jìn)行幾何抽象所得的平面圖形，稱為物體投影。

用投射線將物體向選定的投影面進(jìn)行投射，并在其上得到物體投影的方法稱為投影法，如圖2.1所示。

圖2.1投影法及其四要素

在作圖過(guò)程中，把光源(太陽(yáng)或電燈)稱為投射中心。

連接投射中心和物體上點(diǎn)的直線稱為投射線。

接收投影的平面稱為投影面。

用投影法畫(huà)出的物體圖形稱為投影圖(簡(jiǎn)稱投影)。

投射線、物體、投影面、投影是投影法的四要素。

2．投影法的分類

根據(jù)投射線之間是否平行，工程上常用的投影法分為兩類：中心投影法和平行投影法。

1)中心投影法

投射線均從投射中心發(fā)出，投射線間不平行，這種投影法稱為中心投影法。日常生活中，照明、放映電影等均為中心投影法的實(shí)例，如圖2.2(a)所示。

2)平行投影法

假設(shè)投射中心位于無(wú)限遠(yuǎn)處，則所有投射線互相平行，這種投影法稱為平行投影法。日常生活中，太陽(yáng)光線照射得到的影子為平行投影法，如圖2.2(b)所示。

圖2.2投影法的分類

在平行投影法中，根據(jù)投射方向與投影面所成傾角的不同，平行投影法又分為斜投影法和正投

影法，如圖2.3所示。

(1)斜投影法：投射線與投影面相傾斜的平行投影法，如圖2.3(a)所示。

(2)正投影法：投射線與投影面相垂直的平行投影法，如圖2.3(b)所示。

圖2.3平行投影法

3．正投影法的基本性質(zhì)

1)實(shí)形性

當(dāng)直線段或平面圖形平行于投影面時(shí)，其投影反映直線段的實(shí)際長(zhǎng)度或平面的實(shí)際形狀大小。這種特性稱為實(shí)形性，如圖2.4(a)、(d)所示。

2)積聚性

當(dāng)直線段或平面圖形垂直于投影面時(shí)，其投影積聚成一個(gè)點(diǎn)或一條直線。這種特性稱為積聚性，如圖2.4(b)、(e)所示。

3)類似性

當(dāng)直線段與投影面傾斜時(shí)，其投影為比實(shí)際長(zhǎng)度短的直線；當(dāng)平面圖形與投影面傾斜時(shí)，其投影為原圖形的類似圖形。這種特性稱為類似性，如圖2.4(c)、(f)所示。

圖2.4正投影法的基本性質(zhì)

二、工程上常用的投影圖

根據(jù)投影法的不同，工程上常用的投影圖分為如圖2.5所示的幾種。

圖2.5工程上常用的投影圖

1．透視圖

用中心投影法將空間物體投射到單一投影面上得到的圖形稱為透視圖，如圖2.6所示。

特點(diǎn)：立體感好，度量性差，作圖麻煩。

應(yīng)用：用于建筑物的效果圖。

圖2.6透視圖

2．軸測(cè)圖

將空間物體正放，用斜投影法得到的圖，或?qū)⒖臻g物體斜放，用正投影法得到的圖，稱為軸測(cè)圖，如圖2.7所示。前者稱為斜軸測(cè)圖，后者稱為正軸測(cè)圖。

特點(diǎn)：立體感好，度量性一般，作圖較麻煩。

應(yīng)用：應(yīng)用較廣泛，一般用于建筑物的立體圖。

圖2.7軸測(cè)圖

3．標(biāo)高投影圖(等值線圖)

用正投影法將局部地面的等高線投影到水平的投影面上，并標(biāo)出各等高線的高程，從而表達(dá)該局部的地形。這種用標(biāo)高來(lái)表達(dá)地面形狀的正投影圖，稱為標(biāo)高投影圖(又稱等值線圖)，如圖2.8所示。

特點(diǎn)：立體感差，度量性差(一般只能標(biāo)識(shí)地面高程)，作圖方便。

應(yīng)用：應(yīng)用較少，一般用于地形圖。

圖2.8標(biāo)高投影圖

4．正投影圖

根據(jù)正投影法得到的圖形稱為正投影圖，如圖2.9所示。

特點(diǎn)：立體感差，但能正確反映物體的形狀和大小，度量性好，作圖方便。

應(yīng)用：應(yīng)用廣泛，一般用于機(jī)械、建筑等工程圖。

圖2.9正投影圖

2.2正投影圖的形成及其投影規(guī)律

一、三投影面體系的形成一個(gè)物體只向一個(gè)投影面投影，它只能反映該物體一個(gè)面的形狀和大小，不能全面、完整地表示出物體的真實(shí)形狀和大小，如圖2.10所示的兩個(gè)不同結(jié)構(gòu)的物體具有相同的一面投影。因此必須增加不同的投射方向，在不同的投影面上得到幾個(gè)投影，互相補(bǔ)充，才能全面、完整地反映物體的形狀和大小。通常是將物體放在三個(gè)互相垂直的平面所組成的投影面體系中，得到物體的三個(gè)投影。圖2.10兩個(gè)不同結(jié)構(gòu)的物體具有相同的一面投影

在三投影面體系中，投影面彼此垂直，兩兩相交，如圖2.11所示。

圖2.11三投影面體系

1．投影面

在三投影面體系中，呈水平位置的投影面稱為水平投影面，用字母H表示，簡(jiǎn)稱水平面，也稱H面；與水平投影面垂直相交呈正立位置的投影面，稱為正投影面，用字母V表示，簡(jiǎn)稱正面，也稱V面；與水平投影面和正投影面同時(shí)垂直相交并位于右側(cè)的投影面稱為側(cè)面投影面，用字母W表示，簡(jiǎn)稱側(cè)面，也稱W面。在三個(gè)投影面中，最重要的投影面是正面。

2.投影軸

三個(gè)投影面的交線稱為投影軸，水平面與正面的交線為OX軸，水平面與側(cè)面的交線為OY軸，正面和側(cè)面的交線為OZ軸。

三個(gè)投影軸垂直相交于一點(diǎn)O，稱為原點(diǎn)。

3.投影圖

物體在三個(gè)投影面上的投影分別稱為：正面投影、水平投影、側(cè)面投影。

由物體的前方向后投射，在正面上形成的投影稱為正面投影；由物體的上方向下投射，在水平面上形成的投影稱為水平投影；由物體的左方向右投射，在側(cè)面上形成的投影稱為側(cè)面投影。

4.投影面的展開(kāi)

為了使處于空間位置的三個(gè)投影在同一平面上表示出示，規(guī)定正面不動(dòng)，將水平面向下旋轉(zhuǎn)90°，將側(cè)面向右旋轉(zhuǎn)90°，就得到在同一平面上的物體的三面投影，投影面的邊框不必畫(huà)出，如圖2.12所示。

圖2.12物體的三面投影圖

二、三面投影圖的投影規(guī)律

1.三面投影圖的位置關(guān)系

三面投影圖展開(kāi)后，水平投影在正面投影的下方，側(cè)面投影在正面投影的右方。

在用三面投影表達(dá)物體的投影時(shí)，可以不畫(huà)出投影面的外框線和坐標(biāo)軸，但一般三面投影的位置關(guān)系保持不變，如圖2.12所示。

2.三面投影圖的投影規(guī)律

如果把物體左右之間的距離稱為長(zhǎng)，前后之間的距離稱為寬，上下之間的距離稱為高，則正面投影和水平投影都反映了物體的長(zhǎng)度，正面投影和側(cè)面投影都反映了物體的高度，水平投影和側(cè)面投影都反映了物體的寬度。因此，三個(gè)投影圖之間存在下述投影關(guān)系：

正面投影與水平投影——長(zhǎng)對(duì)正；

正面投影與側(cè)面投影——高平齊；

水平投影與側(cè)面投影——寬相等。

“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的投影對(duì)應(yīng)關(guān)系是三面投影之間重要的特性，也是畫(huà)圖和讀圖時(shí)必須遵守的投影規(guī)律，如圖2.13所示。

圖2.13三面投影圖的投影規(guī)律

3.三面投影圖反映出的物體位置關(guān)系

物體有上下、左右、前后六個(gè)方位，正面投影反映物體的上下和左右關(guān)系，水平投影反映物體的左右和前后關(guān)系，側(cè)面投影反映物體的上下和前后關(guān)系。

三、物體三面投影圖的一般畫(huà)法

將物體按自然位置放正，即盡量使物體上的主要平面平行于某投影面。選擇形體特征明顯的方向?yàn)檎队暗耐渡浞较?，如圖2.14所示。

按物體的長(zhǎng)度和高度畫(huà)出反映物體特征輪廓的正面投影，再由物體寬度按長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等的投影規(guī)律畫(huà)出水平投影和側(cè)面投影。

在三投影面體系中，將投射線看做人的視線，所以投影圖又可稱為視圖，正面投影圖又稱為主視圖，水平投影圖又稱為俯視圖，側(cè)面投影圖又稱為左視圖。

圖2.14物體三面投影圖的畫(huà)法

2.3點(diǎn)、直線、平面的投影

一、點(diǎn)的投影

1．點(diǎn)的投影規(guī)律如圖2.15所示，將物體上的一點(diǎn)A放在三投影面體系中，點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影，就是通過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別向三個(gè)投影面所作垂線的垂足。正面投影記作a′，水平投影記作a，側(cè)面投影記作a

″，空間點(diǎn)記作A。將投影面展開(kāi)后，得到點(diǎn)的三面投影圖。圖2.15點(diǎn)的三面投影

由投影圖可以看出：

(1)點(diǎn)的正面投影和水平投影的連線垂直于X軸，即a′a⊥OX；

(2)點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于Z軸，即a′a

″⊥OZ；

(3)點(diǎn)的水平投影到X軸的距離等于點(diǎn)的側(cè)面投影到Z軸的距離，即aax?=?a″az。

【例2.1】已知點(diǎn)A的正面投影a′

和側(cè)面投影a″，如圖2.16(a)所示，求作水平面投影。

根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律可知，a′a⊥OX，過(guò)a′?作OX軸的垂線a′ax，所求的a點(diǎn)必定在a′ax的延長(zhǎng)線上，并由aax?=?a″az可確定a點(diǎn)的位置。

作圖：

(1)過(guò)a′?作OX軸的垂線，并延長(zhǎng)，如圖2.16(b)所示。

(2)量取aax?=?a″az，即可求得a，如圖2.16(c)所示。也可如圖所示，由a″通過(guò)自O(shè)點(diǎn)引出的45°線作出a。

圖2.16已知點(diǎn)的兩投影求第三投影

2．點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

空間點(diǎn)的位置可由點(diǎn)到三個(gè)投影面的距離來(lái)確定。如果將三個(gè)投影面作為坐標(biāo)面，三個(gè)投影軸作為坐標(biāo)軸，則點(diǎn)的投影和點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系如下：

(1)點(diǎn)到側(cè)面的距離為：

Aa″

=?a′az

=aay?=?axO?=?XA?(X坐標(biāo))。

(2)點(diǎn)到正面的距離為：

Aa′

=?aax?=?a″az

=?ayO?=?YA?(Y坐標(biāo))。

(3)點(diǎn)到水平面的距離為：

Aa

=?a′ax

=?a″ay

=?azO

=?ZA?(Z坐標(biāo))。

3．兩點(diǎn)的相對(duì)位置

1)兩點(diǎn)的相對(duì)位置

空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置，有上下、前后、左右之分，規(guī)定Z坐標(biāo)值大者為上，小者為下；Y坐標(biāo)值大者為前，小者為后；X坐標(biāo)值大者為左，小者為右。如圖2.17所示，A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方、后方、右方。

圖2.17兩點(diǎn)的相對(duì)位置

2)重影點(diǎn)的投影

若兩點(diǎn)的某兩個(gè)空間坐標(biāo)值分別相等，則這兩點(diǎn)必處于同一條投射線上，因此，這兩點(diǎn)在與投射線垂直的投影面上的投影重合于一點(diǎn)，稱為重影點(diǎn)。如圖2.18所示，D點(diǎn)和C點(diǎn)的水平面投影重合，稱為水平面的重影點(diǎn)。因?yàn)镃點(diǎn)的Z坐標(biāo)值小，即C點(diǎn)在D點(diǎn)的下面，其水平投影被上面的D點(diǎn)的水平投影遮住成為不可見(jiàn)。在標(biāo)注重影點(diǎn)時(shí)，將不可見(jiàn)的點(diǎn)的投影加上括號(hào)。

圖2.18重影點(diǎn)

二、直線的投影

空間兩點(diǎn)可以決定一直線，所以只要作出線段兩端點(diǎn)的三面投影，連接該兩點(diǎn)的同面投影(同一投影面上投影)，即可得空間直線的三面投影。直線的投影一般仍為直線。

空間直線與投影面的相對(duì)位置關(guān)系有三種：投影面平行線、投影面垂直線和一般位置線。前兩種又稱為特殊位置線。

1．投影面平行線

只平行于一個(gè)投影面，而對(duì)另外兩個(gè)投影面傾斜的直線稱為投影面平行線。

投影面平行線又有三種位置：

水平線：平行于水平面的直線；

正平線：平行于正面的直線；

側(cè)平線：平行于側(cè)面的直線。

投影面平行線的特性如表2.1所示。直線對(duì)投影面所夾的角即直線對(duì)投影面的傾角。a、b、g?分別表示直線對(duì)H面、V面和W面的傾角。

總之，投影面的平行線的投影特性為：

(1)在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并反映直線與另兩投影面的真實(shí)傾角。

(2)另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。

2．投影面垂直線

垂直于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面平行的直線，稱為投影面垂直線。

投影面垂直線也有三種位置：

鉛垂線：垂直于水平面的直線；

正垂線：垂直于正面的直線；

側(cè)垂線：垂直于側(cè)面的直線。

投影面垂直線的特性如表2.2所示。

總之，投影面的垂直線的投影特性為：

(1)在其垂直的投影面上，投影必積聚成為一個(gè)點(diǎn)。

(2)另外兩個(gè)投影,反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相應(yīng)的投影軸。

3．一般位置直線

既不平行也不垂直于任何一個(gè)投影面，即與三個(gè)投影面都處于傾斜位置的直線，稱為一般位置直線，如圖2.19所示。

圖2.19一般位置線

直線AB與H、V和W三投影面的夾角分別用α、β、γ表示，因α、β、γ都不等于零，所以三個(gè)投影都小于線段實(shí)長(zhǎng)。

三個(gè)投影的長(zhǎng)度分別為：

ab=?AB

cosα

a′b′

=AB

cosβ

a″b″

=?AB

cosγ

并且直線的投影與投影軸的夾角，也并不反映直線對(duì)投影面的傾角。

總之，一般位置線的投影特性為：

(1)各投影的長(zhǎng)度均小于直線本身的實(shí)長(zhǎng)。

(2)直線的各投影均不平行于各投影軸。

【例2.2】分析正三棱錐各棱線與投影面的相對(duì)位置關(guān)系，如圖2.20所示。

(1)棱線SB。sb與s′b′?分別平行于OYH與OZ，可確定SB為側(cè)平線，側(cè)面投影s″

b″

反映實(shí)長(zhǎng)。

(2)棱線AC。側(cè)面投影a″

(c″

)重影，可確定AC為側(cè)垂線，a′c

′

=?ac

=?AC。

(3)棱線SA。三個(gè)投影sa、s′a

′、s″

a″??對(duì)投影軸均傾斜，可判斷SA為一般直線。

其它棱線與投影面的位置關(guān)系請(qǐng)讀者自行分析。

圖2.20三棱錐各棱線與投影面的位置關(guān)系′

三、平面的投影

平面對(duì)投影面的相對(duì)位置有三種：投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面。前兩種又稱為特殊位置平面。

1．投影面平行面

平行于一個(gè)投影面，而垂直于另外兩個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面。根據(jù)其所平行的投影面不同，可以分為三種：

水平面：平行于水平面的平面；

正平面：平行于正面的平面；

側(cè)平面：平行于側(cè)面的平面。

投影面平行面的特性如表2.3所示。

總之，投影面的平行面的投影特性為：

(1)如平面用平面圖形表示，則其在所平行的投影面上的投影，反映平面圖形的實(shí)形。

(2)在另外兩個(gè)投影面上的投影均為直線段，有積聚性，且平行于相應(yīng)的投影軸。

2.投影面的垂直面

垂直于一個(gè)投影面，而傾斜于另外兩個(gè)投影面的平面稱為